15數(shù)學(xué)歸納法課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

1.5數(shù)學(xué)歸納法北師大版(2019)選擇性必修二1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.掌握利用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的一般方法與步驟.3.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.早在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，軍事指揮官們就發(fā)明了設(shè)置烽火臺(tái)用以報(bào)警的方法，假定在西邊第一個(gè)烽火臺(tái)發(fā)現(xiàn)了了敵情，要使由西到東每一處都知道就需要發(fā)布兩道命令：1.第一個(gè)烽火臺(tái)必須首先點(diǎn)火.2.看到第一個(gè)點(diǎn)后，第二個(gè)必須立即點(diǎn)火，當(dāng)看到第二個(gè)烽火臺(tái)點(diǎn)著，第三個(gè)必須立即火，……不論哪一個(gè)點(diǎn)了火，它后面的那個(gè)就要立即點(diǎn)火.如果把烽火臺(tái)編號(hào)為1，2，3……，類比烽火臺(tái)傳遞軍情的過(guò)程，你能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述上面兩個(gè)命令嗎？1.第一個(gè)烽火臺(tái)必須首先點(diǎn)火；2.不論哪一個(gè)點(diǎn)了火，它后面的那個(gè)就要立即點(diǎn)火。當(dāng)n=1時(shí)，（點(diǎn)著）猜想成立

數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法，它的基本步驟是：(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0是一個(gè)確定的正整數(shù)，如n0＝1或2等)時(shí)，命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，命題也成立.根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切從n0開(kāi)始的正整數(shù)n都成立.兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論缺一不可

證明：假設(shè)n=

k

時(shí)等式成立，即當(dāng)n=k+1

時(shí)

上述證法是正確的嗎？為什么？

是錯(cuò)誤的，事實(shí)上命題本身就是錯(cuò)誤的，當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=0，左邊與右邊不等.

猜想：用數(shù)學(xué)歸納法證明，第一個(gè)取值為5.

恒成立？

結(jié)論1：第一步是遞推的基礎(chǔ)，缺少了第一步就失去了保證，不要誤認(rèn)為第一步是一個(gè)簡(jiǎn)單的驗(yàn)證，可有可無(wú).結(jié)論3：在第一步中的初始值不一定從1取起,證明應(yīng)根據(jù)具體情況而定.結(jié)論2：在第二步中證明n=k+1命題成立時(shí),必須用到n=k命題成立這一歸納假設(shè),否則就打破數(shù)學(xué)歸納法步驟之間的邏輯嚴(yán)密關(guān)系,造成推理無(wú)效.例1

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)時(shí)，在驗(yàn)證n＝1成立時(shí)，左邊所得的代數(shù)式是()A.1 B.1＋3C.1＋2＋3 D.1＋2＋3＋4C(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋n2＝

，則n＝k＋1時(shí)，在n＝k時(shí)的左端應(yīng)加上_____________________________.解析：n＝k時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2，n＝k＋1時(shí)，左端為1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2，所以在n＝k時(shí)的左端應(yīng)加上(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2.(k2＋1)＋(k