基于多學(xué)科視角的數(shù)學(xué)建模大單元教學(xué)設(shè)計-以體重與脈搏為例

基于多學(xué)科視角的數(shù)學(xué)建模大單元教學(xué)設(shè)計——以體重與脈搏為例學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：基于多學(xué)科視角的數(shù)學(xué)建模大單元教學(xué)設(shè)計——以體重與脈搏為例

2.教學(xué)年級和班級：八年級2班

3.授課時間：2022年10月18日星期二第3節(jié)課

4.教學(xué)時數(shù)：1課時核心素養(yǎng)目標(biāo)1.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，提高數(shù)學(xué)建模意識。

2.增強(qiáng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析與處理能力，學(xué)會從生活現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

3.培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提升團(tuán)隊協(xié)作與溝通能力。

4.強(qiáng)化學(xué)生邏輯思維和創(chuàng)新能力，鼓勵學(xué)生提出問題、解決問題。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識：

學(xué)生在進(jìn)入八年級之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了基本的代數(shù)知識和統(tǒng)計知識，包括方程、不等式、函數(shù)和概率等。他們能夠進(jìn)行簡單的數(shù)據(jù)分析，但可能缺乏將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

八年級學(xué)生對于探索未知和解決實際問題通常表現(xiàn)出較高的興趣。他們的邏輯思維能力逐漸增強(qiáng)，能夠理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)概念。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生可能更傾向于獨(dú)立思考，而另一部分學(xué)生可能更傾向于通過小組合作來學(xué)習(xí)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

學(xué)生在處理體重與脈搏的關(guān)系時可能會遇到以下困難：一是如何將現(xiàn)實生活中的體重與脈搏數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型；二是如何理解和應(yīng)用線性回歸等統(tǒng)計方法來分析數(shù)據(jù)；三是如何解釋模型結(jié)果并與實際生活聯(lián)系起來。此外，學(xué)生可能對數(shù)學(xué)建模的過程感到陌生，需要逐步適應(yīng)和掌握。教學(xué)資源-軟硬件資源：計算機(jī)教室，配備投影儀和電腦，用于展示數(shù)據(jù)和模型。

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺，用于上傳學(xué)習(xí)資料和布置作業(yè)。

-信息化資源：體重與脈搏數(shù)據(jù)集，在線統(tǒng)計軟件，如Excel或R軟件的使用指南。

-教學(xué)手段：多媒體課件，實物模型或圖表，用于直觀展示體重與脈搏的關(guān)系。教學(xué)過程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：教師通過提問：“你們知道體重和脈搏有什么關(guān)系嗎？”來引起學(xué)生的興趣。

-回顧舊知：教師簡要回顧學(xué)生已學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識，如平均數(shù)、中位數(shù)、方差等。

2.新課呈現(xiàn)（約20分鐘）

-講解新知：教師介紹數(shù)學(xué)建模的基本概念，解釋體重與脈搏之間可能存在的線性關(guān)系。

-舉例說明：展示一組體重與脈搏的數(shù)據(jù)，引導(dǎo)學(xué)生如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

-互動探究：教師引導(dǎo)學(xué)生分組討論，提出如何使用線性回歸分析數(shù)據(jù)，并預(yù)測體重與脈搏的關(guān)系。

3.實踐操作（約15分鐘）

-學(xué)生活動：學(xué)生使用Excel或其他統(tǒng)計軟件，對提供的數(shù)據(jù)集進(jìn)行線性回歸分析。

-教師指導(dǎo)：教師在學(xué)生操作過程中巡視，解答學(xué)生的問題，確保每個學(xué)生都能理解操作步驟。

4.數(shù)據(jù)分析（約20分鐘）

-學(xué)生展示：學(xué)生分組展示他們的分析結(jié)果，包括回歸方程、相關(guān)系數(shù)、殘差分析等。

-小組討論：各小組分享他們的發(fā)現(xiàn)，討論模型的適用性和局限性。

5.模型應(yīng)用（約15分鐘）

-教師引導(dǎo)學(xué)生思考如何利用建立的模型進(jìn)行預(yù)測，并提出實際問題。

-學(xué)生活動：學(xué)生根據(jù)模型預(yù)測新的體重與脈搏數(shù)據(jù)，討論預(yù)測的合理性和潛在誤差。

6.拓展延伸（約10分鐘）

-教師提出挑戰(zhàn)性問題，如考慮年齡、性別等因素對體重與脈搏關(guān)系的影響。

-學(xué)生活動：學(xué)生思考如何將這些因素納入模型，并討論可能需要的額外數(shù)據(jù)。

7.鞏固練習(xí)（約15分鐘）

-學(xué)生活動：教師提供新的數(shù)據(jù)集，讓學(xué)生獨(dú)立完成線性回歸分析，并撰寫簡短的報告。

-教師指導(dǎo)：教師提供反饋，幫助學(xué)生識別和分析錯誤。

8.總結(jié)與反思（約5分鐘）

-教師總結(jié)本節(jié)課的重點(diǎn)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)建模在解決實際問題中的應(yīng)用。

-學(xué)生反思：學(xué)生回顧自己的學(xué)習(xí)過程，討論學(xué)習(xí)中的收獲和遇到的困難。

9.布置作業(yè)（約2分鐘）

-教師布置課后作業(yè)，包括對所學(xué)知識的復(fù)習(xí)和實際問題的數(shù)學(xué)建模練習(xí)。知識點(diǎn)梳理1.線性回歸模型：

-線性回歸方程：y=ax+b，其中a為斜率，b為截距。

-斜率a的意義：表示x每增加一個單位，y平均增加或減少的量。

-截距b的意義：表示當(dāng)x=0時，y的預(yù)期值。

-相關(guān)系數(shù)r：衡量變量之間的線性相關(guān)程度，取值范圍為-1到1，r接近1表示強(qiáng)正相關(guān)，r接近-1表示強(qiáng)負(fù)相關(guān)，r接近0表示無相關(guān)。

2.數(shù)據(jù)收集與處理：

-數(shù)據(jù)來源：可以是實驗數(shù)據(jù)、調(diào)查數(shù)據(jù)、歷史數(shù)據(jù)等。

-數(shù)據(jù)清洗：處理缺失值、異常值等，確保數(shù)據(jù)質(zhì)量。

-數(shù)據(jù)可視化：通過圖表（如散點(diǎn)圖、折線圖等）展示數(shù)據(jù)分布和趨勢。

3.模型評估：

-殘差分析：通過殘差圖和殘差統(tǒng)計量評估模型的擬合效果。

-調(diào)整后的R2：考慮模型中自變量數(shù)量的修正決定系數(shù)，用于比較不同模型的優(yōu)劣。

4.體重與脈搏的關(guān)系：

-探索體重與脈搏之間可能存在的線性關(guān)系。

-通過線性回歸模型分析體重與脈搏的關(guān)聯(lián)程度。

-模型預(yù)測體重與脈搏的潛在關(guān)系。

5.數(shù)學(xué)建模步驟：

-提出問題：明確研究目的和問題。

-建立模型：根據(jù)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)工具和方法建立模型。

-模型求解：運(yùn)用數(shù)學(xué)方法求解模型。

-模型檢驗：評估模型的準(zhǔn)確性和適用性。

-模型應(yīng)用：將模型應(yīng)用于實際問題。

6.數(shù)據(jù)分析方法：

-描述性統(tǒng)計：計算平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)，描述數(shù)據(jù)的基本特征。

-推斷性統(tǒng)計：通過樣本數(shù)據(jù)推斷總體特征，如置信區(qū)間、假設(shè)檢驗等。

7.小組合作與交流：

-分組討論：學(xué)生分組討論問題，共同探討解決方案。

-交流分享：各小組展示討論結(jié)果，分享經(jīng)驗和見解。

-團(tuán)隊合作：培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊協(xié)作能力和溝通能力。板書設(shè)計①線性回歸模型概述

-線性回歸方程：y=ax+b

-斜率（a）：y隨x變化的速率

-截距（b）：y軸上的初始值

②數(shù)據(jù)收集與處理

-數(shù)據(jù)來源：實驗、調(diào)查、歷史等

-數(shù)據(jù)清洗：處理缺失值、異常值

-數(shù)據(jù)可視化：散點(diǎn)圖、折線圖

③模型評估方法

-殘差分析：殘差圖、殘差統(tǒng)計量

-調(diào)整后的R2：評估模型擬合程度

④體重與脈搏關(guān)系分析

-探索線性關(guān)系

-線性回歸分析

-預(yù)測關(guān)系

⑤數(shù)學(xué)建模步驟

-提出問題

-建立模型

-模型求解

-模型檢驗

-模型應(yīng)用

⑥數(shù)據(jù)分析方法

-描述性統(tǒng)計：平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差

-推斷性統(tǒng)計：置信區(qū)間、假設(shè)檢驗

⑦小組合作與交流

-分組討論

-交流分享

-團(tuán)隊合作典型例題講解例題1：

已知某班級學(xué)生的體重（單位：kg）和脈搏（單位：次/分鐘）數(shù)據(jù)如下表所示：

|體重（kg）|脈搏（次/分鐘）|

|------------|----------------|

|40|70|

|50|75|

|60|80|

|70|85|

|80|90|

請建立體重與脈搏之間的線性回歸模型，并預(yù)測體重為65kg時的脈搏次數(shù)。

解答：

1.計算體重和脈搏的平均值：

體重平均值=(40+50+60+70+80)/5=60kg

脈搏平均值=(70+75+80+85+90)/5=80次/分鐘

2.計算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x?y?))/(Σ(x^2)-n(x?^2))

b=y?-a*x?

其中，Σ表示求和，n為數(shù)據(jù)個數(shù)，x?和y?分別為x和y的平均值。

計算得到：

a=(40*70+50*75+60*80+70*85+80*90-5*60*80)/(40^2+50^2+60^2+70^2+80^2-5*60^2)≈1.25

b=80-1.25*60≈10

因此，線性回歸模型為：脈搏=1.25*體重+10

3.預(yù)測體重為65kg時的脈搏次數(shù)：

脈搏=1.25*65+10≈86.25

所以，預(yù)測體重為65kg時的脈搏次數(shù)約為86.25次/分鐘。

例題2：

某城市一年的平均氣溫（單位：℃）與降水量（單位：mm）數(shù)據(jù)如下：

|平均氣溫（℃）|降水量（mm）|

|----------------|--------------|

|15|500|

|20|600|

|25|700|

|30|800|

|35|900|

請建立平均氣溫與降水量之間的線性回歸模型，并預(yù)測平均氣溫為22℃時的降水量。

解答：

1.計算平均氣溫和降水量的平均值：

平均氣溫平均值=(15+20+25+30+35)/5=25℃

降水量平均值=(500+600+700+800+900)/5=700mm

2.計算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x?y?))/(Σ(x^2)-n(x?^2))

b=y?-a*x?

計算得到：

a=(15*500+20*600+25*700+30*800+35*900-5*25*700)/(15^2+20^2+25^2+30^2+35^2-5*25^2)≈20

b=700-20*25≈300

因此，線性回歸模型為：降水量=20*平均氣溫+300

3.預(yù)測平均氣溫為22℃時的降水量：

降水量=20*22+300≈540

所以，預(yù)測平均氣溫為22℃時的降水量約為540mm。

例題3：

某地區(qū)一年的平均風(fēng)速（單位：m/s）與平均降水量（單位：mm）數(shù)據(jù)如下：

|平均風(fēng)速（m/s）|平均降水量（mm）|

|----------------|----------------|

|2|300|

|3|400|

|4|500|

|5|600|

|6|700|

請建立平均風(fēng)速與平均降水量之間的線性回歸模型，并預(yù)測平均風(fēng)速為4.5m/s時的平均降水量。

解答：

1.計算平均風(fēng)速和平均降水量的平均值：

平均風(fēng)速平均值=(2+3+4+5+6)/5=4m/s

平均降水量平均值=(300+400+500+600+700)/5=500mm

2.計算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x?y?))/(Σ(x^2)-n(x?^2))

b=y?-a*x?

計算得到：

a=(2*300+3*400+4*500+5*600+6*700-5*4*500)/(2^2+3^2+4^2+5^2+6^2-5*4^2)≈100

b=500-100*4≈200

因此，線性回歸模型為：平均降水量=100*平均風(fēng)速+200

3.預(yù)測平均風(fēng)速為4.5m/s時的平均降水量：

平均降水量=100*4.5+200≈650

所以，預(yù)測平均風(fēng)速為4.5m/s時的平均降水量約為650mm。

例題4：

某城市一年的平均氣溫（單位：℃）與平均降水量（單位：mm）數(shù)據(jù)如下：

|平均氣溫（℃）|平均降水量（mm）|

|----------------|----------------|

|10|200|

|15|300|

|20|400|

|25|500|

|30|600|

請建立平均氣溫與平均降水量之間的線性回歸模型，并預(yù)測平均氣溫為18℃時的平均降水量。

解答：

1.計算平均氣溫和平均降水量的平均值：

平均氣溫平均值=(10+15+20+25+30)/5=20℃

平均降水量平均值=(200+300+400+500+600)/5=400mm

2.計算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x?y?))/(Σ(x^2)-n(x?^2))

b=y?-a*x?

計算得到：

a=(10*200+15*300+20*400+25*500+30*600-5*20*400)/(10^2+15^2+20^2+25^2+30^2-5*20^2)≈50

b=400-50*20≈100

因此，線性回歸模型為：平均降水量=50*平均氣溫+100

3.預(yù)測平均氣溫為18℃時的平均降水量：

平均降水量=50*18+100≈500

所以，預(yù)測平均氣溫為18℃時的平均降水量約為500mm。

例題5：

某地區(qū)一年的平均風(fēng)速（單位：m/s）與平均降水量（單位：mm）數(shù)據(jù)如下：

|平均風(fēng)速（m/s）|平均降水量（mm）|

|----------------|----------------|

|1|100|

|2|200|

|3|300|

|4|400|

|5|500|

請建立平均風(fēng)速與平均降水量之間的線性回歸模型，并預(yù)測平均風(fēng)速為3.5m/s時的平均降水量。

解答：

1.計算平均風(fēng)速和平均降水量的平均值：

平均風(fēng)速平均值=(1+2+3+4+5)/5=3m/s

平均降水量平均值=(100+200+300+400+500)/5=300mm

2.計算斜率a和截距b：

a=(Σ(xy)-n(x?y?))/(Σ(x^2)-n(x?^2))

b=y?-a*x?

計算得到：

a=(1*100+2*200+3*300+4*400+5*500-5*3*300)/(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2-5*3^2)≈100

b=300-100*3≈100

因此，線性回歸模型為：平均降水量=100*平均風(fēng)速+100

3.預(yù)測平均風(fēng)速為3.5m/s時的平均降水量：

平均降水量=100*3.5+100≈450

所以，預(yù)測平均風(fēng)速為3.5m/s時的平均降水量約為450mm。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.完成以下線性回歸分析練習(xí)題：

-使用以下數(shù)據(jù)集，建立體重與脈搏之間的線性回歸模型，并預(yù)測體重為70kg時的脈搏次數(shù)。

|體重（kg）|脈搏（次/分鐘）|

|------------|----------------|

|55|75|

|60|80|

|65|85|

|70|90|

|75|95