2024-2025學年高中數(shù)學課時分層作業(yè)11正弦定理含解析北師大版必修5

PAGE1-課時分層作業(yè)(十一)(建議用時：60分鐘)[基礎達標練]一、選擇題1．在△ABC中，若eq\r(3)a＝2bsinA，則B＝()A．eq\f(π,3) B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)C[由正弦定理，得eq\r(3)sinA＝2sinBsinA，所以sinA(2sinB－eq\r(3))＝0.因為0<A<π，0<B<π，所以sinA≠0，sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3).]2．已知△ABC的三個內(nèi)角之比為A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，對應的三邊之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1 B．eq\r(3)∶2∶1C．eq\r(3)∶eq\r(2)∶1 D．2∶eq\r(3)∶1D[因為A∶B∶C＝3∶2∶1，A＋B＋C＝180°，所以A＝90°，B＝60°，C＝30°，所以a∶b∶c＝sin90°∶sin60°∶sin30°＝1∶eq\f(\r(3),2)∶eq\f(1,2)＝2∶eq\r(3)∶1.]3．符合下列條件的△ABC有且只有一個的是()A．a(chǎn)＝1，b＝eq\r(2)，A＝30°B．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3C．b＝c＝1，B＝45°D．a(chǎn)＝1，b＝2，A＝100°C[對于A，由正弦定理得eq\f(1,sin30°)＝eq\f(\r(2),sinB)，所以sinB＝eq\f(\r(2),2).又a<b，所以B＝45°或135°，所以滿意條件的三角形有兩個．對于B，a＋b＝c，構不成三角形．對于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，所以滿意條件的三角形只有一個．對于D，a<b，所以A<B，而A＝100°，所以沒有滿意條件的三角形．]4．已知△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＜0，S△ABC＝eq\f(15,4)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝5，則∠BAC＝()A．30° B．120°C．150° D．30°或150°C[由S△ABC＝eq\f(15,4)，得eq\f(1,2)×3×5sin∠BAC＝eq\f(15,4)，∴sin∠BAC＝eq\f(1,2)，又由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))<0，得∠BAC>90°，∴∠BAC＝150°.]5．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且acosB＋acosC＝b＋c，則△ABC的形態(tài)是()A．等邊三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．直角三角形D[∵acosB＋acosC＝b＋c，故由正弦定理得，sinAcosB＋sinAcosC＝sinB＋sinC＝sin(A＋C)＋sin(A＋B)，化簡得：cosA(sinB＋sinC)＝0，又sinB＋sinC＞0，∴cosA＝0，即A＝eq\f(π,2)，∴△ABC為直角三角形．]二、填空題6．在銳角△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，且a＝4bsinA，則cosB＝________.eq\f(\r(15),4)[由a＝4bsinA得eq\f(a,sinA)＝4b，故sinB＝eq\f(1,4)，又△ABC是銳角三角形，故cosB＝eq\f(\r(15),4).]7．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，則最短邊的邊長等于________．eq\f(\r(6),3)[由三角形內(nèi)角和定理知：A＝75°，由邊角關系知B所對的邊b為最小邊，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)得b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(1×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝eq\f(\r(6),3).]8．若△ABC的面積為eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，則邊AB的長度等于________．2[由于S△ABC＝eq\r(3)，BC＝2，C＝60°，∴eq\r(3)＝eq\f(1,2)×2·AC·eq\f(\r(3),2)，∴AC＝2，∴△ABC為正三角形，∴AB＝2.]三、解答題9．設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，C．若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，求b.[解]在△ABC中，∵sinB＝eq\f(1,2)，0＜B＜π，∴B＝eq\f(π,6)或B＝eq\f(5π,6).又∵B＋C＜π，C＝eq\f(π,6)，∴B＝eq\f(π,6)，∴A＝eq\f(2π,3).∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴b＝eq\f(asinB,sinA)＝1.10．在△ABC中，已知a＝10，B＝75°，C＝60°，試求c及△ABC的外接圓半徑R.[解]∵A＋B＋C＝180°，∴A＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)＝2R，∴c＝eq\f(a·sinC,sinA)＝eq\f(10×\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝5eq\r(6)，∴2R＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(10,\f(\r(2),2))＝10eq\r(2)，∴R＝5eq\r(2).[實力提升練]1．在△ABC中，AB＝eq\r(3)，A＝45°，C＝75°，則BC＝()A．3－eq\r(3) B．eq\r(2)C．2 D．3＋eq\r(3)A[∵AB＝eq\r(3)，A＝45°，C＝75°，由正弦定理得：eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sinC)?eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(AB,sin75°)＝eq\f(\r(3),\f(\r(6)＋\r(2),4))，∴BC＝3－eq\r(3).]2．在△ABC中，若A＝60°，a＝2eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于()A．1 B．2eq\r(3)C．4 D．4eq\r(3)C[eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(2\r(3),sin60°)＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，c＝4sinC，所以eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(4sinA＋sinB＋sinC,sinA＋sinB＋sinC)＝4.故選C．]3．已知△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是________．(2,2eq\r(2))[要使三角形有兩解，則asinB<b<a，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(b,sinB)＝\f(2,sin45°)＝2\r(2)，,x>b＝2，))所以2<x<2eq\r(2).]4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A＝2B，C為鈍角，則eq\f(c,b)的取值范圍是________．(2,3)[由題意知90°<C<180°，0°<A＋B<90°，因為A＝2B，所以0°<3B<90°，0°<B<30°，C＝180°－(A＋B)＝180°－3B，由正弦定理eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin180°－3B,sinB)＝eq\f(sin3B,sinB)＝eq\f(sin2B·cosB＋cos2B·sinB,sinB)＝eq\f(2sinB·cos2B＋cos2B·sinB,sinB)＝2cos2B＋cos2B＝4cos2B－1，因為eq\f(\r(3),2)<cosB<1，所以2<4cos2B－1<3，即2<eq\f(c,b)<3.]5．在△ABC中，sin(C－A)＝1，sinB＝eq\f(1,3).(1)求sinA的值；(2)設AC＝eq\r(6)，求△ABC的面積．[解](1)由C－A＝eq\f(π,2)和A＋B＋C＝π，得2A＝eq\f(π,2)－B,0＜A＜eq\f(π,4).故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝eq\f(1,3)，sinA＝eq\f(\r(3),3).(2)由(1)得cosA＝e