北師大版初中《數(shù)學》七年級下冊第五章教學課件

初中《數(shù)學》北師大版七年級下冊

目錄第五章

生活中的軸對稱軸對稱現(xiàn)象探索軸對稱的性質(zhì)簡單的軸對稱圖形利用軸對稱進行設計5.1軸對稱現(xiàn)象北師大版數(shù)學七年級下冊

對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到藝術作品，從建筑物到交通標志，甚至日常生活用品，都可以找到對稱的例子，對稱給我們帶來美的感受！導入新知1.經(jīng)歷觀察生活中的軸對稱現(xiàn)象，探索軸對稱現(xiàn)象共同特征的過程，進一步發(fā)展空間觀念.2.理解軸對稱圖形和成軸對稱的圖形的意義，能識別這些圖形并能指出他們的對稱軸.素養(yǎng)目標3.欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱圖形，體會軸對稱在生活中的廣泛運用和豐富的文化價值.請你想一想：將上圖中的每一個圖形沿某條直線對折，直線兩旁的部分能完全重合嗎？我們能不能給具有這樣特征的一個圖形起一個名稱呢？探究新知知識點1軸對稱圖形的定義如圖，把一張紙對折，剪出一個圖案（折痕處不要完全剪斷），再打開這張對折的紙，就得到了美麗的窗花．觀察得到的窗花，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點嗎？

探究新知如果一個平面圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知探究新知觀察下圖中的圖形，哪些圖形是軸對稱圖形？如果是軸對稱圖形，請找出它的對稱軸．探究新知例

下列“禁止行人通行，注意危險，禁止非機動車通行，限速60”四個交通標志圖中，為軸對稱圖形的是（）解析：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；B、是軸對稱圖形，故本選項正確；C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤；D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤．故選：B．B探究新知素養(yǎng)考點1軸對稱圖形的識別

下面圖形中,哪些是軸對稱圖形？√√鞏固練習變式訓練鞏固練習下面這些圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，有幾條對稱軸？變式訓練做一做：將一張紙對折后，用筆尖在紙上扎出如圖所示的圖形，將紙打開后鋪平，觀察所得到的圖形，是軸對稱圖形嗎？你還能用這種方法得到其他的軸對稱圖形嗎？與同伴進行交流.探究新知知識點2兩個圖形成軸對稱的定義議一議：觀察下圖中的每組圖案，你發(fā)現(xiàn)了什么？探究新知共同特征：每一對圖形沿著虛線折疊，左邊的圖形都能與右邊的圖形重合．

觀察下面每對圖形（如圖），你能類比前面的內(nèi)容概括出它們的共同特征嗎？探究新知對于兩個平面圖形，如果沿一條直線對折后能夠完全重合，那么稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做這兩個圖形的對稱軸．探究新知

兩者的聯(lián)系：把成軸對稱的兩個圖形看成一個整體，它就是一個軸對稱圖形．把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條軸對稱．你能結(jié)合具體的圖形說明軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱有什么區(qū)別與聯(lián)系嗎？想一想探究新知兩者的區(qū)別：軸對稱圖形指的是一個圖形沿對稱軸折疊后這個圖形的兩部分能完全重合，而兩個圖形成軸對稱指的是兩個圖形之間的位置關系，這兩個圖形沿對稱軸折疊后能夠重合．探究新知你能結(jié)合具體的圖形說明軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱有什么區(qū)別與聯(lián)系嗎？想一想比較歸納：軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱區(qū)別＿個圖形＿個圖形聯(lián)系１．沿一條直線折疊,直線兩旁的部分能夠＿＿＿＿．２．都有＿＿＿＿．３．如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩個圖形關于這條直線＿＿＿；如果把兩個成軸對稱的圖形看成一個圖形，那么這個圖形就是＿＿＿＿．一兩互相重合對稱軸對稱軸對稱圖形探究新知欣賞下面這幅風景圖，你能找出兩個成軸對稱的圖形嗎？鞏固練習答：圖中的樹林和水中的樹林，圖中的小船和水中小船.1.（2020?山西）自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，各地積極普及科學防控知識，下面是科學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．2.（2020?宜昌）下面四幅圖是攝影愛好者搶拍的一組照片．從對稱美的角度看，拍得最成功的是（）A．B． C． D．連接中考DB2.如圖所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有（

）A．1條 B．3條 C．5條 D．無數(shù)條1.譽為全國第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上銘刻著500多方古今名家碑文，其中懸針篆文具有較高的歷史意義和研究價值，下面四個懸針篆文文字明顯不是軸對稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．CC課堂檢測基礎鞏固題3.下面是我們熟悉的四個交通標志圖形，請從幾何圖形的性質(zhì)考慮哪一個與其他三個不同？請指出這個圖形，并說明理由.答：這個圖形是：______（寫出序號即可），理由是______________________.④只有它不是軸對稱圖形課堂檢測基礎鞏固題4.

下面的圖形是否是軸對稱圖形，如果是，有幾條對稱軸？畫畫看.課堂檢測基礎鞏固題5.英文26個大寫字母中哪些是軸對稱圖形？解：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y是軸對稱圖形.6.你能列舉出三個是軸對稱圖形的幾何圖形嗎？解：正方形、長方形、圓.（答案不唯一）課堂檢測基礎鞏固題下列“數(shù)字”圖形中，有且僅有一條對稱軸的是（）解析：A、有一條對稱軸，故本選項正確；B、沒有對稱軸，故本選項錯誤；C、有兩條對稱軸，故本選項錯誤；D、有兩條對稱軸，故本選項錯誤；故選：A．A課堂檢測能力提升題小強站在鏡子前，從鏡子中看到鏡子對面墻上掛著的電子鐘，其讀數(shù)如圖所示，則電子鐘的實際時刻是________.10：21課堂檢測拓廣探索題軸對稱軸對稱圖形兩個圖形成軸對稱對稱軸（直線）區(qū)別聯(lián)系課堂小結(jié)課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習5.2探索軸對稱的性質(zhì)北師大版數(shù)學七年級下冊導入新知1.

進一步復習生活中的軸對稱現(xiàn)象，探索并掌握軸對稱的性質(zhì).2.

會利用軸對稱的性質(zhì)作對稱點、對稱圖形、對稱軸等.素養(yǎng)目標3.

經(jīng)歷豐富材料的學習過程，提高對圖形的觀察、分析、判斷、歸納等能力．

如圖，將一張長方形的紙對折，然后用筆尖扎出“14”這個數(shù)字，將紙打開后鋪平：探究新知知識點1軸對稱圖形的性質(zhì)（1）兩個“14”有什么關系？打開（2）設折痕所在直線為l，連接點E和E′的線段和l有什么關系？連接點F和F′的線段呢？（3）線段AB與A′B′,CD與C′D′有什么關系？（4）∠1與∠2有什么關系？∠3與∠4呢？被直線l垂直平分.AB=A′B′，CD=C′D′.∠1=∠2，∠3=∠4.成軸對稱圖形.探究新知做一做：右圖是一個軸對稱圖形：（1）找出它的對稱軸.（2）連接點A與點A1的線段與對稱軸有什么關系？連接點B與點B1的線段呢？AA1BCDD1C1B13412都被對稱軸垂直平分.探究新知（3）線段AD與線段A1D1有什么關系？線段BC與B1C1呢？為什么？（4）∠1與∠2有什么關系?∠3

與∠4呢？說說你的理由？BCDD1C1B13412思考：綜合以上問題，你能得到什么結(jié)論？AA1AD=A1D1，BC=B1C1.∠1=∠2，∠3=∠4.探究新知

軸對稱的基本性質(zhì)：

在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等．探究新知例1

將一張正方形紙片按如圖①，圖②所示的方向?qū)φ郏缓笱貓D③中的虛線剪裁得到圖④，將圖④的紙片展開鋪平，再得到的圖案是(

)圖①圖②圖③圖④ABCDB動手剪一剪利用軸對稱的性質(zhì)識別圖形變化探究新知素養(yǎng)考點1下面是四位同學作△ABC關于直線MN的軸對稱圖形，其中正確的是(

)B鞏固練習變式訓練例2

如圖，將長方形ABCD沿DE折疊，使A點落在BC上的F處，若∠EFB＝50°，則∠CFD的度數(shù)為(

)A．20°B．30°C．40°D．50°C方法總結(jié)：折疊是一種軸對稱變換，折疊前后的圖形形狀和大小不變，對應邊和對應角相等．探究新知利用軸對稱求角或線段的值素養(yǎng)考點2如圖，小紅把一張含30°角的直角三角形紙片ABC沿較短邊的垂直平分線翻折，則∠BOC＝

．60°鞏固練習變式訓練作軸對稱圖形問題1：如何畫一個點的軸對稱圖形？

畫出點A關于直線l的對稱點A′.﹒lA﹒A′O作法：（1）過點A作l的垂線，垂足為點O.（2）在垂線上截取OA′＝OA.點A′就是點A關于直線l的對稱點.探究新知知識點2問題2：如何畫一條線段的對稱圖形？

已知線段AB，畫出AB關于直線l的對稱線段.AB(圖1)(圖2)(圖3)ABllABlA′A′A′B′(B′)B′探究新知想一想：如果有一個圖形和一條直線，如何畫出與這個圖形關于這條直線對稱的圖形呢？如圖，已知△ABC和直線l，作出與△ABC關于直線l對稱的圖形.ABC分析：△ABC可以由三個頂點的位置確定，只要能分別畫出這三個頂點關于直線l的對稱點，連接這些對稱點，就能得到要畫的圖形.探究新知作法：（1）過點A畫直線l的垂線，垂足為點O，在垂線上截取OA′=OA，A′就是點A關于直線l的對稱點.（3）連接A′B′，B′C′，C′A′，得到△

A′B′C′即為所求.（2）同理，分別畫出點B，C關于直線l的對稱點B′，C′.ABCA′B′C′O探究新知作軸對稱圖形的方法幾何圖形都可以看作由點組成.對于某些圖形，只要作出圖形中一些特殊點（如線段端點）的對稱點，連接這些對稱點，就可以得到原圖形的軸對稱圖形.探究新知例

在3×3的正方形格點圖中，有格點△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF關于某直線成軸對稱，請在下面給出的圖中畫出4個這樣的△DEF.ABCABCABCABC(F)(D)E

(E)FD(F)DE

(D)(E)F利用軸對稱作圖素養(yǎng)考點1探究新知探究新知方法總結(jié)作一個圖形關于一條已知直線的對稱圖形，關鍵是作出圖形上一些點關于這條直線的對稱點，然后再根據(jù)已知圖形將這些點連接起來．下圖是一個圖案的一半，其中的虛線是這個圖案的對稱軸，畫出這個圖案的另一半．鞏固練習變式訓練（2020?哈爾濱）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足為D，△ADB與△ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B'，則∠CAB'的度數(shù)為（）A．10° B．20° C．30° D．40°連接中考A1.作已知點關于某直線的對稱點的第一步是（）A．過已知點作一條直線與已知直線相交B．過已知點作一條直線與已知直線垂直C．過已知點作一條直線與已知直線平行D．不確定B基礎鞏固題課堂檢測2.如圖，把一張長方形的紙按圖那樣折疊后，B、D兩點落在B′、D′點處，若得∠AOB′=70°，則∠B′OG的度數(shù)為________.55°課堂檢測基礎鞏固題3.如圖，把下列圖形補成關于直線l的對稱圖形.課堂檢測如圖給出了一個圖案的一半，虛線

l是這個圖案的對稱軸.整個圖案是個什么形狀？請準確地畫出它的另一半.BACDEFGHl課堂檢測能力提升題如圖，在一條河的同一岸邊有A、B兩個村莊，要在河邊修建碼頭M，使M到A、B兩個村莊的距離之和最短，試確定M的位置.lABMA/課堂檢測拓廣探索題軸對稱的性質(zhì)性質(zhì)作圖方法在軸對稱圖形或兩個成軸對稱的圖形中，對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段相等，對應角相等.(1)找特征點；(2)作垂線；(3)截取等長；(4）依次連線.課堂小結(jié)課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習5.3簡單的軸對稱圖形（第1課時）北師大版數(shù)學七年級下冊導入新知看到下面三角形了嗎，它有何特點呢？我們今天來探討一下等腰三角形的性質(zhì).1.理解并掌握等腰三角形的性質(zhì).2.探索并掌握等腰三角形的軸對稱性及其相關性質(zhì)，能初步運用其解決有關問題.素養(yǎng)目標有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形

等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角.ACB腰腰底邊頂角底角底角知識點1等腰三角形的性質(zhì)探究新知（1）等腰三角形是軸對稱圖形嗎？如果是，請找出它的對稱軸．（2）等腰三角形頂角平分線所在的直線是它的對稱軸嗎？（3）等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸嗎？底邊上的高所在的直線呢？（4）沿對稱軸對折，你能發(fā)現(xiàn)等腰三角形的哪些特征？說說你的理由．探究新知剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點？操作探究探究新知ABCAB=AC等腰三角形探究新知折一折：△ABC

是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？ACDB折痕所在的直線是它的對稱軸.等腰三角形是軸對稱圖形.探究新知(1)等腰三角形是軸對稱圖形.(2)∠B=∠C

(3)∠BAD＝∠CAD，AD為頂角的平分線(4)∠ADB=∠ADC=90°，AD為底邊上的高(5)BD=CD，AD為底邊上的中線.ABCD找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.探究新知ABCD解：在ΔABC中，因為AD是角平分線,所以∠BAD=∠CAD.在ΔABD和ΔACD中,因為AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD，所以ΔABD≌ΔACD.所以BD=CD,∠ADB=∠ADC=90?.所以AD是ΔABC的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高.三線合一嗎？探究新知等腰三角形是軸對稱圖形.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）.歸納總結(jié)等腰三角形的兩個底角相等.探究新知ACBD12因為AB=AC,∠1=∠2(已知)，所以BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）因為AB=AC,BD=CD(已知)，所以∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三線合一）因為AB=AC,AD⊥BC(已知)，所以BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三線合一）數(shù)學語言：如圖,在△ABC中,探究新知畫出任意一個等腰三角形的底角平分線、這個底角所對的腰上的中線和高，看看它們是否重合？不重合！三線合一為什么不一樣?探究新知“三線合一”的操作探究新知（1）等腰三角形的頂角一定是銳角.（2）等腰三角形的底角可能是銳角，也可能是直角、鈍角.（3）鈍角三角形不可能是等腰三角形.

（4）等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.（5）等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.（6）等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.（

）（

）（

）（

）（

）（

）×××√×√判斷對錯探究新知ABCD

例1

如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度數(shù).分析：（1）找出圖中所有相等的角；（2）指出圖中有幾個等腰三角形？∠A=∠ABD,∠C=∠BDC=∠ABC；△ABC,△ABD,△BCD.探究新知等腰三角形性質(zhì)的應用素養(yǎng)考點1ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x（3）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關系，∠ABC、∠C呢？∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A=2∠ABD,∠ABC=∠BDC=2∠A,∠C=∠BDC=2∠A.（4）設∠A=x°,請把△ABC的內(nèi)角和用含x的式子表示出來.因為∠A+∠ABC+∠C=180°，所以

x+2x+2x=180°,探究新知ABCD解：因為AB=AC，BD=BC=AD，所以∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD.設∠A=x,則∠BDC=∠A+∠ABD=2x,從而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.x⌒2x⌒2x⌒⌒2x方法總結(jié)：在含多個等腰三角形的圖形中求角時，常常利用方程思想，通過內(nèi)角、外角之間的關系進行轉(zhuǎn)化求解.探究新知如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數(shù).解：因為AB=AD=DC

所以

∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.設∠C=x，則∠DAC=x，∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x，在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得2x+x+26°+x=180°，

解得x=38.5°.所以

∠C=x=38.5°，

∠B=2x=77°.鞏固練習變式訓練例2

等腰三角形的一個內(nèi)角是50°，則這個三角形的底角的大小是(

)A．65°或50°B．80°或40°C．65°或80°D．50°或80°解析：當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理易得底角是65°.故選A.A探究新知等腰三角形的分類討論問題素養(yǎng)考點2探究新知方法總結(jié)等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內(nèi)角，則這個角可能是底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．（1）等腰三角形一個底角為75°,它的另外兩個角為_____

__；（2）等腰三角形一個角為70°,它的另外兩個角為___________________；（3）等腰三角形一個角為110°,它的另外兩個角為________.75°,30°70°,40°或55°,55°35°,35°鞏固練習變式訓練例3

已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.(1)如圖①，若AD＝AE，試說明：BD＝CE；(2)如圖②，若BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，試說明：AF⊥BC.圖②圖①利用等腰三角形的性質(zhì)說明線段間的關系探究新知素養(yǎng)考點3解：(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.因為AB＝AC，AD＝AE，所以BG＝CG，DG＝EG，所以BG–DG＝CG–EG，所以BD＝CE；(2)因為BD＝CE，F(xiàn)為DE的中點，所以BD＋DF＝CE＋EF，所以BF＝CF.因為AB＝AC，所以AF⊥BC.圖②圖①G探究新知探究新知方法總結(jié)在等腰三角形有關計算或證明中，有時需要添加輔助線，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線BG交AC于點G，交AD于點E，EF⊥AB，垂足為F.(1)若∠BAD＝25°，求∠C的度數(shù)；(2)試說明：EF＝ED.鞏固練習變式訓練

鞏固練習1.（2020?福建）如圖，AD是等腰三角形ABC的頂角平分線，BD=5，則CD等于（）A．10

B．5

C．4

D．32.（2020?畢節(jié)市）已知等腰三角形兩邊的長分別為3和7，則此等腰三角形的周長為（）A．13

B．17

C．13或17

D．13或10連接中考BB2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（）A．40°B．30°C．70°D．50°A1.等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角分別是（）A．30°，60°B．45°，45°C．45°，90°D．20°，70°B基礎鞏固題課堂檢測3.(1)等腰三角形一個角為75°,它的另外兩個角為____

_________________；(2)等腰三角形一個角為36°,它的另外兩個角為____________________；(3)等腰三角形一個角為120°,它的另外兩個角為______.75°,30°或52.5°,52.5°72°,72°或36°,108°30°，30°基礎鞏固題課堂檢測4.如圖，在△ABC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，∠B=30°，求∠BAD

和∠ADC的度數(shù).ABCD解：因為AB=AC，

所以

∠C=

∠B=30°，因為BD=CD，所以AD⊥BC,所以∠ADB=∠ADC=90°.所以∠BAD=90°–∠B=60°.課堂檢測基礎鞏固題如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，試說明：EC∥DF.所以∠DBC＝∠ECB.因為∠DBC＝∠F，所以∠ECB＝∠F，所以EC∥DF.解：因為△ABC為等腰三角形，AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.又因為BD、CE為底角的平分線，所以能力提升題課堂檢測A、B是4×4網(wǎng)格中的格點，網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長為1，請在圖中標出使以A、B、C為頂點的三角形是等腰三角形的所有格點C的位置．AB分別以A、B、C為頂角頂點來分類討論！8個C1C2C3C4C5C6C7C8拓廣探索題課堂檢測這樣分類就不會漏啦！等腰三角形的性質(zhì)等邊對等角三線合一注意是指同一個三角形中注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質(zhì).而腰上高和中線與底角的平分線不具有這一性質(zhì).課堂小結(jié)課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習5.3簡單的軸對稱圖形（第2課時）北師大版數(shù)學七年級下冊

張店區(qū)政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個購物中心，試問，該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區(qū)的距離相等.ABC導入新知1.理解線段垂直平分線的性質(zhì).2.能運用線段垂直平分線的性質(zhì)解決實際問題．素養(yǎng)目標3.會用尺規(guī)作線段的垂直平分線，了解作圖的道理．線段是軸對稱圖形嗎？如果是，你能找出它的一條對稱軸嗎？這條對稱軸與線段存在著什么關系？AB知識點1線段的垂直平分線的性質(zhì)定理探究新知按照下面的步驟做一做：（1）在紙片上畫一條線段AB，AB對折AB使點A，B重合；折痕與AB的交點為O；O（2）在折痕上任取一點C，C沿CA將紙折疊；（3）把紙展開，AO得到折痕CA和CB.BC操作討論探究新知CABC（1）CO與AB有怎樣的位置關系？（2）AO與BO相等嗎？CA與CB呢？能說明你的理由嗎？垂直AO=BOCA=CB思考（3）在折痕上另取一點，再試一試.AOBCO探究新知1.線段是軸對稱圖形，它的一條對稱軸就是

對折后能使之完全重合的那條折痕；2.線段的對稱軸過線段AB的

點；中3.線段的對稱軸與線段AB

；（位置關系）垂直4.線段的對稱軸上的任意一點C到線段AB的兩端點A,B的距離______.AABBO

C相等探究新知A線段的對稱軸經(jīng)過線段的中點且垂直于這條線段.ABBO

C線段的對稱軸上任意一點到這條線段的兩端點的距離相等.探究新知

已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點P在l上．

試說明：PA=PB．線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等．ABPCl探究新知用數(shù)學語言表示為：因為CA=CB，l⊥AB，所以PA=PB．

解：因為

l⊥AB，

所以∠PCA=∠PCB．

又

AC=CB，PC=PC，

所以△PCA≌△PCB（SAS）．

所以PA=PB．ABPCl探究新知ABO1.垂直于一條線段，并且平分這條線段的直線，叫作這條線段的垂直平分線.線段的垂直平分線

2.線段垂直平分線的性質(zhì)：

線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.3.線段的對稱軸是這條線段的垂直平分線.探究新知例1

如圖，DE是AC的垂直平分線，AB＝12厘米，BC＝10厘米，則△BCD的周長為(

)A．22厘米

B．16厘米C．26厘米

D．25厘米解析：根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得CD＝AD，故△BCD的周長為BD＋DC＋BC＝AD＋BD＋BC＝AB＋BC＝12＋10＝22(厘米)．A素養(yǎng)考點1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求線段的長探究新知如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于___．ABCDE8變式訓練鞏固練習

解：因為

AD⊥BC，BD=DC，

所以AD是BC的垂直平分線，

所以

AB=AC．

因為點C在AE的垂直平分線上，所以

AC=CE．例2

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關系？AB+BD與DE有什么關系？ABCDE探究新知素養(yǎng)考點2利用線段垂直平分線的性質(zhì)說明線段間的關系

所以

AB=AC=CE．因為AB=CE，BD=DC，所以AB+BD=CD+CE．

即

AB+BD=DE．

已知:如圖,ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.試說明：PA=PB=PC.

BACDEFGPPA=PB=PCPB=PC點P在線段BC的垂直平分線上PA=PB點P在線段AB的垂直平分線上變式訓練鞏固練習

利用尺規(guī)，作線段AB的垂直平分線.作法：1.分別以點A和點B為圓心，以大于

AB一半的長為半徑作弧，已知：線段AB.求作：AB的垂直平分線.2.作直線CD.直線CD就是線段AB的垂直平分線．??ABCD兩弧相交于點C和D；探究新知知識點2作線段的垂直平分線如圖，如果點C不在直線l上，試和同學討論，應采取怎樣的步驟，過點C畫出直線l的垂線？鞏固練習作法：(1)以點C為圓心，以適當長為半徑畫弧，交直線l于點A、B；

(4)經(jīng)過點C、D作直線CD．則直線CD即為所求．ABD1.（2020?呼倫貝爾）如圖，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，若∠C＝65°，則∠DBC的度數(shù)是（）A．25° B．20° C．30° D．15°2.（2020?棗莊）如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，連接AE．若BC=6，AC=5，則△ACE的周長為（）A．8

B．11

C．16

D．17連接中考DB

1.如圖，直線CD是線段PB的垂直平分線，點P為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB的長為（）

A.6B.5C.4D.3PABCDB課堂檢測基礎鞏固題2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于點D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為(

)A．5cm

B．10cm

C．15cm

D．17.5cmC課堂檢測基礎鞏固題3.如圖,AB是△ABC的一條邊，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC于點D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=_______,DA=_______.ABEDC4cm6cm課堂檢測基礎鞏固題4．如圖，CD是AB的垂直平分線，若AC＝1.6cm，BD＝2.3cm，則四邊形ACBD的周長為_______cm.7.8課堂檢測基礎鞏固題解：因為DE是△ABC邊AB的垂直平分線,所以EB=EA,所以△AEC的周長=AC+CE+EA=AC+CE+EB=AC+BC=4+5=9.5.如圖，DE是△ABC邊AB的垂直平分線，交AB、

BC于D、E，若AC=4，BC=5，求△AEC的周長.ADBEC課堂檢測基礎鞏固題如圖，已知AB比AC長2cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是14cm，求AB和AC的長．課堂檢測解：因為DE垂直平分BC，所以DB＝DC.因為AC＋AD＋DC＝14cm，所以AC＋AD＋BD＝14cm.即AC＋AB＝14cm.又因為AB-AC＝2cm，所以AB＝AC+2cm.解得AC=6

cm

，AB=8cm所以AB長為8cm，AC長為6cm.能力提升題如圖，某地由于居民增多，要在公路l邊增加一個公共汽車站，A，B是路邊兩個新建小區(qū)，這個公共汽車站C建在什么位置，能使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法)?課堂檢測拓廣探索題解：連接AB，作AB的垂直平分線交直線l于O，交AB于E.因為EO是線段AB的垂直平分線，所以點O到A，B的距離相等，所以這個公共汽車站C應建在O點處，才能使到兩個小區(qū)的路程一樣長．課堂檢測線段垂直平分線的性質(zhì)內(nèi)容線段垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等作用見垂直平分線，得線段相等課堂小結(jié)課后作業(yè)作業(yè)內(nèi)容教材作業(yè)從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習5.3簡單的軸對稱圖形（第3課時）

北師大版數(shù)學七年級下冊ABDCE下圖是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC.將點A放在角的頂點，AB和AD

沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線AE，AE就是這個角的平分線,你能說明它的道理嗎？導入新知1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質(zhì).2.學會角平分線的畫法.素養(yǎng)目標3.能運用角的平分線性質(zhì)解決簡單的幾何問題.做一做:（1）在一張紙上任意畫∠AOB，沿角的兩邊將角剪下，將這個角對折，使角的兩邊重合；（2）在折痕（即角平分線）上任意取一點C，過點C分別向∠AOB的兩邊折垂線，垂足分別為D，E，將∠AOB再次對折，折痕CD與CE能重合嗎？改變點C的位置，CD和CE還相等嗎？知識點1角平分線的性質(zhì)探究新知

猜想:

可以看到,第一條折痕是∠AOB的平分線OP,第二次折疊形成的兩條折痕CD,CE是角的平分線上一點到∠AOB兩邊的距離,這兩個距離相等.角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.探究新知驗證猜想已知：如圖，

∠AOC=∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E.試說明：PD=PE.CAOBPDE解：因為

PD⊥OA,PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°.在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，所以△PDO

≌△PEO(AAS).所以PD=PE.探究新知角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.應用所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點在該平分線上；（3）垂直距離.作用：

證明線段相等.應用格式：因為OP

是∠AOB的平分線，所以PD=PE推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個.PD⊥OA,PE⊥OB，BADOPEC探究新知判一判：（1）因為如下左圖，AD平分∠BAC（已知），

所以

=

，()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC(2)因為如上右圖，DC⊥AC，DB⊥AB

（已知）.

所以

=

,

()在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等BDCD×BADC探究新知例1

已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且∠B=∠C,DE⊥AB,DF⊥AC.垂足分別為E,F.求證：EB=FC.ABCDEF證明：因為AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB,DF⊥AC，所以

DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE

和

△CDF中，所以△BDE

≌

△CDF(AAS).所以EB=FC.角平分線的性質(zhì)的應用素養(yǎng)考點1∠B=∠C

，DE=DF，∠DEB=∠DFC探究新知如圖，已知：OD平分∠AOB，在OA，OB邊上取OA＝OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分別為M，N.試說明：PM＝PN.解：因為OD平分∠AOB，∠1＝∠2，又因為OA＝OB，OD＝OD，所以△AOD≌△BOD，所以∠3＝∠4，又因為PM⊥DB，PN⊥DA，所以PM＝PN(角平分線上的點到角兩邊的距離相等)．鞏固練習變式訓練例2

如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.BACPMDE4探究新知利用角平分線的性質(zhì)求線段的長度素養(yǎng)考點2解析：因為AM

是∠BAC的平分線，PD⊥OB,PE⊥OC，所以PD=PE=4ABCP如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，

AB=14.則點P到AB的距離為_______.D4鞏固練習變式訓練探究1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？

用量角器度量，也可用折紙的方法．探究2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得到木板、鋼板的角平分線嗎？探究新知知識點2角平分線的畫法

探究3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?ABC(E)D探究新知解：

在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）

所以

△ACD≌△ACB（SSS）所以∠CAD=∠CAB（全等三角形的對應邊相等）所以AE平分∠DAB（角平分線的定義）ABMNCO已知:∠AOB.求作：∠AOB的平分線.作法：（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.（2）分別以點MN為圓心，大于

MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點C.（3）畫射線OC.射線OC即為所求.探究新知探究4：如果沒有此儀器，我們用數(shù)學作圖工具，能實現(xiàn)該儀器的功能嗎？利用尺規(guī)，作∠AOB的平分線．已知：∠AOB．求作：射線

OC，使∠AOC=∠BOC．探究新知2．分別以D，E為圓心．大于

DE的長為半徑作?。畠苫≡凇螦OB的內(nèi)部交于C．作法：1．在OA和OB上分別截取OD，OE，使OD=OE．3．作射線OC．OC就是∠AOB的平分線．

OBACED探究新知先任意畫一個角，然后將它四等分.作法：畫出已知角∠AOB.1.作∠AOB

的平分線OC.2.分別作∠AOC和∠BOC的平分線OD、OE，即將∠AOB四等分.OBACED鞏固練習（2020?懷化）在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于點D，DE⊥AC，垂足為點E，若BD=3，則DE的長為（

）A．3

B．1.5

C．2

D．6連接中考A1.△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,則點D到AB的距離是

.ABCD3E基礎鞏固題課堂檢測2.用尺規(guī)作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是（）A.SSSB.ASAC.AASD.角平分線上的點到角兩邊的距離相等ABMNCOA課堂檢測基礎鞏固題3.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，則AC的長是()A．6B．5C．4D．3DBCEADF解析：過點D作DF⊥AC于F，

因為AD是△ABC的角平分線，

DE⊥AB，

所以DF=DE=2，

解得AC=3.課堂檢測基礎鞏固題4.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：(1)哪條線段與DE相等？為什么？(2)若AB=10，BC=8，AC=6，求BE，AE的長和△AED的周長.解：(1)DC=DE.理由如下：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.（2）因為BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC在△CDB和△EDB中，DC=DE，∠BED=∠DCB

，∠ABD=∠DBC所以△CDB≌△EDB(AAS)，所以BE＝BC=8.所以AE＝AB-BE=2.所以△AED的周長=AE+ED+DA=2+6=8.EDCBA810CD課堂檢測基礎鞏固題

如圖所示，D是∠ACG的平分線上的一點．DE⊥AC，DF⊥CG，垂足分別為E，F(xiàn).試說明：CE=CF.解：因為CD是∠ACG的平分線，DE⊥AC，DF⊥CG，所以DE＝DF,∠DCE=∠DCF,∠DEC=∠DFC.所以△CDE≌△CDF(AAS)，所以CE＝CF.課堂檢測能力提升題如圖，已知AD∥BC，P是∠BAD與∠ABC的平分線的交點，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD與BC之間的距離.解：過點P作MN⊥AD于點M，交BC于點N.因為

AD∥BC，所以MN⊥BC，MN的長即為AD與BC之間的距離.因為AP平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB，所以PM=PE.同理，PN=PE.所以PM=PN=PE=