2025高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講義第01講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合(學(xué)生版+解析)

第01講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合（20類核心考點(diǎn)精講精練）新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種。在新高考數(shù)學(xué)科目的考察中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的新定義占據(jù)了舉足輕重的地位，該部分內(nèi)容主要檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本概念、核心性質(zhì)及運(yùn)算技巧的掌握程度，同時(shí)也涵蓋了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解、計(jì)算能力的展現(xiàn)以及其在多種場景下的應(yīng)用。試題設(shè)計(jì)往往緊密貼合現(xiàn)實(shí)生活或科學(xué)情境，旨在評(píng)估學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)體系解決實(shí)際復(fù)雜問題的能力。新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決．對(duì)于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識(shí)點(diǎn)的延伸，更考查對(duì)于新知識(shí)的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點(diǎn)。對(duì)于以函數(shù)為背景的新定義問題的求解策略要緊扣新定義和用好函數(shù)的性質(zhì)，分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；同時(shí)時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質(zhì)的一些因素（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.為此，考生需對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運(yùn)算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本定義、其蘊(yùn)含的幾何與物理意義以及多樣化的計(jì)算方法。進(jìn)一步地，針對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的典型應(yīng)用，如求解最優(yōu)化問題、分析變化率趨勢、確定曲線在某點(diǎn)的切線方程等，考生應(yīng)具備扎實(shí)的分析思路和有效的解決策略。綜上所述，備考過程中，考生應(yīng)高度重視基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與深化，同時(shí)加強(qiáng)針對(duì)實(shí)際問題的解題訓(xùn)練，以提升自身的綜合應(yīng)用能力。考點(diǎn)一、高斯取整函數(shù)1．（2024·山東青島·三模）定義x表示不超過的最大整數(shù).例如:，則（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．是增函數(shù)2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，記表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”．例如：，．(1)設(shè)，，求證：是的一個(gè)周期，且恒成立；(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)．①求證：；②求的值．1．（2024·全國·一模）數(shù)學(xué)上，常用表示不大于x的最大整數(shù)．已知函數(shù)，則下列正確的是（）．A．函數(shù)在定義域上是奇函數(shù) B．函數(shù)的零點(diǎn)有無數(shù)個(gè)C．函數(shù)在定義域上的值域是 D．不等式解集是2．（2024·河南開封·二模）（多選）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（

）A．，B．，，C．，D．，3．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）函數(shù)是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.若在函數(shù)的定義域內(nèi)，均滿足在區(qū)間上，是一個(gè)常數(shù)，則稱為的取整數(shù)列，稱為的區(qū)間數(shù)列.下列說法正確的是（

）A．的區(qū)間數(shù)列的通項(xiàng)B．的取整數(shù)列的通項(xiàng)C．的取整數(shù)列的通項(xiàng)D．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和考點(diǎn)二、二階行列式1．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）定義，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（2023·河南·三模）我們稱為“二階行列式”，規(guī)定其運(yùn)算為．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且，若?duì)定義域內(nèi)的任意都有，則（

）A． B．是偶函數(shù) C．是周期函數(shù) D．沒有極值點(diǎn)2．（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）把符號(hào)稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為．已知函數(shù)．(1)若，，求的值域；(2)函數(shù)，若對(duì)，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)三、狄利克雷函數(shù)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．有零點(diǎn) B．是單調(diào)函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是周期函數(shù)2．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）（多選）狄利克雷函數(shù)是由著名德國數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定義在實(shí)數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有很重大的研究意義，例如對(duì)研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達(dá)式為（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），則關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的是（

）A． B．它是偶函數(shù)C．它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期 D．它的值域?yàn)?．（2024·廣東惠州·三模）（多選）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對(duì)的說法正確的是（

）A．B．的值域?yàn)镃．存在是無理數(shù)，使得D．，總有2．（2024·重慶·一模）（多選）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．對(duì)于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形E．在圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形考點(diǎn)四、sgnx函數(shù)1．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件1．（2024·北京·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)上的符號(hào)函數(shù)可以返回一個(gè)整型變量，用來指出參數(shù)的正負(fù)號(hào)，一般用來表示，其解析式為.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；③函數(shù)的對(duì)稱中心為；④在上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）考點(diǎn)五、最大值最小值函數(shù)1．（22-23高三上·階段練習(xí)）已知表示，，中的最大值，例如，若函數(shù)，則的最小值為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．52．（2024·廣東韶關(guān)·二模）定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為中最大的數(shù).已知正實(shí)數(shù)，記，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．42．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．考點(diǎn)六、歐拉函數(shù)1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．若，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容．對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)表示小于或等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說，是所有不超過n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：，．則以下是真命題的有（

）A．的定義域?yàn)?，其值域也是B．在其定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)C．不存在，使得方程有無數(shù)解D．，當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），(1)求和；(2)現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿足；已知對(duì)素?cái)?shù)a和，均有，證明：若，則；(3)設(shè)n為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，，為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且；又，，，試用，和n求出x的值．1．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．2．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素(兩個(gè)數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)相同的概率是.考點(diǎn)七、黎曼函數(shù)8．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）（多選）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：（注：分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，稱為既約分?jǐn)?shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．黎曼函數(shù)的定義域?yàn)镃．黎曼函數(shù)的最大值為D．若是奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：時(shí)，．若數(shù)列，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．考點(diǎn)八、曲率1．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）曲率是數(shù)學(xué)上衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，對(duì)于曲線，其在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．則拋物線上的各點(diǎn)處的曲率最大值為（

）A． B．p C． D．2．（2024·全國·二模）廣州小蠻腰是廣州市的地標(biāo)性建筑，奇妙的曲線造型讓建筑充滿了美感，數(shù)學(xué)上用曲率表示曲線的彎曲程度.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)記為，則函數(shù)的圖象在x0,fx0的曲率.(1)求橢圓在處的曲率；(2)證明：函數(shù)圖象的曲率的極大值點(diǎn)位于區(qū)間.1．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）（多選）曲線的曲率就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)．下面說法正確的是（）A．若函數(shù)，則曲線在點(diǎn)與點(diǎn)處的彎曲程度相同B．若是二次函數(shù)，則曲線的曲率在頂點(diǎn)處取得最小值C．若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)镈．若函數(shù)，則曲線上任意一點(diǎn)的曲率的最大值為考點(diǎn)九、極值點(diǎn)與拐點(diǎn)1．（2024·湖南長沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的一個(gè)鄰域（包含該點(diǎn)的開區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（小），這函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（小）值.對(duì)于函數(shù)，設(shè)自變量x從變化到，當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右可導(dǎo)；當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).(1)請舉出一個(gè)例子，說明該函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但是該點(diǎn)是該函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)已知函數(shù).（?。┣蠛瘮?shù)在處的切線方程；（ⅱ）若為的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.2．（2024·貴州·模擬預(yù)測）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．在區(qū)間上單調(diào)遞減1．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為.若，且，則為曲線的拐點(diǎn).(1)判斷曲線是否有拐點(diǎn)，并說明理由；(2)已知函數(shù)，若為曲線的一個(gè)拐點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間與極值.考點(diǎn)十、洛必達(dá)法則1．（20-21高二下·重慶江北·階段練習(xí)）我們把分子、分母同時(shí)趨近于0的分式結(jié)構(gòu)稱為型，比如：當(dāng)時(shí)，的極限即為型．兩個(gè)無窮小之比的極限可能存在，也可能不存在，為此，洛必達(dá)在1696年提出洛必達(dá)法則：在一定條件下通過對(duì)分子、分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式值的方法．如：，則（

）A．0 B． C．1 D．22．（2024·浙江·二模）①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具——洛必達(dá)法則，法則中有結(jié)論：若函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)分別為，，且，則.②設(shè)，k是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)滿足：對(duì)任意，均有成立，且，則稱函數(shù)為區(qū)間上的k階無窮遞降函數(shù).結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：(1)試判斷是否為區(qū)間上的2階無窮遞降函數(shù)；(2)計(jì)算：；(3)證明：，.1．（2024·河北邢臺(tái)·二模）在函數(shù)極限的運(yùn)算過程中，洛必達(dá)法則是解決未定式型或型極限的一種重要方法，其含義為：若函數(shù)和滿足下列條件：①且（或，）；②在點(diǎn)的附近區(qū)域內(nèi)兩者都可導(dǎo)，且；③（可為實(shí)數(shù)，也可為），則．(1)用洛必達(dá)法則求；(2)函數(shù)（，），判斷并說明的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(3)已知，，，求的解析式．參考公式：，．考點(diǎn)十一、不動(dòng)點(diǎn)與復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·三模）在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里的一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，簡單的講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)．函數(shù)有個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．2．（2024·廣東廣州·二模）若是方程的實(shí)數(shù)解，則稱是函數(shù)與的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”．若函數(shù)且與有且僅有兩個(gè)不同的“復(fù)合穩(wěn)定點(diǎn)”，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·貴州黔西·一模）布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可運(yùn)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer).簡單地講就是:對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，我們就稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，實(shí)數(shù)為該函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).(1)求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);(2)若函數(shù)有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，且，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.1．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）對(duì)于函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求證；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(3)設(shè)，證明．2．（2024·河北滄州·一模）對(duì)于函數(shù)，，若存在，使得，則稱為函數(shù)的一階不動(dòng)點(diǎn)；若存在，使得，則稱為函數(shù)的二階不動(dòng)點(diǎn)；依此類推，可以定義函數(shù)的階不動(dòng)點(diǎn)．其中一階不動(dòng)點(diǎn)簡稱為“不動(dòng)點(diǎn)”，二階不動(dòng)點(diǎn)簡稱為“穩(wěn)定點(diǎn)”，函數(shù)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”構(gòu)成的集合分別記為和，即，．(1)若，證明：集合中有且僅有一個(gè)元素；(2)若，討論集合的子集的個(gè)數(shù)．考點(diǎn)十二、可移倒數(shù)點(diǎn)1．（2024·江蘇蘇州·三模）對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函”，為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”.設(shè)，若函數(shù)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，則的取值范圍（

）A． B． C． D．1．（2024·山東聊城·二模）對(duì)于函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，其中，則稱為“可移倒數(shù)函數(shù)”，為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”．已知．(1)設(shè)，若為“的可移倒數(shù)點(diǎn)”，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)，若函數(shù)恰有3個(gè)“可移1倒數(shù)點(diǎn)”，求的取值范圍．考點(diǎn)十三、泰勒展開1．（2024·貴州貴陽·一模）英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設(shè)，根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題.(1)證明：；(2)設(shè)，證明：；(3)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（2024·貴州遵義·三模）英國數(shù)學(xué)家泰勒（B．Taylor，1685—1731）發(fā)現(xiàn)了：當(dāng)函數(shù)在定義域內(nèi)n階可導(dǎo)，則有如下公式：以上公式稱為函數(shù)的泰勒展開式，簡稱為泰勒公式．其中，，表示的n階導(dǎo)數(shù)，即連續(xù)求n次導(dǎo)數(shù)．根據(jù)以上信息，并結(jié)合高中所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，解決如下問題：(1)寫出的泰勒展開式（至少有5項(xiàng)）；(2)設(shè)，若是的極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若，k為正整數(shù)，求k的值．1．（2024·安徽·一模）給出以下三個(gè)材料：①若函數(shù)可導(dǎo)，我們通常把導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做的二階導(dǎo)數(shù)，記作.類似的，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)，記作，函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的四階導(dǎo)數(shù)……，一般地，函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)，記作，；②若，定義；③若函數(shù)在包含的某個(gè)開區(qū)間上具有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么對(duì)于任意有，我們將稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒展開式.例如在點(diǎn)處的泰勒展開式為根據(jù)以上三段材料，完成下面的題目：(1)求出在點(diǎn)處的泰勒展開式；(2)用在點(diǎn)處的泰勒展開式前三項(xiàng)計(jì)算的值，精確到小數(shù)點(diǎn)后4位；(3)現(xiàn)已知，試求的值.考點(diǎn)十四、麥克勞林展開1．（24-25高三上·四川成都·開學(xué)考試）麥克勞林展開式是泰勒展開式的一種特殊形式，的麥克勞林展開式為：，其中表示的n階導(dǎo)數(shù)在0處的取值，我們稱為麥克勞林展開式的第項(xiàng)．例如：．(1)請寫出的麥克勞林展開式中的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)；(2)數(shù)學(xué)競賽小組發(fā)現(xiàn)的麥克勞林展開式為，這意味著：當(dāng)時(shí)，，你能幫助數(shù)學(xué)競賽小組完成對(duì)此不等式的證明嗎？(3)當(dāng)時(shí)，若，求整數(shù)的最大值．1．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在區(qū)間0,1上的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(2)“”是一個(gè)求和符號(hào)，例如，，等等．英國數(shù)學(xué)家布魯克·泰勒發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，，這就是麥克勞林展開式在三角函數(shù)上的一個(gè)經(jīng)典應(yīng)用．證明：（i）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有；（ii）．考點(diǎn)十五、拉格朗日中值定理1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，且在處取得極大值．(1)求的值與的單調(diào)區(qū)間．(2)如圖，若函數(shù)y=fx的圖像在連續(xù)，試猜想拉格朗日中值定理，即一定存在，使得，求的表達(dá)式〔用含的式子表示〕．(3)利用這條性質(zhì)證明：函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的連線斜率不大于．2．（2024·山西·三模）微分中值定理是微積分學(xué)中的重要定理，它是研究區(qū)間上函數(shù)值變化規(guī)律的有效工具，其中拉格朗日中值定理是核心，它的內(nèi)容如下:如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間可導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)為，那么在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得，其中叫做在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在上的“拉格朗日中值點(diǎn)”；(2)若，求證:函數(shù)在區(qū)間圖象上任意兩點(diǎn)，連線的斜率不大于；(3)若，且，求證:.1．（23-24高二下·江西九江·階段練習(xí)）已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的在點(diǎn)處的切線；(2)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(3)若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，，且，使得，則稱為“拉格朗日中值函數(shù)”，并稱線段的中點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)“拉格朗日平均值點(diǎn)”.試判斷函數(shù)是否為“拉格朗日中值函數(shù)”，若是，判斷函數(shù)的“拉格朗日平均值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)；若不是，說明理由.2．（2024·廣東·二模）拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，其內(nèi)容為：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為f′x，那么在區(qū)間內(nèi)存在點(diǎn)，使得成立．設(shè)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．易知，在實(shí)數(shù)集上有唯一零點(diǎn)，且．(1)證明：當(dāng)時(shí)，；(2)從圖形上看，函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．直接求解的零點(diǎn)是困難的，運(yùn)用牛頓法，我們可以得到零點(diǎn)的近似解：先用二分法，可在中選定一個(gè)作為的初始近似值，使得，然后在點(diǎn)x0,fx0處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的一次近似值；在點(diǎn)x1,fx1處作曲線y=fx的切線，切線與軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱是的二次近似值；重復(fù)以上過程，得的近似值序列．①當(dāng)時(shí)，證明：；②根據(jù)①的結(jié)論，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法可以證得：為遞減數(shù)列，且．請以此為前提條件，證明：．考點(diǎn)十六、帕德近似1．（22-23高二下·山東濟(jì)南·期中）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理數(shù)多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為，且滿足：...已知在處的階帕德近似為.注：，(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)求證：；(3)求不等式的解集，其中，2．（2024·福建廈門·三模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法，在計(jì)算機(jī)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用.已知函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.其中，，…，.已知在處的階帕德近似為.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)設(shè)，證明：；(3)已知是方程的三個(gè)不等實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：.1．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習(xí)）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，，，注：，，，，已知函數(shù).(1)求函數(shù)在處的階帕德近似，并求的近似數(shù)精確到(2)在（1）的條件下：①求證：；②若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2．（23-24高二下·湖北·期中）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：.（注：，為的導(dǎo)數(shù)）已知在處的階帕德近似為.(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)證明：當(dāng)時(shí)，；(3)設(shè)為實(shí)數(shù)，討論方程的解的個(gè)數(shù).考點(diǎn)十七、萊布尼茨1．（23-24高二下·貴州安順·期末）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線1691年，萊布尼茨等得出“懸鏈線”方程為.當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似的我們可以定義雙曲正弦函數(shù).它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).(1)求與的導(dǎo)數(shù)；(2)證明：在上恒成立；(3)求的零點(diǎn).2．（2024·甘肅酒泉·三模）十七世紀(jì)至十八世紀(jì)的德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲是世界上第一個(gè)提出二進(jìn)制記數(shù)法的人，用二進(jìn)制記數(shù)只需數(shù)字0和1，對(duì)于整數(shù)可理解為逢二進(jìn)一，例如：自然數(shù)1在二進(jìn)制中就表示為，2表示為，3表示為，5表示為，發(fā)現(xiàn)若可表示為二進(jìn)制表達(dá)式，則，其中，或．(1)記，求證：；(2)記為整數(shù)的二進(jìn)制表達(dá)式中的0的個(gè)數(shù)，如，．（?。┣螅唬áⅲ┣螅ㄓ脭?shù)字作答）．1．（22-23高一上·江蘇南通·期末）對(duì)于任意兩個(gè)正數(shù)，記曲線與直線軸圍成的曲邊梯形的面積為，并約定和，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Leibniz）最早發(fā)現(xiàn)．關(guān)于，下列說法正確的是（

）A． B．C． D．2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）固定項(xiàng)鏈的兩端，在重力的作用下項(xiàng)鏈所形成的曲線是懸鏈線年，萊布尼茨等得出懸鏈線的方程為，其中為參數(shù)．當(dāng)時(shí)，該表達(dá)式就是雙曲余弦函數(shù)，記為，懸鏈線的原理常運(yùn)用于懸索橋、架空電纜、雙曲拱橋、拱壩等工程．已知三角函數(shù)滿足性質(zhì)：①導(dǎo)數(shù)：；②二倍角公式：；③平方關(guān)系：．定義雙曲正弦函數(shù)為．(1)寫出，具有的類似于題中①、②、③的一個(gè)性質(zhì)，并證明該性質(zhì)；(2)任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．考點(diǎn)十八、函數(shù)凹凸性1．（2024·安徽·模擬預(yù)測）給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)數(shù)，記.若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù).以下四個(gè)函數(shù)在上不是是凸函數(shù)的是（

）A． B．C． D．2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；(2)若，判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).1．（2024·安徽·三模）丹麥數(shù)學(xué)家琴生是19世紀(jì)對(duì)數(shù)學(xué)分析做出卓越貢獻(xiàn)的巨人，特別在函數(shù)的凹凸性與不等式方面留下了很多寶貴的成果.若為上任意個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，則稱函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.也可設(shè)可導(dǎo)函數(shù)在上的導(dǎo)函數(shù)為在上的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為“凹函數(shù)”.已知，且，令的最小值為，則為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測）閱讀以下材料：①設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).若在區(qū)間D單調(diào)遞增；則稱為區(qū)上的凹函數(shù)；若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù).②平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)稱為函數(shù)的“切點(diǎn)”，當(dāng)且僅當(dāng)過點(diǎn)恰好能作曲線的條切線，其中.(1)已知函數(shù).（i）當(dāng)時(shí)，討論的凹凸性；（ii）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在軸右側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，求點(diǎn)的集合；(2)已知函數(shù)，點(diǎn)在軸左側(cè)且為的“3切點(diǎn)”，寫出點(diǎn)的集合（不需要寫出求解過程）.考點(diǎn)十九、切線問題1．（23-24高二下·上海閔行·期末）若函數(shù)的圖像上有兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱該切線為函數(shù)的圖像的“自公切線”.(1)試判斷函數(shù)與的圖像是否存在“自公切線”（不需要說明理由）；(2)若，求函數(shù)的圖像的“自公切線”方程；(3)設(shè)，求證：函數(shù)的圖像不存在“自公切線”2．（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）曲線的切線?曲面的切平面在平面幾何?立體幾何以及解析幾何中有著重要的應(yīng)用，更是聯(lián)系數(shù)學(xué)與物理學(xué)的重要工具，在極限理論的研究下，導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，更是與切線有著密不可分的關(guān)系，數(shù)學(xué)家們以不同的方法研究曲線的切線?曲面的切平面，用以解決實(shí)際問題：(1)對(duì)于函數(shù)，分別在點(diǎn)處作函數(shù)的切線，記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”，同理記切線與軸的交點(diǎn)分別為，記為數(shù)列的第項(xiàng)，則稱數(shù)列為函數(shù)的“切線軸數(shù)列”.①設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為；②設(shè)函數(shù)，記的“切線軸數(shù)列”為，則，求的通項(xiàng)公式.(2)在探索高次方程的數(shù)值求解問題時(shí)，牛頓在《流數(shù)法》一書中給出了牛頓迭代法：用“作切線”的方法求方程的近似解.具體步驟如下：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取作為的初始近似值，曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的1次近似值；曲線在點(diǎn)處的切線為，設(shè)與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，稱為的2次近似值.一般地，曲線在點(diǎn)處的切線為，記與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并稱為的次近似值.已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中.對(duì)函數(shù)持續(xù)實(shí)施牛頓迭代法得到數(shù)列，我們把該數(shù)列稱為牛頓數(shù)列，令數(shù)列滿足，且，證明：.（注：當(dāng)時(shí)，恒成立，無需證明）1．（2024·上海黃浦·二模）若函數(shù)的圖象上的兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線互相重合，則稱該切線為函數(shù)的圖象的“自公切線”，稱這兩點(diǎn)為函數(shù)的圖象的一對(duì)“同切點(diǎn)”.(1)分別判斷函數(shù)與的圖象是否存在“自公切線”，并說明理由；(2)若，求證：函數(shù)有唯一零點(diǎn)且該函數(shù)的圖象不存在“自公切線”；(3)設(shè)，的零點(diǎn)為，，求證：“存在，使得點(diǎn)與是函數(shù)的圖象的一對(duì)‘同切點(diǎn)’”的充要條件是“是數(shù)列中的項(xiàng)”.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知為實(shí)數(shù)，函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；(2)定義：若函數(shù)的圖象上存在兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若在點(diǎn)處的切線與直線平行或重合，則函數(shù)是“中值平衡函數(shù)”，切線叫做函數(shù)的“中值平衡切線”．試判斷函數(shù)是否是“中值平衡函數(shù)”？若是，判斷函數(shù)的“中值平衡切線”的條數(shù)；若不是，說明理由；(3)設(shè)，若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．考點(diǎn)二十、類型函數(shù)1．（2024·浙江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，則稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，并說明理由；(2)已知函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的最大值；(3)若函數(shù)是“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求的取值范圍.2．（2024·黑龍江·三模）若函數(shù)y=fx滿足：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有恒成立，則稱函數(shù)y=fx為“增函數(shù)”.(1)求證：函數(shù)不是“增函數(shù)”；(2)若函數(shù)是“增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)設(shè)，若曲線y=gx在處的切線方程為，求的值，并證明函數(shù)y=gx是“增函數(shù)”.1．（2024·貴州六盤水·三模）若函數(shù)在上有定義，且對(duì)于任意不同的，都有，則稱為上的“k類函數(shù)”(1)若，判斷是否為上的“4類函數(shù)”；(2)若為上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若為上的“2類函數(shù)”且，證明：，，.2．（2024·新疆喀什·三模）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：對(duì)于任意的，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)判斷函數(shù)，是否具有性質(zhì)；（直接寫出結(jié)論）(2)已知函數(shù)（，），判斷是否存在，，使函數(shù)具有性質(zhì)？若存在，求出，的值；若不存在，說明理由；(3)設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)，且在區(qū)間上的值域?yàn)閒0,f2π．函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)．求證：f2π=21．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）表示大于或者等于的最小整數(shù)，表示小于或者等于的最大整數(shù)．已知函數(shù)，且滿足：對(duì)有，則的可能取值是（

）A． B．0 C． D．2．（2024·山東菏澤·二模）（多選）函數(shù)的函數(shù)值表示不超過的最大整數(shù)，例如，．下列結(jié)論正確的有（

）A．函數(shù)與函數(shù)無公共點(diǎn)B．若，則C．D．所有滿足的點(diǎn)組成區(qū)域的面積為3．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）著名的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷在19世紀(jì)提出了這樣一個(gè)“奇怪的”函數(shù)：定義在上的函數(shù).后來數(shù)學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)該函數(shù)在其定義域上處處不連續(xù)、處處不可導(dǎo)．根據(jù)該函數(shù)，以下是真命題的有（

）A．B．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱C．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱D．存在一個(gè)正三角形，其頂點(diǎn)均在的圖象上4．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）記實(shí)數(shù)的最小數(shù)為，若，則函數(shù)的最大值為．5．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）（多選）定義表示中的最小者，設(shè)函數(shù)，則（

）A．有且僅有一個(gè)極小值點(diǎn)為 B．有且僅有一個(gè)極大值點(diǎn)為3C． D．恒成立6．（23-24高一上·福建三明·期中）已知，定義：，設(shè).若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．（2024·江西南昌·三模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.8．（2024·貴州黔南·二模）歐拉函數(shù)表示不大于正整數(shù)且與互素（互素：公約數(shù)只有1）的正整數(shù)的個(gè)數(shù).已知，其中，，…，是的所有不重復(fù)的質(zhì)因數(shù)（質(zhì)因數(shù)：因數(shù)中的質(zhì)數(shù)）.例如.若數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，則.9．（23-24高三下·北京海淀·階段練習(xí)）華人數(shù)學(xué)家李天巖和美國數(shù)學(xué)家約克給出了“混濁”的數(shù)學(xué)定義：由此發(fā)展的混濁理論在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和社會(huì)學(xué)領(lǐng)域都有重要作用，在混沌理論中，函數(shù)的周期點(diǎn)是一個(gè)關(guān)鍵概念，定義如下：設(shè)是定義在R上的函數(shù)，對(duì)于，令，若存在正整數(shù)k使得，且當(dāng)時(shí)，，則稱是的一個(gè)周期為k的周期點(diǎn)．若，寫出一個(gè)周期為1的周期點(diǎn)．10．（22-23高二下·北京海淀·期中）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1778年在其著作《解析函數(shù)論》中提出一個(gè)定理：如果函數(shù)滿足如下條件：①的圖象在閉區(qū)間上是連續(xù)不斷的；②在區(qū)間上都有導(dǎo)數(shù).則在區(qū)間上至少存在一個(gè)數(shù)，使得.這就是著名的“拉格朗日中值定理”，其中稱為拉格朗日中值.請閱讀以上內(nèi)容，回答以下問題:(1)函數(shù)在區(qū)間上的拉格朗日中值為____________；(2)下列函數(shù)，是否存在以0為拉格朗日中值的區(qū)間?若存在，請將函數(shù)對(duì)應(yīng)的序號(hào)全部填在橫線上____________.①；

②；

③；

④；

⑤11．（2024·湖北·一模）我們知道通過牛頓萊布尼茲公式，可以求曲線梯形（如圖1所示陰影部分）的面積，其中，．如果平面圖形由兩條曲線圍成（如圖2所示陰影部分），曲線可以表示為，曲線可以表示為，那么陰影區(qū)域的面積，其中．(1)如圖，連續(xù)函數(shù)y=fx在區(qū)間與的圖形分別為直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間與0,2的圖形分別為直徑為2的下、上半圓周，設(shè)．求的值；(2)在曲線上某一個(gè)點(diǎn)處作切線，便之與曲線和x軸所圍成的面積為，求切線方程；(3)正項(xiàng)數(shù)列bn是以公差為d（d為常數(shù)，）的等差數(shù)列，，兩條拋物線，記它們交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為，兩條拋物線圍成的封閉圖形的面積為，求證：．12．（2024·山西臨汾·三模）記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，，若存在，則稱階可導(dǎo)．英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱其為在處的次泰勒多項(xiàng)式）來逼近在附近的函數(shù)值．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．在處的3次泰勒多項(xiàng)式為D．（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位數(shù)字）13．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）根據(jù)多元微分求條件極值理論，要求二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)，首先構(gòu)造出一個(gè)拉格朗日輔助函數(shù)，其中為拉格朗日系數(shù)．分別對(duì)中的部分求導(dǎo)，并使之為0，得到三個(gè)方程組，如下：，解此方程組，得出解，就是二元函數(shù)在約束條件的可能極值點(diǎn)．的值代入到中即為極值．補(bǔ)充說明：【例】求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)．即：將變量當(dāng)做常數(shù)，即：，下標(biāo)加上，代表對(duì)自變量x進(jìn)行求導(dǎo)．即拉格朗日乘數(shù)法方程組之中的表示分別對(duì)進(jìn)行求導(dǎo)．(1)求函數(shù)關(guān)于變量的導(dǎo)數(shù)并求當(dāng)處的導(dǎo)數(shù)值．(2)利用拉格朗日乘數(shù)法求：設(shè)實(shí)數(shù)滿足，求的最大值．(3)①若為實(shí)數(shù)，且，證明：．②設(shè)，求的最小值．14．（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）記，若存在，滿足：對(duì)任意，均有，則稱為函數(shù)在上的最佳逼近直線.已知函數(shù)，.(1)請寫出在上的最佳逼近直線，并說明理由；(2)求函數(shù)在上的最佳逼近直線.15．（2024·上?！つM預(yù)測）設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)y=fx在上可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)為y=f′x.若區(qū)間及實(shí)數(shù)滿足：對(duì)任意成立，則稱函數(shù)y=fx為上的“函數(shù)”.(1)判斷是否為0,+∞上的函數(shù)，說明理由；(2)若實(shí)數(shù)滿足：為上的函數(shù)，求的取值范圍；(3)已知函數(shù)y=fx存在最大值．對(duì)于：：對(duì)任意與恒成立，：對(duì)任意正整數(shù)都是上的函數(shù)，問：是否為的充分條件？是否為的必要條件？證明你的結(jié)論.16．（2024·河南信陽·二模）已知函數(shù)，其中，.若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過點(diǎn)的切線與函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”，現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點(diǎn)列，，…，，…，使得對(duì)任意正整數(shù)，點(diǎn)都是點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”.(1)若，請判斷原點(diǎn)是否存在“上位點(diǎn)”，并說明理由；(2)若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請分別求出點(diǎn)、的坐標(biāo)；(3)若的坐標(biāo)為，記點(diǎn)到直線的距離為.問是否存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得無窮數(shù)列、、…、…嚴(yán)格減？若存在，求出實(shí)數(shù)的所有可能值；若不存在，請說明理由.17．（23-24高二下·江西九江·期末）記為函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)，，若存在，則稱階可導(dǎo).英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)：若在附近階可導(dǎo)，則可構(gòu)造（稱其為在處的次泰勒多項(xiàng)式）來逼近在附近的函數(shù)值.下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．在處的3次泰勒多項(xiàng)式為 D．18．（23-24高一上·山東臨沂·期末）臨沂一中校本部19、20班數(shù)學(xué)小組在探究函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，發(fā)現(xiàn)通過函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性，還無法準(zhǔn)確地描述出函數(shù)的圖象，例如函數(shù)和，雖然它們都是增函數(shù)，但是圖像上卻有很大的差異.通過觀察圖像和閱讀數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，該小組了解到了函數(shù)的凹凸性的概念.已知定義：設(shè)連續(xù)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋绻麑?duì)于內(nèi)任意兩數(shù)，都有，則稱為上的凹函數(shù)；若，則為凸函數(shù).對(duì)于函數(shù)的凹凸性，通過查閱資料，小組成員又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是區(qū)間上的凹函數(shù)，則對(duì)任意的,有不等式恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.小組成員通過詢問數(shù)學(xué)競賽的同學(xué)對(duì)他們研究的建議，得到了如下評(píng)注：在運(yùn)用琴生不等式求多元最值問題，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù).小組成員選擇了反比例型函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，研究函數(shù)的凹凸性.(1)設(shè)，求W=的最小值.(2)設(shè)為大于或等于1的實(shí)數(shù)，證明（提示：可設(shè)）(3)若a>1，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）定義：若是的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的曲率；已知函數(shù)，，曲線在點(diǎn)處的曲率為；(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(3)設(shè)方程在區(qū)間內(nèi)的根為，…比較與的大小，并證明．20．（2024·浙江紹興·二模）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，.已知在處的階帕德近似為.注：，，，，…(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)當(dāng)時(shí)，試比較與的大小，并證明；(3)定義數(shù)列：，，求證：.21．（2024·廣西柳州·模擬預(yù)測）帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）．已知在處的階帕德近似為．(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)比較與的大小；(3)若有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．22．（24-25高三上·江西鷹潭·階段練習(xí)）法國數(shù)學(xué)家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數(shù)論》中給出了一個(gè)定理，具體如下.如果函數(shù)滿足如下條件：①在閉區(qū)間上的圖象是連續(xù)的；②在開區(qū)間上可導(dǎo).則在開區(qū)間上至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得成立，人們稱此定理為“拉格朗日中值定理”.(1)已知且，（i）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）當(dāng)時(shí)，求證：.(2)已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，記作，若，證明：23．（23-24高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）閱讀材料一：“裝錯(cuò)信封問題”是由數(shù)學(xué)家約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667～1748）的兒子丹尼爾·伯努利提出來的，大意如下：一個(gè)人寫了封不同的信及相應(yīng)的個(gè)不同的信封，他把這封信都裝錯(cuò)了信封，問都裝錯(cuò)信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler，1707～1783）給出了解答：記都裝錯(cuò)封信的情況為種，可以用全排列減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中．閱讀材料二：英國數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當(dāng)在處階可導(dǎo)，則有：，注表示的階導(dǎo)數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式．閱讀以上材料后請完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大小（保留小數(shù)點(diǎn)后2位），并給出用和表示的估計(jì)公式；(3)求證：，其中．24．（2024·山東濰坊·三模）一個(gè)完美均勻且靈活的項(xiàng)鏈的兩端被懸掛，并只受重力的影響，這個(gè)項(xiàng)鏈形成的曲線形狀被稱為懸鏈線.1691年，萊布尼茨、惠根斯和約翰?伯努利等得到“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時(shí)，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地雙曲正弦函數(shù)，它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).(1)類比三角函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：①倍角公式；②平方關(guān)系；③求導(dǎo)公式寫出雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的一個(gè)正確的性質(zhì)并證明；(2)當(dāng)時(shí)，雙曲正弦函數(shù)圖象總在直線的上方，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，證明：25．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）如果三個(gè)互不相同的函數(shù)，，在區(qū)間上恒有或，則稱為與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”．(1)證明：函數(shù)為函數(shù)與在上的分割函數(shù)；(2)若函數(shù)為函數(shù)與在上的“分割函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若，且存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為函數(shù)與在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，求的最大第01講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的新定義綜合（20類核心考點(diǎn)精講精練）新定義”主要是指新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種。在新高考數(shù)學(xué)科目的考察中，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分的新定義占據(jù)了舉足輕重的地位，該部分內(nèi)容主要檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)函數(shù)的基本概念、核心性質(zhì)及運(yùn)算技巧的掌握程度，同時(shí)也涵蓋了對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解、計(jì)算能力的展現(xiàn)以及其在多種場景下的應(yīng)用。試題設(shè)計(jì)往往緊密貼合現(xiàn)實(shí)生活或科學(xué)情境，旨在評(píng)估學(xué)生運(yùn)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)體系解決實(shí)際復(fù)雜問題的能力。新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決．對(duì)于新定義的題目，一定要耐心理解定義，新的定義不但考查的是舊的知識(shí)點(diǎn)的延伸，更考查對(duì)于新知識(shí)的獲取理解能力，抓住關(guān)鍵點(diǎn)。對(duì)于以函數(shù)為背景的新定義問題的求解策略要緊扣新定義和用好函數(shù)的性質(zhì)，分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；同時(shí)時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的函數(shù)的性質(zhì)的一些因素（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對(duì)信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達(dá)的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對(duì)此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，并從描述中體會(huì)信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識(shí)的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.為此，考生需對(duì)基礎(chǔ)函數(shù)的各種屬性、圖象特征、運(yùn)算規(guī)律有深入透徹的理解，并熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本定義、其蘊(yùn)含的幾何與物理意義以及多樣化的計(jì)算方法。進(jìn)一步地，針對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的典型應(yīng)用，如求解最優(yōu)化問題、分析變化率趨勢、確定曲線在某點(diǎn)的切線方程等，考生應(yīng)具備扎實(shí)的分析思路和有效的解決策略。綜上所述，備考過程中，考生應(yīng)高度重視基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與深化，同時(shí)加強(qiáng)針對(duì)實(shí)際問題的解題訓(xùn)練，以提升自身的綜合應(yīng)用能力?？键c(diǎn)一、高斯取整函數(shù)1．（2024·山東青島·三模）定義x表示不超過的最大整數(shù).例如:，則（

）A． B．C．是偶函數(shù) D．是增函數(shù)【答案】B【分析】A選項(xiàng)，取特殊值，判斷出A選項(xiàng)的真假；B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，可得與的關(guān)系，可得，判斷出B選項(xiàng)的真假；C選項(xiàng)，取特殊值，利用偶函數(shù)定義驗(yàn)證，判斷出C的真假；D中，取特殊值，判斷出函數(shù)不是增函數(shù)，判斷出D的真假.【詳解】A選項(xiàng)，取，則，，顯然，所以A不正確；B選項(xiàng)，設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，所以，所以，所以，所以，即，所以，所以，故B正確；C選項(xiàng)，，因?yàn)椋?，所以不是偶函?shù)，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，所以，所以不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.2．（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）函數(shù)被稱為取整函數(shù)，也稱高斯函數(shù)，其中表示不大于實(shí)數(shù)的最大整數(shù)．若，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式求解最值，即可根據(jù)一元二次不等式求解，即可根據(jù)取整函數(shù)的定義求解.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由可得，所以，故，故選：C3．（2024·重慶·模擬預(yù)測）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，用其名字命名的“高斯函數(shù)”定義為：對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，記表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為“高斯函數(shù)”．例如：，．(1)設(shè)，，求證：是的一個(gè)周期，且恒成立；(2)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)．①求證：；②求的值．【答案】(1)證明見解析；(2)①證明見解析；②88.【分析】（1）根據(jù)新定義的理解，計(jì)算可得，結(jié)合當(dāng)時(shí)即可求解；（2）①：記，則，利用放縮法可證得、，進(jìn)而，即可證明；②：由①知，由（1）可得，則，令，結(jié)合裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得，即可求解.【詳解】（1）．故是的一個(gè)周期．當(dāng)時(shí)，，，故．由于周期為，故對(duì)任意，都有．（2）①記．，則．∵，∴．而．∴．∴，∴．②由①知，則．由（1）知：對(duì)任意，都有，∴．∴．∵，∴．令，∵；．∵，∴．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是數(shù)列求通項(xiàng)或求和.1．（2024·全國·一模）數(shù)學(xué)上，常用表示不大于x的最大整數(shù)．已知函數(shù)，則下列正確的是（）．A．函數(shù)在定義域上是奇函數(shù) B．函數(shù)的零點(diǎn)有無數(shù)個(gè)C．函數(shù)在定義域上的值域是 D．不等式解集是【答案】B【分析】設(shè)，A選項(xiàng)，注意到，可判斷選項(xiàng)正誤；B選項(xiàng)，等價(jià)于判斷方程根的個(gè)數(shù)；C選項(xiàng)，通過分析方程根的存在性可判斷選項(xiàng)正誤；D選項(xiàng)，等價(jià)于解不等式.【詳解】設(shè)，A選項(xiàng)，，，因，則不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，令，即函數(shù)的零點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故B正確；C選項(xiàng)，若，則，但，則，即函數(shù)在定義域上的值域不是?1,1，故C錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，，故D錯(cuò)誤.故選：B2．（2024·河南開封·二模）（多選）高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一．用其名字命名的高斯取整函數(shù)為，表示不超過x的最大整數(shù)，例如，．下列命題中正確的有（

）A．，B．，，C．，D．，【答案】BD【分析】根據(jù)給定的定義，結(jié)合存在量詞命題、全稱量詞命題的真假判斷方法逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，因此，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，令，則，，因此，B正確；對(duì)于C，取，，則，，顯然，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，因此，此時(shí)，D正確.故選：BD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：判斷全稱量詞命題為真、存在量詞命題為假必須推理論證；判斷全稱量詞命題為假、存在量詞命題為真只需舉例說明.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）函數(shù)是取整函數(shù)，也被稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如：，.若在函數(shù)的定義域內(nèi)，均滿足在區(qū)間上，是一個(gè)常數(shù)，則稱為的取整數(shù)列，稱為的區(qū)間數(shù)列.下列說法正確的是（

）A．的區(qū)間數(shù)列的通項(xiàng)B．的取整數(shù)列的通項(xiàng)C．的取整數(shù)列的通項(xiàng)D．若，則數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】BD【分析】由在上，得到，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)，可判定B正確；結(jié)合，可判定C錯(cuò)誤；得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，因?yàn)樵谏希?，，所以；在上，，所以，在上，，，所以，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由選項(xiàng)A知，，所以B正確.對(duì)于C中，因?yàn)?，所以，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由選項(xiàng)A知，可得，則，所以，兩式相減，所以D正確.故選：BD.考點(diǎn)二、二階行列式1．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）定義，若關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由，可得等價(jià)于，即，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C.1．（2023·河南·三模）我們稱為“二階行列式”，規(guī)定其運(yùn)算為．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，若?duì)定義域內(nèi)的任意都有，則（

）A． B．是偶函數(shù) C．是周期函數(shù) D．沒有極值點(diǎn)【答案】D【分析】經(jīng)行列式運(yùn)算后，得到關(guān)系式，將替換為代入，進(jìn)而得到函數(shù)的解析式，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由于，則，即為：（*），將替換為代入（*）式，得，且，得：，對(duì)于A，取，顯然滿足（*）式，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，定義域?yàn)?，則成立，所以是奇函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)非零常數(shù)為函數(shù)的周期，即，則，其中，即得，，這與假設(shè)為非零常數(shù)矛盾，所以不是周期函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由于，則，顯然沒有實(shí)數(shù)解，所以沒有極值點(diǎn)，故D正確；故選：D.2．（22-23高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）把符號(hào)稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為．已知函數(shù)．(1)若，，求的值域；(2)函數(shù)，若對(duì)，，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二次函數(shù)的性質(zhì)求得的值域.（2）先求得的最小值，由此轉(zhuǎn)化不等式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】（1），，則，的開口向下，對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以；?），∵，∴，令，則，函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的最小值為1，由題知，，即對(duì)于恒成立，即對(duì)于恒成立，令，則，記，，故只要，①當(dāng)時(shí)，，解得，∴，②當(dāng)時(shí)，，解得，∴，③當(dāng)時(shí)，，解得，∴．綜合①②③得，．【點(diǎn)睛】二次函數(shù)在閉區(qū)間上取得最值時(shí)的，只能是其圖像的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)或給定區(qū)間的端點(diǎn)．因此，影響二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值主要有三個(gè)因素:拋物線的開口方向、對(duì)稱軸以及給定區(qū)間的位置．在這三大因素中，最容易確定的是拋物線的開口方向（與二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)有關(guān))，而關(guān)于對(duì)稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系的討論是解決二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三、狄利克雷函數(shù)1．（2024·全國·模擬預(yù)測）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet）是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論正確的是（

）A．有零點(diǎn) B．是單調(diào)函數(shù)C．是奇函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】D【詳解】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)即可由或均為有理數(shù)求解A，根據(jù)即可判斷單調(diào)性求解B，根據(jù)和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，即可求解C，根據(jù)和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)即可求解D.【分析】對(duì)于A，因?yàn)榛蚓鶠橛欣頂?shù)，所以，故沒有零點(diǎn)，A錯(cuò)誤，對(duì)于B，因?yàn)?，所以，故不是單調(diào)函數(shù)，B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)楹屯瑸橛欣頂?shù)或同為無理數(shù)，所以，故是偶函數(shù)，C錯(cuò)誤，對(duì)于D，設(shè)為任意非零有理數(shù)，則和同為有理數(shù)或同為無理數(shù)，所以，故是周期函數(shù)（以任意非零有理數(shù)為周期），D正確，故選：D.2．（23-24高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）（多選）狄利克雷函數(shù)是由著名德國數(shù)學(xué)家狄利克雷創(chuàng)造的，它是定義在實(shí)數(shù)上、值域不連續(xù)的函數(shù)，它在數(shù)學(xué)的發(fā)展過程中有很重大的研究意義，例如對(duì)研究微積分就有很重要的作用，其函數(shù)表達(dá)式為（其中為有理數(shù)集，為無理數(shù)集），則關(guān)于狄利克雷函數(shù)說法正確的是（

）A． B．它是偶函數(shù)C．它是周期函數(shù)，但不存在最小正周期 D．它的值域?yàn)椤敬鸢浮緼BC【分析】根據(jù)題意，由狄利克雷函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，則，故A正確；若，則，則；若，則，則，所以為偶函數(shù)，故B正確；設(shè)任意，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，或，則，即任意非零有理數(shù)均是的周期，任何無理數(shù)都不是的周期，故C正確；函數(shù)的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；故選：ABC1．（2024·廣東惠州·三模）（多選）德國數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對(duì)的說法正確的是（

）A．B．的值域?yàn)镃．存在是無理數(shù)，使得D．，總有【答案】ABD【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義判斷選項(xiàng)A、B、C；分別對(duì)是無理數(shù)和有理數(shù)進(jìn)行分類討論可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由，可得的值域?yàn)?，所以，故選項(xiàng)A、B正確；因?yàn)楫?dāng)是無理數(shù)時(shí)，且是無理數(shù)，所以，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，均為無理數(shù)，此時(shí)有，當(dāng)是有理數(shù)時(shí)，均為有理數(shù)，此時(shí)有所以，總有，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD2．（2024·重慶·一模）（多選）德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其命名的函數(shù)被稱為狄利克雷函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)集，為有理數(shù)集，則以下關(guān)于狄利克雷函數(shù)的結(jié)論中，正確的是（

）A．函數(shù)為偶函數(shù)B．函數(shù)的值域是C．對(duì)于任意的，都有D．在圖象上不存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形E．在圖象存在不同的三個(gè)點(diǎn)，使得為等邊三角形【答案】ACE【分析】選項(xiàng)A中注意“若，則；，則”即可；選項(xiàng)B中注意；選項(xiàng)C中，內(nèi)層函數(shù)或，函數(shù)值都是有理數(shù)；選項(xiàng)DE取特殊情況判斷即可.【詳解】由于，對(duì)于選項(xiàng)A，設(shè)任意，則，；設(shè)任意，則，總之，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，f?x=f對(duì)于選項(xiàng)B，的值域?yàn)?，，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)，則，；當(dāng)，則，，C正確；對(duì)于選項(xiàng)DE，取，，得到為等邊三角形，D錯(cuò)誤E正確.故選：ACE.考點(diǎn)四、sgnx函數(shù)1．（2024·山東臨沂·一模）已知函數(shù)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】理解函數(shù)的性質(zhì)，舉反例說明充分性不成立，再利用指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)說明必要性成立，從而得解.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取，則，，此時(shí)，則不成立，即充分性不成立；當(dāng)時(shí)，，，所以，即必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.1．（2024·北京·模擬預(yù)測）數(shù)學(xué)上的符號(hào)函數(shù)可以返回一個(gè)整型變量，用來指出參數(shù)的正負(fù)號(hào)，一般用來表示，其解析式為.已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①函數(shù)的最小正周期為；②函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；③函數(shù)的對(duì)稱中心為；④在上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.其中正確結(jié)論的序號(hào)是.（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①④【分析】作出函數(shù)的圖象，通過圖象討論函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心和零點(diǎn)等問題.【詳解】函數(shù)，畫出函數(shù)的部分圖象，如圖所示：，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，結(jié)論①正確；由，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，結(jié)論②錯(cuò)誤；結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)的對(duì)稱中心為，結(jié)論③錯(cuò)誤；函數(shù)的零點(diǎn)，即方程的根，時(shí)方程不成立，方程等價(jià)于fx函數(shù)與函數(shù)的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn)，所以在上函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.結(jié)論④正確.故答案為：①④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：由符號(hào)函數(shù)的定義，把表示為分段函數(shù)，作出函數(shù)圖象，函數(shù)解析式結(jié)合圖象，解決函數(shù)周期、單調(diào)區(qū)間、對(duì)稱中心和零點(diǎn)等問題.考點(diǎn)五、最大值最小值函數(shù)1．（22-23高三上·階段練習(xí)）已知表示，，中的最大值，例如，若函數(shù)，則的最小值為（

）A．2.5 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，根據(jù)函數(shù)的新定義可得的圖象，由圖象即可得最小值.【詳解】如圖：在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)，，的圖象，因?yàn)椋缘膱D象如圖實(shí)線所示：由可得，由可得，由圖知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為，故選：B.2．（2024·廣東韶關(guān)·二模）定義，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值進(jìn)而得，化簡即可求解.【詳解】設(shè)，則，得，設(shè)，則，令，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，得，所以，得，即.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是由構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得即為題意所求.1．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為中最大的數(shù).已知正實(shí)數(shù)，記，則的最小值為（

）A．1 B． C．2 D．4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義可知，，，再由基本不等式可得當(dāng)時(shí)，取得最小值2.【詳解】由，得，，，所以，即，因?yàn)椋裕挥苫静坏仁娇傻?，所以，所以，，?dāng)，即時(shí)，取得最小值2.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)定義得出，，，再結(jié)合基本不等式求得.2．（2024·湖北·一模）記，分別表示函數(shù)在上的最大值和最小值．則．【答案】2【分析】根據(jù)題意，由，設(shè)為變量，可通過分類討論求出，再求出當(dāng)時(shí)的最小值；或由在時(shí)的最大值只可能在或或處取得，結(jié)合圖象可得原式的最小值．【詳解】由，設(shè)為變量，，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，最大值只可能在或或處取得，所以的最大值為，所以，當(dāng)時(shí)，原式的最小值為2．或者由在時(shí)的最大值只可能在或或處取得，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合圖象可得原式的最小值為2．故答案為：2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：讀懂題意，分析，最大值只可能在或或處取得，所以的最大值為.考點(diǎn)六、歐拉函數(shù)1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互素的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，，．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義結(jié)合可求得的值，再結(jié)合歐拉函數(shù)的定義可求得的值.【詳解】與互素且不超過的正整數(shù)為，與互素且不超過的正整數(shù)為、，與互素且不超過的正整數(shù)為、，與互素且不超過的正整數(shù)為、、、，與互素且不超過的正整數(shù)為、、、，因?yàn)椋?，，，，所以，，則，因?yàn)榕c互素且不超過的正整數(shù)為、、、，所以，.故選：B.2．（2024·全國·模擬預(yù)測）（多選）歐拉函數(shù)是初等數(shù)論中的重要內(nèi)容．對(duì)于一個(gè)正整數(shù)n，歐拉函數(shù)表示小于或等于n且與n互質(zhì)的正整數(shù)的數(shù)目．換句話說，是所有不超過n且與n互素的數(shù)的總數(shù)．如：，．則以下是真命題的有（

）A．的定義域?yàn)?，其值域也是B．在其定義域上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)C．不存在，使得方程有無數(shù)解D．，當(dāng)且僅當(dāng)n是素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立【答案】ACD【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及與素?cái)?shù)的關(guān)系進(jìn)行判斷選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，根據(jù)歐拉函數(shù)的定義，可得歐拉函數(shù)的定義域?yàn)?，其值域也是，所以A正確；對(duì)于B，歐拉函數(shù)在其定義域上不是單調(diào)遞增的，如，所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C，由于的值域?yàn)?，所以不存在，使方程有無數(shù)解,故C正確;對(duì)于D，因?yàn)榈乃匾驍?shù)都是大于1，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)素?cái)?shù)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是理解歐拉函數(shù)的定義和性質(zhì)，以及與素?cái)?shù)的關(guān)系.3．（2024·湖北·模擬預(yù)測）歐拉函數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)n為正整數(shù)，集合，歐拉函數(shù)的值等于集合中與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)；記表示x除以y的余數(shù)（x和y均為正整數(shù)），(1)求和；(2)現(xiàn)有三個(gè)素?cái)?shù)p，q，，，存在正整數(shù)d滿足；已知對(duì)素?cái)?shù)a和，均有，證明：若，則；(3)設(shè)n為兩個(gè)未知素?cái)?shù)的乘積，，為另兩個(gè)更大的已知素?cái)?shù)，且；又，，，試用，和n求出x的值．【答案】(1)，；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）利用歐拉函數(shù)的定義直接求出和.（2）分析求出x與n不互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)，求得，設(shè)，，結(jié)合二項(xiàng)式展開式證明，再按與分類求證即得.（3）利用的定義，記，，令，那么，且，，使，則，再探求數(shù)列項(xiàng)數(shù)及遞推關(guān)系即可求得答案.【詳解】（1）中，與6互質(zhì)的數(shù)有1和5，則；中，與15互質(zhì)的數(shù)有1、2、4、7、8、11、13和14，則8.（2）因?yàn)椋琾和q為素?cái)?shù)，則對(duì)，僅當(dāng)或時(shí)，x和n不互質(zhì)，又，則，，…，或，，…時(shí)，x與n不互質(zhì)，則，設(shè)，，可知s，t不全為0，下證時(shí)，；由題知，，又，所以，同理有；于是記，，即，同理，記，于是，則，因?yàn)?，所以，所以，即；（i）時(shí)，記，則，記，又，而，則，即，即；（ii）若，不妨設(shè)，于是，所以，又，，所以；綜上，，得證：（3）因?yàn)?，所以，則，則，假設(shè)存在，，使得；記，，令，那么，且，于是，使，則，從而數(shù)列有且僅有項(xiàng)，考慮使成立，則對(duì)于相鄰項(xiàng)有，將兩式相加并整理得：，令，得，又由于，，…，及均由和確定，則數(shù)列的各項(xiàng)也可根據(jù)n和確定，由上知，，則，即，其中是根據(jù)n和唯一確定的.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，涉及函數(shù)新定義問題，理解新定義，找出數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想與題意有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，再轉(zhuǎn)化、抽象為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題作答.1．（2024·湖北武漢·二模）歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則；若，則的最大值為．【答案】4【分析】由歐拉函數(shù)定義，確定中與8互質(zhì)的數(shù)的個(gè)數(shù)求，且，應(yīng)用作差法判斷的單調(diào)性，即可求最大值.【詳解】由題設(shè)，則中與8互質(zhì)的數(shù)有，共4個(gè)數(shù)，故，在中，與互質(zhì)的數(shù)為范圍內(nèi)的所有奇數(shù)，共個(gè)，即，所以，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即，所以的最大值為.故答案為：4，2．（23-24高三上·河北邢臺(tái)·開學(xué)考試）歐拉是18世紀(jì)最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家之一，幾乎每個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都可以看到歐拉的名字，如著名的歐拉函數(shù).歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互素(兩個(gè)數(shù)只有公約數(shù)1)的正整數(shù)的個(gè)數(shù).例如：，.現(xiàn)從中任選兩個(gè)數(shù)，則這兩個(gè)數(shù)相同的概率是.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)新定義求出的值，然后結(jié)合組合知識(shí)利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義知，，，，，，，，，，，從中任選兩個(gè)數(shù)有種結(jié)果，其中這兩個(gè)數(shù)相同的有共8種結(jié)果，所以根據(jù)古典概率公式得所求的概率為.故答案為：考點(diǎn)七、黎曼函數(shù)8．（23-24高三上·河南·階段練習(xí)）（多選）黎曼函數(shù)（Riemannfunction）是一個(gè)特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，其基本定義是：（注：分子與分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，稱為既約分?jǐn)?shù)），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．黎曼函數(shù)的定義域?yàn)镃．黎曼函數(shù)的最大值為D．若是奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的定義計(jì)算特殊值判斷A選項(xiàng)，根據(jù)定義域判斷B選項(xiàng)，根據(jù)值域判斷C選項(xiàng)，結(jié)合對(duì)稱性及周期性判斷D選項(xiàng).【詳解】，錯(cuò)誤.因?yàn)槭羌燃s真分?jǐn)?shù)，或上的無理數(shù)，所以黎曼函數(shù)的定義域?yàn)檎_.又為既約真分?jǐn)?shù)，所以的最大值為正確.因?yàn)?，所?所以.因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，所以，即是以2為周期的周期函數(shù)，，所以錯(cuò)誤.故選:.1．（2024·北京石景山·一模）黎曼函數(shù)在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛應(yīng)用，其一種定義為：時(shí)，．若數(shù)列，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②③④【分析】根據(jù)黎曼函數(shù)的定義和性質(zhì)逐項(xiàng)分析.【詳解】對(duì)于①，時(shí)，，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，，，故②正確；對(duì)于③，，故③正確；對(duì)于④，，，構(gòu)造函數(shù)，，則，單調(diào)遞增，，即當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，故④正確.故選：②③④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題型的特點(diǎn)是：通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的：遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、驗(yàn)證、運(yùn)算，使問題得以解決．考點(diǎn)八、曲率1．（2024·廣西來賓·模擬預(yù)測）曲率是數(shù)學(xué)上衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)，對(duì)于曲線，其在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．則拋物線上的各點(diǎn)處的曲率最大值為（

）A． B．p C． D．【答案】C【分析】先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)f′x及導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)公式求出各點(diǎn)處的曲率，并解出最大值即可.【詳解】由題可知拋物線方程為：，則，，則該拋物線在各點(diǎn)處的曲率，當(dāng)時(shí)，取最大值.故選：C.2．（2024·全國·二模）廣州小蠻腰是廣州市的地標(biāo)性建筑，奇妙的曲線造型讓建筑充滿了美感，數(shù)學(xué)上用曲率表示曲線的彎曲程度.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)記為，則函數(shù)的圖象在x0,fx0的曲率.(1)求橢圓在處的曲率；(2)證明：函數(shù)圖象的曲率的極大值點(diǎn)位于區(qū)間.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先求導(dǎo)得出函數(shù)值再計(jì)算曲率；（2）先求二階導(dǎo)數(shù)得出曲率函數(shù)，再設(shè)變量構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性繼而得出極值即可判斷證明區(qū)間.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，得，則即橢圓在處的曲率為（2）由，得，令，則，令，.令，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，故存在，使，當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即.為的極大值點(diǎn)，由，知，，即的極大值點(diǎn)位于區(qū)間.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：設(shè)變量構(gòu)造新函數(shù)求導(dǎo)得出函數(shù)單調(diào)性繼而得出極值即可判斷證明區(qū)間.1．（22-23高三上·山東·階段練習(xí)）（多選）曲線的曲率就是針對(duì)曲線上某個(gè)點(diǎn)的切線方向角對(duì)弧長的轉(zhuǎn)動(dòng)率，表明曲線偏離直線的程度，曲率越大，表示曲線的彎曲程度越大．曲線在點(diǎn)處的曲率，其中是的導(dǎo)函數(shù)．下面說法正確的是（）A．若函數(shù)，則曲線在點(diǎn)與點(diǎn)處的彎曲程度相同B．若是二次函數(shù)，則曲線的曲率在頂點(diǎn)處取得最小值C．若函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)镈．若函數(shù)，則曲線上任意一點(diǎn)的曲率的最大值為【答案】ACD【分析】根據(jù)曲率的定義求出曲率，由曲率函數(shù)為偶函數(shù)判斷A，計(jì)算二次函數(shù)曲率，可知時(shí)有最大值判斷B，求出函數(shù)的曲率函數(shù)，換元后求值域即可判斷C，求出的曲率利用均值不等式求最大值判斷D.【詳解】對(duì)于A，，，則，又，所以為偶函數(shù)，曲線在兩點(diǎn)的彎曲長度相同，故A正確；對(duì)于B，設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，曲率取得最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，令，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增且，單調(diào)遞減且，單調(diào)遞增且，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知在時(shí)單調(diào)遞減，所以可知在時(shí)單調(diào)遞增，所以的最大值為，所以，即，故C正確；對(duì)于D，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確．故選：ACD．考點(diǎn)九、極值點(diǎn)與拐點(diǎn)1．（2024·湖南長沙·二模）極值的廣義定義如下：如果一個(gè)函數(shù)在一點(diǎn)的一個(gè)鄰域（包含該點(diǎn)的開區(qū)間）內(nèi)處處都有確定的值，而以該點(diǎn)處的值為最大（?。?，這函數(shù)在該點(diǎn)處的值就是一個(gè)極大（?。┲?對(duì)于函數(shù)，設(shè)自變量x從變化到，當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處右可導(dǎo)；當(dāng)，是一個(gè)確定的值，則稱函數(shù)在點(diǎn)處左可導(dǎo).當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處既右可導(dǎo)也左可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)值相等，則稱函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo).(1)請舉出一個(gè)例子，說明該函數(shù)在某點(diǎn)處不可導(dǎo)，但是該點(diǎn)是該函數(shù)的極值點(diǎn)；(2)已知函數(shù).（?。┣蠛瘮?shù)在處的切線方程；（ⅱ）若為的極小值點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】(1)，說明見解析(2)（ⅰ）切線方程為，（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)題意，求出函數(shù)的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)，即可說明；（2）（?。└鶕?jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線；（ⅱ），通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決的極小值問題，從而求a的取值范圍.【詳解】（1），為該函數(shù)的極值點(diǎn)，當(dāng)，，當(dāng)，，則該函數(shù)在處的左導(dǎo)數(shù)為，右導(dǎo)數(shù)為1，所以該函數(shù)在處不可導(dǎo).（2）（?。└鶕?jù)題意，，則切點(diǎn)，又，則，所以切線方程為；（ⅱ），因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故與同號(hào)，，先考察的性質(zhì)，由于為偶函數(shù)，只需分析其在上的性質(zhì)即可，，，設(shè)，則，，則必有，即.①否則，若，即，則必存在一個(gè)區(qū)間，使得，則在單調(diào)遞減，又，則在區(qū)間內(nèi)小于0，則在單調(diào)遞減，又，故在區(qū)間內(nèi)小于0，故在區(qū)間內(nèi)小于0，則不可能為的極小值點(diǎn).②當(dāng)時(shí)，，令，，令，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，對(duì)，，則在區(qū)間上大于0，故在區(qū)間上單調(diào)遞增.故在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，故，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，故，，則，，故當(dāng)時(shí)，，由偶函數(shù)知時(shí)，，故為的極小值點(diǎn)，所以a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：最后一問中由，通過利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，解決的極小值問題，從而求a的取值范圍.2．（2024·貴州·模擬預(yù)測）定義：設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則下列說法中正確的有（

）A．， B．函數(shù)的極大值與極小值之和為2C．函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn) D．在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】AB【分析】根據(jù)題意，對(duì)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)，可得“拐點(diǎn)”，而“拐點(diǎn)”同時(shí)也滿足函數(shù)解析式，這樣就可以得到參數(shù)的值，進(jìn)而根據(jù)三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，可得正確答案.【詳解】由，可得，，令，得，因?yàn)楹瘮?shù)圖象的對(duì)稱中心為，因此，解得，，故選項(xiàng)A正確；由以上過程可知，，且當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.于是在和上都是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的極大值與極小值之和為，故選項(xiàng)B正確；因?yàn)楹瘮?shù)極小值，由三次函數(shù)的性質(zhì)知，只有一個(gè)零點(diǎn)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，故選：AB.1．（2024·河南·三模）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)為