四川省仁壽第一中學(xué)南校區(qū)高三適應(yīng)性測試（模擬）數(shù)學(xué)試題

2025屆高考綜合改革適應(yīng)性測試模擬數(shù)學(xué)試題本卷滿分：150分考試時間：120分鐘一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的，請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由絕對值不等式及一元二次不等式的解法求出集合和，然后根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：由題意，集合，或，所以，故選：B.2.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法和共軛復(fù)數(shù)的概念求解即可.【詳解】，則，故選：B.3.已知向量，，若向量在向量上的投影向量為，則（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量投影的概念運算求出，再利用向量數(shù)量積運算求得結(jié)果.【詳解】由題在上的投影向量為，又，，即，.故選：A.4.已知，，則sin（α＋β）=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別對已知兩個等式兩邊平方相加，化簡后利用兩角和的正弦公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，所以，，兩式相加可得：，所以，所以，解得，故選：C.5.設(shè)，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，且，則【答案】B【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)可判斷A，B；由基本不等式可判斷C；由在上單調(diào)遞增可判斷D.【詳解】對于A，若，則，則，正確；對于B，若，則，則，不正確；對于C，若，則，正確；對于D，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，正確.故選：B.6.已知雙曲線：的右焦點為F，過點F作垂直于x軸的直線，M，N分別是與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)的交點.若M是線段的中點，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)雙曲線的右焦點，求出點和的坐標(biāo)，利用中點坐標(biāo)公式列式計算得關(guān)系，進而可得漸近線方程.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點，過第一象限的漸近線方程為，當(dāng)時，，即，又，因為M是線段的中點，所以，得，所以，即，所以C的漸近線方程為.故選：C.7.黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑，足徑，高，其中底部圓柱高，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為（）（附：的值取3，）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求圓臺母線長，再代入圓臺和圓柱側(cè)面積公式，即可求解.【詳解】設(shè)該圓臺的母線長為，兩底面圓半徑分別為，（其中），則，，，所以，故圓臺部分的側(cè)面積為，圓柱部分的側(cè)面積為，故該黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為，且，，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】賦值可求得，，，，進而結(jié)合裂項相消法求和即可.【詳解】由，，令，得，即，令，得，即，令，得，即，令，得，即，同理可得，，，，則.故選：C二、選擇題：本大題共2小題，每小題6分，共計12分.每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，選對但不全得部分分，有選錯的得0分.9.給出下列四個命題，其中不正確命題為（）A.是的充分不必要條件B.是的必要不充分條件C.是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件D.是函數(shù)在上單調(diào)遞增的既不充分也不必要條件【答案】ABD【解析】【分析】對于A項，根據(jù)單調(diào)性驗證充分性和必要性；對于B項，取特值驗證必要性不成立；對于C項，充分性考察冪函數(shù)的奇偶性，必要性求出和對應(yīng)系數(shù)相等；對于D項，必要性根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性驗證.【詳解】對于A項，設(shè)函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，則，因為在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即，所以充分性成立；若，即，又因為在上單調(diào)遞增，所以，必要性成立；所以“”是“”的充要條件，A不正確．對于B項，取滿足，但是不滿足，則“”不是“”的必要條件，B不正確．對于C項，時，的定義域為關(guān)于原點對稱，又因為，所以是定義在奇函數(shù)，所以充分性成立；若為奇函數(shù)，則并且，又因為，則，所以必要性成立.故是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，所以C正確.對于D項，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，故必要性成立，所以D項不正確.故選：ABD．10.已知函數(shù)，，是的兩個零點，且，則（）A. B.為的極小值點C.的極大值為4 D.滿足的解集是【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)，是的兩個零點可得，，進而結(jié)合即可求得的值，進而判斷A；結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可判斷BC；結(jié)合函數(shù)的圖象可判斷D.【詳解】因為，是的兩個零點，則，即，，則，所以，即，解得，則，即.對于A，，故A錯誤；對于B，由，令，得或；令，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則為的極小值點，故B正確；對于C，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，故C正確；對于D，由于，畫出函數(shù)的圖象，如圖，滿足的解集是，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計20分.11.二項式的展開式中的常數(shù)項為__________.【答案】【解析】【分析】依題意，寫出二項式的通項，由求得值代入即得.【詳解】二項式的通項為，由可得，即得二項展開式中的常數(shù)項為.故答案為：12.已知函數(shù)，若為偶函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，則的值是__________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，求得，，再結(jié)合余弦函數(shù)的零點，列出不等式，即可求解.【詳解】偶函數(shù)，所以，，得，，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)僅有兩個零點，所以，解得：，所以.故答案為：213.已知拋物線：，：的焦點分別為，，一條平行于x軸的直線與，分別交于點A，B，若，則四邊形的面積為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，結(jié)合焦半徑公式，求得，進而求得，再結(jié)合平行四邊形面積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，根據(jù)題意可知，故，即，又由拋物線的定義可知，，當(dāng)時，，故，，，所以，四邊形是平行四邊形，故四邊形的面積為.故答案為：.14.某警察學(xué)院體育比賽包括“射擊”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“傷員搬運”、“400米障礙”六個項目，規(guī)定：每個項目前三名得分依次為，，，其中，選手的最終得分為各場得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每個項目的前三名，在六個項目中，已知甲最終得分為26分，乙最終得分為12分，丙最終得分為10分，且丙在“射擊”這個項目中獲得了第一名，那么______，“游泳”這個項目的第二名是______.【答案】①.②.乙【解析】【分析】根據(jù)得分總和可得，結(jié)合反證法可得，再就甲在除射擊外的5個項目中的得分分類討論后可得游泳中的第二名.【詳解】因為甲乙丙包攬了每個項目的前三名，故它們的得分總和為，故，若，則，此時，與矛盾；故，故，故或，若，則丙在除射擊外的5個項目共拿6分，但其余5個項目丙拿5分或7分以上，矛盾；故，所以丙在除射擊外的5個項目中每個項目均拿1分，共計5分；甲共計分，則甲在除射擊外的5個項目中拿分或分，若甲在除“射擊”外的5個項目中拿分，則甲在射擊項目中拿1分，其余5個項目中每個項目都拿5分，此時乙在6個項目中的分?jǐn)?shù)為，符合題意；若甲在除“射擊”外的5個項目中拿分，故甲在射擊中拿2分，乙拿1分，則其余5個項目中，甲在4個項目中每個項目拿5分，1個項目中拿2分，此時甲的總分達不到分，故，游泳的第二名為乙，故答案為：，乙.【點睛】思路點睛：對于邏輯推理題，我們需從題設(shè)條件中挖掘一些等量關(guān)系，而且要結(jié)合數(shù)據(jù)的特征作出合理的分類.四、解答題：本題共6小題，共86分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，.（1）求角；（2）已知直線為的平分線，且與交于點，若，，求的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理進行邊角互化，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系式可得解；（2）根據(jù)余弦定理及三角形面積列方程，解方程可得，即可得周長.【小問1詳解】在中，由正弦定理可知可轉(zhuǎn)化為，即，即，，由在中，，則；【小問2詳解】在中，由，即，又直線為的平分線，則，所以，即，又由余弦定理可得，即，可知，解得或（舍），所以的周長為.16.已知數(shù)列的前項和為，，數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若對于任意正整數(shù)，都有，求實數(shù)的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)求出給定的等差數(shù)列通項公式，再利用前項和求通項公式的方法求解作答即可；(2)運用裂項相消法求和，化簡整理，判斷數(shù)列的最值，再由恒成立思想，即可得到所求實數(shù)的最小值.【小問1詳解】數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，且，，，當(dāng)時，；經(jīng)檢驗，當(dāng)時，滿足上式.【小問2詳解】由，則，而，所以，即的最小值為.17.某同學(xué)進行投籃訓(xùn)練，已知每次投籃的命中率均為0.5.（1）若該同學(xué)共投籃4次，求在投中2次的條件下，第二次沒有投中的概率；（2）設(shè)隨機變量服從二項分布，記則當(dāng)時，可認(rèn)為η服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若保證投中的頻率在區(qū)間的概率不低于，求該同學(xué)至少要投多少次.附:若，則，.【答案】（1）（2）68【解析】【分析】（1）設(shè)出事件，由條件概率公式即可求解；（2）首先將題目條件轉(zhuǎn)換為的概率至少為，進一步通過計算得，從而可得，由此即可得解.【小問1詳解】該同學(xué)投籃了四次，設(shè)分別表示“第二次沒有投中”和“恰投中兩次”.則有.【小問2詳解】隨機變量代表次投籃后命中的次數(shù)，則服從二項分布，然后令隨機變量，并近似視其服從正態(tài)分布.題目條件即為，即的概率至少為.由于我們有，故命題等價于，解得.綜上，該同學(xué)至少要投次.18.如圖，在四棱錐中，底面，若四邊形為菱形，，且分別為的中點.（1）試判斷直線與是否垂直，并說明理由；（2）若四棱錐的體積為，求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）直線與不垂直，理由見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用反證法，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、判定及菱形的性質(zhì)導(dǎo)出矛盾即可得證.（2）利用給定的體積求出，進而求出，再利用幾何法結(jié)合余弦定理求解即得.【小問1詳解】直線與不垂直，證明如下：假設(shè)，連接，連接，由分別為的中點，得，由平面，得平面，而平面，則，又，平面，于是平面，又平面，則，由四邊形是菱形，得，因此，與矛盾，所以直線與不垂直.【小問2詳解】菱形中，，則，菱形的面積，而平面，于是四棱錐的體積為，解得，由平面，得，，，由，得或其補角即為異面直線與所成的角，在中，，由余弦定理得，所以異面直線與所成角的余弦值為.19.如圖，已知橢圓上、下焦點分別為，，焦距為2，離心率為，稱圓心在橢圓上運動，且半徑為的圓是橢圓的“環(huán)繞圓”.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記直線與橢圓的另一個交點為點，“環(huán)繞圓”的面積為，三角形的面積為，試判斷，是否存在點，使，若存在，求滿足條件的直線的條數(shù)，若不存在，請說明理由；（3）若過原點可作“環(huán)繞圓”的兩條切線，分別交橢圓于、兩點，直線，的斜率存在，記為，，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）存在，2條；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)焦距、離心率及參數(shù)關(guān)系求標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線為，，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達定理得，，根據(jù)及已知列方程求參數(shù)k，即可得答案.（3）設(shè)切線方程為，切線方程為，且，根據(jù)相切關(guān)系得到是的兩個不相等實根，由韋達定理及橢圓有界性求范圍.【小問1詳解】由題意，，得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由（1）知：，顯然直線不與軸重合，設(shè)直線為，，聯(lián)立，得，顯然，所以，，則，圓半徑為1，則，故，所以（負(fù)值舍），即滿足條件的直線有2條；【小問3詳解】設(shè)切線方程為，切線方程為，且，圓與相切，則，化簡得，同理，所以是的兩個不相等實根，則，又在橢圓上，故，則，由存在，則，即，所以.20.已知函數(shù).（1）若，是定義在上的函數(shù)，，.證明：當(dāng)時，為周期函數(shù).（2）若曲線在處的切線方程為，設(shè)（），為的導(dǎo)函數(shù)，且有兩個極值點，（）.證明：.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）首先根據(jù)偶函數(shù)的判定得為偶函數(shù)，再計算得，則證明其為周期函數(shù)；（2）直