高考復(fù)習(xí)專題練習(xí)專題24新高考數(shù)學(xué)模擬卷(一)(學(xué)生版+解析)

專題24新高考數(shù)學(xué)模擬卷（一）（模擬測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知，則的值為A． B． C． D．3．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個“三角垛”，共有40層，各層小球個數(shù)構(gòu)成一個二階等差數(shù)列，第一層放1個小球，第二層放3個小球，第三層放6個小球，第四層放10個小球，，則第40層放小球的個數(shù)為（

）A．1640 B．1560 C．820 D．7804．已知，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)有且僅有3個零點，若，則（

）A． B． C． D．6．若的展開式中項的次數(shù)為整數(shù)的有且僅有5項，則其常數(shù)項為（

）A．第8項 B．第7項 C．第6項 D．第5項7．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且，，則（

）A．11 B．9 C．0 D．8．等腰三角形中，，．為中點，為線段上靠近點的四等分點，將沿翻折，使到的位置，且平面平面，則四面體的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．已知函數(shù)，部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于點中心對稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是10．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．在處的切線方程為B．在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增C．設(shè)，若對任意，都存在，使成立，則D．11．如圖，直角梯形中，，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.則下列說法正確的有（

）

A．平面B．四棱錐外接球的體積為C．二面角的大小為D．與平面所成角的正切值為12．已知直線與圓O：交于點M，N，若過點M和的直線與y軸交于點C，過點M和的直線與x軸交于點D，則（

）A．面積的最大值為2 B．的最小值為4C． D．若，則第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．設(shè)某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率依次為.現(xiàn)從這20塊芯片中任取1塊芯片，則取得的芯片是次品的概率為.14．根據(jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對直角三角形按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形.若，則.15．已知直線與拋物線交于兩點，且交于點，點的坐標(biāo)為，則的面積.16．已知函數(shù)，且，則的最小值是.四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求A的值；(2)若的平分線與交于點，求面積的最小值.18．已知數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，且，分別為數(shù)列的第二項和第三項.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：.19．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．(1)當(dāng)時，求三棱柱的體積；(2)設(shè)點P為側(cè)棱上一動點，當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．20．隨著春季學(xué)期開學(xué)，郴州市市場監(jiān)管局加強了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學(xué)食堂每天都會提供A，B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記同學(xué)甲第天選擇套餐的概率為.(1)求同學(xué)甲第二天選擇套餐的概率；(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)從該校所有學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生統(tǒng)計第二天選擇去A餐廳就餐的人數(shù)，用表示這100名學(xué)生中恰有名學(xué)生選擇去A餐廳就餐的概率，求取最大值時對應(yīng)的的值.21．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，其中，若存在，證明：.22．已知橢圓的左、右焦點分別為，，過右焦點的直線交橢圓K于M，N兩點，以線段為直徑的圓C與圓內(nèi)切．(1)求橢圓K的方程；(2)過點M作軸于點E，過點N作軸于點Q，與交于點P，是否存在直線使得的面積等于？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．專題24新高考數(shù)學(xué)模擬卷（一）（模擬測試）（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項:1.答題前,先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.選擇題的作答:每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3.非選擇題的作答:用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試卷草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并上交。第Ⅰ卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，然后直接利用集合的交集與補集的概念求解即可．【詳解】因為集合，，，.故選：A．2．已知，則的值為A． B． C． D．【答案】C【詳解】.所以，故選C.3．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個“三角垛”，共有40層，各層小球個數(shù)構(gòu)成一個二階等差數(shù)列，第一層放1個小球，第二層放3個小球，第三層放6個小球，第四層放10個小球，，則第40層放小球的個數(shù)為（

）A．1640 B．1560 C．820 D．780【答案】C【分析】首先由二階等差數(shù)列的定義，得到，再求和得到數(shù)列的通項公式，即可求.【詳解】設(shè)第層放小球的個數(shù)為，由題意，，……，數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，所以．故，故．故選：C．4．已知，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用誘導(dǎo)公式得，再令，展開即可求解．【詳解】，因為，所以，則在第二或第三象限，因為，當(dāng)在第三象限時，由于，又在上遞增，且，所以當(dāng)在第三象限時，，與矛盾，所以在第二象限，因為，所以．因為，所以，則．因為，所以．所以，即．故選：A．5．已知函數(shù)有且僅有3個零點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時，解出一根，由得，當(dāng)時，還有兩根，則此時方程為二次方程，根據(jù)題意建立不等式解出的取值范圍，再根據(jù)其他條件即可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)時，令，解得，即；當(dāng)時，方程有兩個不等負實根，，所以，解得，當(dāng)時，，又，則．所以．故選：C.6．若的展開式中項的次數(shù)為整數(shù)的有且僅有5項，則其常數(shù)項為（

）A．第8項 B．第7項 C．第6項 D．第5項【答案】B【分析】求出展開式的通項公式，根據(jù)題意得到，進而求解即可.【詳解】的展開式的通項公式為，因為，所以當(dāng)r=0，2，4，6，8，10，…時，展開式中項的次數(shù)為整數(shù)，又展開式中項的次數(shù)為整數(shù)的有且僅有5項，所以或，當(dāng)時，令，無整數(shù)解，舍去；所以，故，令，解得，所以其常數(shù)項為第7項．故選：B．7．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R，且，，則（

）A．11 B．9 C．0 D．【答案】A【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，然后構(gòu)造函數(shù)并求其對稱軸及周期，最后利用對稱軸及周期求函數(shù)值即可.【詳解】因為對任意的，即，所以為奇函數(shù)，故．由得，，即，設(shè)，則為奇函數(shù)，，且，所以圖像關(guān)于直線對稱，由得，，所以，所以所以的周期為4．所以，所以，由求導(dǎo)可得，所以關(guān)于對稱，所以由對稱性可知圖像關(guān)于直線對稱，因為，所以，所以，所以所以的周期為4，所以，又，所以，所以．故選：A.8．等腰三角形中，，．為中點，為線段上靠近點的四等分點，將沿翻折，使到的位置，且平面平面，則四面體的外接球的表面積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求出，再根據(jù)給定條件確定球心位置，求出球半徑作答.【詳解】等腰中，，，為中點，則，有，又，在中，由余弦定理得：，由正弦定理得外接圓半徑，在四面體中，，平面平面，平面平面，平面，則平面，令外接圓圓心為，四面體外接球球心為，則平面，有，顯然四面體外接球球心在線段的中垂面上，取中點，連接，則有，而平面，即有，

因此四邊形為矩形，，而，于是四面體外接球半徑，所以四面體的外接球的表面積.故選：D【點睛】關(guān)鍵點睛：幾何體的外接球的表面積、體積計算問題，借助球的截面小圓性質(zhì)確定出球心位置是解題的關(guān)鍵.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，有選錯得0分，部分選對得2分）9．已知函數(shù)，部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）

A．的圖象關(guān)于直線對稱B．的圖象關(guān)于點中心對稱C．將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象D．若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是【答案】AD【分析】由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出，由周期求出，由五點法作圖求出的值，可得的解析式，結(jié)合圖象及三角函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】由函數(shù)的圖象可得，由，求得.再根據(jù)五點法作圖可得，即，又，求得，∴函數(shù)，，是最值，故A成立；，不等于零，故B不成立；將函數(shù)的圖象向左平移個單位得到函數(shù)的圖象，故C不成立；當(dāng)時，，，，函數(shù)在上的圖象如下，

由圖可知，時，函數(shù)與直線有兩個交點，故方程在上有兩個不相等的實數(shù)根時，的取值范圍是，故D成立.故選：AD.10．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．在處的切線方程為B．在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增C．設(shè)，若對任意，都存在，使成立，則D．【答案】ACD【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計算切線得到A正確，根據(jù)定義域排除B，分別計算最值得到C正確，根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)性計算得到D正確，得到答案.【詳解】，則，，當(dāng)和時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.對選項A：，，故切線方程為，正確；對選項B：函數(shù)定義域為，錯誤；對選項C：當(dāng)時，，，故，正確；對選項D：根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性知，，，即，故，即，故，正確.故選：ACD11．如圖，直角梯形中，，，，為中點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.則下列說法正確的有（

）

A．平面B．四棱錐外接球的體積為C．二面角的大小為D．與平面所成角的正切值為【答案】ABC【分析】易證得四邊形為矩形，得到；利用勾股定理可得；由線面垂直的判定可證得A正確；根據(jù)平面和矩形外接圓半徑可求得外接球半徑，代入球的體積公式可知B正確；根據(jù)二面角平面角定義可知即為所求角，根據(jù)長度關(guān)系知C正確；根據(jù)線面角定義可知為所求角，由長度關(guān)系可知D錯誤.【詳解】對于A，為中點，，，四邊形為平行四邊形，又，四邊形為矩形，；，，，，，又，平面，平面，A正確；對于B，，，，即，平面，平面，，又，平面，平面；矩形的外接圓半徑，四棱錐的外接球半徑，四棱錐外接球的體積，B正確；對于C，平面，平面，；又，二面角的平面角為，，，，二面角的大小為，C正確；對于D，平面，即為直線與平面所成角，，，，，即直線直線與平面所成角的正切值為，D錯誤.故選：ABC.12．已知直線與圓O：交于點M，N，若過點M和的直線與y軸交于點C，過點M和的直線與x軸交于點D，則（

）A．面積的最大值為2 B．的最小值為4C． D．若，則【答案】ACD【分析】利用面積公式可判斷A；設(shè)，數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合重要不等式可判斷B；利用M的坐標(biāo)表示出直線坐標(biāo)，從而可得C、D坐標(biāo)，然后直接求解可判斷C；利用韋達定理可判斷D.【詳解】A項：因為直線與圓O交于點M，N，所以，所以，當(dāng)，即，時，面積的最大值為2，A正確；B項：設(shè)，則，，所以，因為，所以．所以，即，所以當(dāng)時，取得最小值，B錯誤；C項：當(dāng)直線MB斜率存在時，則直線．令，可得，故．直線，令，可得，所以．故；當(dāng)直線斜率不存在時，，，則，綜上所述，為定值，C正確；D項：當(dāng)時，，設(shè)，聯(lián)立消去y可得，則，，則，D正確．故選：ACD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13．設(shè)某芯片制造廠有甲、乙、丙三條生產(chǎn)線，生產(chǎn)規(guī)格的芯片，現(xiàn)有20塊該規(guī)格的芯片，其中甲、乙、丙生產(chǎn)的芯片分別為6塊、6塊、8塊，且甲、乙、丙生產(chǎn)該芯片的次品率依次為.現(xiàn)從這20塊芯片中任取1塊芯片，則取得的芯片是次品的概率為.【答案】0.07/【分析】利用條件概率即可求得從這20塊芯片中任取1塊芯片取得的芯片是次品的概率.【詳解】記“20塊芯片中任取1塊芯片，取得的芯片是次品”為事件B，分別記從這20塊芯片中任取1塊芯片，則該芯片為甲、乙、丙生產(chǎn)為事件則，則故答案為：0.0714．根據(jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和.現(xiàn)在對直角三角形按上述操作作圖后，得如圖所示的圖形.若，則.【答案】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，標(biāo)出各個點的坐標(biāo)，利用平面向量的坐標(biāo)運算即可得解.【詳解】如圖，以A為原點，分別以為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長為，則正方形的邊長為，正方形邊長為可知，，，則，，即又，即，即，化簡得故答案為：15．已知直線與拋物線交于兩點，且交于點，點的坐標(biāo)為，則的面積.【答案】【分析】求出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，得到兩根之和，兩根之積，由得到方程，然后求出的值，再求出，最后求出面積即可.【詳解】點的坐標(biāo)為，則，又，且直線過點，則直線的方程為，整理得，設(shè)點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，由，得，即，直線的方程為，，①，聯(lián)立與，消去得，則②，把②代入①，解得，故，又直線與軸的交點為，所以.故答案為：.16．已知函數(shù)，且，則的最小值是.【答案】2【分析】利用，單調(diào)性與對稱性，可知，若有，則必有成立.再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】∵在為單調(diào)遞增的奇函數(shù)，∴有且僅有一個對稱中心，∴單調(diào)遞增，有且僅有一個對稱中心，又∵，∴，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，∴的最小值是.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，其中17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求A的值；(2)若的平分線與交于點，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換化簡得，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)分析求解；（2）根據(jù)題意得，結(jié)合，得到，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，則，，即，可得，因為，則，則，整理得，又因為，則，可得，所以.（2）因為平分且，所以，由，可得，整理得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故面積的最小值為．18．已知數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列為等比數(shù)列，且，分別為數(shù)列的第二項和第三項.(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】(1)，(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系求出的通項公式，由中的項和等比數(shù)列通項公式的關(guān)系求出的通項公式；（2）利用裂項求和進行求解.【詳解】（1）因為數(shù)列的前項和為，且，當(dāng)時，,當(dāng)時，,也滿足上式，所以,在數(shù)列中，,則公比，,所求通項公式為，.（2）由(1)得而

因為，故19．如圖，在斜三棱柱中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面為菱形，已知，．(1)當(dāng)時，求三棱柱的體積；(2)設(shè)點P為側(cè)棱上一動點，當(dāng)時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍．【答案】(1)3(2)【分析】（1）取的中點為O，根據(jù)等邊三角形可知，，再計算出各個長度可知，根據(jù)線面垂直判定定理可證平面，即為三棱柱的高，根據(jù)體積公式求出即可；（2）根據(jù)及余弦定理解出，以為原點建立合適空間直角坐標(biāo)系，找出點的坐標(biāo)，求出平面的一個法向量，設(shè)，求出，根據(jù)直線面所成角的正弦值等于線與法向量夾角的余弦值的絕對值建立等式，構(gòu)造新函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求得范圍.【詳解】（1）解：如圖，取的中點為O，因為為菱形，且，所以為正三角形，又有為正三角形且邊長為2，則，，且，，所以，所以，因為又，平面，平面，所以平面，所以三棱柱的體積．（2）在中，，，由余弦定理可得，所以，由（1），，又，平面，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面，所以在平面內(nèi)作，則平面，以，，所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則，，，，，，設(shè)是平面的一個法向量，，，則，即，取得，設(shè)，則，設(shè)直線與平面所成角為，則，令，則在單調(diào)遞增，所以，故直線與平面所成角的正弦值的取值范圍為．20．隨著春季學(xué)期開學(xué)，郴州市市場監(jiān)管局加強了對學(xué)校食堂食品安全管理，助力推廣校園文明餐桌行動，培養(yǎng)廣大師生文明餐桌新理念，以“小餐桌”帶動“大文明”，同時踐行綠色發(fā)展理念.郴州市某中學(xué)食堂每天都會提供A，B兩種套餐供學(xué)生選擇（學(xué)生只能選擇其中的一種），經(jīng)過統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇A套餐的概率為，選擇B套餐的概率為.而前一天選擇了A套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率為；前一天選擇套餐的學(xué)生第二天選擇A套餐的概率為，選擇套餐的概率也是，如此往復(fù).記同學(xué)甲第天選擇套餐的概率為.(1)求同學(xué)甲第二天選擇套餐的概率；(2)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(3)從該校所有學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生統(tǒng)計第二天選擇去A餐廳就餐的人數(shù)，用表示這100名學(xué)生中恰有名學(xué)生選擇去A餐廳就餐的概率，求取最大值時對應(yīng)的的值.【答案】(1)(2)證明見解析(3)33【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式運算求解；（2）根據(jù)題意結(jié)合全概率公式可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；（3）根據(jù)題意分析可得，結(jié)合二項分布的概率公式列式求解.【詳解】（1）設(shè)“第1天選擇B套餐”，“第2天選擇B套餐”，則“第1天不選擇B套餐”.根據(jù)題意可知：.由全概率公式可得.（2）設(shè)“第天選擇B套餐”，則，根據(jù)題意.由全概率公式可得，整理得，且，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（3）第二天選擇A類套餐的概率由題意可得：同學(xué)甲第二天選擇A類套餐的概率為，則不選擇A類套餐的概率為，所以，則，當(dāng)取最大值時，則，即，解得，且，所以.21．已知函數(shù).(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性；(2)已知函數(shù)，其中，若存在，證明：.【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增(2)證明見解析【分析】（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）