2024年高中數(shù)學(xué)第二章平面向量2.4.1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義練習(xí)含解析新人教A版必修4

PAGE1-2.4.1平面對(duì)量數(shù)量積的物理背景及其含義1.已知|a|=3,向量a與b的夾角為,則a在b方向上的投影為(D)(A) (B) (C) (D)解析:向量a在b方向上的投影為|a|cosθ=3×cos=.故選D.2.設(shè)向量a,b滿(mǎn)意|a+b|=,|a-b|=,則a·b等于(A)(A)1 (B)2 (C)3 (D)5解析:因?yàn)閨a+b|=,所以|a+b|2=10,即a2+2a·b+b2=10.①又因?yàn)閨a-b|=,所以a2-2a·b+b2=6.②由①-②得4a·b=4,則a·b=1.3.已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=60°,則·等于(D)(A)-a2 (B)-a2 (C)a2 (D)a2解析:·=(+)·=·+=a2+a2=a2.4.若非零向量a,b滿(mǎn)意|a|=|b|,且(2a+b)·b=0,則向量a,b的夾角θ為(A)(A) (B) (C) (D)解析:由(2a+b)·b=0得2a·b+b·b=0,即2|a|·|b|·cosθ+b2=0,又|a|=|b|,且a,b為非零向量,所以2|a|2cosθ+|a|2=0,所以cosθ=-,所以θ=.故選A.5.已知向量a與b不平行,且|a|=|b|≠0,則下列結(jié)論中正確的是(A)(A)向量a+b與a-b垂直 (B)向量a-b與a垂直(C)向量a+b與a垂直 (D)向量a+b與a-b平行解析:設(shè)a,b的夾角為θ,則0<θ<π,因?yàn)?a+b)·(a-b)=a2-b2=0,所以(a+b)⊥(a-b),A正確,D錯(cuò)誤;因?yàn)?a-b)·a=a2-a·b=a2-a2cosθ≠0,所以a-b與a不垂直,B錯(cuò)誤;因?yàn)?a+b)·a=a2+a·b=a2+a2cosθ≠0,所以a+b與a不垂直,C錯(cuò)誤.故選A.6.若向量a與b不共線,a·b≠0,且c=a-()b,則a與c的夾角為(D)(A)0 (B) (C) (D)解析:a·c=a·［a-()b］=a·a-a·b()=a·a-a·a=0,則a與c的夾角為.故選D.7.函數(shù)y=tan(-)(0<x<4)的圖象如圖所示,A為圖象與x軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A的直線l與函數(shù)的圖象交于C,B兩點(diǎn),則(+)·等于(D)(A)-8 (B)-4(C)4 (D)8解析:由題中正切函數(shù)圖象知|OA|=2,A為BC的中點(diǎn),所以(+)·=2=8.故選D.8.若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿(mǎn)意=+,則·的值為(D)(A) (B) (C) (D)-解析:=+=-+,=+=-,所以·=-+·-=-.9.已知|a|=|b|=2,(a+2b)·(a-b)=-2,則a與b的夾角為.

解析:因?yàn)?a+2b)·(a-b)=|a|2-2|b|2+a·b=-2,|a|=|b|=2,所以a·b=2,設(shè)a與b的夾角為θ,所以cosθ==.因?yàn)棣取蔥0,π],所以θ=.答案:10.已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b,若b·c=0,則t=.

解析:因?yàn)閏=ta+(1-t)b,所以b·c=ta·b+(1-t)b2=t×1×1×+(1-t)×1=+1-t=1-.因?yàn)閎·c=0,所以1-=0,所以t=2.答案:211.以下四種說(shuō)法中正確的是.

①假如a·b=0,則a=0或b=0;②假如向量a與b滿(mǎn)意a·b<0,則a與b所成的角為鈍角;③△ABC中,假如·=0,那么△ABC為直角三角形;④假如向量a與b是兩個(gè)單位向量,則a2=b2.解析:由數(shù)量積的定義知a·b=|a||b|cosθ(θ為向量a,b的夾角)①若a·b=0,則θ=90°或a=0或b=0,故①錯(cuò).②若a·b<0,則θ為鈍角或θ=180°,故②錯(cuò);③由·=0知B=90°,故△ABC為直角三角形,故③正確;④由于a2=|a|2=1,b2=|b|2=1,故④正確.答案:③④12.在△ABC中,M是線段BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則·=.

解析:·=(+)·(+)=(-)·(+)=-=9-×100=-16.答案:-1613.已知|a|=1,|b|=.(1)若a∥b且同向,求a·b;(2)若向量a,b的夾角為135°,求|a+b|.解:(1)若a∥b且同向,則a與b的夾角為0°,此時(shí)a·b=|a||b|=.(2)|a+b|====1.14.已知e1,e2是夾角為120°的兩個(gè)單位向量,a=3e1-2e2,b=2e1-3e2.(1)求a·b的值;(2)求a+b與a-b的夾角的大小.解:(1)a·b=(3e1-2e2)·(2e1-3e2)=6-13e1·e2+6=6-13cos120°+6=.(2)設(shè)a+b與a-b的夾角為θ,則cosθ===0,所以θ=90°,即a+b與a-b的夾角為90°.15.O為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且||2+||2=||2+||2=||2+||2,求證:⊥.證明:設(shè)=a,=b,=c,可得=c-b,=a-c,=b-a.由已知得+=+=+,得a2+(c-b)2=b2+(a-c)2=c2+(b-a)2,即c·b=a·c=b·a,所以·=(b-a)·c=b·c-a·c=0,即⊥.16.已知向量a,b的夾角為120°,且|a|=2,|b|=3,則向量2a+3b在向量2a+b方向上的投影為(D)(A) (B) (C) (D)解析:依據(jù)數(shù)量積公式可得投影為====,故選D.17.已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為2,∠B=,點(diǎn)P滿(mǎn)意=λ,λ∈R,若·=-3,則λ的值為(A)(A) (B)- (C) (D)-解析:由題意可得·=2×2×cos60°=2,·=(+)·(-)=(+)·[(-)-]=(+)·[(λ-1)·-]=(1-λ)-·+(1-λ)·-=(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,所以λ=.故選A.18.如圖所示,△ABC中,∠ACB=90°且AC=BC=4,點(diǎn)M滿(mǎn)意=3,則·=.

解析:·=(+)·=·=(-)·==4.答案:419.在平行四邊形ABCD中,AD=1,∠B