全套電子課件：數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)

緒論緒論chapter0ssss0.1引言chapter0一、數(shù)學(xué)物理方程的概念二、用數(shù)理方法研究物理問(wèn)題的步驟三、數(shù)學(xué)物理方程的特點(diǎn)

數(shù)學(xué)物理方程所研究的內(nèi)容和所涉及的領(lǐng)域十分廣泛，它深刻地描繪了自然界中的許多物理現(xiàn)象和普遍規(guī)律.一、數(shù)學(xué)物理方程的概念

數(shù)學(xué)物理方程是數(shù)學(xué)理論與物理學(xué)中實(shí)際問(wèn)題之間的橋梁.一、數(shù)學(xué)物理方程的概念

數(shù)學(xué)物理方程是指從物理問(wèn)題中導(dǎo)出的反映客觀物理量在各個(gè)地點(diǎn)、各個(gè)時(shí)刻之間相互制約關(guān)系的一些偏微分方程.1.數(shù)學(xué)物理方程的概念2.數(shù)學(xué)物理方程的分類按代表的物理過(guò)程(或狀態(tài))分為三類:一、數(shù)學(xué)物理方程的概念波動(dòng)方程：連續(xù)介質(zhì)的振動(dòng)過(guò)程，電磁場(chǎng)振蕩問(wèn)題擴(kuò)散(或熱傳導(dǎo))方程：研究熱傳導(dǎo)，擴(kuò)散；電介質(zhì)內(nèi)電磁場(chǎng)的傳播；液體流體的流動(dòng)泊松方程一、數(shù)學(xué)物理方程的概念1）描述振動(dòng)和波動(dòng)特征的波動(dòng)方程一維：二維：三維：一、數(shù)學(xué)物理方程的概念當(dāng)為零時(shí)，稱上述方程為齊次方程。當(dāng)不為零時(shí)，稱上述方程為非齊次方程。2）反映輸運(yùn)過(guò)程的擴(kuò)散(或熱傳導(dǎo))方程一、數(shù)學(xué)物理方程的概念一維：二維：三維：一、數(shù)學(xué)物理方程的概念當(dāng)為零時(shí)，稱上述方程為齊次方程。當(dāng)不為零時(shí)，稱上述方程為非齊次方程。一、數(shù)學(xué)物理方程的概念3）描述穩(wěn)定過(guò)程(或狀態(tài))的泊松方程二維：三維：把物理問(wèn)題翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言的過(guò)程.1.提出定解問(wèn)題:二、用數(shù)理方法研究物理問(wèn)題的步驟泛定方程(一般規(guī)律)定解條件(具體條件)建立數(shù)學(xué)模型解數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證解的正確性2.求解:二、用數(shù)理方法研究物理問(wèn)題的步驟求解數(shù)理方程的方法:1）分離變量法;2）行波法;3）積分變換法;4）格林函數(shù)法;3.分析解答:二、用數(shù)理方法研究物理問(wèn)題的步驟

求出了解答后,分析解的物理含義并論證在數(shù)學(xué)上的存在性、唯一性、穩(wěn)定性.三、數(shù)學(xué)物理方程的特點(diǎn)1）數(shù)理方程與物理學(xué)中許多問(wèn)題有緊密聯(lián)系.2）數(shù)理方程要用到數(shù)學(xué)中許多的成果.一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)一些典型方程和定解條件的推導(dǎo)chapter11、建立描述物理過(guò)程的微分方程.2、把一個(gè)特定的物理現(xiàn)象具有的具體條件用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái).三類典型方程及其定解問(wèn)題的提出；偏微分方程的一些基本知識(shí)與定值問(wèn)題的適定性概念。教學(xué)基本要求

三類典型方程及其定解問(wèn)題，偏微分方程的一些基本知識(shí)與定值問(wèn)題的適定性概念。三類典型方程及其定解問(wèn)題。重點(diǎn)：難點(diǎn)：本章內(nèi)容:ssss1.1初始條件與邊界條件ssss1.2ssss1.3基本方程的建立定解問(wèn)題的提法二階線性偏微分方程的分類1.4sssschapter1常用的物理學(xué)定律ssss1.00建立方程時(shí)使用1).牛頓第二定律:常用的物理學(xué)定律2).HOOKE定律:勁度系數(shù)與形變方向相反3).電磁感應(yīng)定律:常用的物理學(xué)定律回路中串聯(lián)線圈匝數(shù)自感系數(shù)4).熱傳導(dǎo)定律:常用的物理學(xué)定律表示溫度下降方向熱傳導(dǎo)系數(shù)5).擴(kuò)散定律:常用的物理學(xué)定律表示濃度減小的方向擴(kuò)散系數(shù)ssss1.1基本方程的建立chapter1一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出二、穩(wěn)定場(chǎng)的導(dǎo)出三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出四、小結(jié)波動(dòng)方程擴(kuò)散(或熱傳導(dǎo))方程泊松方程弦的振動(dòng)1、物理模型例1一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出

設(shè)有一根均勻柔軟的細(xì)弦,平衡時(shí)沿直線拉緊,而且除受不隨時(shí)間而變的張力作用及弦本身的重力外,不受外力影響.研究弦作微小橫向振動(dòng)的規(guī)律.一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出2、討論分析“橫向”----指全部運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)在一個(gè)平面上,且弦上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向垂直于x方向.

“微小”----振動(dòng)的幅度及弦在任意位置的切線的傾角很小,從而它們的高于一次方的項(xiàng)都忽略.一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出研究方法:微積分思想、任意性

把弦上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)看成小弧段的運(yùn)動(dòng),再考慮小弧段趨于零的情況.設(shè)弦上具有橫坐標(biāo)為x的點(diǎn)在t時(shí)刻的位置為M,位移NM記作u.

任取一段弧,長(zhǎng)度為,為弦的線密度,弧段兩端的張力為一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出3、建立方程x方向:1).弧段的受力u方向:弧段的重力一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出2).根據(jù)牛頓定律弧段的質(zhì)量弧段在t時(shí)刻沿u方向運(yùn)動(dòng)的加速度一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出3).化簡(jiǎn)整理當(dāng)時(shí)主頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)退出數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出得:忽略,得令齊次一維波動(dòng)方程一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出如果在振動(dòng)過(guò)程中,弦受到一個(gè)與弦的振動(dòng)方向平行的外力,且在t時(shí)刻弦上

處的外力密度為,根據(jù)牛頓定律一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出非齊次一維波動(dòng)方程自由項(xiàng)令主頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)退出數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出傳輸線方程1、物理模型例2在高頻傳輸線,研究導(dǎo)體內(nèi)電流流動(dòng)的規(guī)律一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出電流強(qiáng)度電壓—每一回路單位的串聯(lián)電阻；—每一回路單位的串聯(lián)電感；—每單位長(zhǎng)度的分路電容；—每單位長(zhǎng)度的分路電導(dǎo)。2、討論分析傳輸線方程例2一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出3、建立方程由基爾霍夫定律有：傳輸線方程例2一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出化簡(jiǎn)整理傳輸線方程傳輸線方程例2一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出令一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出高頻傳輸線方程傳輸線方程例2令傳輸線方程例2

由此可見(jiàn)，同一個(gè)方程可以用來(lái)描述不同的物理現(xiàn)象.一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出電磁場(chǎng)方程1、物理模型例3Maxwell方程組物質(zhì)方程

----介電常數(shù)----介質(zhì)磁導(dǎo)率一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出假定介質(zhì)是均勻而且是各向同性的,

均為常數(shù).

方程同時(shí)包含和．

2、討論分析若消去即得到所滿足的方程

若消去即得到所滿足的方程

電磁場(chǎng)方程例3一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出3、建立方程消去即得到所滿足的方程

取旋度

電磁場(chǎng)方程例3一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出化簡(jiǎn)整理電磁場(chǎng)方程例3一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出而關(guān)于且電磁場(chǎng)方程例3一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出3、建立方程消去即得到所滿足的方程

關(guān)于電磁場(chǎng)方程例3一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出令電磁場(chǎng)方程例3三維波動(dòng)方程一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出電磁場(chǎng)方程例3其中

是或

的任意一個(gè)分量.三維波動(dòng)方程的標(biāo)量形式

一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出二維波動(dòng)方程三維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程一、波動(dòng)方程的導(dǎo)出例3靜電場(chǎng)的電位的微分方程或二、泊松方程的導(dǎo)出例3非齊次方程稱為泊松（Poisson）方程

方程稱為拉普拉斯（Laplace）方程

二、泊松方程的導(dǎo)出三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出例4熱傳導(dǎo)方程1、物理模型

推導(dǎo)均勻且各向同性的導(dǎo)熱體在傳熱過(guò)程中溫度所滿足的微分方程。

例4熱傳導(dǎo)方程2、討論分析三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出

在物體中任取一閉曲面，它所包圍的區(qū)域記作。假設(shè)在時(shí)刻區(qū)域內(nèi)點(diǎn)處的溫度為，為曲面元素的法向（從內(nèi)指向外）。

例4熱傳導(dǎo)方程三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出3、建立方程1).時(shí)刻到時(shí)刻，通過(guò)曲面流入?yún)^(qū)域的全部熱量為

在時(shí)間間隔內(nèi)區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)溫度從變化到需要的熱量為熱傳導(dǎo)方程三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出2).根據(jù)熱量守恒閉曲面熱傳導(dǎo)方程三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出3).化簡(jiǎn)整理主頁(yè)上一頁(yè)下一頁(yè)退出數(shù)學(xué)物理方程與特殊函數(shù)熱傳導(dǎo)方程三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程由于時(shí)間間隔及區(qū)域并且被積函數(shù)是連續(xù)的，上式左右恒等的條件是它們的被積函數(shù)恒等，即都是任意取的，三維熱傳導(dǎo)方程三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出若物體內(nèi)有熱源，其強(qiáng)度為則相應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程為熱傳導(dǎo)方程，其中三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程一維熱傳導(dǎo)方程二維熱傳導(dǎo)方程三、熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出四、小結(jié)推導(dǎo)數(shù)學(xué)物理方程一般常用的方法有：局部法、整體法、演化法．１．局部法即是從系統(tǒng)中劃出任意一小部分．例如：在推導(dǎo)弦振動(dòng)方程時(shí)，先選取弦中的一小段，再分析其余部分對(duì)這一小段弦的作用，以及外力對(duì)這小段弦的作用力，然后應(yīng)用牛頓定律，得出弦振動(dòng)方程．四、小結(jié)２．整體法是從系統(tǒng)中取出一塊有限大小的體積，由于體積法是任意的，可以從積分形式的積分元構(gòu)成的等式導(dǎo)出偏微分方程．３．演化法是對(duì)具體問(wèn)題根據(jù)基本方程推演出的偏微分方程．例如：從麥克斯韋方程組演化出波動(dòng)方程．四、小結(jié)練習(xí)題：

一根完全柔軟的弦，平衡時(shí)平行于地面沿著一條直線繃緊，弦受到地球重力的作用．試求弦作橫向振動(dòng)的方程．答案：chapter1一、概念二、初始條件三、邊界條件初始條件與邊界條件ssss1.2四、小結(jié)

提出的條件應(yīng)該能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)或者邊界上的約束情況.用以說(shuō)明初始狀態(tài)的條件稱為初始條件.

用以說(shuō)明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件.1).初始條件2).邊界條件一、概念

弦振動(dòng)問(wèn)題的初始條件即弦在開(kāi)始時(shí)刻的位移及速度.

初位移

初速度初始條件:弦振動(dòng)問(wèn)題二、初始條件

熱傳導(dǎo)方程的初始條件即開(kāi)始時(shí)刻物體溫度的分布情況

.

表示在初始條件:時(shí)物體內(nèi)任一點(diǎn)

處的溫度.

熱傳導(dǎo)方程二、初始條件

泊松方程與拉普拉斯方程都是描述穩(wěn)恒狀態(tài)的,與初始狀態(tài)無(wú)關(guān),不提初始條件.泊松方程與拉普拉斯方程二、初始條件

從物理學(xué)得知,弦在振動(dòng)時(shí),其端點(diǎn)(以表示這個(gè)端點(diǎn))所受的約束情況,通常有以下三種類型:1).弦振動(dòng)問(wèn)題的邊界條件

第一,固定端,即弦在振動(dòng)過(guò)程中這個(gè)端點(diǎn)始終保持不動(dòng).對(duì)應(yīng)于這種狀態(tài)的邊界條件為或

三、邊界條件

第二,自由端,即弦在這個(gè)端點(diǎn)不受位移方向的外力,從而在這個(gè)端點(diǎn)弦在位移方向的張力應(yīng)該為零.由1.1中例1的推導(dǎo)過(guò)程可知,此時(shí)所對(duì)應(yīng)的邊界條件為即

或

三、邊界條件

就表示彈性支承的應(yīng)變,由虎克(Hooke)定律可知,這時(shí)弦在

第三,彈性支承端,即弦在這個(gè)端點(diǎn)被某個(gè)彈性體所支承.設(shè)彈性支承原來(lái)的位置為

則

即

或

處沿位移方向的張力

其中為彈性體的倔強(qiáng)系數(shù),

三、邊界條件2).導(dǎo)熱問(wèn)題的邊界條件三、邊界條件

在導(dǎo)熱過(guò)程中，物上的熱量流速始終為零，這時(shí)從例4的推導(dǎo)過(guò)程中可知，在邊界上必滿足體與周圍的介質(zhì)處于絕熱狀態(tài)，或者說(shuō)，在上三、邊界條件其中是兩介質(zhì)間的熱交換系數(shù)。

如果物體的內(nèi)部和周圍的介質(zhì)通過(guò)邊界有熱量交換，以表示和物體接觸處的介質(zhì)溫度，這時(shí)利用另一個(gè)熱傳導(dǎo)實(shí)驗(yàn)定律：從一介質(zhì)流入另一介質(zhì)的熱量和兩介質(zhì)間的溫度差成正比即

三、邊界條件三、邊界條件三、邊界條件例

彈性桿原長(zhǎng)為，一端固定，另一端離平衡位置而靜止，放手任其振動(dòng)，如圖，將其平衡位置選在軸上，則其定解條件為例思考若端自由,則邊界條件如何寫(xiě)？四、小結(jié)初始條件的個(gè)數(shù)的確定：關(guān)于時(shí)間

的階偏微分方程要給出個(gè)初始條件才能確定一個(gè)特解．

邊界條件的個(gè)數(shù)的確定：關(guān)于時(shí)間

的階偏微分方程要給出個(gè)邊界條件．

四、小結(jié)練習(xí)題：考慮長(zhǎng)為的均勻桿的導(dǎo)熱問(wèn)題．答案：若１．桿的兩端溫度保持零度；２．桿的一端為恒溫零度，另一端絕熱．寫(xiě)出桿在上面兩種情況下的邊界條件．chapter1一、概念二、定解問(wèn)題與始值問(wèn)題三、線性方程與疊加原理定解問(wèn)題的提法ssss1.3四、小結(jié)

方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階都是二階，而且它們對(duì)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的，這種方程稱為二階偏微分方程.

如果一個(gè)函數(shù)具有某偏微分方程中需要的各階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且代入該方程能使之變?yōu)楹愕仁?，則此函數(shù)稱為該方程的解

.一、概念1).二階偏微分方程2).方程的解

初始條件和邊界條件都稱為定解條件

.

只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題稱為始值問(wèn)題，沒(méi)有初始條件，只有邊界條件的問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題。

既有初始條件也有邊界條件的定解問(wèn)題稱為混合問(wèn)題二、定解問(wèn)題與始值問(wèn)題

把某個(gè)偏微分方程和相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問(wèn)題。幾個(gè)基本概念

一個(gè)定解問(wèn)題是否符合實(shí)際情況，從數(shù)學(xué)的角度，可以從三個(gè)方面加以檢驗(yàn)：二、定解問(wèn)題與始值問(wèn)題1).解的存在性，即歸結(jié)出來(lái)的定解問(wèn)題是否有解.2).解的惟一性，即看是否只有一個(gè)解；3).解的穩(wěn)定性，即看當(dāng)定解條件有微小變動(dòng)時(shí)，解是否相應(yīng)只有微小變動(dòng)，如果確實(shí)如此，此解便稱為穩(wěn)定的，否則得的解就無(wú)實(shí)用價(jià)值.

如果一定解問(wèn)題存在惟一且穩(wěn)定的解，則此問(wèn)題稱為適定的.三、線性方程與疊加原理波動(dòng)方程：擴(kuò)散(或熱傳導(dǎo))方程：拉普拉斯方程：

一個(gè)含

個(gè)自變量的二階線性偏微分方程的最一般形式應(yīng)該為:三、線性方程與疊加原理

其中只是的已知函數(shù)，與未知函數(shù)無(wú)關(guān)。兩個(gè)自變量的情形:

三、線性方程與疊加原理疊加原理:收斂，并且能夠逐項(xiàng)微分兩次，其中為任意常數(shù)，則一定是方程若是方程的解，而且級(jí)數(shù)的解.三、線性方程與疊加原理分兩次，一定也是此方程的解.

特別是，如果是二階線性齊次方程的解，則只要收斂，并且可以逐項(xiàng)微三、線性方程與疊加原理四、小結(jié)

疊加原理使得以后在使用分離變量法時(shí)能夠?qū)⒎蛛x變量法得到的線性無(wú)關(guān)的解疊加在一起,去構(gòu)造原問(wèn)題的解.chapter1二階線性偏微分方程的分類ssss1.4目的：從數(shù)學(xué)上表示出二階線性偏微分方程的共性與差異.一、二階線性偏微分方程的分類二、兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)本節(jié)內(nèi)容三、兩個(gè)自變量二階常系數(shù)方程四、小結(jié)設(shè)為自變量，二階線性偏微分方程的形狀：二階線性偏微分方程的分類

其中是在區(qū)域Ω上的實(shí)用函數(shù)，且連續(xù)可微。二階線性偏微分方程的分類則稱若在區(qū)域Ω

上某點(diǎn)在點(diǎn)為雙曲型的。二階線性偏微分方程的分類則稱若在區(qū)域Ω

上某點(diǎn)在點(diǎn)為拋物型的。二階線性偏微分方程的分類則稱若在區(qū)域Ω

上某點(diǎn)在點(diǎn)為橢圓型的。二階線性偏微分方程的分類時(shí)，方程稱為雙曲型;時(shí)，方程稱為拋物型;時(shí)，方程稱為橢圓型;兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)作變量變換在假設(shè)變換是二次連續(xù)可微的,且函數(shù)行列式(1)(1)不等于零.兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)由于(2)兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)故方程(2)中的為設(shè)法選取變換(1),使得方程(2)的二階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)化為最簡(jiǎn)形式.兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)引理1如果是方程的一般積分.是方程的一個(gè)特解．則(a)兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)引理2如果是方程的一般積分.則滿足方程兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)如果是方程的一簇曲線積分.則就是方程的解.兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)方程(的積分曲線)叫做方程的特征方程(特征線).兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)分解方程得(3)(4)雙曲型偏微分方程的化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)

方程(3)和(4)的右端是相異的實(shí)值,故積分曲線為兩族不同的實(shí)曲線,依次表示為及令則(5)兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)假設(shè)及不同時(shí)為零,則變換(5)是可逆的.且方程(2)可以化為雙曲型方程的第一標(biāo)準(zhǔn)形式其中(6)兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)在方程(6)再作自變量變換方程可以化為另一種標(biāo)準(zhǔn)形式兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.例1解當(dāng)時(shí),方程為雙曲型的,其特征方程為從而有兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)積分得兩族積分曲線例1作變換兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)例1代入方程化簡(jiǎn)得拋物型偏微分方程的化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)

方程(3)和(4)重合,故得到方程(a)一個(gè)一般積分令又兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)得拋物型方程的標(biāo)準(zhǔn)形式其中兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)將方程化為例2解方程為雙曲型的,其特征方程為標(biāo)準(zhǔn)形式.積分得作變換兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)例2代入方程化簡(jiǎn)得標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓型偏微分方程的化簡(jiǎn)兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)

方程(3)和(4)的右端是復(fù)數(shù),故不存在實(shí)的特征曲線,方程(a)的一般積分為復(fù)數(shù).設(shè)是方程(3)的一般積分,且不同時(shí)為零.兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)由于作變換滿足方程代入分離實(shí)部和虛部,得兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式其中兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式.例3解當(dāng)時(shí),方程為雙曲型的;時(shí),方程為橢圓型的;當(dāng)當(dāng)時(shí),方程為拋物型的.其特征方程為兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)在橢圓型區(qū)域作變換內(nèi),化為因此得例3原方程化為兩個(gè)自變量的二階方程的化簡(jiǎn)在雙曲型區(qū)域作變換內(nèi),特征方程為因此得例3原方程化為如果方程的符號(hào),通過(guò)變換,方程可以化為以下三種形式:的系數(shù)全部是常系數(shù),按照雙曲型:兩個(gè)自變量二階常系數(shù)方程或兩個(gè)自變量二階常系數(shù)方程拋物型:橢圓型:三類方程中的系數(shù)均為常數(shù).弦振動(dòng)方程例4解特征方程為故特征直線為兩個(gè)自變量二階常系數(shù)方程作變換弦振動(dòng)方程化為四、小結(jié)判斷方程的類型并化為標(biāo)準(zhǔn)形式的步驟:1.按判斷方程的類型.2.解出特征方程式,根據(jù)方程類型,選擇適當(dāng)?shù)淖儞Q式,求出變換后的各項(xiàng)系數(shù),把方程化為標(biāo)準(zhǔn)類型.ssss1.5本章小結(jié)chapter1主要內(nèi)容小結(jié)一、主要內(nèi)容用數(shù)理方程研究物理問(wèn)題提出定解問(wèn)題泛定方程:三類典型方程定解條件初始條件邊界條件求解1)分離變量法;2)行波法;3)積分變換法;4)格林函數(shù)法;5)變分法;分析解答物理意義適定性:存在性、唯一性、穩(wěn)定性一、主要內(nèi)容三類典型方程:波動(dòng)方程：連續(xù)介質(zhì)的振動(dòng)過(guò)程，電磁場(chǎng)振蕩問(wèn)題擴(kuò)散(或熱傳導(dǎo))方程：研究熱傳導(dǎo)，擴(kuò)散；電介質(zhì)內(nèi)電磁場(chǎng)的傳播；液體流體的流動(dòng)泊松方程1)、描述振動(dòng)和波動(dòng)特征的波動(dòng)方程一維：二維：三維：一、主要內(nèi)容當(dāng)為零時(shí)，稱上述方程為齊次方程。當(dāng)不為零時(shí)，稱上述方程為非齊次方程。一、主要內(nèi)容2)、反映輸運(yùn)過(guò)程的擴(kuò)散(或熱傳導(dǎo))方程一維：二維：三維：一、主要內(nèi)容當(dāng)為零時(shí)，稱上述方程為齊次方程。當(dāng)不為零時(shí)，稱上述方程為非齊次方程。一、主要內(nèi)容3)、描述穩(wěn)定過(guò)程(或狀態(tài))的泊松方程二維：三維：一、主要內(nèi)容

提出的條件應(yīng)該能夠用來(lái)說(shuō)明某一具體物理現(xiàn)象的初始狀態(tài)或者邊界上的約束情況.用以說(shuō)明初始狀態(tài)的條件稱為初始條件.

用以說(shuō)明邊界上的約束情況的條件稱為邊界條件.1).初始條件2).邊界條件一、主要內(nèi)容初始條件和邊界條件都稱為定解條件。

只有初始條件，沒(méi)有邊界條件的定解問(wèn)題稱為始值問(wèn)題，沒(méi)有初始條件，只有邊界條件的問(wèn)題稱為邊值問(wèn)題。

既有初始條件也有邊界條件的定解問(wèn)題稱為混合問(wèn)題。

把某個(gè)偏微分方程和相應(yīng)的定解條件結(jié)合在一起，就構(gòu)成了一個(gè)定解問(wèn)題。一、主要內(nèi)容分離變量法分離變量法chapter2

把求解偏微分方程的定解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常微分方程的問(wèn)題.教學(xué)基本要求(1)分離變量法的基本步驟；(2)非齊次方程齊次邊界條件的固有函數(shù)法；(3)非齊次邊界條件的處理；分離變量法的基本步驟、非齊次方程齊次邊界條件的固有函數(shù)法、非齊次邊界條件的處理。重點(diǎn)：難點(diǎn)：非齊次方程齊次邊界條件的固有函數(shù)法。本章提要

§2.1討論兩個(gè)邊界條件都是第一類齊次邊界條件的情況；

§2.2討論如何處理第二類、第三類齊次邊界條件的情況；

§2.3討論如何在極坐標(biāo)下使用分離變量法；

§2.4、§2.5討論如何處理非齊次方程及非齊次邊界條件的問(wèn)題；

§2.6概述二階常微分方程特征值問(wèn)題的一些結(jié)論.本章內(nèi)容ssssssssssssssss2.2有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)ssss2.1有界弦的自由振動(dòng)2.4非齊次方程的解法2.3圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題非齊次邊界條件的處理2.52.6＊關(guān)于二階常微分方程特征值問(wèn)題的一些結(jié)論ssssssss2.1有界弦的自由振動(dòng)chapter2什么是分離變量法？使用分離變量法要什么條件？一、分離變量二、特征值問(wèn)題三、關(guān)于的方程的通解四、有界弦的自由振動(dòng)的解五、解的物理意義本節(jié)內(nèi)容六、小結(jié)T(t)定解問(wèn)題(1)(2)(3)討論兩端固定的弦的自由振動(dòng):1.當(dāng)弦一端固定時(shí)，其自由振動(dòng)可看為反射波.2.當(dāng)弦兩端固定時(shí)，其自由振動(dòng)會(huì)形成駐波.基本思路正波反波駐波定解問(wèn)題一、分離變量代入(1)中,則有或設(shè)定解問(wèn)題的特解為:一、分離變量則有(為常數(shù))(4)(5)令則由邊界條件(2),由于平凡解(6)同理由邊界條件(3)得:由于和是任意的函數(shù),此二式不成立.一、分離變量得:二、特征值問(wèn)題1.先考慮邊值問(wèn)題

使問(wèn)題上述有非零解的稱為該問(wèn)題的特征值,相應(yīng)的非零解稱為特征函數(shù).(6)(5)定義

求特征值和相應(yīng)的特征函數(shù)的問(wèn)題稱為特征值問(wèn)題.2.求解二、特征值問(wèn)題三種可能逐一加以分析.分第一種情況:時(shí),方程(5)的通解為:由條件(6)得:二、特征值問(wèn)題由此解出不符合非零解的要求，因此排除第二種情況:時(shí),方程(5)的通解為:由條件(6)得:不符合非零解的要求，因此排除第三種情況:時(shí),令方程(5)的通解為:由條件(6)得:二、特征值問(wèn)題如果由此解出不符合非零解的要求．二、特征值問(wèn)題因此（

特征值）(7)得:（特征函數(shù)）(8)（

特征值）傅里葉正弦級(jí)數(shù)的基本函數(shù)族三、關(guān)于T(t)的方程的通解將特征值代入方程(4)中得:此方程的通解為:(9)其中和為任意常數(shù).

由得到,方程(1)滿足邊界條件(2)的特解為:(10)其中

,.三、關(guān)于T(t)的方程的通解四、有界弦的自由振動(dòng)的解由疊加原理,將(9)中所表示的特解疊加起來(lái)得:(11)下一步：利用特征函數(shù)的正交歸一性確定待定系數(shù)．這恰好是和的正弦展開(kāi),于是有:四、有界弦的自由振動(dòng)的解(12)

可見(jiàn)(11)就是定解問(wèn)題的解,其中系數(shù)和由(12)給出.將(11)代入初始條件(3)中,得:五、解的物理意義重新改寫(xiě)其中駐波疊加

當(dāng)時(shí),即這些點(diǎn)的振幅為,達(dá)到最大值,稱為腹點(diǎn).

當(dāng)時(shí),即這些點(diǎn)的振幅為零,保持不動(dòng),稱為節(jié)點(diǎn);五、解的物理意義

可見(jiàn)代表一個(gè)駐波,代表弦上各點(diǎn)的振幅分布,是位相因子,是弦振動(dòng)的固有頻率(或特征頻率),是初位相.

弦的振動(dòng),表示一系列振幅不同,頻率不同,相位不同的駐波的疊加.

我們稱的駐波為基波;的駐波為二次諧波.五、解的物理意義基波的作用往往最顯著．

五、解的物理意義下圖為在某一時(shí)刻n=1,2,3的駐波形狀:設(shè)位移函數(shù)為,它是定解問(wèn)題

的解.這時(shí),并給定

.例題設(shè)有一根長(zhǎng)為10個(gè)單位的弦,兩端固定,初速度為零,初位移為,求弦作微小橫向振動(dòng)時(shí)的位移.例1解

這個(gè)問(wèn)題的傅里葉級(jí)數(shù)形式解可由(11)給出.其系數(shù)按(12)式為:當(dāng)n為偶數(shù),當(dāng)n為奇數(shù).例題例1例題因此,所求的解為:例1(6)′例題例2解解定解問(wèn)題相應(yīng)的特征值為求分離變量后得的非零解.由于,故,即通解為例題例2代入(6)′得從而求得一系列特征值與特征函數(shù):則對(duì)應(yīng)的方程的通解為:例題例2所求定解問(wèn)題的解可表示為利用初始條件可確定其中的任意常數(shù):例題例2故所求的解為:例題例2六、小結(jié)1.分離變量法

用駐波的疊加表示弦振動(dòng)方程的解.這就是分離變量法的物理背景,所以也稱為駐波法.其主要精神是:

把未知函數(shù)按自變量(包括多個(gè)自變量)的單元函數(shù)分開(kāi),[如令],從而將偏微分方程的問(wèn)題化為解常微分方程的問(wèn)題.2.解題步驟

(1)對(duì)齊次方程和齊次邊界條件分離變量;

(2)解關(guān)于空間因子的常微分方程的特征值問(wèn)題;

(3)求其他常微分方程的解,與特征函數(shù)相乘,得到特解;

(4)疊加,由初始條件或非齊次邊界條件確定疊加系數(shù),而最后得所求定解的問(wèn)題的解.六、小結(jié)六、小結(jié)思考題:

從分離變量法分離出來(lái)的兩個(gè)常微分方程是否是關(guān)聯(lián)的?答案:通過(guò)參數(shù)相互關(guān)聯(lián).ENDssss2.2有限長(zhǎng)桿上的熱傳導(dǎo)chapter2一、分離變量二、本征值問(wèn)題三、關(guān)于的方程的通解四、有限長(zhǎng)桿上熱傳導(dǎo)的解五、小結(jié)T(t)

設(shè)有一均勻細(xì)桿,長(zhǎng)為,兩端點(diǎn)的坐標(biāo)為與,桿的側(cè)面是絕熱的,且在端點(diǎn)處溫度是零攝氏度,而在另一端處桿的熱量自由發(fā)散到周圍溫度是零度的介質(zhì)中去,已知初始溫度分布為.求桿上的溫度變化規(guī)律.即考慮下列定解問(wèn)題:(1)(2)(3)定解問(wèn)題設(shè)定解問(wèn)題的特解為:代入(1)中,則有即(4)一、分離變量由邊界條件可知(5)二、本征值問(wèn)題解方程(4)得二、本征值問(wèn)題

方程的根可以看作是曲線與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo),顯然它們的交點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè),于是方程有無(wú)窮多個(gè)根,有這些根可以確定出特征值.得特征值:特征函數(shù):二、本征值問(wèn)題由上兩式得特解:其中

.(2.21)三、關(guān)于T(t)的方程的通解解方程得現(xiàn)在要考察函數(shù)系在上的正交性:令(6)由于方程(1)與邊界條件(2)都是齊次的,所以四、有限長(zhǎng)桿上熱傳導(dǎo)的解在上積分得將上代入(6)中,即得原定解問(wèn)題的解.四、有限長(zhǎng)桿上熱傳導(dǎo)的解

這樣求出的函數(shù)仍是形式解,要想它確實(shí)是(1)—(3)的解,還必須對(duì)加上一定的光滑性和相容性條件.四、有限長(zhǎng)桿上熱傳導(dǎo)的解五、小結(jié)END在邊值條件都是齊次的情況下，用分離變量法解第一邊值問(wèn)題和第三邊值問(wèn)題的定解問(wèn)題的過(guò)程是一樣的，只是第三邊值問(wèn)題在確定特征值時(shí)要復(fù)雜些．思考題:

為什么說(shuō)分離變量法的核心是特征值問(wèn)題?ssss2.3圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的定解問(wèn)題chapter2一、分離變量二、本征值問(wèn)題三、關(guān)于的方程的通解四、圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的解五、小結(jié)T(t)

一個(gè)半徑為的薄圓盤(pán),上下兩面絕熱,圓盤(pán)邊緣溫度分布為已知,求達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)圓盤(pán)內(nèi)的溫度分布.

由于熱傳導(dǎo)問(wèn)題達(dá)到穩(wěn)恒狀態(tài)時(shí)溫度分布與時(shí)間無(wú)關(guān),應(yīng)滿足拉普拉斯方程:

在極坐標(biāo)系下邊界條件可表為,于是在極坐標(biāo)系下求解這個(gè)定解問(wèn)題.定解問(wèn)題(1)(2)根據(jù)自變量的取值范圍可知:定解問(wèn)題一、分離變量令代入(1)中,得再由一、分離變量可得于是得到兩個(gè)常微分方程的定解問(wèn)題一、分離變量二、本征值問(wèn)題

由于條件解得特征值

特征函數(shù)

所以只能先解問(wèn)題滿足可加性,三、關(guān)于T(t)的方程的通解

再解問(wèn)題當(dāng)其中的方程是歐拉(Euler)方程,它的通解為:當(dāng)三、關(guān)于T(t)的方程的通解

利用疊加原理,方程(1)滿足條件的解可以表示為級(jí)數(shù):四、圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的解即得所求的解:四、圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的解利用已知的恒等式:四、圓域內(nèi)的二維拉普拉斯方程的解

上式稱為圓域內(nèi)的泊松公式.它的作用在于把解寫(xiě)成積分形式,這樣便于作理論上的研究.例題

解下列定解問(wèn)題:A為常數(shù)

利用公式例1解例題END并注意三角函數(shù)系的正交性,可得:代入即得所求的解為:五、小結(jié)

分離變量法不僅用于直角坐標(biāo)系,還可以在極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中使用.至于選取什么坐標(biāo)系關(guān)鍵在于考慮區(qū)域的形狀.

選取坐標(biāo)系的原則是在選用的坐標(biāo)系中區(qū)域的邊界能用最簡(jiǎn)單的方程來(lái)描述.ssss2.4非齊次方程的解法chapter2一、對(duì)應(yīng)齊次問(wèn)題的本征函數(shù)三、有界弦(桿)受強(qiáng)迫力的解二、關(guān)于的方程的通解四、特征函數(shù)法T(t)

現(xiàn)考慮有界弦(或桿)受強(qiáng)迫力作用所產(chǎn)生的振動(dòng)現(xiàn)象:定解問(wèn)題

弦的振動(dòng)是由兩部分干擾引起的,一是強(qiáng)迫力,一是初始狀態(tài),所以此時(shí)振動(dòng)可以看作為僅由強(qiáng)迫力引起的振動(dòng)和僅由初始狀態(tài)引起的振動(dòng)的合成.可設(shè)解為:定解問(wèn)題其中表示僅由強(qiáng)迫力引起弦振動(dòng)的位移,它滿足:定解問(wèn)題而表示僅由初始狀態(tài)引起弦振動(dòng)的位移,它滿足:(a)(b)

若V是(a)的解,W是(b)的解,則U=V+W一定就是原定解問(wèn)題的解.

問(wèn)題(b)可直接用分離變量法求解,因此只需討論如何解問(wèn)題(a).

由于方程(a)中非齊次項(xiàng)的出現(xiàn),所以不能直接用分離變量.由此,我們自然想到解非齊次線性常微分方程的參數(shù)變易法,類似地先考慮與非齊次方程所對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題.定解問(wèn)題通過(guò)分離變量后,得到特征值問(wèn)題為:由此解得特征函數(shù)為:定解問(wèn)題(a)所對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題為:一、對(duì)應(yīng)齊次問(wèn)題的本征函數(shù)再將自由項(xiàng)f(x,t)也按特征函數(shù)系展開(kāi)成如下的級(jí)數(shù):二、關(guān)于T(t)的方程的通解仿照參數(shù)變異法,令:(c)(d)將(c)及(d)代入(a)的第一個(gè)式子,得到:其中這樣確定函數(shù)只需解下列定解問(wèn)題:再將(c)代入(a)中的初始條件得:

二、關(guān)于T(t)的方程的通解用拉普拉斯變換法(或參數(shù)變易法)解出上式得到:二、關(guān)于T(t)的方程的通解三、有界弦(桿)受強(qiáng)迫力的解將上式代入(c)得定解問(wèn)題(a)的解為:將這個(gè)解與問(wèn)題(b)的解加起來(lái),就得到原定解問(wèn)題的解.四、特征函數(shù)法

以上求解非齊次方程的方法,顯然也適用于求解帶有其他齊次邊界條件的各類非齊次方程,其主要步驟是:

1.用分離變量法求得對(duì)應(yīng)的齊次問(wèn)題(即對(duì)應(yīng)的齊次方程連同齊次邊界條件)的特征函數(shù).

2.將未知函數(shù)u(x,t)[或u(x,y)等]按上面求得的特征函數(shù)展開(kāi),其展開(kāi)系數(shù)為另一變量的函數(shù),代入非齊次方程和初始條件(或另一變量的邊界條件),得到關(guān)于時(shí)間因子的常微分方程的初值問(wèn)題(或另一單元函數(shù)的常微分方程的邊值問(wèn)題),用參數(shù)變易法或拉氏變換法可求得其解.

3.將所求得的解代入未知函數(shù)的展開(kāi)式中,即得原定解問(wèn)題的解.這種分離變量的方法按其特點(diǎn)又叫特征函數(shù)(或固有函數(shù))法.四、特征函數(shù)法例題

在環(huán)形域(0<a<b)內(nèi)求解下列定解問(wèn)題.例1

由于求解區(qū)域是環(huán)形區(qū)域,所以我們選用平面極坐標(biāo)系,利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)系之間的關(guān)系:解可令上式的解為:例題代入方程并整理,得到:比較兩端關(guān)于,的系數(shù)可得:例題(e)(f)例題再由條件得:方程(e),(f)都是齊次的歐拉方程,它們的通解分別為:例題由條件例題

方程(e)是一個(gè)非齊次的歐拉方程,利用待定系數(shù)法可求得它的一個(gè)特解:可得:例題它的通解為:由條件得例題因此原定解問(wèn)題的解為:ENDssss2.5非齊次邊界條件的處理chapter2一、邊界條件的齊次化二、輔助函數(shù)的選取三、各類非齊次邊界條件的處理W(x,t)定解問(wèn)題

前面所討論的問(wèn)題,都是基于邊界條件是齊次的.但我們所遇到的實(shí)際問(wèn)題往往是非齊次的邊界條件,則要設(shè)法將邊界條件化成齊次的.現(xiàn)以下列定解問(wèn)題為例,說(shuō)明選取代換的方法:

選取代換,

就是選取一個(gè)適當(dāng)?shù)奈粗瘮?shù)代換,使對(duì)新的未知函數(shù),邊界條件都是齊次的.一、邊界條件的齊次化

為此,我們引入新的未知函數(shù)V(x,t)

和輔助函數(shù)W(x,t),令:則新未知函數(shù),便滿足齊次邊界條件若能找到函數(shù),使它具備下列性質(zhì):二、輔助函數(shù)w(x,t)的選取令于是由有:因而只要作代換:(1)二、輔助函數(shù)w(x,t)的選取就能使新的未知函數(shù)V滿足齊次邊界條件.經(jīng)過(guò)這個(gè)代換后,得到關(guān)于V的定解問(wèn)題為:其中(2)二、輔助函數(shù)w(x,t)的選取問(wèn)題(1)可用上一節(jié)的方法解出.將(1)代入即得原問(wèn)題的解.三、各類非齊次邊界條件的處理

1.以上處理非齊次邊界條件的方法,也適用于附有其它非齊次邊界條件的各類定解問(wèn)題.其基本做法是:(1)作變換,令u(x,t)=V(x,t)+W(x,t);(2)適當(dāng)選取W(x,t)

使關(guān)于V(x,t)

的邊界條件齊次化(有時(shí)甚至連方程均齊次化),通常選W(x,t)為x的一次式,

即W(x,t)=A(t)x+B(t)

但當(dāng)兩端邊界條件都是第二類時(shí),需選W為x

的二次式:W(x,t)=A(t)x2+B(t)x

否則系數(shù)無(wú)法確定.(3)解關(guān)于V(x,t)

的定解問(wèn)題,從而最后求得:u(x,t)=V(x,t)+W(x,t).

2.由上看出W(x,t)

的選取是有一定任意性的[一般而言關(guān)于V(x,t)

的定解問(wèn)題的解將隨W(x,t)的不同而不同從而導(dǎo)致得到不同形式的u(x,t)

但由于有關(guān)u(x,t)的定解問(wèn)題的唯一性,即使有不同形式的u(x,t)

也必是相等的.

3.通過(guò)邊界條件齊次化后,一般而言即使原來(lái)的齊次方程也會(huì)變?yōu)榉驱R次的[但若W(x,t)

選取巧妙,有時(shí)可使方程和邊界條件均齊次化].三、各類非齊次邊界條件的處理4.對(duì)于穩(wěn)定的非齊次的邊界問(wèn)題[即邊界條件方程中都與t無(wú)關(guān)]總可選適當(dāng)?shù)腤(x)[也與t

無(wú)關(guān)]使關(guān)于V(x,t)

的方程和邊界條件都齊次化.三、各類非齊次邊界條件的處理例題求解下列定解問(wèn)題.

可通過(guò)一次代換將方程與邊界條件都變成齊次的.的形式解,其中A,B均為常數(shù).例1解令例題代入方程得:通過(guò)兩次積分后得:則W(x)應(yīng)滿足:例題再由初始條件可知函數(shù)V(x,t)為下列定解問(wèn)題的解:分離變量后得:例題例題由傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)公式可得:原定解問(wèn)題的解為:例題

解下列定解問(wèn)題:代入原定解問(wèn)題得到:首先將邊界條件化成齊次的,為此令:例2解例題則又可分為如下兩個(gè)定解問(wèn)題:例題對(duì)于問(wèn)題(Ⅰ),可以直接用分離變量法求解:由條件得:求得特征值與特征函數(shù)為:例題則通解為:從而問(wèn)題(Ⅰ)的解可表示為:例題其中常數(shù)由初始條件(2.78)確定為:故(Ⅰ)的解為:例題對(duì)于問(wèn)題(Ⅱ),可以用特征函數(shù)法求解:其中:例題故問(wèn)題(Ⅱ)的解為:將與相加起來(lái),即得V(x,t),將這個(gè)V(x,t)代入,即得原定解問(wèn)題的解.例題ssss2.6＊關(guān)于二階常微分方程特征值問(wèn)題的一些結(jié)論chapter2一、特征值問(wèn)題的幾點(diǎn)結(jié)論二、球坐標(biāo)與極坐標(biāo)系中兩個(gè)方程自然邊界條件指形如|y(

xo)|<+∞的條件.施圖姆-劉維爾(Sturm-Liouville)型方程:

定義一、特征值問(wèn)題的幾點(diǎn)結(jié)論任一個(gè)二階線性常微分方程乘以適當(dāng)函數(shù)后總可以化成這種形式,有關(guān)這個(gè)方程特征值問(wèn)題的一些結(jié)論,稱為施圖姆-劉維爾理論.設(shè)邊界條件為:一、特征值問(wèn)題的幾點(diǎn)結(jié)論1.存在無(wú)窮多個(gè)實(shí)的特征值,適當(dāng)調(diào)換這些特征值的順序,可使它們構(gòu)成一個(gè)非遞減序列,即:對(duì)于特征值問(wèn)題,有以下幾點(diǎn)結(jié)論:3.設(shè)是任意兩個(gè)不同的特征值,對(duì)應(yīng)于這兩個(gè)特征值的特征函數(shù)記作,則:對(duì)應(yīng)于這些特征值有無(wú)窮多個(gè)特征函數(shù):一、特征值問(wèn)題的幾點(diǎn)結(jié)論2.所有特征值均不為負(fù),即:即對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征函數(shù)在[a,b]上帶權(quán)函數(shù)ρ(x)互相正交.

4.特征函數(shù)系在區(qū)間[a,b]上構(gòu)成一個(gè)完全(備)系,即任意一個(gè)在[a,b]上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)及分段連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)f(x),只要它也滿足特征函數(shù)中每個(gè)函數(shù)所滿足的邊界條件與,則一定可以將f(x)按特征函數(shù)系展成絕對(duì)且一致收斂的級(jí)數(shù):一、特征值問(wèn)題的幾點(diǎn)結(jié)論其中:一、特征值問(wèn)題的幾點(diǎn)結(jié)論n階貝塞爾方程:二、球坐標(biāo)與極坐標(biāo)系中兩個(gè)方程END這兩個(gè)方程也是方程的特解.勒讓德方程:ssss2.7本章小結(jié)chapter2一、主要內(nèi)容二、分離變量法解數(shù)理方程的要領(lǐng)三、常用特征值問(wèn)題一、主要內(nèi)容二、分離變量法解數(shù)理方程的要領(lǐng)

1.適當(dāng)選擇坐標(biāo)系;

2.定解問(wèn)題要寫(xiě)清;

3.從齊次方程來(lái)入手;

4.化邊界條件為齊次形.

四項(xiàng)步驟循序解,本征問(wèn)題是核心.三、常用特征值問(wèn)題

邊值問(wèn)題

特征值

特征函數(shù)

邊值問(wèn)題

特征值

特征函數(shù)三、常用特征值問(wèn)題

邊值問(wèn)題特征值

特征函數(shù)三、常用特征值問(wèn)題行波法與積分變換法行波法與積分變換法chapter3行波法只適用波動(dòng)方程的初值問(wèn)題.積分變換法的主要思想：降維使用積分變換法的兩個(gè)困難：選取哪一種積分變換逆變換難求教學(xué)基本要求(1)一維波動(dòng)方程初值問(wèn)題的達(dá)朗貝爾公式；(2)非齊次波動(dòng)方程的齊次化原理。(3)應(yīng)用傅里葉變換法解微分方程定值問(wèn)題；(4)拉普拉斯變換法在解微分方程中的應(yīng)用。重點(diǎn)：一維波動(dòng)方程初值問(wèn)題的達(dá)郎貝爾公式；非齊次波動(dòng)方程的齊次化原理；積分變換法在解微分方程中的應(yīng)用。難點(diǎn)：一維波動(dòng)方程初值問(wèn)題的達(dá)郎貝爾公式。積分變換法在解微分方程中的應(yīng)用。本章內(nèi)容ssssssss3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式3.3積分變換法舉例ssss3.1預(yù)備知識(shí)預(yù)備知識(shí)chapter3---積分變換---積分變換見(jiàn)本人制作的積分變換電子教案高等教育出版社出版ssss3.1一維波動(dòng)方程的達(dá)朗貝爾公式chapter3五、行波法四、達(dá)朗貝爾解的物理意義三、達(dá)朗貝爾解的適定性二、達(dá)朗貝爾(D′Alembert)公式一、一維齊次波動(dòng)方程的通解

現(xiàn)在我們討論無(wú)限長(zhǎng)弦的自由橫振動(dòng).設(shè)弦的初始狀態(tài)為已知,即定解問(wèn)題“無(wú)限長(zhǎng)”桿的自由縱振動(dòng),“無(wú)限長(zhǎng)”理想傳輸線上的電流,電壓的變化均提出與之相同的定解問(wèn)題.對(duì)于常微分方程分析定解問(wèn)題簡(jiǎn)化偏微分方程,先求通解,再求其特解.再用初始條件求特解:先求通解:一、一維齊次波動(dòng)方程的通解

用行波法求解這一問(wèn)題,首先要求出的通解.可作如下代換:利用復(fù)合函數(shù)微分法則得:同理有:

代入得:一、一維齊次波動(dòng)方程的通解其中都是任意二次連續(xù)可微函數(shù).一、一維齊次波動(dòng)方程的通解通解(包含有兩個(gè)任意函數(shù)的解)二、達(dá)朗貝爾(D′Alembert)公式

利用初始條件來(lái)確定通解中的任意函數(shù).將通解帶入定解條件中,得:將上式代回到二、達(dá)朗貝爾(D′Alembert)公式這就是達(dá)朗貝爾公式或稱為達(dá)朗貝爾解.中,即得方程定解問(wèn)題的特解:三、達(dá)朗貝爾解的適定性

易于驗(yàn)證,只要φ有直到二階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),ψ有一階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),達(dá)朗貝爾解是滿足定解問(wèn)題的,即達(dá)朗貝爾解是存在的.

又從求解的方法中看到,通解中的任意函數(shù)以由初始條件完全確定,故達(dá)朗貝爾解是唯一的.

現(xiàn)在來(lái)證明達(dá)朗貝爾解的穩(wěn)定性.設(shè)初始條件有兩組,且它們相差很小,即:即:則由達(dá)朗貝爾公式三、達(dá)朗貝爾解的適定性有:

所以在有限的時(shí)間內(nèi),當(dāng)初始條件有微小改變時(shí),其解也只有微小改變,即達(dá)朗貝爾解是穩(wěn)定的.

綜上所述,達(dá)朗貝爾解是適定的.三、達(dá)朗貝爾解的適定性四、達(dá)朗貝爾解的物理意義定義

表示一個(gè)以速度a沿x軸正方向傳播的行波,稱為右行波.

表示一個(gè)以速度a沿x軸負(fù)方向傳播的行波,稱為左行波.

右行波和左行波的疊加(相加)就給出弦的位移.

即達(dá)朗貝爾解表示右行波和左行波的疊加.依賴區(qū)間決定區(qū)間影響區(qū)間四、達(dá)朗貝爾解的物理意義在區(qū)間[,]上給定初始條件,就可以在其決定區(qū)間域中決定初值問(wèn)題的解.四、達(dá)朗貝爾解的物理意義

由此可以看出,在x-t平面上斜率為的兩族直線常數(shù),對(duì)一維波動(dòng)方程的研究起著重要的作用,我們稱其為一維波動(dòng)方程的特征線.四、達(dá)朗貝爾解的物理意義

因?yàn)樵谔卣骶€上,右行波的振幅取常數(shù)值,在特征線上,左行波u

的振幅取常數(shù)值,且這兩個(gè)數(shù)值隨特征線的移動(dòng)(即常數(shù)的改變)而改變,所以波動(dòng)實(shí)際上是沿特征線傳播的.變換常稱為特征變換,行波法稱為特征線法.1.解題步驟:先用求出通解:再求特解,形如:五、行波法2.特點(diǎn):(1)求解出發(fā)點(diǎn)是基于波動(dòng)現(xiàn)象的特點(diǎn)為背景的變量變換;(2)引入了坐標(biāo)變換簡(jiǎn)化方程;(3)優(yōu)點(diǎn):求解方式易于理解,求解波動(dòng)方程十分方便;(4)缺點(diǎn):通解不易求,使之有局限性,一般只用它求解波動(dòng)問(wèn)題.五、行波法五、行波法

達(dá)朗貝爾公式表示，由任意初始擾動(dòng)引起的自由振動(dòng)一行波的形式向正、反兩個(gè)方向傳播出去，傳播的速度正好等于泛定方程中的常數(shù)思考:例題求下列柯西問(wèn)題的解.它的兩族積分線為:先確定所給方程的特征線.為此寫(xiě)出它的特征方程:例1解例題它的通解為:其中都是任意二次連續(xù)可微函數(shù).原方程的通解為:例題代入得:例題代入得到所求的解為:ENDssss3.2三維波動(dòng)方程的泊松公式chapter3三、泊松公式的物理意義二、三維波動(dòng)方程的泊松公式一、三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解四、小結(jié)定解問(wèn)題現(xiàn)在我們討論在三維無(wú)限空間中的波動(dòng)問(wèn)題:其中M代表空間中任意一點(diǎn),

這個(gè)定解問(wèn)題仍可用行波法來(lái)解,但由于坐標(biāo)變量有三個(gè),不能直接利用通解公式.下面先考慮一個(gè)特例.一、三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解

球?qū)ΨQ即u與θ,φ都無(wú)關(guān).將波函數(shù)u用空間球坐標(biāo)(r,θ,φ)來(lái)表示.則:

但

或

這就是三維波動(dòng)方程的關(guān)于原點(diǎn)為球?qū)ΨQ的解,其中是任意二次連續(xù)可微函數(shù),這兩個(gè)函數(shù)可以用指定的初始條件來(lái)確定.所以最后得:這是關(guān)于ru的一維波動(dòng)方程,其通解為:

或一、三維波動(dòng)方程的球?qū)ΨQ解二、三維波動(dòng)方程的泊松公式1.平均值法

引入函數(shù):稱之為函數(shù)u(M,t)

在以為中心,r為半徑的球面上的平均值.其中為立體角元.很容易看出和我們所要求的有很緊密的聯(lián)系:

因此,欲求波動(dòng)方程的解在任意一點(diǎn),任意時(shí)刻的值,只要先求在時(shí)刻,以為中心,為半徑的球面上的平均值,再令即可.這種處理問(wèn)題的方法稱為平均值法.這里各坐標(biāo)變量之間的關(guān)系為:二、三維波動(dòng)方程的泊松公式2.三維齊次波動(dòng)方程的通解二、三維波動(dòng)方程的泊松公式又因?yàn)樵谥苯亲鴺?biāo)系中:即類似的的有:二、三維波動(dòng)方程的泊松公式二、三維波動(dòng)方程的泊松公式其通解為:而二、三維波動(dòng)方程的泊松公式3.泊松(Poisson)公式二、三維波動(dòng)方程的泊松公式可寫(xiě)為:二、三維波動(dòng)方程的泊松公式上式稱為三維波動(dòng)方程的泊松公式,它給出了三維無(wú)界空間波動(dòng)方程的初值問(wèn)題的解.其中表示以為中心at為半徑的球面上的動(dòng)點(diǎn).二、三維波動(dòng)方程的泊松公式三、泊松公式的物理意義

泊松公式的物理意義很明顯,它說(shuō)明定解問(wèn)題的解在M點(diǎn)t時(shí)刻之值,由以M為中心at為半徑的球面上的初始值而確定.

如圖,設(shè)初始擾動(dòng)限于空間某個(gè)區(qū)域,d為M點(diǎn)到的最近距離,D為M點(diǎn)與的最大距離,則:1.當(dāng)

,即時(shí),與不相交,和之值均不為零,因而兩個(gè)積分之值亦均不為零,即.這表示擾動(dòng)的前鋒尚未到達(dá).2.當(dāng),即時(shí),與相交,,之值不為零,因而積分之值亦不為零,即,這表明擾動(dòng)正在經(jīng)過(guò)M點(diǎn).3.當(dāng),即,與也不相交,因而同樣,這表明擾動(dòng)的陣尾已經(jīng)過(guò)去了.三、泊松公式的物理意義

這種現(xiàn)象在物理學(xué)中稱為惠更斯(Huygens)原理或無(wú)后效現(xiàn)象.三、泊松公式的物理意義

由于在點(diǎn)(ξ,η,ζ)的初始擾動(dòng)是向各方向傳播的,在時(shí)間t它的影響是在以(ξ,η,ζ)為中心,at為半徑的一個(gè)球面上,因此解稱為球面波.

從三維波動(dòng)方程的泊松公式我們也可以得到二維波動(dòng)方程初值問(wèn)題的解.事實(shí)上如果u與z無(wú)關(guān),則,這時(shí)三維波動(dòng)方程的始值問(wèn)題就變成二維波動(dòng)方程的始值問(wèn)題:三、泊松公式的物理意義要想從泊松公式得到上述問(wèn)題解的表達(dá)式,就應(yīng)將泊松公式中兩個(gè)沿球面的積分轉(zhuǎn)化成沿圓域內(nèi)的積分,下面以為例說(shuō)明這個(gè)轉(zhuǎn)化方法.先將這個(gè)積分拆成兩部分:三、泊松公式的物理意義其中分別表示球面的上半球面與下半球面.

由于被積函數(shù)不依賴于變量z,所以上式右端兩個(gè)積分是相等的,即把右端的曲面積分化成二重積分可得三、泊松公式的物理意義同理將這兩個(gè)等式代入三維波動(dòng)方程的泊松公式,即得問(wèn)題的解為三、泊松公式的物理意義

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),由于圓域包含了區(qū)域,所以,這種現(xiàn)象稱為有后效,即在二維情形,局部范圍內(nèi)的初始擾動(dòng),具有長(zhǎng)期的連續(xù)的后效特性,擾動(dòng)有清晰的“前鋒”,而無(wú)“陣尾”,這一點(diǎn)與球面波不同.三、泊松公式的物理意義

平面上以點(diǎn)(ξ,η)為中心的圓周的方程在空間坐標(biāo)系內(nèi)表示母線平行與z軸的直圓柱面,所以在過(guò)(ξ,η)點(diǎn)平行于z軸的無(wú)限長(zhǎng)的直線上的初始擾動(dòng),在時(shí)間t后的影響是在以該直線為軸,at為半徑的圓柱面內(nèi),因此解稱為柱面波.將給定的初始條件與代入三維波動(dòng)方程的泊松公式,得到所要求的解為:

設(shè)已知,,求方程相應(yīng)柯西問(wèn)題的解.例題END例1解

對(duì)于齊次偏微分方程，自由振動(dòng)定解問(wèn)題的解直接由達(dá)朗貝爾公式給出.

非其次偏微分方程，純強(qiáng)迫振動(dòng)的解由沖量原理求解.四、小結(jié)ssss3.3積分變換法舉例chapter3二、拉普拉斯變換法一、傅里葉變換法

積分變換法是通過(guò)積分變換簡(jiǎn)化定解問(wèn)題的一種有效的求解方法.三、小結(jié)

積分變換—就是把某函數(shù)類A中的函數(shù)f(x),經(jīng)過(guò)某種可逆的積分手續(xù):定義積分變換變成另一函數(shù)類B中的函數(shù)F(p).F(p)—f(x)的像函數(shù),f(x)—像原函數(shù).k(x,p)是p和x的已知函數(shù)—積分變換的核.

下面我們通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明用積分變換法解定解問(wèn)題的一般步驟.

無(wú)界桿上的熱傳導(dǎo)問(wèn)題設(shè)有一根無(wú)限長(zhǎng)的桿,桿上具有強(qiáng)度為F(x,t)的熱源,桿的初始溫度為φ(x),試求t>0時(shí)桿上溫度的分布規(guī)律.一、傅里葉變換法

由于方程是非齊次的,且求解的區(qū)域又是無(wú)界的,因此用分離變量法來(lái)解將導(dǎo)致比較復(fù)雜的運(yùn)算.其中

這個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為求解下列定解問(wèn)題:例1解對(duì)方程兩端關(guān)于x分別進(jìn)行傅氏變換,并記:一、傅里葉變換法現(xiàn)在我們用傅里葉變換來(lái)解.則有:這是帶參數(shù)關(guān)于變量t的常微分方程的初值問(wèn)題,解之得:一、傅里葉變換法對(duì)取傅里葉逆變換.查表可知:卷積性質(zhì)即得原定解問(wèn)題的解.一、傅里葉變換法

由這個(gè)例子可以看出,用積分變換法解定解問(wèn)題的步驟:1.對(duì)方程和定解條件(關(guān)于某個(gè)變量)取變換.2.解變換后得到的像函數(shù)的常微分方程的定解問(wèn)題.3.求像函數(shù)的逆變換(反演)即得原定解問(wèn)題的解.

一個(gè)函數(shù)當(dāng)它未作綜合工作之前,用積分變換法所求的解都只是形式解.積分變換二、拉普拉斯變換法

一條半無(wú)限長(zhǎng)的桿,端點(diǎn)溫度變化情況為已知,桿的初始溫度為0℃,求桿上溫度的分布規(guī)律.由于此題為半無(wú)界問(wèn)題,因此不能用傅里葉變換來(lái)解.下面我們用拉普拉斯變換來(lái)解.

這個(gè)問(wèn)題可歸結(jié)為求解下列定解問(wèn)題:例2解對(duì)方程兩邊關(guān)于變量t做拉氏變換,并記:二、拉普拉斯變換法再對(duì)邊界條件關(guān)于變量t做拉氏變換,并記:代入初始條件得:常微分方程的通解為:二、拉普拉斯變換法對(duì)U(x,p)求拉普拉斯逆變換,查表可知:由邊界條件可得:微分性質(zhì)卷積性質(zhì)即所要求的解.二、拉普拉斯變換法

應(yīng)用積分變換法需要注意以下幾點(diǎn):1.選取恰當(dāng)?shù)姆e分變換.首先要注意自變量的變化范圍,其次要注意定解條件的形式.2.凡是對(duì)方程取變換時(shí)沒(méi)有用到的條件都要對(duì)它取變換,使它轉(zhuǎn)化為新方程的定解條件.3.求逆變換:查表并運(yùn)用變換的性質(zhì);由逆變換公式來(lái)求