專題4 極值點(diǎn)偏移六脈神劍之“少商劍”（教師版）-極值點(diǎn)偏移專題

極值點(diǎn)偏移六脈神劍之“少商劍”少商劍——右手大拇指-手太陰肺經(jīng)。特點(diǎn)：劍路雄勁，頗有石破天驚，風(fēng)雨大至之勢?？v觀近幾年與極值點(diǎn)偏移相關(guān)的考題，大多以含參數(shù)為主，攻克此類問題，能讓考生在成為高手中的高手，所向披靡。含參數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，是在原有的兩個變元的基礎(chǔ)上，又多了一個參數(shù)，故思路很自然的就會想到：想盡一切辦法消去參數(shù)，從而轉(zhuǎn)化成不含參數(shù)的問題去解決；或者以參數(shù)為媒介，構(gòu)造出一個變元的新的函數(shù)。對點(diǎn)詳析，利器顯鋒芒★已知函數(shù)（Ⅰ）若函數(shù)fx存在最小值，且最小值大于0，求實(shí)數(shù)a（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)x1,x2，使得fx【答案】(Ⅰ)0,1(Ⅱ)詳見解析【解析】（Ⅰ）f′（x）=(2x+1)(x?a)①a≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，∴f（x）在（0，+∞）遞增，故無最小值；②a＞0時，由f′（x）＞0，解得：x＞a，由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，故f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，此時f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），則g（a）在（0，+∞）遞減，又g（1）＝0，∴0＜a＜1時，g（a）＞0，此時f（x）min＞0，a≥1時，g（a）≤0，此時f（x）min≤0，故a的范圍是（0，1）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在實(shí)數(shù)x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），則a＞0，∵f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，不妨設(shè)0＜x1＜x2，則0＜x1＜a，令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），則h′（x）=2(x?a)∴x∈（0，a）時，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，a）遞減，∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，∴f（x1）＞f（2a﹣x1），∵f（x1）＝f（x2），∴f（x2）＞f（2a﹣x1），∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，∵f（x）在（a，+∞）遞增，∴x2＞2a﹣x1，∴a，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1∵x1≠x2，∴，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間[x1★已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在的單調(diào)性；（2）當(dāng)且時，，求函數(shù)在上的最小值；（3）當(dāng)時，有兩個零點(diǎn)，，且，求證：.【答案】（1）在上單調(diào)遞增（2）（3）證明見解析【解析】（1）由題意，函數(shù)，則，又∵，∴，，∴，∴在上單調(diào)遞增.（2）由，則，（1）當(dāng)時，，，此時圖數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在處取得最小值，即；（2）當(dāng)時，令，當(dāng)時，即當(dāng)，，，此時函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得最小值，即；綜上所得.（3）證明：根據(jù)題意，，∵，是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，∴，.兩式相減，可得，即，∴，則，.令，，則.記，，則.又∵，∴恒成立，故，即.可得，∴.內(nèi)練精氣神，外練手眼身★已知函數(shù)，.（1）討論?x（2）若函數(shù)fx=?x鈭抔x的圖象與直線交于A,B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0【答案】（1）答案見解析；（2）見解析.【解析】（1）定義域(0,+鈭??'①當(dāng)a2=1，即a=2時，?'(x)>0，故②當(dāng)a2>1，即a>2時，在上?'(x)>0；在(1,故?(x)在(0,1)和(a③當(dāng)0<a2<1，即0<a<2時，在上?'(x)>0；在故在0,a2和上為增函數(shù)；在(④當(dāng)，即a鈮?時，在(0,1)上?'(x)<0；在(1,+鈭?故在(1,+鈭?上為增函數(shù)；在(0,1（2）因?yàn)閒(x)=?(x)?g(x)=lnx+(2?a)x?a所以f當(dāng)a鈮?時，f'(x)>0，y=f(x)在當(dāng)a>0時，令f'(x)>0，則0<x<1a；令故y=f(x)在(0,1a)不妨設(shè)Ax1,m，B要證f'(x0)<0，需證a即證x2>2a?即證fx2故只需證f即證：當(dāng)0<x<1a時，設(shè)F則F所以Fx=f2又因?yàn)镕1a=f★已知函數(shù)有兩個不同的零點(diǎn)，求證：.不妨設(shè)，記，則，因此只要證明：，再次換元令，即證構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，得在上遞增，學(xué)*科網(wǎng)所以，因此原不等式獲證.★已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，證明：法二：利用參數(shù)作為媒介，換元后構(gòu)造新函數(shù)：不妨設(shè)，∵，∴，∴，欲證明，即證.∵，∴即證，∴原命題等價于證明，即證：，令，構(gòu)造，此問題等價轉(zhuǎn)化成為例1中思路2的解答，下略.法三：直接換元構(gòu)造新函數(shù)：設(shè)，則，反解出：，學(xué)*科網(wǎng)故，轉(zhuǎn)化成法二，下同，略.★.已知是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，且.（1）求證：；

（2）求證：.要證：，即證：，等價于，也即，等價于，令等價于，也等價于，等價于即證：令，則，又令，得，∴在單調(diào)遞減，，從而，在單調(diào)遞減，∴，即證原不等式成立.【點(diǎn)評】從消元的角度，消掉參數(shù)，得到一個關(guān)于的多元不等式證明，利用換元思想，將多元不等式變成了一元不等式，并通過構(gòu)造函數(shù)證明相應(yīng)不等式.學(xué)*科網(wǎng)★已知函數(shù)，若存在，使，求證：.再證：.∵，而，∴.證畢.★設(shè)函數(shù)的圖像與軸交于兩點(diǎn)，（1）證明：；（2）求證：.（2）證明：由，易知且，從而，令，則，由于，下面只要證明：，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像可知，只需證：兩點(diǎn)連線的斜率要比兩點(diǎn)連線的斜率小即可，又因?yàn)椋醋C：，令，則，∴在上單調(diào)遞減，∴，學(xué)*科網(wǎng)∴原不等式成立.★設(shè)函數(shù)，其圖像在點(diǎn)處切線的斜率為.當(dāng)時，令，設(shè)是方程的兩個根，是的等差中項，求證：(為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)）.★設(shè)函數(shù)，函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)，且是的圖像上不同的兩點(diǎn)，滿足，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：【解析】∵，又依題意，得在定義域上單調(diào)遞增，所以要證，只需證，即……不妨設(shè)，注意到，由函數(shù)單調(diào)性知，有，學(xué)*科網(wǎng)構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，當(dāng)時，，從而不等式式成立，故原不等式成立.★已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)在上的零點(diǎn)個數(shù)；（2）若有兩零點(diǎn)（），求證：.【點(diǎn)評】1.方程的變形方向：①是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，1是該函數(shù)的極值點(diǎn).②是函數(shù)的兩個零點(diǎn)，是該函數(shù)的極值點(diǎn).2.難點(diǎn)的證明依賴?yán)梅趴s.★已知.（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè)a>0，證明：當(dāng)0<x<a時，f(a+x)<f(a?x)；（Ⅲ）設(shè)x1,x2是【答案】（Ⅰ）f(x)在(0,a)上單調(diào)遞減，在(a,+鈭?/m:t>)上單調(diào)遞增；（Ⅱ）當(dāng)0<x<a時，f(a+x)<f(a鈭抶)；（Ⅲ）證明過程見解析（Ⅱ）令g(x)=f(a+x)?f(a?x)，則g(x)=1=2x?aln求導(dǎo)數(shù)，得g'當(dāng)時0<x<a，g'(x)<0，鈭磄(x)在而g(0)=0，鈭磄(x)<g(0)=0，故當(dāng)0<x<a時，f(a+x)<f(a?x)（Ⅲ）由（Ⅰ）可知，當(dāng)a鈮?時，函數(shù)y=f(x)至多有一個零點(diǎn)，故a>0，從而f(x)的最小值為f(a)，且f(a)<0，不妨設(shè)0<x1<x2由（Ⅱ）得f(2a?x從而x2>2a?x由（Ⅰ）知，f'(★已知函數(shù)（）.（Ⅰ）若，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若函數(shù)，對于曲線上的兩個不同的點(diǎn)，，記直線的斜率為，若，證明：.【答案】（1）（2）見解析由題設(shè)得.又，∴.不妨設(shè)，，則，則.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，學(xué)*科網(wǎng)故.又因?yàn)?，因此，?又由知在上單調(diào)遞減，所以，即.★已知函數(shù)，．（Ⅰ）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程；（Ⅱ）設(shè)，其中為非零實(shí)數(shù)，有兩個極值點(diǎn)，且，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求證：．【答案】（1）（2）見解析∴，解得∴切線的斜率為，∴切線方程為（Ⅱ），當(dāng)時，即時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，有兩個極值點(diǎn)，即，，即的范圍是點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)項之間大小關(guān)系，或利用放