專題02 拋物線的中點弦問題（解析版）-高考數(shù)學(xué)圓錐曲線部分必會十大基本題型

拋物線必會十大基本題型講與練02拋物線的中點弦問題典例分析類型一、求中點弦的弦長1．已知拋物線的焦點為F，過點F作直線l與拋物線分別交于A，B兩點，若第一象限內(nèi)的點為線段的中點，則的長度為（

）A．12 B．18 C．16 D．8【答案】C【分析】設(shè)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，由的中點的坐標，求出參數(shù)的值，即可得到，再根據(jù)焦點弦的性質(zhì)計算可得；【詳解】由條件得，設(shè)，，直線的方程為：，聯(lián)立得，∴，由得.∴，所以.2．已知拋物線的焦點為，過且傾斜角為的直線交于A，兩點，線段中點的縱坐標為，則（

）A． B．4 C．8 D．24【答案】C【分析】點差法求得，然后利用直線AB方程求得中點橫坐標，根據(jù)拋物線定義可得.【詳解】記AB中點為，設(shè)，則，顯然，所以由點差法得，由題知，，所以，易得直線AB方程為，則，即，所以.3．已知A，B在拋物線上，且線段AB的中點為M(1，1)，則|AB|＝（

）A．4 B．5C． D．【答案】C【分析】設(shè)，點差法可得，得到直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用弦長公式即得解【詳解】由題意，設(shè)線段AB的中點為M(1，1)，故，且兩式相減得：，故，故直線AB的方程為：，即將直線與拋物線聯(lián)立：，即，則類型二、求弦中點的坐標1．經(jīng)過拋物線：的焦點作直線與拋物線相交于?兩點.若，則線段的中點的縱坐標為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【分析】利用拋物線焦點弦的性質(zhì)即可【詳解】由題可得拋物線標準方程為，設(shè)，因為直線過拋物線焦點，所以，所以，中點，所以中點縱坐標為3，2．已知拋物線的準線方程為，在拋物線上存在、兩點關(guān)于直線對稱，設(shè)弦的中點為，為坐標原點，則的值為__________．【答案】【分析】根據(jù)拋物線的準線方程為，求得拋物線的方程為，再利用點差法結(jié)合A、兩點關(guān)于直線對稱，求得AB的中點坐標求解.【詳解】因為拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)，AB的中點坐標為，則，兩式相減得，所以，因為、兩點關(guān)于直線對稱，所以，解得，即，所以，3．若、是拋物線上的不同兩點，弦（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點，則弦中點的橫坐標為___________.【答案】【分析】設(shè)出點A，B的坐標，再求出弦AB的垂直平分線的方程，將代入計算作答.【詳解】設(shè)點、的坐標分別是、，則，，兩式相減得，因，即有，設(shè)直線的斜率是，弦的中點是，則，從而的垂直平分線的方程為，又點在直線上，所以，而，解得，弦中點的橫坐標為2.4．已知直線l的拋物線交于A，B兩點，M是線段AB的中點．(1)若直線AB的斜率為1，求點M的橫坐標；(2)若，求點M縱坐標的最小值．【答案】(1)2(2)3【分析】（1）設(shè)，代入拋物線的方程中作差可得答案.（2）設(shè)直線AB的方程為，與拋物線的方程聯(lián)立，根據(jù)弦長公式求得，再由中點坐標公式和基本不等式可求得答案.【解析】(1)設(shè)，則，所以，即，又直線AB的斜率為1，所以，所以線段AB的中點M的橫坐標為2；(2)設(shè)直線AB的方程為，與拋物線聯(lián)立整理得，則，所以，又，所以，整理得，解得，設(shè)線段AB的中點M的坐標為，則，所以，當且僅當，即時取等號，所以點M縱坐標的最小值為3．類型三、求中點弦所在直線的斜率1．已知拋物線：，直線過點，且與拋物線交于，兩點，若線段的中點恰好為點，則直線的斜率為（

）A． B．2 C．3 D．【答案】C【分析】根據(jù)點差法和中點坐標公式即可求出；【詳解】設(shè)，，，，由，，相減可得，，，2．已知拋物線的焦點為，過點且傾斜角為銳角的直線與交于、兩點，過線段的中點且垂直于的直線與的準線交于點，若，則的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出、，根據(jù)條件可求得的值，即可得出直線的斜率.【詳解】拋物線的焦點為，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點、、，聯(lián)立可得，，，所以，，，，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以，，因為，則，因為，解得，因此，直線的斜率為.3．直線與拋物線交于兩點，且線段中點的橫坐標為1，則的值為（

）A．或 B． C． D．【答案】B【分析】聯(lián)立直線與拋物線的方程，然后利用韋達定理，根據(jù)中點坐標公式，可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由，消去y得，由題意得，∴，.4．已知拋物線E：y2＝8x．(1)求拋物線的焦點及準線方程；(2)過點P(-1,1)的直線l1與拋物線E只有一個公共點，求直線l1的方程；(3)過點M(2,3)的直線l2與拋物線E交于點A，B．若弦AB的中點為M，求直線l2的方程．【答案】(1)焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2；(2)y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0；(3)4x-3y+1＝0.【分析】（1）根據(jù)拋物線的方程及其幾何性質(zhì)，求焦點和準線；（2）分直線l1的斜率為0和不為0兩種情況，根據(jù)直線與拋物線只有一個公共點，由直線與x軸平行或Δ＝0，得解；（3）利用點差法求出直線l2的斜率，即可得直線l2的方程．【詳解】(1)由題意，p＝4，則焦點為(2,0)，準線方程為x＝-2．(2)當直線l1的斜率為0時，y＝1；當直線l1的斜率不為0時，設(shè)直線l1為x+1＝m(y-1)，聯(lián)立，得y2-8my+8m+8＝0，因為直線l1與拋物線E只有一個公共點，所以Δ＝64m2-4(8m+8)＝0，解得m＝1或，所以直線l1的方程為x-y+2＝0或2x+y+1＝0，綜上，直線l1為y＝1或x-y+2＝0或2x+y+1＝0．(3)由題意，直線l2的斜率一定存在，設(shè)其斜率為k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則8x1，8x2，兩式作差得：8(x1-x2)，即k，所以直線l2為y-3(x-2)，即4x-3y+1＝0．鞏固練習(xí)1．已知拋物線的焦點為F，過點F的直線與C交于M，N兩點，若，則線段的中點到y(tǒng)軸的距離為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【分析】由拋物線定義及其組成的直角梯形的幾何特征，得到線段的中點到準線的距離，再減去準線到軸的距離，即可得到結(jié)果【詳解】由圖，中點為，分別垂直準線于，交軸于，易得為直角梯形的中位線，則，由拋物線定義易得，，，又準線為，，故線段的中點到y(tǒng)軸的距離，2．過點的直線與拋物線交于A，B兩點，若線段AB中點的橫坐標為2，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組根據(jù)線段AB中點的橫坐標為2，求得，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式，即可求解.【詳解】設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立方程組，整理得，因為直線與拋物線交于兩點，所以，解得，因為線段中點的橫坐標為2，可得，所以或（舍），所以，可得，則．3．定長為6的線段AB兩個端點在拋物線上移動，記線段AB的中點為M，則M到y(tǒng)軸距離的最小值為（

）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】利用拋物線的定義結(jié)合梯形中位線公式得到M到y(tǒng)軸距離，當三點共線時即得到M到y(tǒng)軸距離的最小值．【詳解】拋物線的焦點為F，則拋物線的準線，設(shè)在準線上的垂足分別為,連接,如圖所示.所求的距離因為拋物線的通徑為,所以定長為6的線段AB兩個端點在拋物線上移動時可以經(jīng)過焦點,此時三點共線，，，則點M到y(tǒng)軸的最短距離為2，4．已知拋物線，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的橫坐標為3，則該拋物線的準線方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)，進而根據(jù)題意，結(jié)合中點弦的問題得，進而再求解準線方程即可.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)，所以①，②，所以，①②得：，即，因為直線AB的斜率為1，線段AB的中點的橫坐標為3，所以，即，所以拋物線，準線方程為.5．（多選題）已知直線與拋物線交于兩點，若線段的中點是，則（

）A． B．C． D．點在以為直徑的圓內(nèi)【答案】AB【解析】【分析】直線與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和中點坐標可構(gòu)造方程求得，知A正確；將中點坐標代入直線方程即可求得，知B正確；根據(jù)直線過拋物線焦點，根據(jù)拋物線焦點弦長公式可知C錯誤；根據(jù)長度關(guān)系可確定，由此可確定D錯誤.【詳解】對于A，設(shè)，，由得：，，又線段的中點為，，解得：，A正確；對于B，在直線上，，B正確；對于C，過點，為拋物線的焦點，，C錯誤；對于D，設(shè)，則，又，，，在以為直徑的圓上，D錯誤.6．（多選題）已知拋物線的焦點為F，準線為，過點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B兩點作準線的垂線，垂足為，，P為線段的中點，O為坐標原點，則（）A．線段長度的最小值為4 B．為銳角C．A，O，三點共線 D．P的坐標可能為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)判斷A；根據(jù)拋物線的定義和平行線的性質(zhì)判斷B；設(shè)直線AB和點A、B的坐標，聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達定理和三點共線經(jīng)過任意兩點的直線斜率相等，判斷C；結(jié)合C選項可判斷D.【詳解】由題意知，拋物線C的方程為，線段長度的最小值為通徑，A正確；，軸，∴，同理，∴，B錯誤；設(shè)直線，聯(lián)立拋物線并整理，得，設(shè)，，則，，∵，∴，A，O，三點共線，C正確；設(shè)的中點，則，，取時，，D正確；7．已知拋物線的焦點為F，過F作斜率為的直線與C交于兩點，若線段中點的縱坐標為，則F到C的準線的距離為_______．【答案】【分析】設(shè)、，利用點差法可得出，最后根據(jù)線段中點的縱坐標為即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，則，，兩式相減得，即，因為、兩點在斜率為的直線上，所以，所以由得，因為線段中點的縱坐標為，所以，則，，所以F到C的準線的距離為.8．已知為拋物線上的兩點，，若，則直線的方程為_________.【答案】【分析】由于可得為中點，則，根據(jù)點差法即可求得直線的斜率，從而得方程．【詳解】設(shè)又，因為，所以，又，則，得則直線的斜率為，故直線的方程為，化簡為．聯(lián)立，可得,，直線與拋物線有兩個交點，成立9．已知拋物線的準線方程為，在拋物線C上存在A?B兩點關(guān)于直線對稱，設(shè)弦AB的中點為M，O為坐標原點，則的值為___________.【答案】5【解析】【分析】先運用點差法得到，然后通過兩點距離公式求出結(jié)果．【詳解】拋物線的準線方程為，所以，解得，所以拋物線的方程為，設(shè)點，，，，的中點為，，則，，兩式相減得，即，又因為，兩點關(guān)于直線對稱，所以，解得，可得，則，10．直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)、中點，分析可得直線過定點，即，點差法可得，代入可得，與拋物線聯(lián)立可得的范圍【詳解】設(shè)，中點，則.，過定點，.又，（1），（2）得：，.

于是，即.又弦中點軌跡在已知拋物線內(nèi)，聯(lián)立,故弦的中點軌跡方程是11．直線與拋物線交于，兩點，若線段被點平分，則拋物線的準線方程為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)，，由點差法建立關(guān)系式，可求出，即可求解【詳解】設(shè)，，由線段被點平分，可知，又，，所以，由題意可知，直線的斜率存在，且為1，所以，所以，即，所以.故拋物線的準線方程為.12．已知拋物線經(jīng)過點，直線經(jīng)過點且與拋物線交于，兩點．若線段的中點為，為拋物線的焦點，則的周長為______．【答案】【解析】【分析】待定系數(shù)法得，再根據(jù)中點弦點差法得直線的斜率，再將直線與拋物線聯(lián)立方程，利用焦半徑公式得，利用弦長公式得，進而得答案.【詳解】把點代入中得，故拋物線的方程為．設(shè)，，由題意可知直線的斜率存在且不為0，故．則，，兩式相減得，又因為的中點為，所以，將代入上式得直線的斜率，于是直線的方程為，即．聯(lián)立消去得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，由拋物線的定義得，而，因此的周長為．13．已知拋物線C的頂點在原點，焦點在x軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6．(1)求拋物線C的方程；(2)若拋物線C與直線相交于不同的兩點A、B，且AB中點橫坐標為2，求k的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根據(jù)拋物線上點到焦點的距離關(guān)于p的方程可求出得拋物線方程；（2）聯(lián)立直線方程與拋物線方程得一元二次方程，由韋達定理及中點坐標公式即可求解.【解析】(1)由題意設(shè)拋物線方程為，其準線方程為，∵到焦點的距離等于A到其準線的距離，∴，∴，∴拋物線C的方程為(2)由消去y，得

,∵直線與拋物線相交于不同兩點A、B，則有,解得且，又，解得，或（舍去），∴的值為．14．已知拋物線的焦點為F，是拋物線C上在第一象限內(nèi)的點，且．(1)求拋物線C的方程；(2)已知直線l交拋物線C于M，N兩點，若MN的中點坐標為，，求的面積．【答案】(1)；(2)【分析】（1）直接由焦半徑公式計算，即可得到拋物線方程；（2）先由MN的中點坐標求出直線l的斜率，表示出直線方程，

聯(lián)立求出弦長，計算出到直線距離，即可求得面積.【解析】(1)因為，所以，故拋物線C的方程為．(2)設(shè)，，則，兩式相減得，所以．因為MN的中點坐標為，所以，即直線l的斜率為．因為直線l過點，所以直線l的方程為，即．聯(lián)立方程組，得，則，．因為，且點到直線l的距離，所以的面積為．15．斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，且弦AB中點的縱坐標為2.(1)求拋