備戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第2講-第2課時-函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性

第2課時函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性第二章第2講函數(shù)的基本性質(zhì)考向預(yù)測核心素養(yǎng)以理解函數(shù)的奇偶性、會用函數(shù)的奇偶性為主，常與函數(shù)的單調(diào)性、周期性交匯命題，題型以選擇題、填空題為主，中檔偏上難度.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理01基礎(chǔ)知識回顧一、知識梳理1．函數(shù)的奇偶性

偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且____________一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I，且______________圖象特征關(guān)于______對稱關(guān)于______對稱f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y軸原點(diǎn)[注意]奇、偶函數(shù)定義域的特點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對稱，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件．2．函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù)：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在一個非零常數(shù)T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且___________________，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的______，那么這個最小______就叫做f(x)的____________．[注意]并非所有周期函數(shù)都有最小正周期．f(x＋T)＝f(x)正數(shù)正數(shù)最小正周期

常用結(jié)論2．函數(shù)奇偶性常用結(jié)論(1)如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則一定有f(0)＝0.如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)．(2)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．√2．(人A必修第一冊P86習(xí)題3.2T11改編)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝________．解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－1)＝－f(1)＝－2.答案：－2一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)偶函數(shù)的圖象不一定過原點(diǎn)，奇函數(shù)的圖象一定過原點(diǎn)．(

)(2)函數(shù)y＝x(x>0)是偶函數(shù)．(

)××二、易錯糾偏1．(判定函數(shù)奇偶性忽視定義域致誤)函數(shù)f(x)＝是________函數(shù)．(填“奇”“偶”“非奇非偶”)答案：奇2．(不能靈活利用函數(shù)性質(zhì)致誤)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上周期為3的奇函數(shù)，且f(1)＝2，則f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上周期為3的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，且f(－x)＝－f(x)，f(x＋3)＝f(x)，所以f(2022)＝f(0)＝0，f(2023)＝f(1)＝2，f(2024)＝f(2)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，所以f(2022)＋f(2023)＋f(2024)＝0.答案：002核心考點(diǎn)共研考點(diǎn)一函數(shù)的奇偶性(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：結(jié)合具體函數(shù)了解奇偶性的含義，并運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)．【解】

(3)f(x)的定義域?yàn)閧－1，1}，關(guān)于原點(diǎn)對稱．又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．【解】

(4)如圖，作出函數(shù)f(x)的圖象，由奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．判定函數(shù)奇偶性的2種常用方法(1)定義法(2)圖象法[提醒]

(1)對函數(shù)奇偶性的判斷，不能用特殊值法．(2)分段函數(shù)奇偶性的判斷，要分別從x>0和x<0來尋找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有當(dāng)對稱的兩個區(qū)間上滿足相同關(guān)系時，分段函數(shù)才具有確定的奇偶性．角度2函數(shù)奇偶性的應(yīng)用

(1)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)－1，則f(－6)＝(

)A．2B.4C.－2D.－4【解析】

(1)根據(jù)題意得f(－6)＝－f(6)＝1－log2(6＋2)＝1－3＝－2.√(2)(2021·新高考卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________．【解析】

(2)因?yàn)閒(x)＝x3(a·2x－2－x)的定義域?yàn)镽，且是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)對任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0對任意的x∈R恒成立，所以a＝1.【答案】

(2)1|跟蹤訓(xùn)練|1．(2021·高考全國卷乙)設(shè)函數(shù)f(x)＝

，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(

)A．f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1解析：

f(x)＝

，為保證函數(shù)變換之后為奇函數(shù)，需將函數(shù)y＝f(x)的圖象向右平移一個單位長度，再向上平移一個單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為y＝f(x－1)＋1.√2．設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex－1，則當(dāng)x<0時，f(x)＝________．解析：當(dāng)x<0時，－x>0，因?yàn)楫?dāng)x≥0時，f(x)＝ex－1，所以f(－x)＝e－x－1.又因?yàn)閒(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1.答案：－e－x＋1考點(diǎn)二函數(shù)的周期性(綜合研析)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：結(jié)合具體函數(shù)了解函數(shù)的周期性．√√A．f(x)為奇函數(shù)B．f(x)為偶函數(shù)C．f(x)是周期為3的周期函數(shù)D．f(0)＋f(1)＋…＋f(2021)＝0√√因?yàn)?/p>

＝－f(2)＝－1，所以f(1)＝1，所以f(0)＋f(1)＋f(2)＝－2＋1＋1＝0，所以f(0)＋f(1)＋…＋f(2021)＝0，所以D正確；因?yàn)閒(1)＝1，f(－1)＝1，所以f(x)不可能為奇函數(shù)，所以A錯誤；函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用(1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．|跟蹤訓(xùn)練|1．(2022·安徽亳州高三月考)函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋4)，若f(2)＝3，則f(2022)＝(

)A．3B.－3C.6D.2022解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋4)，即f(x＋4)＝－f(x)，則f(x＋8)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，周期為8，所以f(2022)＝f(252×8＋6)＝f(6)＝－f(2)＝－3.√2．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3，0]時，f(x)＝6－x，則f(919)＝________．解析：因?yàn)閒(x＋4)＝f(x－2)，所以f[(x＋2)＋4]＝f[(x＋2)－2]，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是周期為6的周期函數(shù)，所以f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.答案：6考點(diǎn)三函數(shù)的對稱性(綜合研析)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：1.函數(shù)的奇偶性延伸可得函數(shù)的對稱性；2．函數(shù)的奇偶性和對稱性要結(jié)合函數(shù)圖象靈活運(yùn)用．【解析】

因?yàn)閒(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)g(x)＝x3f(x)，則g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，由此可知函數(shù)F(x)＝(x＋2)3f(x＋2)－17＝g(x＋2)－17的圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，－17)對稱．【答案】－19m函數(shù)圖象的對稱性的常用結(jié)論(1)函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)?f(a－x)＝f(a＋x)?f(2a－x)＝f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱；(2)函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)?f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0?f(2b－x)＝－f(x)?函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(b，0)中心對稱．|跟蹤訓(xùn)練|若函數(shù)f(x－2)為奇函數(shù)，f(－2)＝0，且f(x)在區(qū)間[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，則不等式f(3－x)>0的解集為________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x－2)為奇函數(shù)，所以f(x－2)圖象的對稱中心為點(diǎn)(0，0)．因?yàn)閒(x)的圖象可由f(x－2)的圖象向左平移兩個單位長度而得，所以f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(－2，0)對稱．因?yàn)閒(x)在[－2，＋∞)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(－∞，－2]上也單調(diào)遞減．因?yàn)閒(3－x)>0＝f(－2)，所以3－x<－2，解得x>5.答案：(5，＋∞)考點(diǎn)四函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：解決函數(shù)性質(zhì)的綜合問題，通常先利用奇偶性和對稱性得到函數(shù)的周期性，然后利用周期性轉(zhuǎn)化函數(shù)自變量所在的區(qū)間，再利用單調(diào)性求解．角度1求函數(shù)值或解析式

(1)設(shè)f(x)是定義在R上的以4為周期的奇函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝2x－x2，則x∈[2，4]時函數(shù)f(x)的解析式為__________．【解析】

(1)當(dāng)x∈[－2，0]時，－x∈[0，2]，由已知得f(－x)＝2×(－x)－(－x)2＝－2x－x2，又f(x)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.所以f(x)＝x2＋2x.又當(dāng)x∈[2，4]時，x－4∈[－2，0]，所以f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．又f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.故當(dāng)x∈[2，4]時，f(x)＝x2－6x＋8.【答案】

(1)f(x)＝x2－6x＋8(x∈[2，4])

(2)已知定義在R上的函數(shù)f(x)，對任意實(shí)數(shù)x有f(x＋4)＝－f(x)，若函數(shù)f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，f(－2)＝2，則f(2026)＝________．【解析】

(2)由函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱可知，函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)．由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x＋4＋4)＝－f(x＋4)＝f(x)，所以f(x)是周期T＝8的偶函數(shù)，所以f(2026)＝f(2＋253×8)＝f(2)＝f(－2)＝2.【答案】

(2)2角度2解不等式或求參數(shù)范圍

(1)定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

)A．(－∞，－3)

B.(3，＋∞)C．(－∞，－1)D.(1，＋∞)【解析】

(1)因?yàn)閒(x＋3)＝f(x)，所以f(x)是定義在R上的以3為周期的周期函數(shù)，所以f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是偶函數(shù)，所以f(－2)＝f(2)，所以f(7)＝f(2)>1，所以a>1，即a∈(1，＋∞)．√(2)(2022·石家莊市模擬(一))已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x)＝f(2－x)，當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝4x－1，則在(1，3)上，f(x)≤1的解集是(

)√函數(shù)的奇偶性、對稱性、周期性和單調(diào)性是函數(shù)的四大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的奇偶性、對稱性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實(shí)現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題．

√√解析：當(dāng)x>0時，－x<0，因?yàn)閤≤0時，f(x)＝x(x＋1)，所以f(－x)＝－x(－x＋1)，又因?yàn)閥＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，所以x>0時，f(x)＝－x(－x＋1)＝x2－x，即f(x)＝其函數(shù)圖象如圖所示，對A，由圖知，函數(shù)f(x)有4個單調(diào)區(qū)間，故A錯誤；對B，由上述分析知，B正確；對D，由圖知，不等式f(x)<0的解集是(－1，0)∪(0，1)，故D錯誤．2．函數(shù)y＝f(x)對任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，f(1)＝4，則f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，即函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(0)＝0.又f(x＋2)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(x)的周期T＝4，f(2)＝－f(0)＝0，f(2020)＋f(2021)＋f(2022)＝f(0)＋f(1)＋f(2)＝4.答案：403課后達(dá)標(biāo)檢測√[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增的是(

)2．已知f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋m，則f(－2)＝(

)

解析：由題意得f(0)＝20＋m＝0，解得m＝－1，則f(－2)＝－f(2)＝－(22－1)＝－3.√√3．已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，則f(2025)＝(

)A．－3B.0C.1D.3解析：用－x替代x，得到f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)，所以T＝6，所以f(2025)＝f(337×6＋3)＝f(3)．因?yàn)閒(3－x)＝f(x)，所以f(3)＝f(0)＝0.所以f(2025)＝0.√

√√√6．(多選)(2022·山東師大附中第二次月考)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，當(dāng)x∈[0，3]時，f(x)＝x2－3x，則以下關(guān)于f(x)的結(jié)論正確的有(

)√解析：因?yàn)閒(x)滿足f(x－3)＝－f(x)，所以f(x－6)＝－f(x－3)＝f(x)，故函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù)，故A正確；對于C選項(xiàng)，結(jié)合周期性得f(2021)＝f(336×6＋5)＝f(5)＝f(－1)＝－f(1)＝－(1－3)＝2，故C正確．7．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(2－x)－f(x)＝0，f(0)＝

，則f(10)＝________．解析：由題意，得f(2－x)＝f(－x)，即f(x)＝f(x＋2)，所以函數(shù)f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，則f(10)＝f(2×5)＝f(0)＝

.答案：8．若函數(shù)f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則a＝________，函數(shù)g(x)＝bx＋

，x∈[－4，－1]的值域?yàn)開_______．[B綜合應(yīng)用]9．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(2＋x)＋f(x)＝0，當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝－x2－2x，則當(dāng)x∈[4，6]時，y＝f(x)的最小值為(

)A．－8B.－1C.0D.1解析：由題意知函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，又當(dāng)x∈[－2，0]時，f(x)＝－x2－2x，且f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當(dāng)x∈[0，2]時，f(x)＝x2－2x，所以當(dāng)x∈[4，6]時，f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2－2(x－4)＝x2－10x＋24＝(x－5)2－1，所以當(dāng)x＝5時，函數(shù)f(x)的最小值為f(5)＝－1.√A．0B.1C.2D.3√11．(多選)(2022·重慶第四次月考)設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，如果存在非零常數(shù)T，對于任意x∈D，都有f(x＋T)＝T·f(x)，則稱函數(shù)y＝f(x)是“元周期函數(shù)”，非零常數(shù)T為函數(shù)y＝f(x)的“元周期”．現(xiàn)有下面四個關(guān)于“元周期函數(shù)”的結(jié)論，其中正確的是(

)A．如果“元周期函數(shù)”y＝f(x)的“元周期”為－1，那么它是周期為2的周期函數(shù)B．函數(shù)f(x)＝3x是“元周期函數(shù)”C．常數(shù)函數(shù)f(x)＝c是“元周期函數(shù)”D．如果函數(shù)f(x)＝sinωx是“元周期函數(shù)”，那么“ω＝2kπ，k∈Z或ω＝(2k＋1)π，k∈Z”√√√解析：

A選項(xiàng)：因?yàn)椤霸芷诤瘮?shù)”y＝f(x)的“元周期”為－1，所以f(x－1)＝－f(x)，所以f(x－2)＝－f(x－1)＝f(x)，故y＝f(x)是周期為2的周期函數(shù)，故A正確；B選項(xiàng)：若函數(shù)f(x)＝3x是“元周期函數(shù)”，則存在非零常數(shù)T，使