高考數(shù)學第二輪專題第11講-立體幾何

第11講立體幾何1.[2020·天津卷]如圖M4-11-1,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,點D,E分別在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M為棱A1B1的中點.(1)求證:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直線AB與平面DB1E所成角的正弦值.圖M4-11-12.[2020·全國新高考Ⅰ卷]如圖M4-11-2,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.圖M4-11-23.[2020·全國卷Ⅱ]如圖M4-11-3,已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)面BB1C1C是矩形,M,N分別為BC,B1C1的中點,P為AM上一點,過B1C1和P的平面交AB于E,交AC于F.(1)證明:AA1∥MN,且平面A1AMN⊥平面EB1C1F;(2)設(shè)O為△A1B1C1的中心,若AO∥平面EB1C1F,且AO=AB,求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.圖M4-11-34.[2020·全國卷Ⅰ]如圖M4-11-4,D為圓錐的頂點,O是圓錐底面的圓心,AE為底面直徑,AE=AD.△ABC是底面的內(nèi)接正三角形,P為DO上一點,PO=66(1)證明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.圖M4-11-4平行、垂直關(guān)系的證明1如圖M4-11-5,在四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為平行四邊形,E為側(cè)棱PD的中點,O為AC與BD的交點.(1)求證:OE∥平面PBC;(2)若平面PAD⊥平面ABCD,AC=4,AB=5,sin∠ABC=45,求證:AC⊥圖M4-11-5【規(guī)律提煉】(1)證明平行與垂直時,主要是考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理的運用,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力,求解時注意條件書寫的完整性.(2)證明面面關(guān)系的核心是證明線面關(guān)系,證明線面關(guān)系的核心是證明線線關(guān)系.證明線線平行的方法:①線面平行的性質(zhì)定理;②三角形中位線法;③平行四邊形法.證明線線垂直的常用方法:①等腰三角形三線合一;②勾股定理的逆定理;③線面垂直的性質(zhì)定理;④菱形的對角線互相垂直.測題1.如圖M4-11-6,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是菱形,AC與BD相交于點O,EF∥AB,AB=2EF,平面BCF⊥平面ABCD,BF=CF,點G為BC的中點.(1)求證:OG∥平面EFCD;(2)求證:AC⊥平面ODE.圖M4-11-62.如圖M4-11-7所示,在四棱錐P-ABCD中,AB=AD=2BC=2,BC∥AD,AB⊥AD,△PBD為正三角形,且PA=23.(1)證明:平面PAB⊥平面PBC;(2)若點P到底面ABCD的距離為2,E是線段PD上一點,且PB∥平面ACE,求三棱錐A-CDE的體積.圖M4-11-7利用空間向量求角與距離2[2020·全國卷Ⅲ]如圖M4-11-8,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,點E,F分別在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)證明:點C1在平面AEF內(nèi);(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.圖M4-11-83[2020·浙江卷]如圖M4-11-9,在三棱臺ABC-DEF中,平面ACFD⊥平面ABC,∠ACB=∠ACD=45°,DC=2BC.(1)證明:EF⊥DB;(2)求直線DF與平面DBC所成角的正弦值.圖M4-11-9【規(guī)律提煉】空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當?shù)目臻g直角坐標系;(2)寫出相應點的坐標,求出相應直線的方向向量;(3)求出相應平面的法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理、結(jié)論求出相應的角和距離.測題1.如圖M4-11-10,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,CA=CB=CC1=1,D是棱BB1上一點,P是C1D的延長線與CB的延長線的交點,且AP∥平面A1CD.(1)求證:BD=B1D;(2)求二面角C-A1D-C1的正弦值;(3)若點E在線段AP上,且直線A1E與平面A1CD所成的角的正弦值為147,求線段AE的長圖M4-11-102.如圖M4-11-11,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為2,∠B1BA=π3(1)證明:B1C⊥AC1;(2)若平面ABB1A1⊥平面ABC,M為A1C1的中點,求B1C與平面AB1M所成角的余弦值.圖M4-11-11利用空間向量解決探索性問題4如圖M4-11-12①,在平面五邊形ABCDE中,四邊形ABCD是梯形,AD∥BC,AD=2BC=22,AB=3,∠ABC=90°,△ADE是等邊三角形.現(xiàn)將△ADE沿AD折起,連接EB,EC,得到如圖②所示的幾何體.(1)若點M是ED的中點,求證:CM∥平面ABE.(2)若EC=3,在棱EB上是否存在點F,使得二面角E-AD-F的余弦值為223?若存在,求EFEB的值;若不存在圖M4-11-125如圖M4-11-13所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點.(1)證明:PA∥平面BDE.(2)求二面角B-DE-C的平面角的余弦值.(3)在棱PB上是否存在點F,使PB⊥平面DEF?證明你的結(jié)論.圖M4-11-13【規(guī)律提煉】對于立體幾何中的探索性問題、存在性問題,借助空間向量,使幾何問題代數(shù)化,可降低思維難度.對于存在性問題,解題的策略一般為先假設(shè)存在,然后轉(zhuǎn)化為“封閉型”問題求解判斷,若不出現(xiàn)矛盾,則肯定存在;若出現(xiàn)矛盾,則否定存在;對于折疊問題,要注意折疊前后的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系,一般情況下,折線同側(cè)的關(guān)系不變,兩側(cè)的關(guān)系往往發(fā)生變化.測題1.如圖M4-11-14,已知矩形ADEF和菱形ABCD所在的平面互相垂直,其中AF=1,AD=2,∠ADC=π3,點N為AD的中點(1)試問在線段BE上是否存在點M,使得直線AF∥平面MNC?若存在,求出BMME的值;若不存在,請說明理由(2)求二面角N-CE-D的正弦值.圖M4-11-142.如圖M4-11-15,在四棱錐P-A