2024-2025學年高中數(shù)學第1章導數(shù)及其應(yīng)用1.1變化率與導數(shù)課時作業(yè)2導數(shù)的概念新人教A版選修2-2

PAGE1-課時作業(yè)2導數(shù)的概念學問點一瞬時速度1.一木塊沿一光滑斜面自由下滑，測得下滑的水平距離s與時間t之間的函數(shù)關(guān)系為s(t)＝eq\f(1,8)t2，當t＝2時，此木塊在水平方向的瞬時速度為()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案C解析Δs＝eq\f(1,8)(2＋Δt)2－eq\f(1,8)×22＝eq\f(1,8)[4＋4Δt＋(Δt)2－4]＝eq\f(1,8)[(Δt)2＋4Δt]，∴eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(1,8)Δt＋eq\f(1,2).∴當Δt趨近于0時，eq\f(Δs,Δt)趨近于eq\f(1,2).即t＝2時，瞬時速度為eq\f(1,2).2．假如一個函數(shù)的瞬時改變率到處為0，則這個函數(shù)的圖象是()A．圓 B．拋物線C．橢圓 D．直線答案D解析當f(x)＝b時，瞬時改變率lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(b－b,Δx)＝0，所以f(x)的圖象為一條直線．3．物體的運動方程是s＝－4t2＋16t，在某一時刻的速度為零，則相應(yīng)時刻為()A．t＝1 B．t＝2C．t＝3 D．t＝4答案B解析設(shè)物體在t時刻的速度為零，則lieq\o(m,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝0，eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(－4t＋Δt2＋16t＋Δt＋4t2－16t,Δt)＝eq\f(－8Δt·t－4Δt2＋16Δt,Δt)＝－8t－4Δt＋16，∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝－8t＋16＝0，∴t＝2.學問點二導數(shù)的定義4.函數(shù)f(x)在x0處可導，則eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)()A．與x0，h都有關(guān)B．僅與x0有關(guān)，而與h無關(guān)C．僅與h有關(guān)，而與x0無關(guān)D．與x0，h均無關(guān)答案B解析由導數(shù)的概念可知，eq\o(lim,\s\do14(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)＝f′(x0)，僅與x0有關(guān)，與h無關(guān)，故選B.5．若f′(x0)＝1，則lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,2Δx)＝()A.eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．1 D．－1答案B解析f′(x0)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝1，∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,Δx)＝－1，∴l(xiāng)ieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,2Δx)＝eq\f(1,2)×(－1)＝－eq\f(1,2).6．一物體的運動方程為s＝7t2＋8，則其在t＝________時的瞬時速度為1.答案eq\f(1,14)解析eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(7t0＋Δt2＋8－7t\o\al(2,0)＋8,Δt)＝7Δt＋14t0，當lieq\o(m,\s\do14(Δt→0))(7Δt＋14t0)＝1時，t＝t0＝eq\f(1,14).學問點三導數(shù)的實際意義7.一條水管中流過的水量y(單位：m3)是時間t(單位：s)的函數(shù)y＝f(t)＝3t.求函數(shù)y＝f(t)在t＝2處的導數(shù)f′(2)，并說明它的實際意義．解依據(jù)導數(shù)的定義，得eq\f(Δy,Δt)＝eq\f(f2＋Δt－f2,Δt)＝eq\f(32＋Δt－3×2,Δt)＝3，所以f′(2)＝eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δy,Δt)＝3.f′(2)的意義是：水流在2s時的瞬時流速為3m3/s，即假如保持這一速度，每經(jīng)過1s，水管中流過的水量為3m3.一、選擇題1．一物體的運動方程是s＝eq\f(1,2)at2(a為常數(shù))，則該物體在t＝t0時的瞬時速度是()A．a(chǎn)t0 B．－at0C.eq\f(1,2)at0 D．2at0答案A解析∵eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt)＝eq\f(1,2)aΔt＋at0，∴eq\o(lim,\s\do14(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝at0.2．若可導函數(shù)f(x)的圖象過原點，且滿意lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，則f′(0)＝()A．－2 B．－1C．1 D．2答案B解析∵f(x)圖象過原點，∴f(0)＝0，∴f′(0)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(f0＋Δx－f0,Δx)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，∴選B.3．已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，則m的值等于()A．－4 B．2C．－2 D．±2答案D解析f′(x)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝－eq\f(2,x2)，于是有－eq\f(2,m2)＝－eq\f(1,2)，m2＝4，解得m＝±2.4．設(shè)函數(shù)f(x)在點x0處旁邊有定義，且f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b為常數(shù))，則()A．f′(x0)＝－a B．f′(x0)＝－bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b答案C解析∵f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2，∴eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝a＋b·Δx.∴eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(a＋b·Δx)＝a.∴f′(x0)＝a.故選C.5．已知奇函數(shù)f(x)滿意f′(－1)＝1，則lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fΔx－1＋f1,Δx)等于()A．1 B．－1C．2 D．－2答案A解析由f(x)為奇函數(shù)，得f(1)＝－f(－1)，所以lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(fΔx－1＋f1,Δx)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝f′(－1)＝1.二、填空題6．已知自由落體的運動方程為s(t)＝5t2，則t在2到2＋Δt這一段時間內(nèi)落體的平均速度為______，落體在t＝2時的瞬時速度為________．答案20＋5Δt20解析由題物體在t＝2到t＝2＋Δt這一段時間內(nèi)的平均速度為eq\o(v,\s\up6(－))＝eq\f(52＋Δt2－5×22,Δt)＝20＋5Δt，則當Δt→0時eq\o(v,\s\up6(－))→20，即t＝2時的瞬時速度為20.7．設(shè)函數(shù)y＝f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，則a＝________.答案1解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝a(－1＋Δx)3＋2－a(－1)3－2＝a(Δx)3－3a(Δx)2＋3aΔx.∴eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(aΔx3－3aΔx2＋3aΔx,Δx)＝a(Δx)2－3aΔx＋3a.當Δx無限趨近于0時，a(Δx)2－3aΔx＋3a無限趨近于3a.∴f′(－1)＝3a＝3，∴a＝1.8．已知y＝eq\r(x＋4)，則y′|x＝1＝________.答案eq\f(\r(5),10)解析由題意知Δy＝eq\r(1＋Δx＋4)－eq\r(1＋4)＝eq\r(5＋Δx)－eq\r(5)，所以eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\r(5＋Δx)－\r(5),Δx).所以y′|x＝1＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(\r(5＋Δx)－\r(5),Δx)＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(\r(5＋Δx)－\r(5)\r(5＋Δx)＋\r(5),Δx\r(5＋Δx)＋\r(5))＝lieq\o(m,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(5＋Δx)＋\r(5))＝eq\f(\r(5),10).三、解答題9．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(x)，x≥0，,1＋x2，x<0，))求f′(1)·f′(－1)的值．解當x＝1時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f1＋Δx－f1,Δx)＝eq\f(\r(1＋Δx)－1,Δx)＝eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1).由導數(shù)的定義，得f′(1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))eq\f(1,\r(1＋Δx)＋1)＝eq\f(1,2).當x＝－1時，eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(f－1＋Δx－f－1,Δx)＝eq\f(1＋－1＋Δx2－1－－12,Δx)＝Δx－2.由導數(shù)的定義，得f′(－1)＝eq\o(lim,\s\do14(Δx→0))(Δx－2)＝－2.所以f′(1)·f′(－1)＝eq\f(1,2)×(－2)＝－1.10．槍彈在槍筒中運動可以看作勻加速運動，假如它的加速度是5.0×105m/s2，槍彈從槍口射出時所用時間為1.6×10－3s，求槍彈射出槍口時的瞬時速度．解位移公式為s＝eq\f(1,2)at2，∵Δs＝eq\f(1,2)a(t0＋Δt)2－eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝at0Δt＋eq\f(1,2)a(Δ