《圖的定義和術(shù)語(yǔ)》課件

圖的定義和術(shù)語(yǔ)什么是圖？連接關(guān)系圖是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，用來(lái)表示對(duì)象之間復(fù)雜的關(guān)系。節(jié)點(diǎn)和邊圖由節(jié)點(diǎn)（頂點(diǎn)）和邊組成，邊表示節(jié)點(diǎn)之間的連接關(guān)系。應(yīng)用廣泛圖在計(jì)算機(jī)科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。圖的定義圖是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，它用來(lái)表示對(duì)象之間的關(guān)系。圖由節(jié)點(diǎn)（頂點(diǎn)）和邊組成，節(jié)點(diǎn)代表對(duì)象，邊代表它們之間的關(guān)系。圖可以用來(lái)描述各種現(xiàn)實(shí)世界中的關(guān)系，例如社交網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、信息網(wǎng)絡(luò)等。圖的組成元素節(jié)點(diǎn)（頂點(diǎn)）圖中的基本單位，表示實(shí)體或?qū)ο?。邊連接節(jié)點(diǎn)的線段，表示節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。節(jié)點(diǎn)（頂點(diǎn)）定義圖中的基本元素，代表圖中的實(shí)體或?qū)ο?。示例社交網(wǎng)絡(luò)中的用戶、城市地圖中的城市、電路圖中的元件等。邊連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)邊是圖中連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的線段，表示節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系。方向邊可以是有向的，表示關(guān)系的方向，也可以是無(wú)向的，表示關(guān)系的雙向性。權(quán)重一些邊可以擁有權(quán)重，表示連接的強(qiáng)度或成本。有向圖和無(wú)向圖有向圖邊是有方向的，表示從一個(gè)節(jié)點(diǎn)到另一個(gè)節(jié)點(diǎn)的單向關(guān)系。無(wú)向圖邊沒(méi)有方向，表示兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的雙向關(guān)系。有向邊和無(wú)向邊有向邊表示兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間有方向性的關(guān)系，例如：城市A到城市B的航班。無(wú)向邊表示兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間沒(méi)有方向性的關(guān)系，例如：城市A和城市B之間的公路。簡(jiǎn)單圖和多重圖簡(jiǎn)單圖簡(jiǎn)單圖是指在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間最多只有一條邊，而且沒(méi)有自環(huán)的圖。簡(jiǎn)單圖是常見(jiàn)的圖結(jié)構(gòu)，它們易于理解和處理。它們?cè)诟鞣N應(yīng)用中都有使用，例如社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析、交通規(guī)劃和計(jì)算機(jī)科學(xué)中的算法設(shè)計(jì)。多重圖多重圖則允許在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在多條邊，或者節(jié)點(diǎn)可以與自身相連形成自環(huán)。多重圖在描述復(fù)雜的連接關(guān)系方面更加靈活，例如交通網(wǎng)絡(luò)中不同路線的表示，或者網(wǎng)絡(luò)中不同類(lèi)型的連接。稀疏圖和稠密圖1稀疏圖邊數(shù)遠(yuǎn)小于節(jié)點(diǎn)數(shù)的圖。2稠密圖邊數(shù)接近節(jié)點(diǎn)數(shù)平方值的圖。權(quán)重圖權(quán)重邊上的權(quán)重代表兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)系強(qiáng)度或距離。權(quán)重可以是數(shù)字、字符串或其他類(lèi)型的數(shù)據(jù)。應(yīng)用權(quán)重圖廣泛用于解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題，例如最短路徑查找、旅行商問(wèn)題和社交網(wǎng)絡(luò)分析。連通圖和不連通圖連通圖圖中任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間都存在路徑，則稱(chēng)為連通圖。不連通圖圖中存在至少一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間不存在路徑，則稱(chēng)為不連通圖。子圖定義一個(gè)圖的子圖是指該圖中的一部分，它包含了原圖中的一些節(jié)點(diǎn)和邊，并滿足這些節(jié)點(diǎn)和邊仍然構(gòu)成一個(gè)圖。包含關(guān)系子圖包含在原圖中，原圖被稱(chēng)為父圖或超圖。例子例如，一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)圖中的所有用戶和他們之間的友誼關(guān)系就構(gòu)成該社交網(wǎng)絡(luò)圖的一個(gè)子圖。極大連通子圖定義在一個(gè)圖中，一個(gè)連通子圖如果不能再包含任何圖中的其他頂點(diǎn)，那么它就稱(chēng)為該圖的一個(gè)極大連通子圖。特點(diǎn)極大連通子圖是圖中的一個(gè)最大連通子圖，它不能被包含在任何更大的連通子圖中。路徑和回路路徑從圖中一個(gè)頂點(diǎn)到另一個(gè)頂點(diǎn)的一條頂點(diǎn)序列，每相鄰兩個(gè)頂點(diǎn)之間都有一條邊，稱(chēng)為路徑?；芈窂膱D中一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)若干條邊，最后回到該頂點(diǎn)，稱(chēng)為回路。簡(jiǎn)單路徑和簡(jiǎn)單回路簡(jiǎn)單路徑在路徑中，除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，每個(gè)頂點(diǎn)都只出現(xiàn)一次。簡(jiǎn)單回路在回路中，除起點(diǎn)和終點(diǎn)外，每個(gè)頂點(diǎn)都只出現(xiàn)一次，并且起點(diǎn)和終點(diǎn)是同一個(gè)頂點(diǎn)。樹(shù)與森林樹(shù)樹(shù)是一種特殊的圖，它包含**n**個(gè)節(jié)點(diǎn)和**n-1**條邊，并且沒(méi)有環(huán)路。樹(shù)結(jié)構(gòu)是許多算法的基礎(chǔ)，因?yàn)樗哂泻?jiǎn)單且高效的特點(diǎn)。森林森林是多個(gè)互不相連的樹(shù)組成的集合。它是一個(gè)無(wú)環(huán)的圖，但可以有多個(gè)連通分量。森林可以用樹(shù)的概念來(lái)理解和分析，并應(yīng)用于各種場(chǎng)景，比如文件系統(tǒng)管理等。生成樹(shù)定義生成樹(shù)是圖中一棵包含圖中所有頂點(diǎn)的連通子圖，且該子圖不包含回路。性質(zhì)生成樹(shù)的邊數(shù)等于頂點(diǎn)數(shù)減1，即：E=V-1應(yīng)用生成樹(shù)在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、最小生成樹(shù)算法等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。度和度分布度節(jié)點(diǎn)的度是指與該節(jié)點(diǎn)相連的邊的數(shù)量。度分布度分布描述了圖中不同度數(shù)的節(jié)點(diǎn)數(shù)量分布情況。入度和出度入度指向一個(gè)節(jié)點(diǎn)的邊的數(shù)量。出度從一個(gè)節(jié)點(diǎn)指向其他節(jié)點(diǎn)的邊的數(shù)量。頂點(diǎn)的鄰接關(guān)系1定義如果兩個(gè)頂點(diǎn)之間存在一條邊，則稱(chēng)這兩個(gè)頂點(diǎn)是相鄰的。2表示用鄰接矩陣或鄰接表來(lái)表示頂點(diǎn)之間的鄰接關(guān)系。3應(yīng)用在圖的遍歷和搜索算法中，鄰接關(guān)系是至關(guān)重要的。邊的鄰接關(guān)系共同頂點(diǎn)如果兩條邊擁有同一個(gè)頂點(diǎn)，則稱(chēng)這兩條邊相互鄰接。平行邊如果兩條邊連接相同的兩個(gè)頂點(diǎn)，則稱(chēng)這兩條邊相互平行。圖的存儲(chǔ)表示1鄰接矩陣使用二維數(shù)組存儲(chǔ)圖的頂點(diǎn)之間的關(guān)系，數(shù)組元素值表示邊是否存在。2鄰接表使用鏈表存儲(chǔ)圖的每個(gè)頂點(diǎn)連接的所有頂點(diǎn)。3十字鏈表結(jié)合鄰接矩陣和鄰接表的優(yōu)點(diǎn)，使用兩個(gè)鏈表分別存儲(chǔ)頂點(diǎn)和邊信息。鄰接矩陣表示方法用一個(gè)二維數(shù)組來(lái)表示圖，數(shù)組的第i行第j列元素表示頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j之間是否存在邊優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)單直觀，易于實(shí)現(xiàn)缺點(diǎn)空間復(fù)雜度高，對(duì)于稀疏圖浪費(fèi)空間鄰接表存儲(chǔ)結(jié)構(gòu)使用一個(gè)數(shù)組來(lái)存儲(chǔ)所有頂點(diǎn)，每個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)鏈表，鏈表存儲(chǔ)該頂點(diǎn)連接的所有邊空間效率對(duì)于稀疏圖，鄰接表比鄰接矩陣更節(jié)省空間時(shí)間效率查找一個(gè)頂點(diǎn)的所有鄰居需要遍歷對(duì)應(yīng)的鏈表，時(shí)間復(fù)雜度為O(n)十字鏈表節(jié)點(diǎn)結(jié)構(gòu)每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含信息域、指向下一個(gè)結(jié)點(diǎn)的指針和指向第一個(gè)鄰接節(jié)點(diǎn)的指針。鄰接節(jié)點(diǎn)每個(gè)節(jié)點(diǎn)的鄰接節(jié)點(diǎn)通過(guò)其鄰接指針鏈接在一起，形成一個(gè)線性鏈表。優(yōu)勢(shì)兼顧?quán)徑泳仃嚭袜徑颖淼膬?yōu)點(diǎn)，空間利用率高，方便查找和更新鄰接節(jié)點(diǎn)。圖算法概述圖算法是用于解決圖論問(wèn)題的一類(lèi)算法，它們?cè)谟?jì)算機(jī)科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)和社會(huì)網(wǎng)絡(luò)分析等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。1圖的遍歷算法探索圖中所有節(jié)點(diǎn)的一種方法。2圖的連通性算法判斷圖中節(jié)點(diǎn)之間的連通關(guān)系。3圖的最短路徑算法尋找圖中兩點(diǎn)之間的最短路徑。圖的遍歷算法1深度優(yōu)先搜索(DFS)從一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始，沿著一條路徑一直走到底，再回溯到上一個(gè)節(jié)點(diǎn)，選擇另一條路徑繼續(xù)走下去，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問(wèn)。2廣度優(yōu)先搜索(BFS)從一個(gè)頂點(diǎn)開(kāi)始，先訪問(wèn)其所有直接相鄰的節(jié)點(diǎn)，再訪問(wèn)這些節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn)，以此類(lèi)推，直到所有節(jié)點(diǎn)都被訪問(wèn)。圖的連通性算法1深度優(yōu)先搜索(DFS)從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，沿著一條路徑一直走到底，然后回溯到上一個(gè)節(jié)點(diǎn)，再沿著另一條路徑繼續(xù)探索。2廣度優(yōu)先搜索(BFS)從一個(gè)節(jié)點(diǎn)開(kāi)始，依次訪問(wèn)與該節(jié)點(diǎn)相鄰的節(jié)點(diǎn)，然后依次訪問(wèn)這些節(jié)點(diǎn)的相鄰節(jié)點(diǎn)，直到訪問(wèn)到所有節(jié)點(diǎn)。3連通分量圖中所有相互連通的節(jié)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)連通分量，圖的