點集拓?fù)鋵W(xué)教案

點集拓?fù)鋵W(xué)教案

為聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)三年級本科生開設(shè)《點集拓?fù)洹?/p>

課程。

按熊金城《點集拓?fù)渲v義》（第三版，北京：高等教育出版社,2003）第一至七

章編寫的教案。

本科生授課64學(xué)時，教學(xué)內(nèi)容與進度安排如下:

本科生授課主要內(nèi)容課時數(shù)備注

-W-

拓?fù)鋵W(xué)的起源1

—樸素集合論2

1

集合、映射與關(guān)系1

,1

1

無限集1

,2

拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射21習(xí)題課時2

2

度量空間與連續(xù)映射3不講附錄

,1

2

拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射3

,2

2

鄰域與鄰域系2不講定理2.3.3

,3

2

導(dǎo)集、閉集、閉包內(nèi)部、邊界3不講例2.4.4,定理2.4.8

,4

2

內(nèi)部、邊界2

,5

2部分證明定理2.6.3,臨域基

基與子基2

,6及相關(guān)內(nèi)容在5.1中介紹

2

拓?fù)淇臻g中的序列2

,7

—子空間、有限積空間、商空間6習(xí)題課時1

3

子空間2

,1

3

積空間2

,2

3

商空間1例3.3.3起不講

,3

四連通性8習(xí)題課時1

4

連通空間2

,1

4

連通性的某些簡單應(yīng)用1

,2

4

連通分支1

,3

4

局部連通空間2

,4

4

道路連通空間1道路連通分支不講

,5

五有關(guān)可數(shù)性的公理6習(xí)題課時1

5

第一與第二可數(shù)性公理2

,1

5

可分空間1.5定理5.2.1不講

,2

5

LindeIoff空間1.5

,3

六分離性公理8習(xí)題課時1.5

6

、Hausdorff空間2

.1

6

正則、正規(guī)、4,，空間

1.5例6.2.2講部分

,2

6Urysohn引理和Tietze擴張定不講定理6.3.1,6.3.4的

1

,3理證明

6

完全正則空間，Tychonoff空間1

,4

6分離性公理與子空間、積空間和

1

,5商空間

6

可度量化空間1定理6.6.1講部分

,6

七緊致性10習(xí)題課時1

7

緊致性3定理7.1.6講部分

,1

7

緊致性與分離性公理1引理7.3.2用分析中的結(jié)論

,2

7

n維歐氏空間R"中的緊致子集0.5

,3

7

幾種緊致性以及其間的關(guān)系1.5

,4

7

度量空間中的緊致性1

,5

7局部緊致空間，仿緊致空間1定理7.6.8不講

6

第一章樸素集合論

點集拓?fù)鋵W(xué)(Point-setTopology)現(xiàn)稱?般拓?fù)鋵W(xué)(GeneralTopology),它的起源與出發(fā)點都

是集合論.作為基木的點集拓?fù)鋵W(xué)知識，所需的只是一些樸素集合論的預(yù)備知識.木章介紹木

書中要用到的一些集合論內(nèi)容，主要涉及集合及集族的運算、等價關(guān)系、映射、可數(shù)集、選

擇公理等.作為一教材，講義對各部分內(nèi)容均有較系統(tǒng)的論述，作為授課，我們只強調(diào)一些基

本內(nèi)容，而對已有過了解的知識不提或少提.

記號:Z,Z+,R,Q分別表示整數(shù)集，正整數(shù)集，實數(shù)集和有理數(shù)集.

教學(xué)重點：集合的基本概念、運算，映射的概念；教學(xué)難點：選擇公理

一.集合的運算

鼎集P(X),交D、并U、差一(補，余A'H).

運算律：DeMorgan律：⑴A-(BkjC)=(A-B)c(A-C).

(2)A?(BCC)=(A-B)(A-C)A-(BnC)=(A-B)U(A-C)

利用集合的包含關(guān)系證明(1).

類似可定義任意有限個集的交或并，如記

規(guī)定個集之并是

AUA25.2A,=(A]=LL,A=lX|AjAi.0

。，不用0個集之交.

二.關(guān)系

R是集合X的一個關(guān)系，即氏(=*乂*,(乂丁)€/?記為xRy,稱x與y是R相關(guān)的.

R稱為自反的，若VxcX,xRx;

R稱為對稱的，若xRy,則yRx;

R稱為傳遞的，若xRy,yRz,則xRz.

等價關(guān)系：自反、對稱、傳遞的關(guān)系.

如,A(X)={(x,x)|xwX},恒同關(guān)系，它是等價關(guān)系；{(x,y)|x,ywR,xvy},小于關(guān)系,

它是傳遞的，但不是對稱的、不是自反的.

設(shè)R是X上等價關(guān)系，Vx￡X,x的R等價類或等價類兇R或區(qū)為{y￡X|xRy},因R

的元稱為[X]R的代表元；商集X/R={[x]R|xwX}.

定理141設(shè)R是非空集合X的等價關(guān)系，則

G

(1)VxeX,x[xlR;

GXR

(2)Vx,yX,或者[]=[y]R,或者因Rn[y]R=(f>

RRR

證(2).設(shè)z￡[x]c[y]R,則ZRxzRy,于是[x]u[y]R且[x][y]R,于是

MR=[ylR-

三.映射

函數(shù)：fiX^Y.

像：VACX,/(A)={/(X)|XGA}；

原像：VB(Zy,(B)={xeX|f(x)GB]

滿射、單射、一一映射(雙射)、可逆映射、常值映射、恒同映射ix、限制工八、擴張、內(nèi)

射"-X

集合笛卡兒積

X,xX2x...xXrt=n<<Xj=[[：山={(芭,々..怎)卜到第i個坐標(biāo)集X,

的投射0：xfX,定義為p(x)=Xj,其中％=區(qū),

對等價關(guān)系R,集合X到商集X/R的自然投射p:XTX/R定義為p(x)=[幻氏.

四.集族

數(shù)列{Xn}={xJk，有標(biāo)集族{A/?,指標(biāo)集「，與{4卜一}不同，可記有標(biāo)集族

A={4}…；類似地，定義其并U.?A/l（或uA）、交「|昨/2（或nA）,不定義o個集的交.

與有限集族有相同的運算律，如DeMorgan律

A-U"=n*A-4）,A-n"=4八,

映射對應(yīng)的集族性質(zhì)：“Uy&）=u,/（4），/（ru為）="/⑷），

廣,（U9約）=UJ（B）,廣'—）="/（瑪）

五.無限集

通過^映射來確定兩集合的個數(shù)的多少.

有限集（?；蚺c某{L2，…，n}有一一映射）,無限集.可數(shù)集（?；虼嬖赬到Z.的單射），不可

數(shù)集.

易驗證：有限集是可數(shù)集，可數(shù)集的子集是可數(shù)集，可數(shù)集的映像是可數(shù)集.

定理1.7.3X是可數(shù)集U>X是Z+的映像.

由此,Q是可數(shù)集，兩可數(shù)集的笛卡兒積集是可數(shù)集，可數(shù)個可數(shù)集之并集是可數(shù)集.

定理1.7.8R是不可數(shù)集.

利用Cantor對角線法證明開區(qū)間（0,1）中的實數(shù)不可數(shù).

直觀上，集合A中元素的個數(shù)稱為該集合的基數(shù)，記為cardA,或|A|.|及|二。，|R|二c.若存

在從集合A到集合B的單射，則定義|A|W|B|.

連續(xù)統(tǒng)假設(shè)：不存在基數(shù)a,使得〃.

選擇公理：若A是由非空集構(gòu)成的集族，則VAWA,可.取定￡（A）WA.

由選擇公理可證明，若a,夕是基數(shù),則下述三式中有且僅有一成立：a〈B，a=0,a>p

第二章拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射

本章是點集拓?fù)鋵W(xué)基礎(chǔ)中之基礎(chǔ).從度量空間及其連續(xù)映射導(dǎo)入一般拓?fù)鋵W(xué)中最基本的

兩個概念：拓?fù)淇臻g、連續(xù)映射，分析了拓?fù)淇臻g中的開集、鄰域、聚點、閉集、閉包、內(nèi)

部、邊界、基與子基的性質(zhì)，各幾種不同的角度生成拓?fù)淇臻g，及刻畫拓?fù)淇臻g上的連續(xù)性.

教學(xué)重點：拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射，鄰域與鄰域系；

教學(xué)難點：基與子基；可度量化空間

2.1度量空間與連續(xù)映射

在R上,|x-y|表示點x與y之間的距離.絕對值是一非負(fù)函數(shù)，具有三條重要性質(zhì).

定義2.1.1設(shè)X是一集合，夕：XxXfH.如果滿足正定性、對稱性和三角不等

式，則稱p是X的一個度量.（X,p）稱為度量空間，p（x,y）表示兩點x,y之間的距離.

例2.1.1實數(shù)空間R.

（x,y）=|x-y|,R的通常度量.

例2.l.2n維歐氏空間R”=RxRx…xR.

對于記入="）夕“定義夕"，＞）=、力（七一兇尸為Rn的通常度量,n維歐

V/=i

氏空間.R2稱為歐氏平面或平面.

例2.13Hilbert空間H.

H={戈=（西，工2，式“…歸X；V8},

b=i

定,義p:HxHTR

后易證0為度量則度量空間（"、夕）稱為Hilbert空

（匹y）Tp（x,y）=&（看-%）~

間.

例2.1.4離散度量空間.

度量空間(X,p)稱為離散的，若使得不存在X中的點ywx,滿足

p(x,y)<2如對集合X,按如下方式定義夕：XxXfR是X上的離散度量:

0,x=y

定義2.1.2設(shè)(X，P)是度量空間如凈)=UGX|pUy)<￡}稱為以*為心，￡為半徑

的球形鄰域或￡鄰域,或球形鄰域.對(R,|.I),B(x,￡)=(X?￡,X+￡).

定理2.1.1度量空間(X，p)的球形鄰域具有性質(zhì)：

⑴VXGX,￡>0,XGB(X￡)

貝歸，滿足/€()I))

⑵VxwX,￡].￡2>0,￡3>05X,.￡3U8(JV,.￡CB(x,.￡2a.

⑶若yw5(x,￡)*:>0使3(y,b)u5(x,￡)；

⑵0<邑<min{^,￡-)

證2

⑶6=￡-p(x,y\則B(y,b)uB(xt￡)

定義2.1.3X的子集A稱為(X,p)的開集，若。使B*,￡)U4.每一球形

鄰域是開集.

例2.1.5R中的開區(qū)間是開集.

工￡伍力)讓￡=min{x-〃,b-刈則BQ,￡：)￡(a,b)同樣可■證，無限開區(qū)也是開集.

閉區(qū)間［a,b］不是開集.

定理2.1.2度量空間的開集具有以下性質(zhì):

(1)X,。是開集;(2)兩開集的交是開集;(3)任意開集族之并是開集.

證(1)由定理(2),(3)由定理2.1.1(2).

定義2.1.4設(shè)X是度量空間，xwX,U±X,U稱為x的鄰域，若有開集V,使

xeV^U.

定理2.1.3U是X中點大的鄰域存在￡>0,使B(x,動uU.

定義2.1.5設(shè)X,y是兩度量空間./:Xf，稱/在冊連續(xù)，若/(%)的

球形鄰域8(/(%),￡),(￡>0)

存在與的球形鄰域B(xo,B),使f(B(%?))uB(F(XO),￡).

稱/在X連續(xù)，若/在X的每一點連續(xù).

定理2.1.4設(shè)Xd是兩度量空間./:XfV,與wX,那么

⑴/在與連續(xù)若U是/(%)的鄰域，則/T(U)是質(zhì)的鄰域；

(2)/在乂連續(xù)若u是y的開集，則/T(U)是x的開集.

證(1)利用定義2用5,2.1.4.

(2)“"f/(U)是每一點的鄰域.“”證每一點連續(xù)，利用(1).

由此可見，度量空間的連續(xù)只與鄰域或開集有關(guān).它導(dǎo)入建立比度量空間更一般的拓?fù)淇?/p>

間的概念及其連續(xù)性.

2.2拓?fù)淇臻g與連續(xù)映射

定義2.2.1設(shè)7是集合X的子集族，若,滿足：

GR

(1)X,Gr;(2)VA(3)VT,UT，UG

稱匯是X的一個拓?fù)?X,r)是拓?fù)淇臻g，r的元稱為X的開集.

空間X的拓?fù)涫荴的全體開集的族.

定義2.2.2(X,p)度量空間.?由X的所有開集構(gòu)成的族.(X,金)稱為由度量夕誘導(dǎo)出的

拓?fù)淇臻g.金簡稱為度量拓?fù)?

度量空間一定是拓?fù)淇臻g.

例221平庸拓?fù)洌骸?｛X,。｝平庸空間.

例222離散拓?fù)鋜=P(X).離散空間.X的每一子集是開集.由離散度量空間導(dǎo)出的

拓?fù)涫请x散拓?fù)?

例2.2.4有限補拓?fù)銽=｛Uu是X的有限子集｝D｛。｝.

驗證7是X上的拓?fù)?(1)顯然.(2)A,BuX,討論AGB時分兩種情形，一是A,B中

有一是0,二是A,B都不是。；(3)GU7,不妨設(shè)三。。4￡%利用DeMorgan律.有限

補空間.

例2.2.5可數(shù)補拓?fù)渥?｛Uu是X的可數(shù)子弱3。｝

定義223可度量化空間.

離散空間是可度量化空間.多于一點的平庸空間不是可度量化空間.度量化問題是點集拓

撲學(xué)研究的中心問題之一.本書將在6.6中給出該問題的一個經(jīng)典的解.

定義2.2.4x,y是兩拓?fù)淇臻g.f：Xf丫稱/連續(xù)，若Y中每一開集U的原象尸(U)

是X中的開集.

定理221恒同映射連續(xù).連續(xù)函數(shù)的復(fù)合是連續(xù)的.

定義225f：Xfy稱為同胚或同胚映射，若/f是一一映射且/f及/T均連續(xù).

定義226稱兩空間X與Y同胚，或X同胚于Y,若存在從X到Y(jié)的同胚.

定理2.2.2（2.23）恒同映射同胚（X與X同胚）;f同胚=>f,同胚（若X與Y同胚，則Y

與X同胚）；同胚的復(fù)合是同胚（若X與Y同胚，且Y與Z同胚，則X與Z同胚）.

空間的同胚關(guān)系是等價關(guān)系.

拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)：研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).

抽象化過程：歐氏空間一度量空間一拓?fù)淇臻g；點距離一度量一升集.

2.3鄰域

定義2.3.1設(shè)(X.)是拓?fù)淇臻g.xeX,UuX稱為x的鄰域，如果存在Ve匯使

xeVct/;若U是開的,U稱為x的開鄰域.

定理2.3.1設(shè)UuX.U是X的開集。U是它的每一點的鄰域.

證由定義得“=”；利用開集之并為開得

x在X的所有鄰域構(gòu)成的族稱為x的鄰域系，記為Ux.

定理2.3.2Ux的性質(zhì)：

(l)X€(Jx；UGUx,xeU;

(2)u,VGUXunVGUX；

(3)uw(Jx且uuvnV￡(Jx；

(4)UeUx=>3VGUX使VUUKVyeV,VeUy.

證由定義2.3.1得(1);由開集的交是開集得(2);由定義2.3.1得(3);取V為滿足

XGvczCZ的開集.

由鄰域系出發(fā)可建立拓?fù)淇臻g的理論，顯得自然，但不流行.利用鄰域與開集的關(guān)系(定

理231)導(dǎo)出開集，從Ux(WXEX)具有定理2.3.2的性質(zhì)的(1)-(4)出發(fā)，定義

“{。<=用以￡〃,〃￡5},則?")是拓?fù)淇臻g，且這空間中每一點x的鄰域系恰是U、.

詳見定理2.3.3.

定義232(點連續(xù))映射):Xf丫稱為在點XEX連續(xù)，如果U是f(x)在Y中的鄰

域，則f」(U)是x在X中的鄰域.

定理2.1.4保證了在度量空間中點的連續(xù)性與由度量導(dǎo)出的拓?fù)淇臻g中的點的連續(xù)性的一

致.另一方面，關(guān)于點的連續(xù)性，易驗證(定理2.3.4),恒等映射在每一點連續(xù)，兩點連續(xù)的函

數(shù)之復(fù)合仍是點連續(xù)的.定義2.2.4與定義2.3.2所定義的“整體”連續(xù)與每一“點”連續(xù)是一致

的.

定理2.3.5設(shè)f：Xf丫則f連續(xù)=f在每一xtX連續(xù).

證若U是f(x)的鄰域，m開集V使f(x)eVuU,xxef-l(V)(zf-\U)

“U”若U是Y的開集，xe,U是f(x)的鄰域，產(chǎn)(U)是x的鄰域，所以尸(U)在

X中開.

2.4導(dǎo)集、閉集、閉包

定義2.4.1設(shè)AUX,x稱為A的聚點(凝聚點，極限點)，如果x的每一鄰域U中有A中

異于x的點，即Un(A{x})#，A的全體聚點之集稱為A的導(dǎo)集，記為d(A).x稱為人的孤

立點，若x不是A的聚點，即存在x的鄰域U使Un(A-{x})=。，即UAAu{x}.

例2.4.1X是離散空間.若AuX,則.d(A)=。

VxeX,?U={x},則UnAq{x},所以x任d(A).

例2.4.2X是平庸空間，AuX若A=e，則d(4)=。；若|A|=1,則d(A)=X-A;若

則d(A)=X.

對于VxwX,,若U是X的鄰域，貝|Ju=x,于是un

(A-{X})UC(A-{X})H0OA-{幻工。OA(Z{1}由此，易計算d(A).

定理2.4.1A,BuX,則

(1)4(。)=。；

⑵Au8=>d(A)ud(8);

⑶d(AuB)=4(A)uJ(B);

(4)d(d(A))qAud(A)

證由定義2.4.1得⑴和(2).

關(guān)于(3).由⑵得d(A)ud(B)ud(AD8).設(shè)x/d(A)ud(B),分別存在x的鄰域

使得UcAu{冗},Vc8u{x},令O=UcV,則OC(ADB)u{x}.

關(guān)于(4).設(shè)xwAud(A),存在x的鄰域U,使得UcAu{x},取x的開鄰域VuU,

則=私Vy€V,Vc(A-{y})=史d(A),Vcd(A)=@,x〉d(d(A))..

定義2.4.2AuX稱為X的閉集，如果d(A)uA.

定理242A閉oA，開.

證Vxe，由于〃(A)JA,存在x的鄰域U使

,于是UuA!."u’WxeA',A'cA=(j),x生d(A),所以d(A)uA，

例2.4.3R的閉區(qū)間是閉集.

[〃,勿=(Y2。)。(瓦+。。)開集.(0為)不是團集，因為。是聚點.

定理2.4.3記F是空間X的全部閉集族，則

(I)X,ewF;

(2)ABwFnAUBsF;

(3)F對任意交封閉.

證利用DeMorgan定律及拓?fù)涞亩x.F=e”直接驗證可得(1)、(2)、(3)

Cantor集(例2.4.4)是集合論、點集拓?fù)浠驅(qū)嵶兒瘮?shù)論中是具有特別意義的例子，它說明R

中的閉集可以是很復(fù)雜的，在此不介紹.

定義2.4.3AUd(A)稱為A的閉包，記為AA，

定理2.4.5對A,3uX,有

(1)。=M

(2)AuA?；

(3)(AuB)~=A~uB~；

(4)(A-)-=A-.

證(3)=AuBuB)=Aud(A)uBud(B)=A-uB-.

(4)(AT=(AoJ(A))-=A-^d(A)~=Aud(A)Ud(d(A))=A，.

上述4條確定了閉包運算，稱為Kuratowski閉包公理，由此可建立拓?fù)淇臻g的概念.事實

上阿記此運算為c(A),定義r={UuX|c(U')=U/},則(X,r)是拓?fù)淇臻g，且這空間

中每一c(A)=>T,詳見定理2.4.8.

關(guān)于閉包的幾個相關(guān)結(jié)果：

(1)XEA-<=>對x的任一鄰域有UcA。0.(定義2.4.3后)

⑵d(A)=(A-{x]Y；

(3)A閉u>d(A)uAoA=A.(定理2.4.4)

(4)4-是閉集.(定理2.4.6)

(5)A-是包含A的所有閉集之交,是包含A的最小閉集.(定理2.4.7:設(shè)F是包含A的所

有閉集之交，則AuEuA，/Tu尸，所以尸=4一.)

定義2.4.5(X,p)是度量空間.對非空的AuX,xeX定義夕(x,A)=inf{p(Xy)b，￡A}.

定理2.4.9對度量空間(X,p)的非空子集A

(1)XGA~。p(x,A)=0；

(2)xGd(A)<=>p(x,A-{x})=0.

證明：

p(x,A)=0oVe>0,wAp(x,y)v￡oB(x,￡)cA。。o

定理2.4.10設(shè)7:XfY,則下述等價

(1)/連續(xù)；

(2)若8閉于y,則廣1(8)閉于X;

(3)VAuXJ(A-)u/(A)-

證明；(l)n(2)B是y的閉集，夕是y的開集，/1(夕)=/7(5)，是X的開集，尸(B)

是X的閉集.

(2)n⑶/(A)u7W,Auf-(/W),AufT(f(Adu/(A)-

(3)=>(1)設(shè)"是丫的開集，U'是丫的閉集且

/("(U')-)uf(尸(。))-匚。，尸(。)-(=尸(。),尸(。)=尸。)’是閉,

廣YU)是開

2.5內(nèi)部、邊界

定義251若A是x的鄰域，則稱x是A的內(nèi)點.A的所有內(nèi)點的集合稱為A的內(nèi)部，記

為A°.

定理2.5.1對AuX,A°=A'-=A/o/

證明：xwA°,由于Ac4'=在于是xcA，從而A".

反之xwA-,3x的鄰域VcHAXEA°,因此，屋二A”.從而

M=A〃f=A--二

定理253對ABuX,有

(1)X=X。；

(2)A°uA；

⑶4°c8°=(AcB)°

(4)A°=A00.

證明：(1),(2)是顯然的.

(AcB)°=(A'uB)-/=VcB,T=A°nB°

而婕二…：〃，"

關(guān)于內(nèi)部的幾個結(jié)果：

(1)4是x的鄰域=xw4)；

(2)屋是開集;

(3)A是開集;

(4)A°是A所包含的所有開集之并，是含于A內(nèi)的最大開集.

證明：(2)A0=4-是開集

(3)A開o閉oA=%一oA=A"=A°

(4)設(shè)。是含于4內(nèi)的所有開集之并，4“<=。<=4,4"n。所以4°=0

定義252x稱為A的邊界點，若x的每一鄰域，既含有A中的點又有4中的點.A的邊界

點之集稱為邊界，記為朋.

定理2.5.6對4uX，有。)朋二4一c大一=d(A,);(2)A'=A"=0A;(3)A"=A--dA

證明：(2)A0u3A=u(IcA'-)=(A0uA-)c(A"uA°-)=A-;

(3)A'-dA=A~~(A~nA/-)=-A/_=A~nA/~=A°

2.6基與子基

度量空間T球形鄰域f開集T拓?fù)?在度量空間中球形鄰域的作用就是拓?fù)淇臻g中

基的作用.

定義261設(shè)工是空間X的拓?fù)?，Buz?，如果r中每一元是B中某子集族之并，稱3

是X的基.

所有單點集的族是離散空間的基.

定理262設(shè)Bur,B為X的基oVxcX及尢的鄰域Ux,三匕使x￡匕u

證“一”存在開集WN使得x^WxuUx,三口工匚口使得3VXeBi

<=13工使人￡匕uU.

“<=”設(shè)Utt,VXEUJRwB使xe匕uU”，從而{VJx￡t/}uB且

U=\IV

L^xwUx

在度量空間中，所有球形鄰域的族是度量拓?fù)涞幕?定理2.6.1).所有開區(qū)間的族是R的

基.

定理2.6.3拓?fù)淇臻gX的基B滿足：

(i)uB=X；(ii)VBj,B2eB,VXGqc82T2￡B,Vx￡2u&C層,.

反之，若集合X的子集族B滿足⑴、(2),定義r={uBjB,u3},則匯是X的以B作

為基的唯??拓?fù)?

證驗證T是X的拓?fù)?(1)0=口。.(2)先設(shè)可，層￡B冗￡31小結(jié)"%JB使

xeWxcBxcl2,于是51cB2={Wx\xeB{r}B2]eT.如果A^A2er,^At=uBi,

A,=uBi,貝ijA}nA2=u{B]nB2IeBi,B}e82)er..⑶設(shè)

jUZ^VAE^JBAUB.使得A=UBA,那么DJ=U(D{BAIAcrJ).

較強于(ii)且易于驗證的條件是(ii)V”32GB,.cB?GB.

例261實數(shù)下限拓?fù)淇臻g.

令3={[a,b)[a,b￡R,avb}j則B為R上一拓?fù)涞幕?這空間稱為實數(shù)下限拓?fù)淇?/p>

間，記為R/開區(qū)間是R/中的開集，因為(a,h)=U,.z蹄+；，")?

定義2.6.2設(shè)(X”)是拓?fù)淇臻g,Sur.若S的元之所有有限交構(gòu)成的族是7的基，則

稱S是7的子基.

S的元之有限交構(gòu)成的族{號cS2c...cS”ISjeS,iW〃eZ+}.顯然，空間X的基

是子基.

例2.6.2S={(a,4-00)|ae/?}u{(-oo,Z?)|bw例}是R的子基.

對照定理2.6.3,集合X的子集族S要作為子基生成X上的拓?fù)涞某湟獥l件是uS=X.

(定理2.6.4)

映射的連續(xù)性可用基、子基來刻畫或驗證.

定理2.6.5設(shè)x,y是兩拓?fù)淇臻g，/:x—y,下述等價:

(|)/連續(xù)；

(2)y基使得B中每一元的原像在x中開；

(3)Y有子基S,使得S中每一元的原像在x中開.

證(3)=(2)設(shè)B是S的元之所有有限交構(gòu)成的族，則B滿足(2).

(2)=(1)設(shè)U在y中開,則U=于是=｝在*中開.

類似地，可定義點的鄰域基與鄰域子基的概念，同時用它們來驗證映射的連續(xù)性等.在第

五章中定義第一可數(shù)性時再介紹這些概念.

2.7拓?fù)淇臻g中的序列

可以與R中一樣地定義序列、常值序列、子序列，見定義271,2.73.

定義2.7.2X中序列巧fx極限，收斂序列.

平庸空間中任意序列收斂于空間中的任一點.數(shù)學(xué)分析中的一些收斂性質(zhì)還是保留的，如

常值序列收斂，收斂序列的子序列也收斂.(定理2.7.1)

定理2.7.2A-{x}中序列七fxnxed(A)

證Dx的鄰域U,U(A—{x})三。，所以.xwd(A)

定理2.7.3/在xo連續(xù)且巧f/=>/(X,)ff(xQ)

證設(shè)。是/(%)的鄰域，則廣YU)是/的鄰域，m〃$Z+，當(dāng)〃時有天￡廣YU),

從而/(xJeU.

上述兩定理的逆命題均不成立.

例2.7.1設(shè)X是不可數(shù)集賦予可數(shù)補拓?fù)?，則

⑴在X中工一>xom〃wZ+，當(dāng)時有x,.二x.；

(2)若4是X的不可數(shù)子集，則d(A)=X.

證(1)的必要性，令。={再|(zhì)%wwZ+},則。'是x的鄰域，三〃eZ+，Vi>〃時

有無GD,即x{=x

證(2)Vx的鄰域—(可數(shù)集)，所以Uc(4-{x})H，,xwd(A).

定理272的逆命題不真.如例271,取定與eX,讓A=X-{x。},則將^或可，但

A中沒有序列收斂于

定理2.7.3的逆命題不真.取X是實數(shù)集賦予可數(shù)補拓?fù)洌宨:XfR是恒等映射，若

在X中項fx,則在R中/(七)1/@),但i在x不連續(xù)，因為xx在RR的開鄰域

(x-l,x+l)的原像/-'((X-1,x+1))=*—1,x+1)在X中不是開的.

定理274設(shè)｛8｝是度量空間(X")中的序列，則占fx=0(a，x)f0.

證Xj—>xOVx的鄰域U,3n6Z+,當(dāng)i>n時有為￡U<=>Vc>0,筋￡當(dāng)i>n時

有％G8(X,￡)0V￡>0.3neZ,當(dāng)i時有p(x^x)->0.

第三章子空間、積空間、商空間

介紹三種從原有的拓?fù)淇臻g或拓?fù)淇臻g族構(gòu)造新空間的經(jīng)典方法,引入遺傳性、可積性、可

商性等概念，這些是研究拓?fù)湫再|(zhì)的基本構(gòu)架.

教學(xué)重點：子空間與積空間；教學(xué)難點：子空間、（有限）積空間和商空間

3.1子空間

對于空間X的子集族A及YuX,A在y上的限制A|Y={AcYIAEA}.（定義

3.1.2）

引理3.1.2設(shè)y是空間（X,T）的子集，則是y上的拓?fù)?

證按拓?fù)涞娜齻€條件逐一驗證.如，設(shè)％￡7,使得A=8ACY,于

是DT]=D{8ACY|AC%}=（={BA|Ae））nKer|r

定義3.1.3對YuX,（R切）稱為（X/）的子空間，%,稱為相對拓?fù)?

“子空間”=“子集”+“相對拓?fù)?/p>

易驗證，若z是y的子空間，且丫是x的子空間，則z是x的子空間.（定理3.1.4）,

定理3.1.5（3.1.7）設(shè)y是X的子空間，ywy,則

（I）若分別為x,y的拓?fù)?，則r*=5；

（2）若F.F*分別為x,y的全體閉集族，則F*=FIY；

⑶若Uy,Uy*分別為y在X,y中的鄰域系，則（Jy*=Uvir；

（4）若B是x的基，則BIY是丫的基.

證（2）F*EF*0y—尸"￡仃。丫一尸*=UcY,

U￡7<=>尸*=(X—U)Cy,U￡T<=>產(chǎn).￡卬.

(4)u開于y,存在x的開集v,使得u=vcy,Bi<=B,滿足v=uBi,則

u=<J(13IIY).

在R的子空間(0,+8)中(0刀是閉集.

定理3.1.6設(shè)y是X的子空間,AuY,則

⑴%(A)=dx(A)n丫;(2)j(A)=%(A)nY

證(1)yedx(A)在X中的鄰域U,Uc(A-{y})n(Ucy)c(A-{y})、A所以

yedx(A)nY.反之，設(shè)ycdx(A)cY,y在丫中的鄰域匕力在X中的鄰域

于是Vn(A—{y})=(Un(A—{y}))cy=Uc(A-{y})H。，所以

yed(A)..

(2)Cy(A)=Addy(A)=Au(dx(A)r>Y)=(A^)dx(A))n(AoK)=cx(A)nK-

3.2有限積空間

就平面的球形鄰域此而言,我們知道球形鄰域內(nèi)含有方形鄰域，方形鄰域內(nèi)含有球

形鄰域.從基的角度而言，形如4(M，￡])X82(X2，￡2)的集合就是平面拓?fù)涞幕?對于兩個

拓?fù)淇臻gX,Y,在笛卡兒積集XxY中可考慮形如UxV的集合之全體，其中U,V分別是X,

Y的開集.對于有限個空間可考慮形如。|乂。2乂...、。〃的集合.

定理3.2.2設(shè)(X”孫)是n個拓?fù)淇臻g，則X=X,xX2x...xXn有唯一的拓?fù)洌訶的

子集族B=｛qx%x…x|qe盯,i?〃為它的一個基.

證驗證B滿足定理2.6.3的條件(i),(ii).(1)X=X1xX2x...xXnGB,U

B=x；(2)若UixU2x...xUn^KV2x...xVne13,則

((/,Xf/2X...xu,,)n(V,XV2X...XV；)=((7,nVI)x(t/2nV2)x...x((/MnVJeB.

定義3.2.2以定理3.2.2中B為基生成X=X1xX2x...xX/j上的唯一拓?fù)洌Q為拓

撲f62，?F的積拓?fù)?(X")稱為(X[，G),(X2,T2)，???(Xn，G的(有限:積空間.

定理3.2.4設(shè)X=X1義X?x…義X.是積空間，Bi是X1的基，則

B=｛用x82x...x8“|qEBLY〃｝是積拓?fù)?的基.

證利用定理2.6.2.設(shè)xwUer.BUi￡勺使xwqxU2(=U,3Bie13i使

XiGBiuUj,那么%w3]x邑x...xBnuqx心x…義UnuU..

例3.2.1形如(q,仇)x(生也)x...x(4“也)的集合構(gòu)成R”的基.

X

設(shè)（X1,Pl）,（X2,02）是兩個度量空間.令。（乂y）=（X［，K）2+P2（2，%）2，則P

是X1XX2上的度量，導(dǎo)出X上的度量拓?fù)鋜.對于〃個度量空間之積可類似地定義.（定義

3.2.1）

定理3.2.1度量空間的有限積：積拓?fù)渑c度量拓?fù)湟恢?

驗證〃=2的情形.易驗證.（再,￡/2）x與（乙，￡/2）uB（x,￡）u耳（再9S）XB2（X2,8）

于是每一B（x,￡）是積拓?fù)涞拈_集，且每一旦（項,￡”居（巧，￡）是度量拓?fù)涞拈_集，所以導(dǎo)出

相同的拓?fù)?

定理3.2.5有限積空間S={p7（Ujq￡%云川為子

基，其中卻是元的拓?fù)?，億：XfX,.是投射.

［

僅證n=2的情形.p；（^,）=UixX2,p-\U2）=X}xU2f所以

ll

p［（Ul）r>p-（U2）=UlxU2eB.

定義3.2.3/：x-丫稱為開（用）映射，若u開（閉）于x,則f（u）開（閉）于y.

定理3.2.62：XfX,是滿、連續(xù)、開映射，未必是閉映射.

［

由于p~（Ui）=XxxX2x...xXM,所以Pj連續(xù).由于

pi（UlxU2x...xUix...xUn）=Uif所以是開的.但是0】：&fK不是閉的.

定理3.2.7設(shè)映射了：yfX其中X是積空間X|KX2X..XX..則/連續(xù)

oV，w。/：yfXj連續(xù).

證充分性.對x的子基S={pr（q）|q”,云〃}jT（p>（a））=（PjO/）T（q）

開于y.

多元函數(shù)連續(xù)當(dāng)且僅當(dāng)它的每一分量連續(xù).

定理3.2.8積拓?fù)涫鞘姑恳煌渡涠歼B續(xù)的最小拓?fù)?即設(shè)工是積空間

X=X|XX2X...xX〃的積拓?fù)洌艏蟈的拓?fù)鋎滿足：每一投射Pj：（X,d）fXj連

續(xù),則TUT*.

證由于{p丁(Ujq￡馬」工〃}三，，所以fUT".

3.3商空間

回憶，商集X/R,及自然投射p:XfX/R定義為p（x）=［幻心問題：設(shè)X是拓?fù)淇?/p>

間，要在X/A上定義拓?fù)洌筽連續(xù)的最大的拓?fù)?

討論更一般的情形，設(shè)（X/）是拓?fù)淇臻g且/：x7丫是滿射.賦予集合y什么拓?fù)洌?/p>

使了連續(xù)的最大的拓?fù)?若/連續(xù)，且u是y的開集，則f-（u）是x的開集.讓

7={Uuy"T（u）ur},易驗證/是y上的拓?fù)?

定義3.3.1（3.3.2）稱々是y的相對于/滿射而言的商拓?fù)洌?：（X/）f（y，G）稱為商

映射.這時，（/在丫中開=/T（U）在x中開;尸在y中閉在x中閉.

定理3.3.1商拓?fù)涫鞘?連續(xù)的最大拓?fù)?

證設(shè)/：（X/）—（匕々）是商映射.顯然，/是連續(xù)的.如果々是丫的拓?fù)涫?/p>

（y,q）連續(xù)，則VU￡々，/7（。）￡仁于是?！甓　奔础﹗q,,所以々是

使f連續(xù)的最大拓?fù)?

定理3.3.2設(shè)/：x-丫是商映射.對于空間z,映射g：yfz連續(xù)。映射

gof:XfZ連續(xù).

證設(shè)g。/:XfZ連續(xù),VW開于Z,（g。/）-'（W）=（底（W））開于X,由于/是

商映射，所以g-Yw）開于丫，故g連續(xù).

定理3.3.3連續(xù)，滿開（閉）映射=＞商映射.

證設(shè)f：（x，G）一（匕㈢）是連續(xù)的滿開（閉）映射，々是y的相對于/而言的商拓?fù)?

要證由定理3.3.1,々n6.反之，對于開映射的情形

,i

V=/（/-（V））€rr,；對于閉映射的情形，V=Y-f（X-f-（V））eTyt所以總有

Gu%.

定義3.3.3設(shè)R是空間（X