河北省部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期摸底考試數(shù)學(xué)試題

2023——2024學(xué)年河北省部分學(xué)校高三摸底考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知全集，，則集合為A. B. C. D.2.已知直線、、與平面、，下列命題正確的是A.若，，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則3.若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是，則的值為A. B. C. D.4.在黨的二十大報(bào)告中，習(xí)近平總書(shū)記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”，促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門(mén)積極響應(yīng)黨中央號(hào)召，近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專(zhuān)家前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作，則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專(zhuān)家的概率為A. B. C. D.5.蚊香具有悠久的歷史，我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫(huà)法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段，作一個(gè)等邊三角形，然后以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（第一段圓?。僖渣c(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧……以此類(lèi)推，當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí)，“蚊香”的長(zhǎng)度為A. B. C. D.6.已知圓：，直線與圓交于，兩點(diǎn).若為直角三角形，則A. B. C. D.7.現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成，其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3，方差為5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為3.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組，則新的一組數(shù)據(jù)的方差為A.3.5 B.4 C.4.5 D.58.“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn)，的曼哈頓距離為：.已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)在直線：上，則的最小值為A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.設(shè)集合，，則下列圖象能表示集合到集合的函數(shù)關(guān)系的有A. B. C. D.10.已知二項(xiàng)展開(kāi)式，下列說(shuō)法正確的有A.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是56B.的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0C.的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是70D.，其中為虛數(shù)單位11.在中，若，則A.對(duì)任意的，都有 B.對(duì)任意的，都有C.存在，使成立 D.存在，使成立三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知單位向量，滿(mǎn)足，則______.13.定義兩個(gè)點(diǎn)集、之間的距離集為，其中表示兩點(diǎn)、之間的距離，已知，，，若，則的值為_(kāi)_____.14.已知：，過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線交于、兩點(diǎn)（在第一象限內(nèi)），過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，現(xiàn)將所在平面以軸為翻折軸向紙面外翻折，使得，則幾何體外接球的表面積為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15.（13分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值.16.（15分）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令，為數(shù)列的前項(xiàng)積，證明：.17.（15分）最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功，且每次試驗(yàn)的成功概率為.現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若試驗(yàn)成功，則試驗(yàn)結(jié)束；若試驗(yàn)不成功，則繼續(xù)試驗(yàn)，且最多試驗(yàn)8次.記為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù)，的數(shù)學(xué)期望為.（1）證明：；（2）某公司意向投資該產(chǎn)品，若，每次試驗(yàn)的成本為元，若試驗(yàn)成功則獲利元，則該公司應(yīng)如何決策投資？請(qǐng)說(shuō)明理由.18.（17分）已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，離心率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)（其中點(diǎn)在軸上方），的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）如圖，將平面沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面）與軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面）互相垂直.（1）若，求異面直線和所成角的余弦值；（2）是否存在，使得折疊后的周長(zhǎng)為？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19.（17分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足：對(duì)于任意的，都有，則稱(chēng)函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)；（直接寫(xiě)出結(jié)論）（2）已知函數(shù)，判斷是否存在，，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域?yàn)?函數(shù)，滿(mǎn)足，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).求證：.

2023—2024學(xué)年河北省部分學(xué)校高三摸底考試數(shù)學(xué)試題評(píng)分參考一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。1.C2.D3.A4.B5.D6.A7.D8.D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得3分，有選錯(cuò)的得0分。9.BD10.BC11.AD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12. 13. 14.四、解答題：本題共5小題，共77分。15.解：（1）的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)，解得：，當(dāng)，解得：.∴在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)；（2）的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，令，得，令時(shí)，得，∴的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，.16.解：（1）由是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，故，即，當(dāng)時(shí)，，故，當(dāng)時(shí)，，符合上式，故；（2）由，故，則，由，故，則.17.解：（1）由題意，故，，分布列如下：12345678所以的數(shù)學(xué)期望，記，作差可得，，則（2）由（1）可知，則試驗(yàn)成本的期望小于元，18.解：（1）由橢圓的定義知：，所以的周長(zhǎng)，所以，又橢圓離心率為，所以，所以，由題意，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①由直線：與，聯(lián)立求得，（因?yàn)辄c(diǎn)在軸上方）以及，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，折疊后原軸負(fù)半軸，原軸，原軸正半軸所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，.記異面直線和所成角為，則；②設(shè)折疊前，，折疊后，在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為，，，，由，，故，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得，，在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，所以，（i）又所以，（ii）由（i）（ii）可得，因?yàn)?，所以，即，所以，解得，因?yàn)椋?19.解：（1）因?yàn)?，則，又，所以，故函數(shù)具有性質(zhì)；因?yàn)?，則，又，，故不具有性質(zhì).（2）若函數(shù)具有性質(zhì)，則，即，因?yàn)?，所以，所以；若，不妨設(shè)，由，得，只要充分大時(shí)，將大于1，而的值域?yàn)?，故等式不可能成立，所以必有成立，即，因?yàn)?，所以，所以，則，此時(shí)，則，而，即有成立，所以存在，使函數(shù)具有性質(zhì).（3）證明：由函數(shù)具有性質(zhì)及（2）可知，，由可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)