2024-2025學(xué)年山東省淄博市高二上冊10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省淄博市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列選項中可以構(gòu)成基底的是（）A，， B.，，C.，， D.，，2.設(shè)，且，則（

）A. B.0 C.3 D.3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件“出現(xiàn)3點或4點”，則事件A與B的關(guān)系為（）A.相互獨立事件 B.相互互斥事件C.即相互獨立又相互互斥事件 D.既不互斥又不相互獨立事件4.李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色不全相同的概率為（）A. B. C. D.5.某校課外活動期間開展跳繩、踢鍵子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是（）A. B. C. D.6.已知某運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為（）A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.757.在長方體中，已知，，E為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若，為對立事件，則B.若，為互斥事件，則C若，則，相互獨立D.對于任意事件，，有10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.兩個不同的平面，的法向量分別是，，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則11.如圖，平面，，則（）A.B.平面C.平面與平面夾角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正方體的棱長為，在正方體內(nèi)部且滿足，則點到直線的距離為___________．13.甲、乙兩人進行羽毛球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨立.設(shè)甲在第一、第二、第三局比賽中獲勝的概率分別為，，，則甲恰好連勝兩局的概率為___________.14.甲?乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.7，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.16.如圖所示，三棱錐中，平面平面，平面平面，分別是和邊上點，且，，，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角正弦值.17.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是．（1）求盒中紅球、黃球、藍(lán)球個數(shù)；（2）設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．18.甲、乙二人進行一次圍棋比賽，采用5局3勝制，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，同時比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．（1）求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；（2）求甲獲得這次比賽勝利的概率．19.在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時，猜是正面的概率為.猜是反面的概率為；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反面時，猜是反面的概率為，猜是正面的概率為.假設(shè)每次扔硬幣相互獨立.（1）若兩次扔硬幣分別為“正反”，設(shè)猜測全部正確與猜測全部錯誤的概率分別為，試比較的大??；（2）若不管扔硬幣是正面還是反面猜對的概率都大于猜錯的概率，（i）從下面①②③④中選出一定錯誤的結(jié)論：①；②；③，④（ii）從（i）中選出一個可能正確的結(jié)論作為條件.用表示猜測的正反文字串，將中正面的個數(shù)記為，如“正反正反”，則，若扔四次硬幣分別為“正正反反”，求的取值范圍.2024-2025學(xué)年山東省淄博市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)階段性檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列選項中可以構(gòu)成基底的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【正確答案】A【分析】判斷各組向量是否共面即可.【詳解】對于A，若，，共面，則，其中，整理得到：，因為構(gòu)成空間的一個基底，故，此方程無解，故，，不共面，即它們可構(gòu)成基底，故A正確；對于B，因為，故，，共面，故B錯誤；對于C，因為，故，，共面，故C錯誤；對于D，因為，故，，共面，故D錯誤；故選：A.2.設(shè)，且，則（

）A. B.0 C.3 D.【正確答案】D【分析】由向量的共線與垂直條件求解的坐標(biāo)，再由向量坐標(biāo)運算及求模公式可得.【詳解】，由，則有，解得，則.由，則有，解得，，所以，故，則.故選：D.3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子一次，記事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件“出現(xiàn)3點或4點”，則事件A與B的關(guān)系為（）A.相互獨立事件 B.相互互斥事件C.即相互獨立又相互互斥事件 D.既不互斥又不相互獨立事件【正確答案】A【分析】根據(jù)相互獨立事件、互斥事件的定義確定正確選項.【詳解】由于表示“出現(xiàn)的點數(shù)為4”，所以事件A與B不是互斥事件，由，，，有，所以事件A與B是相互獨立事件，不是互斥事件.故選：A4.李華家養(yǎng)了白、灰、黑三種顏色的小兔各1只，從兔窩中每次摸取1只，有放回地摸取3次，則3次摸取的顏色不全相同的概率為（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】由題意可知：每次摸到白、灰、黑三種顏色的概率均為，根據(jù)獨立事件概率乘法公式結(jié)合對立事件運算求解.【詳解】由題意可知：每次摸到白、灰、黑三種顏色的概率均為，記“3次摸取的顏色不全相同”為事件A，則，所以.故選：B.5.某校課外活動期間開展跳繩、踢鍵子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學(xué)各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】畫出樹狀圖，利用概率公式求解即可【詳解】設(shè)跳繩、踢毽子、韻律操分別為A、B、C，畫樹狀圖如下，共有9種等可能的結(jié)果，甲、乙恰好選擇同一項活動的有3種情況，故他們選擇同一項活動的概率是，故選：C．6.已知某運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為80%.現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計某運動員射擊4次，至少擊中3次的概率.先由計算器給出0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，指定0，1表示沒有擊中目標(biāo)，2，3，4，5，6，7，8，9表示擊中目標(biāo)，以4個隨機數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了20組隨機數(shù)：75270293714098570347437386366947761042811417469803716233261680456011366195977424根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該射擊運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為（）A.0.852 B.0.8192 C.0.8 D.0.75【正確答案】D【分析】由題設(shè)模擬數(shù)據(jù)確定擊中目標(biāo)至少3次的隨機數(shù)組，應(yīng)用古典概型的概率求法求概率.【詳解】在20組隨機數(shù)中含中的數(shù)至少3個（含3個或4個），共有15組，即模擬結(jié)果中射擊4次至少擊中3次的頻率為.據(jù)此估計該運動員射擊4次，至少擊中3次的概率為0.75.故選：D.7.在長方體中，已知，，E為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法，列公式求解即可；【詳解】如圖，為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則∴，設(shè)直線與所成角為，則，即異面直線與所成角的余弦值為；故選:A8.在棱長為2的正方體中，，分別為棱，的中點，為棱上的一點，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由點到平面的距離公式計算即可．【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，取，得，所以點到平面的距離為，故選：D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的有（）A.若，為對立事件，則B.若，為互斥事件，則C.若，則，相互獨立D.對于任意事件，，有【正確答案】AB【分析】由對立事件，互斥事件，獨立事件的概念及概率的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】若，為對立事件，則，故A正確；若，為互斥事件，則，故B正確；若，則事件，事件不一定相互獨立，概率相等與事件獨立沒有關(guān)系，故C錯誤；若事件，，相互獨立，則，故D錯誤.故選：AB10.下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（）A.兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則B.兩個不同的平面，的法向量分別是，，則C.直線的方向向量，平面的法向量是，則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則【正確答案】AB【分析】運用空間線線平行，線面平行，線面垂直，面面垂直的向量證明方法,結(jié)合向量平行垂直的坐標(biāo)結(jié)論，逐個判斷即可.【詳解】兩條不重合直線，的方向向量分別是，，則，所以，A正確；兩個不同的平面，的法向量分別是，，則，所以，B正確；直線方向向量，平面的法向量是，則，所以或，C錯誤；直線的方向向量，平面的法向量是，則，所以，D錯誤．故選：AB11.如圖，平面，，則（）A.B.平面C.平面與平面夾角的余弦值為D.直線與平面所成角的正弦值為【正確答案】BCD【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究位置關(guān)系與線面夾角，面面夾角即可.【詳解】根據(jù)題意可知兩兩垂直，不妨以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則，，所以，所以，不垂直，故A錯誤；依題意，是平面的法向量，又，可得，則，又因為直線平面，所以平面，故B正確；設(shè)為平面的一個法向量，則，令，可得，而即底面的一個法向量，設(shè)平面與平面夾角，則,故C正確；設(shè)直線與平面所成角為，，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正方體的棱長為，在正方體內(nèi)部且滿足，則點到直線的距離為___________．【正確答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求向量，，，的坐標(biāo)，利用向量方法求點到直線的距離.【詳解】如圖，以為原點，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，又，取，，則，，所以點到直線的距離為.故答案為.13.甲、乙兩人進行羽毛球比賽，連續(xù)比賽三局，各局比賽結(jié)果相互獨立.設(shè)甲在第一、第二、第三局比賽中獲勝的概率分別為，，，則甲恰好連勝兩局的概率為___________.【正確答案】【分析】甲恰好連勝兩局有兩種不同的情況，根據(jù)獨立事件概率乘法公式可計算每種情況的概率，加和即為所求結(jié)果.【詳解】甲恰好連勝兩局有：前兩局獲勝，第三局失利和第一局失利，后兩局獲勝兩種情況，甲恰好連勝兩局的概率.故答案為.14.甲?乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）.根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.7，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率為__________.【正確答案】0.245##【分析】根據(jù)題意知甲前4場有一場輸，第五場必定獲勝，由于比賽場次主客場安排固定，所以可計算出每種輸一場概率，最后相加可得到甲隊以4：1獲勝的概率.【詳解】由題意知甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”，設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.7，客場取勝的概率為0.5，則甲隊前5場比賽，第一場負(fù)，另外四場全勝概率為，甲隊前5場比賽，第二場負(fù)，另外四場全勝概率為，甲隊前5場比賽，第三次場，另外四場全勝概率為，甲隊前5場比賽，第四次場，另外四場全勝概率為所以甲隊以4：1獲勝的概率.故0.245四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為矩形，且分別為的中點.（1）證明：平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）不妨設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由，得到，即可得證；（2）求出平面的法向量，利用空間向量法計算可得.【小問1詳解】不妨設(shè)，則，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，A1,0,0，，，所以，，，設(shè)m=x,y,z是平面則，取，則，所以平面的一個法向量，又，所以，因為平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，所以是平面一個法向量，又因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.16.如圖所示，三棱錐中，平面平面，平面平面，分別是和邊上的點，且，，，，，，為的中點.（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)見證明；(2)【分析】（1）在中，根據(jù)余弦定理，可得，所以，即是直角三角形，又為CE的中點，所以為等邊三角形，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明．（2）以點為原點，以AB，，所在直線分別為軸，軸，軸建系，求出，平面法向量的坐標(biāo)，計算與法向量的夾角，可得所求．【詳解】（1）平面平面，平面平面，平面平面則平面，又，則因為，，，所以，，在中，，，由余弦定理可得：解得：所以，所以是直角三角形，又為CE的中點，所以又，所以為等邊三角形，所以，所以，又平面，平面，所以平面.（2）由（1）可知，以點為原點，以AB，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，.所以，，.設(shè)為平面的法向量，則，即設(shè)x=1，則，，即平面的一個法向量為，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.本題考查線面平行的判定，空間中線面角的求法，利用余弦定理解三角形．考查空間想象、計算證明的能力，屬中檔題．17.已知盒中有大小、質(zhì)地相同的紅球、黃球、藍(lán)球共4個，從中任取一球，得到紅球或黃球的概率是，得到黃球或藍(lán)球的概率是．（1）求盒中紅球、黃球、藍(lán)球個數(shù)；（2）設(shè)置游戲規(guī)則如下：從盒中有放回的取球兩次，每次任取一球記下顏色．若取到兩個球顏色相同則甲勝，否則乙勝，從概率的角度判斷這個游戲是否公平，請說明理由．【正確答案】（1）盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)分別是2，1，1；（2）不公平，理由見解析【分析】（1）根據(jù)題設(shè)的概率可得關(guān)于球數(shù)的方程組，求出其解后可得不同顏色的求出.（2）利用列舉法可求甲勝或乙勝的概率，從而可判斷游戲是否公平.【小問1詳解】設(shè)盒中紅球、黃球、藍(lán)球個數(shù)分別為x，y，z，從中任取一球，得到紅球或黃球為事件A，得到黃球或藍(lán)球為事件B，則，由已知得，解得，所以盒中紅球、黃球、藍(lán)球的個數(shù)分別是2，1，1；【小問2詳解】由（1）知紅球、黃球、藍(lán)球個數(shù)分別為2個，1個，1個，用，表示紅球，用表示黃球，用表示藍(lán)球，表示第一次取出的球，表示第二次取出的球，表示試驗的樣本點，則樣本空間，．可得，記“取到兩個球顏色相同”為事件，“取到兩個球顏色不相同”為事件，則，所以，所以，因為，所以此游戲不公平．18.甲、乙二人進行一次圍棋比賽，采用5局3勝制，約定先勝3局者獲得這次比賽的勝利，同時比賽結(jié)束．假設(shè)在一局中，甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，各局比賽結(jié)果相互獨立．已知前2局中，甲、乙各勝1局．（1）求再賽2局結(jié)束這次比賽的概率；（2）求甲獲得這次比賽勝利的概率．【正確答案】（1）0.52（2）0.648【分析】（1）再賽2局結(jié)束這次比賽分“第三、四局甲勝”與“第三、四局乙勝”兩類情況，根據(jù)根據(jù)互斥事件的概率和及獨立事件同時發(fā)生的概率求解可得；（2）由題意，甲獲得這次比賽勝利只需后續(xù)比賽中甲先勝兩局即可，根據(jù)互斥事件的概率和及獨立事件同時發(fā)生的概率求解即可.【小問1詳解】用表示事件“第局甲勝”，表示事件“第局乙勝”（），設(shè)“再賽2局結(jié)束這次比賽”為事件，則，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，且事件與事件互斥.所以．故再賽2局結(jié)束這次比賽的概率為.【小問2詳解】記“甲獲得這次比賽勝利”為事件，因前兩局中，甲、乙各勝一局，故甲成為勝方當(dāng)且僅當(dāng)在后面的比賽中，甲先勝2局，從而，由于各局比賽結(jié)果相互獨立，且事件，，兩兩互斥，所以.故甲獲得這次比賽勝利的概率為.19.在扔硬幣猜正反游戲中，當(dāng)硬幣出現(xiàn)正面時，猜是正面的概率為.猜是反面的概率為；當(dāng)硬幣出現(xiàn)反