2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章立體幾何初步1.2.4平面與平面的位置關(guān)系第1課時(shí)兩平面平行講義蘇教版必修2

PAGE1-第1課時(shí)兩平面平行學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解平面與平面的兩種位置關(guān)系．了解兩個(gè)平面間的距離的概念．(重點(diǎn))2.理解空間中面面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能敏捷應(yīng)用．(重點(diǎn)、難點(diǎn))通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)一步提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng).1．平面與平面之間的位置關(guān)系位置關(guān)系平面α與平面β相交平面α與平面β平行公共點(diǎn)有一條公共直線沒(méi)有公共點(diǎn)符號(hào)表示α∩β＝aα∥β圖形表示2.平面與平面平行的判定定理自然語(yǔ)言假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行符號(hào)語(yǔ)言aα，bα，a∩b＝A，a∥β，b∥β?α∥β圖形語(yǔ)言3.平面與平面平行的性質(zhì)定理自然語(yǔ)言假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么所得的兩條交線平行符號(hào)語(yǔ)言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b圖形語(yǔ)言思索：兩平行平面內(nèi)的直線是否相互平行？提示：(1)已知兩個(gè)平面平行，明顯一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面，但是這兩個(gè)平面內(nèi)的全部直線并不肯定相互平行，它們可能是平行直線，也可能是異面直線，但不行能是相交直線．(2)該定理供應(yīng)了證明線線平行的另一種方法，應(yīng)用時(shí)要緊扣與兩個(gè)平行平面都相交的第三個(gè)平面．4．兩個(gè)平行平面間的距離(1)公垂線與公垂線段與兩個(gè)平行平面都垂直的直線，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線，它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段，叫做這兩個(gè)平行平面的公垂線段．(2)兩個(gè)平行平面間的距離兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等．公垂線段的長(zhǎng)度叫做兩個(gè)平行平面間的距離．1.思索辨析(1)若平面α內(nèi)的兩條直線分別與平面β平行，則α與β平行． ()(2)若平面α內(nèi)的兩條不平行的直線分別與平面β平行，則α與β平行． ()(3)若平面α內(nèi)有一條直線平行于平面β，平面β內(nèi)也有一條直線平行于α，則α與β平行． ()(4)若平面α內(nèi)的任何直線都與平面β平行，則α與β平行． ()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)平面AB1與平面D1C(2)平面BD1與平面AC1________；(3)若E，F(xiàn)，G，H分別為DD1，CC1，AA1，B1B的中點(diǎn)，則平面ABFE與平面BC1________；(4)平面D1C1HG與平面ABFE[答案](1)平行(2)相交(3)相交(4)平行3．平面α∥平面β，直線aα，直線bβ，則下列四種狀況：①a⊥b；②a∥b；③a與b異面；④a與b相交．其中可能出現(xiàn)的狀況有________種．3[只有a，b相交不行能．]4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，PA⊥平面AC，若PA＝2，則平面EFGH與平面ABCD的距離為_(kāi)_______．1[∵E，F(xiàn)，G，H為PA，PB，PC，PD的中點(diǎn)，∴平面EFGH∥平面ABCD，∵PA⊥平面AC，∴PA⊥平面EG，∴AE為平面AC與平面EG的公垂線段，AE＝eq\f(1,2)PA＝1.]面面平行判定定理的應(yīng)用【例1】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F(xiàn)，N分別是A1B1，B1C1，C1D1，D1A求證：(1)E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.思路探究：解答本題第(1)問(wèn)，只需證BD∥EF即可．第(2)問(wèn)，只需證MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB即可．[證明](1)連結(jié)B1D1.∵E，F(xiàn)分別是邊B1C1，C1D1的中點(diǎn)∴EF∥B1D1.而B(niǎo)D∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F(xiàn)，B，D四點(diǎn)共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN平面EFDB，BD平面EFDB，∴MN∥平面EFDB.連結(jié)MF.∵M(jìn)，F(xiàn)分別是A1B1，C1D1的中點(diǎn)，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD，MF＝AD.∴四邊形ADFM是平行四邊形，∴AM∥DF.又AM平面EFDB，DF平面EFDB，∴AM∥平面EFDB.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.證明兩平面平行的主要方法是用判定定理，即將“面面平行”轉(zhuǎn)化為“線面平行”再轉(zhuǎn)化為“線線平行”，詳細(xì)操作就是在其中一個(gè)面內(nèi)找尋出兩條相交直線，均平行于另一個(gè)平面，而找尋這兩條相交直線時(shí)，應(yīng)結(jié)合條件，常用到中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)、比例線段等平面幾何學(xué)問(wèn)．1．如圖，已知四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，點(diǎn)M，N，Q分別在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.求證：平面MNQ∥平面PBC.[證明]∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，∴MQ∥AD，NQ∥BP.∵BP平面PBC，NQ平面PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面ABCD為平行四邊形，∴BC∥AD，∴MQ∥BC，∵BC平面PBC，MQ平面PBC，∴MQ∥平面PBC.又MQ∩NQ＝Q，依據(jù)平面與平面平行的判定定理，得平面MNQ∥平面PBC.面面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分別在α，β內(nèi)，線段AA′，BB′，CC′共點(diǎn)于O，O在α，β之間，若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90°，OA∶OA′＝3∶2.求△A′B′C′的面積．思路探究：先利用面面平行的性質(zhì)得線線平行，再利用平行線分線段成比例求△A′B′C′的面積．[解]相交直線AA′，BB′所在平面和兩平行平面α，β分別相交于AB，A′B′.由面面平行的性質(zhì)定理可得AB∥A′B′.同理相交直線BB′，CC′確定的平面和平行平面α，β分別相交于BC，B′C′，從而B(niǎo)C∥B′C′.同理易證AC∥A′C′.∴∠BAC與∠B′A′C′的兩邊對(duì)應(yīng)平行且方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′.同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.∴△ABC與△A′B′C′的三內(nèi)角分別相等，∴△ABC∽△A′B′C′，∵AB∥A′B′，AA′∩BB′＝O，∴在平面ABA′B′中，△AOB∽△A′OB′.∴eq\f(A′B′,AB)＝eq\f(OA′,OA)＝eq\f(2,3).而S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝eq\f(1,2)×2×1＝1.∴eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(A′B′,AB)))eq\s\up12(2)，∴S△A′B′C′＝eq\f(4,9)S△ABC＝eq\f(4,9)×1＝eq\f(4,9).通過(guò)面面平行的性質(zhì)定理將面面平行轉(zhuǎn)化得到線線平行，這是干脆利用面面平行的性質(zhì)定理．利用面面平行的關(guān)鍵是要找到過(guò)已知的直線與已知的直線平行的平面．2.如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1，D是BC的中點(diǎn)，D1是B1C1的中點(diǎn)，設(shè)平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2.求證：l1∥l[證明]連結(jié)D1D(圖略)，∵D與D1分別是BC與B1C1的中點(diǎn)∴DD1BB1.又BB1AA1，∴DD1AA1，∴A1D1∥AD.又平面A1B1C1∥平面ABC且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1平面A1D1B∩平面ABC＝l1，∴A1D1∥l1.同理可證AD∥l2，又A1D1∥AD，即A1D1∥l2，∴l(xiāng)1∥l2.面面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．過(guò)平面外一條直線可以作幾個(gè)與已知平面平行的平面？[提示]當(dāng)直線與平面相交時(shí)，不能作出符合題意的平面；當(dāng)直線與平面平行時(shí)，可作出唯一的一個(gè)符合題意的平面．2．平面α∥平面β，△ABC和△A′B′C′分別在平面α和平面β內(nèi)，若對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，則這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系？[提示]這兩個(gè)三角形相像，由于對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn)，則AB與A′B′共面，由面與面平行的性質(zhì)知AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′，故兩個(gè)三角形相像．【例3】如圖所示，AB，CD是夾在平行平面α，β之間的異面線段，且A，C∈α，B，D∈β，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FD).求證：EF∥平面β.思路探究：利用面面平行的性質(zhì)，將證明線面平行轉(zhuǎn)化為證明面面平行．[證明]如圖所示，連結(jié)BC并在BC上取一點(diǎn)G，使得eq\f(AE,EB)＝eq\f(CG,GB)，則在△BAC中，EG∥AC，而AC平面α，EG平面α，∴EG∥α.又α∥β，∴EG∥β.同理可得GF∥BD，而B(niǎo)Dβ，GFβ，∴GF∥β.又EG∩GF＝G，∴平面EGF∥β.又EF平面EGF，∴EF∥平面β.線面平行與面面平行性質(zhì)定理著重體現(xiàn)了平行間的轉(zhuǎn)化思想．轉(zhuǎn)化是綜合應(yīng)用的關(guān)鍵．3．如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC的中點(diǎn)，求證：AB1∥平面BEC1[證明]如圖，取A1C1的中點(diǎn)F，連結(jié)AF，B1∵E為AC的中點(diǎn)，∴AF∥C1E.∵AF平面BEC1，C1E平面BEC1，∴AF∥平面BEC1.連結(jié)EF，由E，F(xiàn)分別是AC，A1C1的中點(diǎn)可知EFAA1BB1，∴BE∥B1F，又B1F平面BEC1，BE平面BEC1，∴B1F∥平面BEC1，∵B1F∩AF＝∴平面BEC1∥平面AB1F∵AB1平面AB1F，∴AB1∥平面BEC1.1．本節(jié)課的重點(diǎn)是能應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和平面與平面平行的性質(zhì)定理來(lái)求解所給問(wèn)題，理解兩個(gè)定理的含義，并會(huì)應(yīng)用．難點(diǎn)是運(yùn)用兩個(gè)定理解題．2．本節(jié)課重點(diǎn)駕馭的規(guī)律方法(1)推斷或證明平面與平面平行的方法．(2)已知中面面平行的常用方法．3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是運(yùn)用定理推斷或證明平行時(shí)條件排列不全而致錯(cuò)．1．設(shè)直線l，m，平面α，β，下列條件能得出α∥β的是()A．lα，mα，且l∥β，m∥βB．lα，mβ，且l∥mC．l⊥α，m⊥β，且l∥mD．l∥α，m∥β，且l∥mC[A不正確，α與β有可能相交，也有可能平行；B不正確，α與β有可能相交，也有可能平行；C正確，∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α，又m⊥β，∴α∥β；D不正確，α與β有可能相交，也有可能平行．]2．一個(gè)平面內(nèi)有多數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是________．平行或相交[有多數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面并不能保證平面內(nèi)沒(méi)有一條直線與另一個(gè)平面相交．]3．若不共線的三點(diǎn)到平面α的距離相等，則這三點(diǎn)確定的平面β與α之間的關(guān)系是________．平行或相交[若三點(diǎn)在平面α的同側(cè)，則α∥β；若三點(diǎn)在平面α的異側(cè)，則α與β相交．]4．如圖所示，兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，求證：M