數(shù)與式知識(shí)點(diǎn)梳理

數(shù)與式知識(shí)點(diǎn)梳理演講人：日期：目錄CONTENTS數(shù)的基本概念與性質(zhì)代數(shù)式及其運(yùn)算規(guī)則方程式與不等式求解技巧函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)入門數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法初步復(fù)數(shù)與三角函數(shù)基礎(chǔ)01數(shù)的基本概念與性質(zhì)CHAPTER自然數(shù)用以計(jì)量事物的件數(shù)或表示事物次序的數(shù)，通常用數(shù)碼0，1，2，3，4……表示，由0開始，一個(gè)接一個(gè)，組成一個(gè)無窮的集體。01.自然數(shù)、整數(shù)與有理數(shù)定義整數(shù)正整數(shù)、零、負(fù)整數(shù)的集合，整數(shù)的全體構(gòu)成整數(shù)集，整數(shù)集是一個(gè)數(shù)環(huán)。02.有理數(shù)整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，有理數(shù)是整數(shù)（正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)）和分?jǐn)?shù)的集合。03.加法法則減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。減法法則乘法法則同號(hào)數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；異號(hào)數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值。除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)除法法則01絕對(duì)值定義一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，用“||”來表示。絕對(duì)值概念及其應(yīng)用02絕對(duì)值性質(zhì)任何數(shù)的絕對(duì)值都是非負(fù)的；正數(shù)的絕對(duì)值是它本身，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，0的絕對(duì)值是0。03絕對(duì)值運(yùn)算|a-b|或|b-a|表示數(shù)軸上表示a的點(diǎn)和表示b的點(diǎn)的距離。表示加法或正數(shù)。符號(hào)“+”表示減法或負(fù)數(shù)。符號(hào)“-”表示乘法。符號(hào)“×”常見數(shù)學(xué)符號(hào)和術(shù)語解釋010203表示等于。符號(hào)“=”表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)大。術(shù)語“大于”01020304表示除法。符號(hào)“÷”表示左邊的數(shù)比右邊的數(shù)小。術(shù)語“小于”常見數(shù)學(xué)符號(hào)和術(shù)語解釋02代數(shù)式及其運(yùn)算規(guī)則CHAPTER由一個(gè)代數(shù)項(xiàng)組成的代數(shù)式，如a、2b、-5x^2等。單項(xiàng)式多項(xiàng)式分式由有限個(gè)單項(xiàng)式通過加法或減法運(yùn)算組成的代數(shù)式，如a+b、2x-3y、x^2+2x+1等。分子和分母都是代數(shù)式的分?jǐn)?shù)形式，如(a+b)/c、(x-1)/(x+1)等。代數(shù)式分類及表示方法對(duì)于多項(xiàng)式，按照加減法運(yùn)算規(guī)則逐項(xiàng)進(jìn)行加減。逐項(xiàng)相加減加減運(yùn)算后，應(yīng)將結(jié)果化簡為最簡形式。運(yùn)算結(jié)果化簡對(duì)于同類項(xiàng)（即次數(shù)相同的單項(xiàng)式），系數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算，字母部分保持不變。同類項(xiàng)合并代數(shù)式加減法運(yùn)算規(guī)則按照單項(xiàng)式乘法法則，將系數(shù)和字母部分分別相乘。單項(xiàng)式乘法按照分配律進(jìn)行乘法運(yùn)算，將每個(gè)單項(xiàng)式都相乘。多項(xiàng)式乘法將多項(xiàng)式化為幾個(gè)單項(xiàng)式的乘積形式，便于進(jìn)行后續(xù)的運(yùn)算和化簡。因式分解代數(shù)式乘法與因式分解技巧將代數(shù)式中的公因式提取出來，進(jìn)行化簡。提取公因式運(yùn)用代數(shù)公式（如平方差公式、完全平方公式等）進(jìn)行化簡。利用公式化簡01020304將代數(shù)式中的同類項(xiàng)合并，減少項(xiàng)數(shù)。合并同類項(xiàng)對(duì)于分式形式的代數(shù)式，通過約分、通分等方法進(jìn)行化簡。分式化簡復(fù)雜代數(shù)式化簡方法03方程式與不等式求解技巧CHAPTER一元一次方程求解步驟及實(shí)例分析方程的概念含有未知數(shù)的等式稱為方程，一元一次方程是只含有一個(gè)未知數(shù)且未知數(shù)的次數(shù)為1的方程。01求解步驟去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1。02實(shí)例分析解方程3x+5=14，首先移項(xiàng)得到3x=9，然后將系數(shù)化為1，得到x=3。03二元一次方程組解法探討二元一次方程組的概念含有兩個(gè)未知數(shù)，且每個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都為1的方程組。解法代入消元法、加減消元法。代入消元法是將一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用另一個(gè)未知數(shù)表示，然后代入另一個(gè)方程求解；加減消元法是通過兩個(gè)方程相加或相減消去一個(gè)未知數(shù)，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解。實(shí)例分析解方程組x+y=5和2x-y=4，可以使用加減消元法，將兩個(gè)方程相加得到3x=9，解得x=3，再代入原方程求得y=2。一元二次方程求解方法及判別式應(yīng)用一元二次方程的概念只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程。求解方法公式法、配方法、因式分解法。公式法是利用一元二次方程的求根公式求解；配方法是通過將方程化為完全平方的形式求解；因式分解法是將方程化為兩個(gè)一次因式的乘積等于0的形式，然后分別令每個(gè)因式等于0求解。判別式應(yīng)用一元二次方程的判別式Δ=b2-4ac，當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。不等式的概念用不等號(hào)連接兩個(gè)代數(shù)式的不等式。性質(zhì)不等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變；不等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變，若乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變。解法移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1等步驟，與解一元一次方程類似。注意當(dāng)兩邊同時(shí)乘以或除以負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。實(shí)例分析解不等式3x-5>7，首先移項(xiàng)得到3x>12，然后將系數(shù)化為1，得到x>4。不等式的性質(zhì)和解法0102030404函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)入門CHAPTER函數(shù)的定義函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，按照某種規(guī)則，將一個(gè)數(shù)集（定義域）中的每一個(gè)元素映射到另一個(gè)數(shù)集（值域）中的唯一元素。函數(shù)概念及表示方法簡介函數(shù)的表示方法函數(shù)可以通過解析式、圖像、表格等多種方式表示。解析式如y=f(x)，其中f表示對(duì)應(yīng)法則，x為自變量，y為因變量。函數(shù)的要素定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則。定義域是函數(shù)的輸入范圍，值域是函數(shù)的輸出范圍，對(duì)應(yīng)法則決定了輸入與輸出之間的具體關(guān)系。y=ax2+bx+c（a≠0），圖像為一條拋物線，a決定開口方向，b和c影響位置和形狀。二次函數(shù)y=k/x（k≠0），圖像為雙曲線，兩支分別位于第一、三象限或第二、四象限，k決定曲線的離原點(diǎn)距離。反比例函數(shù)01020304y=kx+b（k≠0），圖像為一條直線，斜率k表示直線的傾斜程度，b為截距。一次函數(shù)y=a^x（a>0且a≠1），圖像為一條曲線，當(dāng)a>1時(shí)，隨著x的增大，y值迅速增大；當(dāng)0<a<1時(shí)，隨著x的增大，y值迅速減小。指數(shù)函數(shù)常見函數(shù)類型及其圖像特征分析單調(diào)性如果函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加或單調(diào)減少，則稱該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)具有單調(diào)性。可以通過觀察函數(shù)圖像或求導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。周期性函數(shù)的單調(diào)性和周期性判斷如果函數(shù)在某一周期T內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)相同的圖像或數(shù)值特征，則稱該函數(shù)具有周期性?？梢酝ㄟ^觀察函數(shù)圖像或計(jì)算函數(shù)值來判斷函數(shù)的周期性。0102VS設(shè)函數(shù)y=f(x)，如果對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)x值，都有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，那么我們可以將x和y互換，得到一個(gè)新的函數(shù)x=g(y)，稱g為f的反函數(shù)。反函數(shù)求解方法首先求出原函數(shù)的解析式，然后將x和y互換，解出y的表達(dá)式，即為反函數(shù)的解析式。注意反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，值域是原函數(shù)的定義域。反函數(shù)定義反函數(shù)概念及求解方法05數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法初步CHAPTER數(shù)列概念及分類介紹01數(shù)列是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的一列有序的數(shù)，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，可以將數(shù)列分為等差數(shù)列、等比數(shù)列、遞推數(shù)列等。數(shù)列在數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，如等差數(shù)列在物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，等比數(shù)列在金融學(xué)中的復(fù)利計(jì)算等。0203數(shù)列定義數(shù)列分類數(shù)列的應(yīng)用等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以看作是一個(gè)等比數(shù)列的特例，即公比為1的等比數(shù)列。等差數(shù)列性質(zhì)等差數(shù)列中任意兩項(xiàng)的差相等，且等于公差；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1+(n-1)d。等比數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列中任意兩項(xiàng)的比值相等，且等于公比；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=a1*q^(n-1)。等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)探討數(shù)學(xué)歸納法原理及應(yīng)用舉例數(shù)學(xué)歸納法舉例證明等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=n(a1+an)/2，以及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（q≠1）。數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)證明中，如證明等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及求解一些遞推關(guān)系式等。遞推關(guān)系式求解技巧遞推關(guān)系式定義遞推關(guān)系式是一種用前一項(xiàng)或前幾項(xiàng)來表示后一項(xiàng)或后幾項(xiàng)的關(guān)系式。遞推關(guān)系式求解方法對(duì)于一階線性遞推關(guān)系式，可以通過迭代法求解；對(duì)于高階線性遞推關(guān)系式，可以通過特征根法求解；對(duì)于非線性遞推關(guān)系式，通常需要通過觀察、歸納、猜測等方法求解。遞推關(guān)系式應(yīng)用遞推關(guān)系式在數(shù)列的求解、數(shù)學(xué)模型的建立等方面有廣泛應(yīng)用，如斐波那契數(shù)列、漢諾塔問題等。06復(fù)數(shù)與三角函數(shù)基礎(chǔ)CHAPTER01復(fù)數(shù)定義與分類復(fù)數(shù)z=a+bi，a為實(shí)部，b為虛部。根據(jù)虛部b是否等于0，分為實(shí)數(shù)和虛數(shù)；根據(jù)實(shí)部a是否等于0，分為純虛數(shù)和實(shí)數(shù)。復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則加減運(yùn)算時(shí)，實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減；乘法運(yùn)算時(shí)，按分配律展開并化簡為標(biāo)準(zhǔn)形式；除法運(yùn)算時(shí)，需將分母轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)再進(jìn)行計(jì)算。共軛復(fù)數(shù)與模共軛復(fù)數(shù)為實(shí)部不變，虛部變號(hào)的復(fù)數(shù)；模為復(fù)數(shù)到原點(diǎn)的距離，即|z|=√(a2+b2)。復(fù)數(shù)概念及其運(yùn)算規(guī)則回顧0203通過單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)來定義正弦、余弦、正切等三角函數(shù)，并擴(kuò)展到整個(gè)實(shí)數(shù)域。三角函數(shù)定義三角函數(shù)定義域值域分析正弦和余弦函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1]，正切函數(shù)的值域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，但需注意定義域內(nèi)的不連續(xù)點(diǎn)。三角函數(shù)值域正弦、余弦函數(shù)為周期函數(shù)，周期為2π；正切函數(shù)也為周期函數(shù)，但周期為π。正弦函數(shù)為奇函數(shù)，余弦函數(shù)為偶函數(shù)。三角函數(shù)周期性與奇偶性伸縮變換通過乘以常數(shù)來改變x或y的系數(shù)，從而伸縮圖像。如y=2sin(x)表示將正弦函數(shù)圖像在y軸上拉伸2倍；y=sin(2x)表示將正弦函數(shù)圖像在x軸上壓縮一半。平移變換通過加減常數(shù)來改變x或y的值，從而平移圖像。如y=sin(x+π/6)表示將正弦函數(shù)圖像向左平移π/6個(gè)單位。翻轉(zhuǎn)與旋轉(zhuǎn)通過改變?nèi)呛瘮?shù)前的正負(fù)號(hào)或乘以-1來實(shí)現(xiàn)圖像的翻轉(zhuǎn)；通過組合平移和伸縮變換可以實(shí)現(xiàn)