專題04 以雙曲線為情境的最值或范圍問題（原卷版）-高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分必會(huì)十大基本題型

雙曲線必會(huì)十大基本題型講與練04以雙曲線為情境的最值或范圍問題典例分析類型一：數(shù)形結(jié)合解決與雙曲線交匯的最值問題1．已知雙曲線C的一條漸近線為直線，C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為，右焦點(diǎn)為F.若點(diǎn)M是雙曲線C右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，則的最小值為（

）A． B． C． D．2．已知點(diǎn)A在雙曲線C：（b>0）上，且雙曲線C的上?下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)B在∠F1AF2的平分線上，BF2⊥AB，若點(diǎn)D在直線l：，則|BD|的最小值為（

）A． B． C． D．3．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過作平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是（

）.A．4 B．5 C．6 D．3類型二：雙曲線與基本不等式交匯的最值或范圍問題1．已知雙曲線：的左?右焦點(diǎn)分別為，，其離心率為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交雙曲線于A，兩點(diǎn)，為雙曲線上異于A，的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，的斜率分別為，，則的最小值為(

)A． B． C． D．2．設(shè)為雙曲線：（，）的右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過做的一條漸近線的垂線，垂足為，的面積最小值為16，則的焦距的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．323．已知雙曲線C：，P為雙曲線C上的一點(diǎn)，若點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離之積為1，則雙曲線的半焦距c的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則的最小值為（

）A．20 B．22 C．24 D．25類型三：利用不等式思想解決與雙曲線有關(guān)最值或范圍問題1．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且、、成等比數(shù)列，為雙曲線右支上一點(diǎn)，為的內(nèi)切圓圓心.若實(shí)數(shù)滿足（表示相應(yīng)三角形面積）恒成立，則的取值范圍為（

）A．B．C．D．2．已知直線是雙曲線的兩條漸近線，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，若點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是，則點(diǎn)到漸近線的距離的取值范圍是__________．3．已知、分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，直線與圓有公共點(diǎn)，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.4．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是其漸近線上的一點(diǎn)，且以為直徑的圓過點(diǎn)，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，過點(diǎn)作軸的垂線與軸相交于點(diǎn)，設(shè)直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)、，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.類型四：利用函數(shù)思想解決與雙曲線有關(guān)最值或范圍問題1．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上位于第一象限的一點(diǎn)，線段過點(diǎn)且，的平分線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C2．已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是____________3．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為雙曲線的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，分別為，的內(nèi)心，則的取值范圍為__________．4．如圖，已知橢圓與等軸雙曲線共頂點(diǎn)，過橢圓上一點(diǎn)P（2，-1）作兩直線與橢圓相交于相異的兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ).直線AB與x，y軸正半軸相交，分別記交點(diǎn)為M，N.(1)若的面積為，求直線AB的方程；(2)若AB與雙曲線的左?右兩支分別交于Q，R，求的范圍.方法點(diǎn)撥求解與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題的方法(1)幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求解．(2)代數(shù)法：若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，將雙曲線的范圍(或最值)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍(或最值)問題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解．(3)不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關(guān)系式求解．鞏固練習(xí)1．已知是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的最短距離為（

）A．B．C．D．2．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．已知，是雙曲線上的一點(diǎn)，半焦距為，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，，直線MF與y軸交于點(diǎn)N，點(diǎn)P為雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，且，直線MP與以MN為直徑的圓交于點(diǎn)M?Q，則的最大值為（

）A．48 B．49 C．50 D．424．設(shè)雙曲線的焦距為2，若以點(diǎn)為圓心的圓過的右頂點(diǎn)且與的兩條漸近線相切，則長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．設(shè)雙曲線的離心率為，A，B是雙曲線C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，M是雙曲線C上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，直線斜率分別，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．已知、是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，是上異于、的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、．若直線與曲線沒有公共點(diǎn)，當(dāng)雙曲線的離心率取得最大值時(shí)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（多選題）若雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，焦距為10，右焦點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的焦點(diǎn)到漸近線的距離為4 B．的離心率為C．上的點(diǎn)到距離的最小值為2 D．過的最短的弦長(zhǎng)為8．（多選題）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，直線過點(diǎn)，與雙曲線的右支交于點(diǎn)，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則（

）A．直線是雙曲線的一條漸近線B．點(diǎn)與直線的距離的最小值為1C．線段的最短長(zhǎng)度為1D．線段的最短長(zhǎng)度為69．（多選題）已知P是雙曲線C：上任意一點(diǎn)，A，B是雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為k1，k2(k1k2≠0)，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且實(shí)數(shù)t的最大值為1，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線的方程為B．雙曲線的離心率為C．函數(shù)(a＞0，a≠1)的圖象恒過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)D．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若△PF1F2的面積為，則∠PF1F2=10．（多選題）已知為雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過作兩漸近線的垂線，垂足分別為，，記線段，的長(zhǎng)分別為，，則（

）A．若，的斜率分別為，，則 B．C．的最小值為 D．的最小值為11．（多選題）雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)關(guān)于另一條漸近線的對(duì)稱點(diǎn)恰為右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)，則的值可能為A．4 B． C．2 D．12．已知雙曲線C的方程為，，，雙曲線C上存在一點(diǎn)P，使得，則實(shí)數(shù)a的最大值為___________.13．已知橢圓，雙曲線與橢圓共焦點(diǎn)，且與橢圓在四個(gè)象限的交點(diǎn)分別為，則四邊形面積的最大值是___________.14．已知雙曲線，雙曲線上右支上有任意兩點(diǎn)、，滿足恒成立，則的取值范圍是________15．已知是雙曲線上的一點(diǎn)，半焦距為，若（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的取值范圍是___________.16．已知雙曲線的離心率為2，且雙曲線C與橢圓有相同的焦點(diǎn)．點(diǎn)P在雙曲線C上，過點(diǎn)P分別作雙曲線C兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，則的最小值為________17．設(shè)，是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，是雙曲線上任意一點(diǎn)，過作平分線的垂線，垂足為，則點(diǎn)到直線的距離的最大值是______.18．已知雙曲線（，）的左?右焦點(diǎn)分別為?，雙曲線的右頂點(diǎn)在圓上，且.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)動(dòng)直線與雙曲線恰有1個(gè)公共點(diǎn)，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于點(diǎn)?，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn).①求證：點(diǎn)與點(diǎn)的橫坐標(biāo)的積為定值；②求△周長(zhǎng)的最小值.19．已知雙曲線C：的左右頂點(diǎn)分別為，，兩條準(zhǔn)線之間的距離為1．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若點(diǎn)P為右準(zhǔn)線上一點(diǎn)，直線PA與C交于A，M，直線PB與C交于B，N，求點(diǎn)B到直線MN的距離的最大值．20．已知，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn)，．(1)求雙曲線的方程；(2)已知過點(diǎn)的直線交雙曲線左、右兩支于，兩點(diǎn)，交雙曲線的漸近線于，（點(diǎn)位于軸的右側(cè)）兩點(diǎn)，求的取值范圍．21．已知雙曲線C：的離心率為，過點(diǎn)作垂直于x軸的直線截雙曲線C所得弦長(zhǎng)為．(1)求雙曲線C的方程；(2)直線（）與該雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且A，B兩點(diǎn)都在以點(diǎn)為圓心的同一圓上，求m的取值范圍．22．在一張紙上有一圓：，定點(diǎn)，折疊紙片使圓C上某一點(diǎn)恰好與點(diǎn)M重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線折痕PQ，設(shè)折痕PQ與直線的交點(diǎn)為T.(1)求證：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡方程；(2)曲線上一點(diǎn)P，點(diǎn)A?B分別為直線：在第一象限上的點(diǎn)與：在第四象限上的點(diǎn)，若，，求面積的取值范圍.23．設(shè)雙曲線的右頂點(diǎn)為，虛軸長(zhǎng)為，兩準(zhǔn)線間的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)動(dòng)直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，已知，設(shè)點(diǎn)到動(dòng)直線的距離為，求的最大值.24．已知雙曲線：（，）交軸于兩點(diǎn)，是雙曲線上異于的任意一點(diǎn)，直線分別交