新人教版高中數(shù)學(xué)必修第四冊(B版)知識精講+資料

知識點總結(jié)

正弦定理

知識導(dǎo)圖

a_b_c=?R

a_bcsinA-sinB-sinC

sinA-sinfi-sinC（R為zMBC外接圓的半徑）

正已知兩角和任一邊，求

弦其他的邊和角

定（-----------------------------------------------------------

理已知兩邊和其中一邊的

［應(yīng)用—解三角形°對角，求其他的邊和角

邊角互化一一判斷三角

［形的形:

學(xué)法指導(dǎo)

1.由研究特殊的三角形到一般的三角形，從而得到任意三角形

的邊角之間的數(shù)量關(guān)系.注意體會利用向量的運算證明正弦定理.

2.已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，注意對解的個數(shù)

進行確定，常用到“大邊對大角”“三角形內(nèi)角和為180。”.

3.在解三角形時應(yīng)養(yǎng)成作圖分析的習(xí)慣.

川川川川川川川川川川川川川川川川川囿川川川伽川川川hE3血舀El?I自匕學(xué)?川川川I川皿八

知識點一正弦定理及常見變形

文字

在一個三角形中，各邊和它所對應(yīng)角的正弦的比相等

語言

符

號nhC

吾R為外接圓半徑）

XIsinA-sinLsinC-^^BC

a=2/?sinA,b=2RsinB,c=2/?sinC,

.人_a.b.__c

常見sinA—2R,sinB—2R，C—2H，

變形

,?“.c?-a+O+c

A：b：c—sinA：sm&sinC..,.「一2R

sinA4十sin8n十sinC

狀元隨筆I正弦定理的理解

(1)適應(yīng)范圍：正弦定理對任意的三角形都成立.

(2)結(jié)構(gòu)形式：是分子為三角形的邊長，分母為相應(yīng)邊所對角的

正弦的連等式.

(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的是三角形中三條邊與所對角的正

弦之間的一個關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系.

知識點二解三角形

一般地，把乒角形的三個角A,B,C和它們的對邊a,b,c

叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程

叫做解三角形

狀元隨筆I在三角形中，我們還可能用到下列已知結(jié)論：

(1)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即在

△ABC中，a+b〉c,|a—b|<c.

(2)大邊對大角

A>sinB,cosA<cosB.

A+BjrC

(3)在AABC中，A+B+C=TT,=s加(A+B)=si〃

,A+BC

C,cos(A+B)=-cosC,sin~=cos^.

［小試身手］

1.判斷正誤.(正確的打“J”，錯誤的打“X”)

⑴在△A6C中，若萼=誓="/，則％=9。。.(V)

解析：由正弦定理可知，sin8=cosB,sinC=cosC,所以8

=C=45°,故C=90。.

(2)在△ABC中,若sin2A=sin2c則a=2.(X)

解析：由sin2A=sin23可得A=3或2A+26=兀，所以a=b

或a2-\-b2=c2.

(3)在△ABC中，若sinA>sinB,則A>8；反之，若A>8,則

sinA>sinB.(V)

解析：在△ABC中，sinA>sinB^a>b^A>B.

,,,ab+c,

(4)在△AABC中，r--,—J)

'"sinAsin5D+sinC'7

解析.因為=一^",所以=——"工——

用牛m.囚4苗4sin8sinC^^sinAsinB+sinC

2.在△A3C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為mb,c,若A

=60。，8=45。，a=3啦，貝Ub=()

A.5B.小

C.25D.4小

答案：C

3.在△ABC中，角4,B,。所對的邊分別是a,b,c,若A

=105。，8=45。，b=2也貝Uc=()

A當(dāng)B.1

C./D.2

答案：D

4.在△ABC中，A：B：C=4：1：1,則a：b：c=()

A.4：1：1B.2：1：1

C.啦：1：1D.仍：1：1

2兀

解析：由A：B：C=4：1：1且A+B+C=7T,得A=3,B=

13??

7,C=7,所以sinA=乎，sinB=^,sinC=^.

OOzzz

又由a：b：c=sinA：sinB：sinC得，a：b：c=\[?＞：1：1.

答案：D

恤川川川川川川川川卅州uw川卅川川州i川川川川川w川川,ElE3E3區(qū)I?索；芥|提升］川川川川川川川加川川川“川川川川川皿川川川川川川八

類型一已知兩角及一邊解三角形

例1(1)在△ABC中，已知a=8,5=60。，C=75。，則〃等

于()

A.4#B.4^5

22

C.4小D.丁

(2)在△A3C中，8=45。，C=60。，c=l,則最短邊的邊長等于

【解析】(1)4=180。一8—。=180。-60°—75°=45。，

8X也

???由正弦定理可得人=%彳=—7^=4冊.

SIDAv

2

由三角形內(nèi)角和定理可知，只要知道其中兩角的值，就一定能

求出第三角的值.

(2)由題意，因為8=45。，C=60°,

所以A=180。-8—。=75°,

日左一、1十升/曰,csinB1Xsin45°A/6

最短邊為b,由正弦JE理，sin6Q0=3.

【答案】(1)A*

方法將軸

已知兩角和任意一邊解三角形的方法

(1)由三角形內(nèi)角和定理可以計算出三角形的第三個角；(2)由正

弦定理可計算出三角形的另兩邊.

跟蹤訓(xùn)練1(1)設(shè)△A3C的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,

,若〃=小，sin8=5，C=7,貝U力=.

v2o

I7T57r

解析：⑴因為sin3=洱B￡(0,7i),所以8d或8=學(xué)又

C=j,所以8帶A=LB—。=爭，又a=6,由正弦定理得癮

=缶h，即個b=多，解得人=L

sinD.2兀.兀

sm丁3sino7

答案：⑴1

(2)在△ABC中，若力=5,N6=￡,tanA=2,則sinA=；

解析：(2)由tanA=2,得sinA=2cosA,

所以sin2A=4COS2A=4-4sin2A,所以sinA=±^^.

因為NA為△ABC的內(nèi)角，所以sinA=^

由正弦定理得a=-r-^XsinA=2y/Td.

u^lll1J

答案：Q)苧2回

類型二已知兩邊和其中一邊的對角解三角形

例2在△ABC中，解三角形.

(1)A=4,c=8,8=30°；

(2)。=啦，b=2,A=30°；

(3)4=5,b=2,8=120°.

■八、上十ZR.-c-sinB8sin30°,

【解析】(1)由正弦定理，得sinC=1)—=1.

\*30°<C<150°,???C=90。.從而A=180。一(8+O=60°.

a=4?二P=4g.，C=90。，A=60。，a=4電.

z.至bsinA2sin30°啦

(2)由-T-：-p?付BsmB-

''sinAsinBa2，

'：a<b,：.B>A=30°,.?.3=45。或8=135。.

當(dāng)3=45。時,C=180°-(A+B)=180o-(30o+45o)=105°,

又sinC-sinA'

.asinC啦sin105°啦sin75°

*，c~sinA-sin30°-sin301=5+1.

2

當(dāng)8=135。時,C=180°-(A+B)=18O°-(3O°+135°)=15°,

._asinC_啦sin15°_飛4_r-_

??c=^T=sin30°=T'=73-1.

2

/.B=45°,C=105°,c=,+l或3=135°,C=15°,c=木一

1.

54

(3)解法一：由端了=系得，$由4=tzsinB5sin120°

h22

￥>1，???無解.

解法二：，：b〈a,.?.A>3=120。，：.A+B>240°,與A+5+C=

180。矛盾.???無解.

5s

解法三："sin8=5sin120°=),又,"〈公缶8,工無解.

可先由正弦定理求得另一已知邊對角的正弦值，然后判斷該角

有幾個解，可能一解，也可能兩解或無解.

方法歸抽

已知兩邊和其中一邊的對角解三角形的方法

已知mh,A,解三角形.

(1)根據(jù)已知條件判斷解的情況，有解的條件下利用癮=

Sillr\

b

焉，求8.(一解或兩解)

dl.llJL/

(2)由A+8+C=TT,求C.

(3)由一F，求心

v7sinAsinC

注意：“大邊對大角”的運用.

跟蹤訓(xùn)練2⑴已知△ABC中，a=24,b=6,A*,角B

等于()

71「兀

Ak-3B4

-71T2兀-兀_p,5兀

C，3或x3Dg或$

(2)在△A3。中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=&,

b=2,sinB+cosB=^2,則角A的大小為.

物十二ziA-n加inA6X2近

解析：(l)sinB=~^~=~^j=2,

Vb>a,.,.B>A=y,.，.⑶二日或第

。33

(2)由sinB+cos3=啦，得sin3+]=1,由3仁(0,九)，得B=，,

I句4

1「1、.，,門口abZR.6/sinB1?,,

由正弦定理，51..=sinB'侍sinA=衛(wèi)=',又a〈b,所rr以KlA

_n

=6,

答案：(1)C(2)1

類型三判斷三角形的形狀

例3在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,。的對邊，且

(a2+Z?2)sin(A-B)=(a2~Z?2)sin(A+B),試判斷△ABC的形狀.

【解析】因為(a?+/)sin(A-3)=(配一層為由年+8),

2

所以/[sin(A+B)+sin(A-B)]=a[sin(A+3)—sin(A-B)],

所以2sinAcosB-/?2=2cosAsinBa1,即a2cosAsinB=Z?2sinAcos

B.

由正弦定理知。=2RsinA,b=2RsinB,

所以sin2AcosAsinB=sm2BsinAcosB,

又sinA-sin8W0,

所以sinAcosA=sinBcosB,所以sin2A=sin2B.

在△ABC中,Ov2A<2兀,0<2B<2n,

所以2A=28或2A=兀-2區(qū)

TT

所以A=8或A+B=5.

所以△ABC為等腰三角形或直角三角形.

注意到a,b在條件式中是齊次的，因此可以考慮利用正弦定

理將邊化為角，通過角的特征或者關(guān)系來判斷三角形的形狀.

方法歸抽

(1)邊角互化是正弦定理的功能之一.

(2)根據(jù)已知條件判斷三角形的形狀時，若條件式子中有邊又有

角，往往先進行統(tǒng)一，把邊都化為角或把角都化為邊，通過變換得

到角之間的關(guān)系或邊之間的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

(3)在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移

項提取公因式，以免漏解.

跟蹤訓(xùn)練3已知a,b,c分別是△43。的內(nèi)角4,B,C所對

的邊，滿足式二=七二意不判斷△ABC的形狀.(用兩種方法)

解析：方法一：由正弦定理得急=品=康,又濠=

bc/nsinAsinBsinC,「_

K，付1K，即arltanA-tan5-tanC,

cosBcosCcosAcosBcosCJTT

以A=8=C,即△ABC為等邊三角形.

方法二：由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R為△ABC

AlE弘、t，2ZrLA-A-_U—r/IM2RSiI\A2/?SillB2RSmC/口

外接圓的半徑)，得條件等式可化為-7尸=:嬴鼠=不?方，得

/ALU、1,JLUS\_x

sinAcos8=cosAsinB,sinBcosC=cosBsinC=sin(A—8)=0,sin(B

-0=O=A=B,B=COA=B=C,即△ABC為等邊三角形.

余弦定理

1、余弦定理

行魁三角形中任何Ta的平方等于其它兩邊的平方的和減去這兩邊與它

們的夾角的余弦的積的兩倍

才二方’+c—2bccosA,

公式表達方―a+<?—2accosB,

a+2abcosC

_S+d-€_a+c-i>_a+1)-c

翊cos--------------jcos--------------;cos--------------

2bc2ac

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的

文字語言平方的和減去這兩邊與它們的夾角的

余弦的積的兩倍

2

a=分+。2—2bccosA

符號語言b2=a2+〃-laccosB

221

c=a4b—2?^cosC

-a2

cosA=2bc

2

變形/+，一b

cosB—2ac____

a2A~b2—c2

cosC—___________

1.對余弦定理的四點說明

(1)勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一

般三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是

余弦定理的特例.

(2)與正弦定理一樣，余弦定理揭示了三角形的邊角之間的關(guān)系，是解三角形

的重要工具之一.

(3)余弦定理的三個等式中，每一個都包含四個不同的量，它們是三角形的三

邊和一個角，知道其中的三個量，代入等式，就可以求出第四個量.

(4)運用余弦定理時,若已知三邊(求角)或已知兩邊及夾角(求第三邊),則由三

角形全等的判定定理知，三角形是確定的，所以解也是唯一的.

2.對余弦定理推論的理解

余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三

角形的角的問題.用余弦定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號來判斷三

角形中的角是銳角還是鈍角.

i!J題講練

探究點1已知兩邊及一角解三角形

例1(1)在ZUBC中，角4,B,C的對邊分別為b,c,

若。=3,b=2,COS(/+6)=Q,則。等于()

A.4B.

C.3D.歷

(2)(2016?高考全國卷I)△/"(7的內(nèi)角B,C的對邊分別為

a,b,。?已知〃=書，c=2,cos4=,,則〃=()

A.啦B,小

C.2D.3

【解析】(1)由三角形內(nèi)角和定理可知cosC=-cos(N+0=

一，，又由余弦定理得c1—a1b2—2abeosC=9+4—

J

(n

2X3X2X-T=17,所以c=\0.選D.

(2)由余弦定理得5=2z+〃—2義2AosA,

因為cos』=*所以弘2-86-3=0,

J

(1)

所以b=38=一.舍去.故選D.

【答案】(1)D(2)D

歷法歸納:

(1)已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法

①先由正弦定理求出另一條邊所對的角，用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個

角，再用正弦定理求出第三邊，要注意判斷解的情況；

②用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出

此邊長.

(2)已知兩邊及其夾角解三角形的方法

方法一：首先用余弦定理求出第三邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求

出其他兩角.

方法二：首先用余弦定理求出第三邊，再用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理求

出其他兩角.

［注意］解三角形時，若已知兩邊和一邊的對角時，既可以用正弦定理，也

可以用余弦定理.一般地，若只求角，則用正弦定理方便，若只求邊，用余

弦定理方便.

練習(xí)：

1.在AABC中，邊a,b的長是方程x2-5x+2=0的兩個根，C=60°,則

c=.

解析：由題意，得“+辦=5,他=2.所以<?2=〃2+〃2—2仍cosC

—a2+Z>2—ab—(a~\~b)2—3ab—52—3X2=19,所以c—\19.

答案：標(biāo)

2.在△4SC中，已知力=120°,a=7,/>+c=8,求人c.

解：由余弦定理，得“2=〃2加COS4

=(b+c)2—2加(1+cos/),

所以49=64—2板（1一

,，即be—15,

辦+c=8,b—3,b—5,

由'解得或

bc=15,c—5c=3.

正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

一、實際應(yīng)用中的術(shù)語

1V仰角和俯角

仰角：目標(biāo)視線在水平視線上方所成的角

叫做仰角；目標(biāo)視線在

,目標(biāo)視線

沿布角水平

水平視線下方所成的角直

垂

叫做俯角.如圖示.鯉角視線

目標(biāo)視線

2、方位角

從某點指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)

方向線之間的水平夾角叫作方位角.方位角的

范圍是（0°,360°）如圖小,干

3\方向角（1350

四正方向線與目標(biāo)方向線廣\,東

所成的銳角，通常表達為北偏東匕

（南）XX度，南偏東（西）XX度，T

1.600-

例如：北偏東60°表示為如圖示.—東

4、坡角與坡度

坡角：坡面與水平面的夾角，叫作坡角.

坡度：坡面的沿直高度、卜

坡度i二二匕

h和水平寬度，的比，叫：二L八

作坡度,°c

二、例題選講目標(biāo)視線

1、測量距離問題

求解此類問題的題目，首先選定待求的量

所在的三角形，若滿足所求的量的條件，就直

接求解，若含有未知數(shù)，應(yīng)考慮這個未知數(shù)放

到另一個三角形去求解.其次，確定用正弦定理

還是余弦定理，如果都可用，就選擇更容易計

算的定理.

【例11為了測量兩山頂M,N間的距離，

飛機沿水平方向在A,B兩點測量，A,B,M,N

在同一鉛直平面內(nèi)，如圖所示，飛機能夠測量

的數(shù)據(jù)有俯角和點A,B間的距離，求山頂M,

N間的距離

M

【解析】假設(shè)飛機測量的數(shù)據(jù)為：A到山頂

M,N的俯角分別為a,0,點B到山頂M,N的

距離分別為0,Y,A,B間的距離為d,如下圖

所示.

在AABM中，由正弦定理，得

BMdandsina

sinasin[TC—(a+e)]'sin(a+0)'

在AANB中，由正弦定理，得

BN_ddsinp

,即BN二

sin。sin(y-P)sin(Y-p),

在ABMN中，由余弦定理，得

MN^BM2+BN2+BM-BNcos[n-(0+y)]

=7BM2+BN2+BM-BNcos(0+y).

2、測量高度問題

求高度時，要注意分清仰角、俯角.仰角和

俯角是在同一沿垂面內(nèi)，與水平線的夾角.

【例2】（2015高

考湖北卷）如圖示，一

輛汽車在一條水平的

公路上向正西行駛，

到A處時測得公路北

側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛6001后

到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰

角30°,則此山頂?shù)母叨菴D=m.

【解析】由已知，得NBAC=30°,ZABC=105°,

ZACB=45°,由正弦定理，得

600xsin30°

BC==300V2.

sin45°

在RtABCD中，ZCBD=30°,BC=300V2,則

tanNCBD嘿

所以CD=300V2Xtan30°=100V6m.

3、測量高度問題

在測量中求角時，要分清角的概念，如方

位角、方向角等,根據(jù)題目畫出示意圖，聯(lián)系正

弦定理和余弦定理來解決.

［例3］在海岸A處，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向

且距離A處（遮7）海里的B處有一艘走私船.

在A處北偏西75°方向，距離A處2海里的C

處的緝私船奉命以10舊海里/時的速度追截走

私船，同時走私船正以10海里/時的速度從B

處向北偏東30°的方

向逃竄，問緝私船沿JY/D

什么方向能最快追上

走私船？最少要花多

少時間?

【解析】由已知得如圖所示，設(shè)輯私船t

小時后在D處追上走私船，則CD=10V^3BD=

10t.

在△ABC中，AC=2,AB=V3-1,ZBAC=120°,則

余弦定理，得

BC2=4+(V3-1)2-2X2Xcosl20°=6,

所以BC=V6.

又由正弦定理，得

<3

ACsinZBAC2X—

sinNABC二

BCy/62'

所以ZABC=45°,ZCBD=120°.

在△BCD中,BD=1Ot,CD=10V3t,ZCBD=120°,

由正弦定理，得

BDsinZCBD

sinZBCD=

CD

lOtx容i

10圾2’

所以ZBCD=30°.

CDBC

又

sinl20°sin300'

日n\T6zQ.

22

所以當(dāng)輯私船沿東偏北30°的方向能最快

追上走私船，最少要花部時.

,在AABC中，BC=a,幺C=b,a,b是方程x2一2JJx+2=0的兩個根,

且2cos(4+3)=1，求AB的長度.

解：?「a2是方程一-2/x+2=0的兩個根，

由韋達定理，得：a4b=2S\ab=2.

/.a2+b2=(a+b)1-lab=Q4)，-2x2=8.

又,/2cos(J+3)=1,/.-2cosC=1.即cosC=--.

2

由余弦定理，得：一

AB2—a2+Z?2-labcosC=8-2x2x(-：)=10.

:.AB=HF.

在AABC中，已知/=b2+/+6c且26=3cM=3Jf?,求150也

a2=171=b2+c2+be解得《b=9.

解：由

c=6.

2b=3c.

-22_.2

1

由〃=〃+02+be,得cosZ=——————

2bc2

可得:sinN=A/1-COS2A==在

F

y/327A/3

-----―

?二S?州c二—BesinZ=—x9x6x

2222

在&4BC中，a、從c所對的角分別為4B、C且上空=一_"

cosC2a+c

Q）求角硼大小；

⑵6=^a+c=4,求A四型面積。

解：⑴法-（角化邊）：由余弦定理可知：8/Y^°sc==￡

cosBlabb

將上式帶入

cosC2a+c2ac6+&-金la^c

敵工用4曰:?ct^c2-b2-ac1,In

整理得a+c2-匕=-ac=>cosB=-------------=-----=-=B=——

laclac23

法二(邊化角)：-°S^=--:——^2sinJcos5-i-cos5sinC=-sin5cosC

cosC2sinJ-rsrnC

=>2sin-4cosB*sin(5+C)=0=>2sin-4cosB*sinJ=0fisin-4>0.=>cosB=-y

二B171

T

G7TT-

(2)將b=J13.a+c=4：B=代入=a'+c~—laccosB

=>b2=(a+c)2-lac-2acosB

=>13=16—2ac(l-；)=ac=3

c1.R373

=SAABC=-acsmB=——

24

小結(jié)：求三角形面積時，首先選定面積公式，一般■兄下，角定，則公

式定；注意余弦定理的轉(zhuǎn)化。

?1、遇到邊角混合式，要進行統(tǒng)一轉(zhuǎn)化，首選嘗試邊化角。

熟記三角函數(shù)關(guān)系式、兩角和差等公式；

?2、求三角形面積時，首先選定面積公式，一般情況下，

角定，則公式定；注意余弦定理的轉(zhuǎn)化。

?3、利用正余弦定理判斷三角形的過程中一定要注意化簡

的等價性，特別是三角方程注意角的取值范圍。

。思路的共同點就是從“統(tǒng)一”著眼

或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，作三角變換；或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊，

作代數(shù)變換。

數(shù)學(xué)探究活動：得到不可達兩點之間的距離知識點

為了得到不可達兩點之間的距離，可借助的方法很多.

水平面的C點處先測量仰角a(其中CD是測量儀器或測量

人的高)，然后前進xm到達點E后再測量仰角。的大小,

最后根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)和直角三角形的知識就可得出AB的高.

當(dāng)然，在這種測量方法中，要保

證C,E,B3點在一條直線上，而且AB

要與BC垂直，否則誤差會比較大.

在實際生活中，有時并不能保證

AB與BC垂直，可以進一步探討此時怎

樣才能完成任務(wù).

復(fù)數(shù)及其幾何意義

基本概念

1.定義：

形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)(a,beR),其中a叫做復(fù)數(shù)的實部，b叫做虛部

2.分類：

實數(shù)：當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi為實數(shù)

虛數(shù)：當(dāng)“0時，復(fù)數(shù)a+bi為虛數(shù)

純虛數(shù)：當(dāng)a=0,*0時，復(fù)數(shù)a+bi為純虛數(shù)

3.兩個復(fù)數(shù)相等的定義：

如果兩個復(fù)數(shù)實部相等且虛部相等就說這兩個復(fù)數(shù)相等.

例如：如果a+bi=c+di,則a=c且b=d,另夕卜當(dāng)a+bi=0,則a=0且b=0

備注：

兩個虛數(shù)(bHO)是不能比較大小的，即使是純虛數(shù)也是不能比較大小的，具體

舉例如下：

①3+i與8+2i,雖然后面的虛數(shù)的實部跟虛部都是大于前面的虛數(shù)，但是仍

不能比較大小。

②2+i與4+2i雖然后面的虛數(shù)是前面虛數(shù)的2倍，但是不能比較大小

③3i跟5i,兩個都是純虛數(shù)，但是不能比較大小的

4.共扼復(fù)數(shù)：

當(dāng)兩個復(fù)數(shù)實部相等，虛部互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)互為共輾復(fù)數(shù).

例如：z=a+bi的共聊復(fù)數(shù)是

幾何意義

1.復(fù)平面定義：

建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，其中x軸叫做實軸，y軸叫做

虛軸.

實軸上的點都表示實數(shù).除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù).

Y

2.幾何意義:

復(fù)數(shù)z=a+bi與復(fù)平面內(nèi)的點(a,b)以及平面向量，其中a,beR,是---對應(yīng)

關(guān)系(復(fù)數(shù)的實質(zhì)是有序?qū)崝?shù)對，有序?qū)崝?shù)對既可以表示一個點，也可以表示

一個平面向量)

z=a+bi的模，即

復(fù)數(shù)運算

1.加、減、乘、除運算:

設(shè)Zi=ai+bii,Z2=a2+bzi

z1+z2=(ai+a2)+(bi+b2)i

z「z2=(ai-a2)+(b「b2)i

zi-z2=(ai+bii)-(a2+b2i)

2

=aia2+aib2i+a2bii+bib2i

=(aia2-bib2)+(aib2+a2bi)i

2.其他結(jié)論

①F=i,產(chǎn)=-1,i3=-i?i4=1

備注：求F只需將n除以4看余數(shù)是幾就是i的幾次方

②『+嚴(yán)。嚴(yán)2+嚴(yán)3=0

(3)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i

④若z=a+bi,則

圜E負、角相同、余弦前、加號連輻角定義

復(fù)數(shù)所對應(yīng)的向量與X軸正方向夾角，0G(-TI,n]

復(fù)數(shù)的運算

一、代數(shù)運算：

二、幾何運算:

復(fù)數(shù)的加法與減法

復(fù)數(shù)的加（減）法法則：設(shè)zl=a+bi,z2=c+di是任意兩個復(fù)數(shù)。

兩者和（差）的實部是原來兩個復(fù)數(shù)實部的和（差），它的虛部是原

來兩個虛部的和（差）。兩個復(fù)數(shù)的和（差）依然是復(fù)數(shù)。即

復(fù)數(shù)的乘法與除法

（1）復(fù)數(shù)的乘法法則

一般地，設(shè)=1="+如二2=c+di（ab,C0￡R）,稱二1二（2或二1X二2）為二1與二2的積,

并規(guī)定二1二2=（。+61）（。+修）=。。+4.+3揖+占”正

=（ac-bd）+（ad+bc）\.,

（2）復(fù)數(shù)乘法的運算律

對任意復(fù)數(shù)二1，二2,二3￡C,有

交換律Z\-Z2=______

結(jié)合律（ZI-Z2）'Z3=__________

乘法對加法的分配律Z1（Z2+Z3）=_______

復(fù)數(shù)的三角形式及其運算

復(fù)數(shù)三角形式的乘法

設(shè)Z1、Z2的三角形式分別是：

Z1=rx(cos0]+zsin)

Z2=小(cosa+zsin92)

于是z、xZ,=r](cos9X+isinq)xr790s2+isin%)

=A?廠2[cos⑹+&)+，sin(q+2)]

即是說，兩個復(fù)數(shù)相乘，積還是一個復(fù)數(shù)，它的模

等于各復(fù)數(shù)的模的積，它的幅角等于各復(fù)數(shù)的幅角

的和。簡單的說，兩個復(fù)數(shù)三角形式相乘的法則為:

模數(shù)相乘，幅角相加

復(fù)數(shù)的三角形式乘法法則有如下推論

(1)有限個復(fù)數(shù)相乘，結(jié)論亦成立。即

rcos

Z]?Z2AZ”=八(cos+isin0x)?r2(cos%+，sin%)A,>(%+isin6")

=八?r2A乙[cos.+02+A+6“)+isin?+02+A+6“)]

(2)當(dāng)Z、=Z?=A=Z”=Z時,即

A=2=A=r“=r，4=4=A=0“=。，有

Z"=[r(cos6+isin6)]"=r"(cosn3+isinnO')

這就是復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則，即：模數(shù)乘方，幅角〃倍

在復(fù)數(shù)三角形式的乘方法則中，當(dāng)尸二1

時，則有

[(cos^+zsin<9)]n=cosnO+isinnO

這個公式叫做棣美弗公式。

復(fù)數(shù)三角形式的除法

設(shè)有復(fù)數(shù)Z1=u(cosd+isin用)，Z2=r2(cos6>2+/sin<92),

且設(shè)Z2^0,那么

幺=心河+沐咽)=&〔cos?-4)+isin(q-

121

Z2r2(cos<92+zsin<92)r2

這就是復(fù)數(shù)三角形式的除法法則，即：

模數(shù)相除，幅角相減

空間幾何體

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

（1）多面體一一由若干個平面多邊形圍成的幾何體.

旋轉(zhuǎn)體一一把一個平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)形成的封閉幾何體。其

中，這條定直線稱為旋轉(zhuǎn)體的軸。

（2）柱，錐，臺，球的結(jié)構(gòu)特征

1.1棱柱一一有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

1.2圓柱一一以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所圍成的幾何

體叫圓柱.

2.1棱錐—有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的

幾何體叫做棱錐。

2.2圓錐——以直角三角形的一直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)而形成的曲面所

圍成的幾何體叫圓錐。

3.1棱臺一一用一個平行于底面的平面去截棱錐，我們把截面與底面之間的部分稱為棱臺.

3.2圓臺一一用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.

4.1球——以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.

二、空間幾何體的三視圖與直觀圖

1.投影：區(qū)分中心投影與平行投影。平行投影分為正投影和斜投影。

2.三視圖一一正視圖：側(cè)視圖：俯視圖；是觀察者從三個不同位置觀察同一個空間幾何體而

畫出的圖形；畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等

3.直觀圖：直觀圖通常是在平行投影下畫出的空間圖形。

4.斜二測法：在坐標(biāo)系,，中畫直觀圖時，已知圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段保持平行性

不變，平行于x軸（或在x軸上）的線段保持長度不變，平行于y軸（或在y軸上）的線

段長度減半。

三、空間幾何體的表面積與體積

1、空間幾何體的表面積

①棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

②圓柱的表面積S=2爐1+27t門③圓錐的表面積S=/"+%/

④圓臺的表面積S=兀"I+乃/二+兀RI+兀R'⑤球的表面積S=4兀

n兀R-1

⑥扇形的面積公式s刷形=-----=-lr（其中/表示弧長，r表示半徑）

3602

2、空間幾何體的體積

①柱體的體積丫=5底、〃②錐體的體積丫=；S底x/i

.______4

③臺體的體積V=_（s,+J*F+。X/?④球體的體積丫=-^R"

空間幾何體與斜二測畫法

空間圖形的直觀圖：

用來表示空間圖形的平面圖形，叫做空間圖形的直觀圖

斜二測畫法：

斜二測畫法是一種特殊的平行投影畫法。

斜二測畫法：

(1)在已知圖形中，取互相垂直的X軸和y軸，兩軸相交于點0,畫直

觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x'和y'軸，兩軸相交于點0,，且使

zx,Oy=45°(或135°),它們確定的平面表示水平面;

(2)在已知圖形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于

X，軸或y'軸的線段；

(3)在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行

于y軸的線段，長度為原來的一半。

已知三視圖畫直觀圖的方法：

在工程技術(shù)中，為了全面展示圖紙上的幾何體的特征和尺寸，常給出三視

圖，而要清晰地觀察到其效果，則需將其轉(zhuǎn)化為直觀圖(具有空間立體

感).在由三視圖轉(zhuǎn)化為直觀圖時，先由三視圖確定幾何體的長、寬、

高.比較常見幾何體的三視圖，從而得到正確的直觀圖.

已知直觀圖畫三視圖的方法：

在由直觀圖畫三視圖時先由與投影面平行或垂直的線段確定三視圖的頂

點，與投影面平行的線段投影的長度不變，與投影面垂直的線段投影后是

一個點.

依據(jù)斜二測畫法求直觀圖面積：

求直觀圖面積的關(guān)鍵是依據(jù)斜二測畫法，求出相應(yīng)的直觀圖的底邊和高，

也就是在原來實際圖形中的高線，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成450角且

長度變?yōu)樵瓉淼囊话氲木€段，以此為依據(jù)來求出相應(yīng)的高線即可.將水平

放置的平面圖形的直觀圖還原成原來的實際圖形，其作法就是逆用斜二測

畫法，也就是使平行于X軸的線段的長度不變，而平行于y軸的線段長度

變?yōu)樵瓉淼?倍.

斜二測畫法：

(1)在已知圖形中，取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點0,畫直

觀圖時,把它們畫成對應(yīng)的x'和y'軸,兩軸相交于點01,且使

zx,O,y,=45o(或135°),它們確定的平面表示水平面；(2)在已知圖

形中平行于x軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于X，軸或『軸的

線段；

(3)在已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持長度不變；平行

于y軸的線段，長度為原來的一半。

立體圖形的直觀圖的畫法：

畫立體圖形的直觀圖時，主要有下面幾個步驟：

(I)畫底面，這時使用平面圖形的斜二測畫法即可.

⑵畫z'軸，z'軸過點o',且與x\\\\\\\'軸夾角為900,并畫高線(與原

圖高線相等，畫正棱柱時只需要畫側(cè)棱即可)，連線成圖.

(3)擦去輔助線，被遮線用虛線表示。

特別提醒⑴畫立體圖形的直觀圖的要求不高，只要會畫圓柱、圓錐、正棱

柱、正棱錐和正棱臺的直觀圖即可.(2)畫立體圖形與畫水平放置的平面圖

形相比多。

構(gòu)成空間幾何體的基本元素

構(gòu)成空間幾何體的基本元素是什么？

點：無大小

表示：A、B、C...

線：無粗細、無限延伸

表示：a、b、C...IKAB、BC...

面：處處平直、無厚度、無限延展

平面的表示方法

表示：①平面《瓦Y，…

②具體幾何中常用表示頂點的

大寫字母表示平面

例：平面ABCD

平面AC或平面BD

討論：結(jié)合長方體或手中的模型討論，空間中直線與直線（不重

合）、育線與平面、平面與平面（不重合）的位置關(guān)系

1.空間中點與直線的位置關(guān)系

點A,B都在直線1上.

簡記為：A€1,B€1.

點A,B都在直線1上.

簡記為：AT€1,Bi€1.

點A在平面a內(nèi).AeABcg[

簡記為：Aea,點（元素）-----------線（集合）——面（集合）

點Ai不在平面a內(nèi).

簡記為：Ai，a.

2.空間中直線與直線的位置關(guān)系D\

直線1與m相交（即有公共點）

1

簡記為：inm=B或1nm/①

直線1與k相交（即沒有公共點）

1

簡記為：ink=RA

思考：同一平面內(nèi)的兩條直線，如果不相交，就一定平行.這一結(jié)論可

以推廣到空間中的兩條直線嗎？

不能

異面直線：空間中的兩條直線，可以既不平行，也不相

交，此時稱這兩條直線異面.

arb00T相交Qdn=B)

‘平行(m//k)

anb=0<

、異面直線：空間中的兩條直線，既不

平行,也不相交

a

定義：

1、直線,在平面a內(nèi)（平面a過線/）：

點A、B確定的直線/上的所有點都在

平面a內(nèi)，則稱直線/在平面內(nèi)a（平面

a過直線I）記作：ya.

2、直線m在平面a外：點8、片確定的直線m上至少有一個點不在平面a

內(nèi)，這稱為直線m在平面a外，記作m（Za.

3、直線m與平面a相交：直線m與a有且只有一個公共點，

即ca=｛用簡寫為mca=B.

4、直線,與平面a平行：/ca=0時，稱直線/與a平行,

記作：〃/a

4.空間中平面與平面的位置關(guān)系

1.平面a與平面B相交：a與0有公共/________