配套課件-自動(dòng)控制原理(第二版)

第1章緒論1.1引言習(xí)題

1.1引言1.1.1自動(dòng)控制理論概述自動(dòng)控制理論是研究各種自動(dòng)控制過程共同規(guī)律的技術(shù)學(xué)科。它的發(fā)展初期是以反饋理論為基礎(chǔ)的自動(dòng)調(diào)節(jié)理論。隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步，自動(dòng)控制原理已發(fā)展成為一門獨(dú)立的學(xué)科，它包括工程控制論、生物控制論、經(jīng)濟(jì)控制論和社會控制論。工程控制論是控制論中最成熟的分支，主要研究工程領(lǐng)域中控制系統(tǒng)信息分析、變換、傳送的一般理論與設(shè)計(jì)應(yīng)用。自動(dòng)控制理論是工程控制論的一個(gè)分支，它只研究自動(dòng)控制系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的一般方法。根據(jù)自動(dòng)控制技術(shù)發(fā)展的不同階段，自動(dòng)控制理論可分為“經(jīng)典控制理論”和“現(xiàn)代控制理論”兩大部分。經(jīng)典控制理論是指20世紀(jì)50年代末期所發(fā)展形成的理論體系。經(jīng)典控制理論主要是研究單輸入—單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問題，其理論基礎(chǔ)是描述系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，主要采用時(shí)域分析方法和頻域分析方法。現(xiàn)代控制理論是在20世紀(jì)60年代初期，為適應(yīng)更復(fù)雜系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，研究具有高性能、高精度的多輸入-多輸出系統(tǒng)而出現(xiàn)的新的控制理論。自動(dòng)控制原理是一門自動(dòng)控制專業(yè)的基礎(chǔ)理論課程，它屬于技術(shù)基礎(chǔ)課程，該課程講述的是自動(dòng)控制系統(tǒng)分析設(shè)計(jì)的一些基本方法，譬如根軌跡法、頻域響應(yīng)法、狀態(tài)空間法等。它使用的系統(tǒng)數(shù)字模型有傳遞函數(shù)和狀態(tài)模型等，所處理的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)等。本課程主要研究的系統(tǒng)是線性定常系統(tǒng)。1.1.2自動(dòng)控制的發(fā)展歷史及現(xiàn)狀自動(dòng)控制技術(shù)在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、國防和科學(xué)技術(shù)現(xiàn)代化中起著十分重要的作用。自動(dòng)控制技術(shù)水平的高低也是衡量科學(xué)技術(shù)先進(jìn)與否的重要標(biāo)志之一。隨著國民經(jīng)濟(jì)和國防建設(shè)的發(fā)展，自動(dòng)控制技術(shù)的應(yīng)用日益廣泛，其重要作用也越來越顯著。自動(dòng)控制的發(fā)展已有很長的歷史，自動(dòng)機(jī)和自動(dòng)鐘很早就發(fā)明了。大約在公元前3世紀(jì)，古代希臘人特西比奧斯（Ktesibios）發(fā)明的滴水時(shí)鐘，至公元9世紀(jì)經(jīng)阿拉伯人改進(jìn)后成為一個(gè)典型的負(fù)反饋控制系統(tǒng)。工業(yè)革命時(shí)期，瓦特（JamesWatt）發(fā)明的蒸汽發(fā)動(dòng)機(jī)離心式調(diào)速機(jī)構(gòu)，也是一個(gè)很好的負(fù)反饋控制系統(tǒng)?，F(xiàn)代控制論的產(chǎn)生和發(fā)展乃至形成一個(gè)獨(dú)立的工程學(xué)科還是在近代。在瓦特發(fā)明蒸汽發(fā)動(dòng)機(jī)離心式調(diào)速機(jī)構(gòu)之后大約100年，麥克斯韋（J.C.Maxwell）發(fā)表的“論調(diào)節(jié)器”一文，利用線性微分方程對離心式調(diào)速機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行了分析和研究，這是關(guān)于反饋控制理論的第一篇正式論文。隨后，1884年勞斯(E.J.Routh)，1892年李雅普諾夫，1895年赫爾維茨（A.Hurwitz）等人都對控制理論作出了重要的貢獻(xiàn)。在這一時(shí)期，自動(dòng)控制系統(tǒng)也開始較為廣泛地應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)控制。在第一次世界大戰(zhàn)期間，自動(dòng)控制被廣泛應(yīng)用于軍事工業(yè)。特別是在第二次世界大戰(zhàn)期間，由于軍事的需要，使自動(dòng)控制理論及其應(yīng)用得到了很快的發(fā)展。飛機(jī)、火炮、艦船的快速精確控制，雷達(dá)跟蹤和導(dǎo)彈制導(dǎo)技術(shù)的發(fā)展已達(dá)到了較高水平。戰(zhàn)后，隨著許多理論和實(shí)踐成果的發(fā)表，使控制理論的發(fā)展推向高潮。1948年伊萬斯（W.R.Evans）提出了根軌跡法。至此，經(jīng)典控制理論已基本趨于完善。經(jīng)典控制理論在指導(dǎo)自動(dòng)控制技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用中起到了重大作用。但是，經(jīng)典控制理論存在著嚴(yán)重的局限性：經(jīng)典控制理論只限于處理線性非時(shí)變系統(tǒng)；只限于處理單輸入—單輸出系統(tǒng)等。因此，經(jīng)典控制理論對于時(shí)變系統(tǒng)，非線性系統(tǒng)（除簡單例子外）和多輸入—多輸出系統(tǒng)是無法使用的。為了突破經(jīng)典控制理論的局限性，從20世紀(jì)60年代初開始，一種新型的方法——現(xiàn)代控制理論被提出，并得以迅速發(fā)展?，F(xiàn)代控制理論是建立在狀態(tài)空間的基礎(chǔ)上的，其本質(zhì)是利用狀態(tài)方程求解問題。由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展，使得復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題得以解決，從而促進(jìn)了現(xiàn)代控制理論的發(fā)展，并使其在應(yīng)用中越來越顯示出優(yōu)越性。1.1.3自動(dòng)控制的基本方法

1.開環(huán)控制開環(huán)控制是指控制裝置與被控對象之間只有順向作用而沒有反向聯(lián)系的控制過程。即被控量（系統(tǒng)輸出）不影響系統(tǒng)控制的控制方式稱為開環(huán)控制。所以，在開環(huán)控制中，不對被控量進(jìn)行任何檢測，在輸出端和輸入端之間不存在反饋聯(lián)系。開環(huán)控制又有兩種方式，即用給定值操縱的控制方式和干擾補(bǔ)償?shù)目刂品绞健?）用給定值操縱的控制方式用給定值操縱的開環(huán)控制系統(tǒng)的方框圖如圖1-1所示。圖1-1用給定值操縱的開環(huán)控制

這種控制方式的特點(diǎn)是：在給定輸入端到輸出端之間的信號傳遞是單向進(jìn)行的。這種控制方式的缺點(diǎn)是：當(dāng)受控對象或控制裝置受到干擾，或者在工作過程中元件特性發(fā)生變化而影響被控量時(shí)，系統(tǒng)不能進(jìn)行自動(dòng)補(bǔ)償，所以控制精度難以保證。但是由于它的結(jié)構(gòu)比較簡單，因此在控制精度要求不高或元器件工作特征比較穩(wěn)定而干擾又很小的場合中應(yīng)用比較廣泛。2）用干擾補(bǔ)償?shù)目刂品绞接酶蓴_補(bǔ)償?shù)拈_環(huán)控制方式的方框圖如圖1-2所示。圖1-2用干擾補(bǔ)償?shù)拈_環(huán)控制

這種控制方式的特點(diǎn)是：干擾信號經(jīng)測量、計(jì)算、放大、執(zhí)行等元件到輸出端的傳遞也是單向進(jìn)行的。用干擾補(bǔ)償?shù)目刂品绞街荒苡迷诟蓴_可以測量的場合。另外這種控制方式在工作過程中不能補(bǔ)償由于元件及受控對象工作特性變化而對被控量所產(chǎn)生的影響。2.閉環(huán)控制被控量對系統(tǒng)參與系統(tǒng)控制的控制方式稱為閉環(huán)控制。閉環(huán)控制的方框圖如圖1-3所示。圖1-3閉環(huán)控制閉環(huán)控制的特點(diǎn)是在控制器和被控對象之間，不僅存在著正向作用，而且還存在著反饋?zhàn)饔茫聪到y(tǒng)的輸出信號對被控制量有直接影響。閉環(huán)控制中，在給定值和被控量之間，除了有一條從給定值到被控制量方向傳遞信號的前向通道外，還有一條從被控量到比較元件傳遞信號的反饋通道。控制信號沿著前向通道和反饋通道循環(huán)傳遞，所以閉環(huán)控制又稱為反饋控制。在閉環(huán)控制中，被控量時(shí)時(shí)刻刻被檢測，或者再經(jīng)過信號變換，并通過反饋通道送回到比較元件和給定值進(jìn)行比較。比較后得到的偏差信號經(jīng)放大元件進(jìn)行放大后送入執(zhí)行元件。執(zhí)行元件根據(jù)所接收信號的大小和極性，直接對受控對象進(jìn)行調(diào)節(jié)，以進(jìn)一步減小偏差。由此可見，只要閉環(huán)控制系統(tǒng)出現(xiàn)偏差，不論該偏差是由干擾造成的，還是由系統(tǒng)元件或受控對象工作特性變化所引起的，系統(tǒng)都能自行調(diào)節(jié)以減小偏差。故閉環(huán)控制系統(tǒng)又稱為帶偏差調(diào)節(jié)的控制系統(tǒng)。閉環(huán)控制從原理上提供了實(shí)現(xiàn)高精度控制的可能性，它對控制元件的要求比開環(huán)控制低。但與開環(huán)控制系統(tǒng)相比，閉環(huán)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)比較麻煩，結(jié)構(gòu)也比較復(fù)雜，因而成本較高。閉環(huán)控制系統(tǒng)是自動(dòng)控制中廣泛應(yīng)用的一種控制方式。當(dāng)控制精度要求較高，干擾影響比較大時(shí)，一般都采用閉環(huán)控制系統(tǒng)。

3.開環(huán)控制與閉環(huán)控制的比較一般來說，開環(huán)控制結(jié)構(gòu)簡單、成本低、工作穩(wěn)定，因此，當(dāng)系統(tǒng)的輸入信號及擾動(dòng)作用能預(yù)先知道并且系統(tǒng)要求精度不高時(shí)，可以采用開環(huán)控制。由于開環(huán)控制不能自動(dòng)修正被控制量的偏離，因此系統(tǒng)的元件參數(shù)變化以及外來未知擾動(dòng)對控制精度的影響較大。閉環(huán)控制具有自動(dòng)修正被控制量出現(xiàn)偏離的能力，因此可以修正元件參數(shù)變化及外界擾動(dòng)引起的誤差，其控制精度較高。但是正由于存在反饋，閉環(huán)控制也有其不足之處，就是被控制量可能出現(xiàn)振蕩，嚴(yán)重時(shí)會使系統(tǒng)無法工作。這是由于被控量出現(xiàn)偏離之后，經(jīng)過反饋便形成一個(gè)修正偏離的控制作用。這個(gè)控制作用和它所產(chǎn)生的修正偏離的效果之間，一般是有時(shí)間延遲的，使被控制量的偏差不能立即得到修正，從而有可能使被控制量處于振蕩狀態(tài)。因此，如果系統(tǒng)參數(shù)選擇不當(dāng)，不僅不能修正偏離，反而會使偏離越來越大，而導(dǎo)致系統(tǒng)無法工作。自動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的重要課題之一就是要解決閉環(huán)控制中的振蕩或發(fā)散問題。4.復(fù)合控制復(fù)合控制就是將開環(huán)控制和閉環(huán)控制相結(jié)合的一種控制方式。實(shí)質(zhì)上，它是在閉環(huán)控制回路的基礎(chǔ)上，附加一個(gè)對輸入信號或?qū)_動(dòng)作用的前饋通路，來提高系統(tǒng)的控制精度。前饋通路通常由對輸入信號的補(bǔ)償裝置或?qū)_動(dòng)作用的補(bǔ)償裝置組成，分別稱為按輸入信號補(bǔ)償和按擾動(dòng)作用補(bǔ)償?shù)膹?fù)合控制系統(tǒng)，如圖1-4所示。

圖1-4復(fù)合控制系統(tǒng)方框圖(a)按輸入作用補(bǔ)償；(b)按擾動(dòng)作用補(bǔ)償1.1.4控制系統(tǒng)的分類由于控制技術(shù)的廣泛應(yīng)用以及控制理論自身的發(fā)展，使得控制系統(tǒng)具有各種各樣的形式，從不同的角度出發(fā)，分類的方式也不相同。本節(jié)僅介紹兩種常見的分類方法。1.按輸入信號特征分類

1）定值控制系統(tǒng)給定信號（給定值）為一常值的控制系統(tǒng)稱為定值控制系統(tǒng)。這類控制系統(tǒng)的任務(wù)是保證在擾動(dòng)作用下使被控變量始終保持在給定值上。在生產(chǎn)過程中的溫度、壓力、流量、液位高度等大量的控制系統(tǒng)都屬于這一類系統(tǒng)。2）隨動(dòng)控制系統(tǒng)給定信號是一個(gè)未知變化量的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為隨動(dòng)控制系統(tǒng)。這類控制系統(tǒng)的任務(wù)是保證在各種條件下系統(tǒng)的輸出（被控變量）以一定精度跟隨給定信號的變化而變化，所以這類控制系統(tǒng)又稱為跟蹤控制系統(tǒng)。如雷達(dá)無線跟蹤系統(tǒng)，當(dāng)被跟蹤目標(biāo)位置未知時(shí)屬于這類系統(tǒng)。

3）程序控制系統(tǒng)給定信號是一個(gè)按一定時(shí)間程序變化的時(shí)間函數(shù)的閉環(huán)控制系統(tǒng)就稱為程序控制系統(tǒng)。如熱處理爐溫度控制系統(tǒng)的升溫、保溫、降溫過程都是按照預(yù)先設(shè)定的規(guī)律進(jìn)行控制的，所以該系統(tǒng)屬于程序控制系統(tǒng)。2.按所使用的數(shù)學(xué)方法分類

1）線性控制系統(tǒng)和非線性控制系統(tǒng)（1）線性控制系統(tǒng)。

1.按輸入信號特征分類

1）定值控制系統(tǒng)給定信號（給定值）為一常值的控制系統(tǒng)稱為定值控制系統(tǒng)。這類控制系統(tǒng)的任務(wù)是保證在擾動(dòng)作用下使被控變量始終保持在給定值上。在生產(chǎn)過程中的溫度、壓力、流量、液位高度等大量的控制系統(tǒng)都屬于這一類系統(tǒng)。

2）隨動(dòng)控制系統(tǒng)給定信號是一個(gè)未知變化量的閉環(huán)控制系統(tǒng)稱為隨動(dòng)控制系統(tǒng)。這類控制系統(tǒng)的任務(wù)是保證在各種條件下系統(tǒng)的輸出（被控變量）以一定精度跟隨給定信號的變化而變化，所以這類控制系統(tǒng)又稱為跟蹤控制系統(tǒng)。如雷達(dá)無線跟蹤系統(tǒng)，當(dāng)被跟蹤目標(biāo)位置未知時(shí)屬于這類系統(tǒng)。

3）程序控制系統(tǒng)給定信號是一個(gè)按一定時(shí)間程序變化的時(shí)間函數(shù)的閉環(huán)控制系統(tǒng)就稱為程序控制系統(tǒng)。如熱處理爐溫度控制系統(tǒng)的升溫、保溫、降溫過程都是按照預(yù)先設(shè)定的規(guī)律進(jìn)行控制的，所以該系統(tǒng)屬于程序控制系統(tǒng)。

2.按所使用的數(shù)學(xué)方法分類

1）線性控制系統(tǒng)和非線性控制系統(tǒng)（1）線性控制系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)中各組成環(huán)節(jié)的特性可以用線性微分方程（或差分方程）來描述時(shí)，這類系統(tǒng)稱為線性控制系統(tǒng)。線性控制系統(tǒng)的特點(diǎn)是可以運(yùn)用疊加原理。在系統(tǒng)存在幾個(gè)輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出等于各個(gè)輸入分別作用于系統(tǒng)時(shí)的系統(tǒng)輸出之和，當(dāng)系統(tǒng)輸入增大或縮小時(shí)，系統(tǒng)的輸出也按比例增大或縮小。若描述控制系統(tǒng)特性的微分方程（或差分方程）的系數(shù)是常數(shù)而不是隨時(shí)間變化的函數(shù)，則這種線性系統(tǒng)稱為線性定常（或時(shí)不變）系統(tǒng)；若微分方程（或差分方程）的系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)，則系統(tǒng)稱為線性時(shí)變系統(tǒng)。（2）非線性控制系統(tǒng)。當(dāng)系統(tǒng)中存在非線性的組成環(huán)節(jié)時(shí)，系統(tǒng)的特征就由非線性微分方程來描述，這樣的控制系統(tǒng)稱為非線性控制系統(tǒng)。對于非線性系統(tǒng)疊加原理是不適用的。嚴(yán)格地講，實(shí)際的控制系統(tǒng)都具有不同程度的非線性。非線性特性根據(jù)其處理方法不同，可以分為本質(zhì)非線性和非本質(zhì)非線性兩種。對于非本質(zhì)非線性，其輸入、輸出的關(guān)系曲線沒有間斷點(diǎn)和折斷點(diǎn)，且呈單值關(guān)系。因此當(dāng)系統(tǒng)變化量變化范圍不大時(shí)，為便于分析研究，可簡化為線性關(guān)系來處理。這樣可以應(yīng)用成熟的線性控制理論進(jìn)行分析和討論。對于本質(zhì)非線性特性，其輸入、輸出關(guān)系或是具有間斷點(diǎn)和折斷點(diǎn)，或是具有非單值關(guān)系。這類控制系統(tǒng)需要用非線性理論來分析和研究。

2）連續(xù)控制系統(tǒng)與離散控制系統(tǒng)（1）連續(xù)控制系統(tǒng)。當(dāng)控制系統(tǒng)中各組成環(huán)節(jié)的輸入和輸出信號都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)時(shí)，稱此類系統(tǒng)為連續(xù)控制系統(tǒng)。連續(xù)控制系統(tǒng)的特征一般是用微分方程來描述的。信號的時(shí)間函數(shù)允許有間斷點(diǎn)（不連續(xù)點(diǎn)）。若系統(tǒng)是線性的而且又是連續(xù)的，則稱為線性連續(xù)系統(tǒng)。（2）離散控制系統(tǒng)?？刂葡到y(tǒng)中只要有一個(gè)組成環(huán)節(jié)的輸入信號或輸出信號在時(shí)間上是離散的，就稱為離散控制系統(tǒng)。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別僅在于信號只在特定離散的瞬時(shí)（如圖1-5所示）是時(shí)間的函數(shù)，而在兩離散的瞬時(shí)點(diǎn)之間信號是不確定的。圖1-5離散信號

圖1-6常見的非線性特性(a)飽和；(b)死區(qū)；(c)間隙；(d)干摩擦和粘性摩擦3）單變量控制系統(tǒng)與多變量控制系統(tǒng)（1）單變量控制系統(tǒng)。在一個(gè)控制系統(tǒng)中，如果只有一個(gè)被控變量和一個(gè)控制作用來控制被控對象，則稱該系統(tǒng)為單變量控制系統(tǒng)，又稱為單輸入—單輸出系統(tǒng)。如圖1-7所示。目前大量的過程控制系統(tǒng)都屬于這類系統(tǒng)。圖1-7單變量控制系統(tǒng)

（2）多變量控制系統(tǒng)。如果一個(gè)控制系統(tǒng)中的被控變量多于一個(gè)，控制作用也多于一個(gè)，而且各控制回路相互之間有耦合關(guān)系，則稱這類控制系統(tǒng)為多變量控制系統(tǒng)，也稱為多輸入—多輸出控制系統(tǒng)，如圖1-8所示。圖1-8多變量控制系統(tǒng)1.1.5控制系統(tǒng)的研究內(nèi)容和方法

1.控制系統(tǒng)的研究內(nèi)容控制系統(tǒng)的類型很多，但研究的內(nèi)容和方法是類似的。在研究控制系統(tǒng)時(shí)不是從具體控制系統(tǒng)的物理性質(zhì)入手，而是從表征這些控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型出發(fā)，用數(shù)學(xué)（包括實(shí)驗(yàn)）的方法去構(gòu)造一個(gè)人們所需要的數(shù)學(xué)模型，或是去研究這種系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。因此，對于控制系統(tǒng)的研究主要分為兩個(gè)內(nèi)容，一是控制系統(tǒng)的分析，二是控制系統(tǒng)的綜合。控制系統(tǒng)的分析是指在已知控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的條件下，分析系統(tǒng)的性能，并研究性能指標(biāo)與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)、參數(shù)之間的關(guān)系，從而提出改善控制系統(tǒng)性能的途徑和措施。而控制系統(tǒng)的綜合是指根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際對控制系統(tǒng)提出的性能指標(biāo)的要求，用數(shù)學(xué)的方法去確定系統(tǒng)的某些參數(shù)或附加某種裝置（稱為校正裝置）的過程，可見控制系統(tǒng)的綜合是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一部分。

2.控制系統(tǒng)的研究方法

1）時(shí)域法時(shí)域法是一種以微分方程為基礎(chǔ)而構(gòu)成的數(shù)學(xué)模型，通常采用求解微分方程的途徑，直接在時(shí)間域中對控制系統(tǒng)進(jìn)行研究的一種方法。在一定的輸入變量作用下，系統(tǒng)的輸出變量時(shí)域表達(dá)式可以由微分方程求得（或由傳遞函數(shù)求得），從而計(jì)算出控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)。由這種方法得出的性能指標(biāo)比較直觀，并且系統(tǒng)的參數(shù)與性能指標(biāo)之間的關(guān)系比較清楚。由于目前計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，求解微分方程的工作量大為減輕，因而使時(shí)域法的應(yīng)用更為廣泛。2）頻域法對于一些不容易從理論推導(dǎo)得出系統(tǒng)微分方程的場合，可以通過頻率響應(yīng)求得系統(tǒng)的特性。由于這種方法簡便，物理概念明了，因而在實(shí)踐中得到了廣泛的應(yīng)用。

3）根軌跡法根軌跡法是一種以作圖法為基礎(chǔ)研究控制系統(tǒng)的方法。由于它是從系統(tǒng)的開環(huán)特性出發(fā)去研究系統(tǒng)的閉環(huán)特性的，因此方法簡單，特別是在系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)較為方便。1.1.6對控制系統(tǒng)的基本要求對工作在不同場合下的控制系統(tǒng)有不同的性能要求。本節(jié)主要從控制的角度來討論控制系統(tǒng)應(yīng)滿足的基本要求?？刂葡到y(tǒng)的任務(wù)是使被控量按參考輸入保持常值或跟隨參考輸入變化。但是要在任何時(shí)間做到這一點(diǎn)并不容易。如圖1-9所示的隨動(dòng)系統(tǒng)的指令電位器，在瞬間轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)單位角度時(shí)，由于系統(tǒng)中慣性的存在以及能源功率的限制，因此工作機(jī)械不可能立即跟隨轉(zhuǎn)動(dòng)相等的角度。圖1-9隨動(dòng)系統(tǒng)當(dāng)偏差產(chǎn)生的控制作用使工作機(jī)械轉(zhuǎn)過與給定值相等的角度時(shí)，由于慣性的關(guān)系，工作機(jī)械將仍以一定速度繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，因而出現(xiàn)反向偏差?？刂葡到y(tǒng)又產(chǎn)生反向控制作用，使工作機(jī)械反向轉(zhuǎn)動(dòng)。如此周而復(fù)始，出現(xiàn)了振蕩的跟蹤過程?？刂葡到y(tǒng)的這一運(yùn)動(dòng)過程稱為系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程。當(dāng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)匹配合理時(shí)，經(jīng)過一定時(shí)間后，被控量將趨于希望值。圖1-10表示了在階躍輸入信號作用下幾種系統(tǒng)被控量的變化過程，圖中x（t）表示輸入，y（t）表示輸出。圖1-10控制系統(tǒng)的階躍輸入和輸出顯然，不是所有系統(tǒng)都能正常地工作。系統(tǒng)要能正常工作，必須滿足如下基本要求。

(1)穩(wěn)定性。穩(wěn)定性是指系統(tǒng)被控量偏離給定值而振蕩時(shí)，系統(tǒng)抑制振蕩的能力。對于穩(wěn)定的系統(tǒng)，隨著時(shí)間的增長，被控量將趨近于希望值?？梢姺€(wěn)定性是保證系統(tǒng)正常工作的先決條件。圖1-10（b）和圖1-10（c）所示的系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，這種系統(tǒng)不能正常工作。圖1-10（d）所示的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。(2)快速性?？焖傩允侵副豢亓口吔Ｍ档目炻潭取？焖傩院玫南到y(tǒng)，它的過渡過程時(shí)間就短，就能復(fù)現(xiàn)快速變化的控制信號，因而具有較高的動(dòng)態(tài)精度。圖1-10（d）所示的系統(tǒng)1，其快速性要比系統(tǒng)2好。穩(wěn)定性和快速性是反映系統(tǒng)動(dòng)態(tài)過程好壞的尺度。(3)精確性。精確性是指過渡過程結(jié)束后被控量與希望值接近的程度。也就是當(dāng)系統(tǒng)過渡到新的平衡工作狀態(tài)后，被控量與希望值偏差的大小。系統(tǒng)的這一性能指標(biāo)稱為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。考慮到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程在不同階段中的特點(diǎn)，工程上常常從穩(wěn)、快、準(zhǔn)三個(gè)方面來評價(jià)系統(tǒng)的總體精度。習(xí)題1.1什么是系統(tǒng)？什么是被控對象？什么是控制？

1.2什么是自動(dòng)控制？它對人類活動(dòng)有什么意義？

1.3試列舉幾個(gè)日常生活中的開環(huán)控制系統(tǒng)和閉環(huán)控制系統(tǒng)，并說明它們的工作原理。1.4自動(dòng)控制系統(tǒng)主要由哪幾部分組成？各組成部分有什么功能？

1.5試用反饋控制原理來說明司機(jī)駕駛汽車是如何進(jìn)行線路方向控制的，并畫出系統(tǒng)方框圖。

1.6洗衣機(jī)控制系統(tǒng)的方框圖如習(xí)題1.6圖所示，試設(shè)計(jì)一個(gè)閉環(huán)控制的洗衣機(jī)系統(tǒng)方框圖。習(xí)題1.6圖洗衣機(jī)控制系統(tǒng)第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.1列寫系統(tǒng)的微分方程2.2傳遞函數(shù)2.3系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換2.5信號流圖與梅遜公式2.6系統(tǒng)的傳遞函數(shù)習(xí)題2.1列寫系統(tǒng)的微分方程

微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。列寫系統(tǒng)的微分方程是建立數(shù)學(xué)模型的重要環(huán)節(jié)。研究控制系統(tǒng)時(shí)常用的傳遞函數(shù)、動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖等都是在微分方程的基礎(chǔ)上衍生出來的。一般線性定常系統(tǒng)或元件的典型形式為

（2-1）其中,a0≠0且n≥1；b0≠0且m≥0；n≥m。等式左邊是系統(tǒng)輸出變量及其各階導(dǎo)數(shù)，等式右邊是系統(tǒng)輸入變量及其各階導(dǎo)數(shù)，且等式左右兩邊的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。圖2-1帶阻尼的彈簧系統(tǒng)

2.1.1機(jī)械系統(tǒng)

例2.1

帶阻尼的彈簧系統(tǒng)如圖2-1所示，試列寫系統(tǒng)的微分方程。

解

(1)明確輸入、輸出量。外作用力F為輸入變量，位移x為輸出變量。

(2)建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。設(shè)質(zhì)量m相對于初始平衡狀態(tài)的位移、速度和加速度分別為x、dx/dt和d2x/dt2。根據(jù)牛頓定律得

其中，k為彈簧的彈性系數(shù)，f為阻尼器的粘性摩擦系數(shù)。

(3)整理,得系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型：（2-2）（2-3）2.1.2電路系統(tǒng)

例2.2

已知一RLC電路如圖2-2所示，試列寫其微分方程。

解

(1)明確輸入、輸出量。uo(t)為輸出量，ui(t)為輸入量。

(2)建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。（2-４）（2-5）圖2-2RLC電路(3)消去中間變量，得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。由式(2-5)得代入式(2-４),得（2-6）

2.1.3機(jī)電系統(tǒng)例2.3

已知一他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)如圖2-3所示，試列寫其微分方程。圖中，u(t)為電樞電壓；Ea為反電動(dòng)勢；Ia為電樞電流；Ra為電樞電阻；La為電樞電感；M為電磁力矩；Ω為電機(jī)角速度；J為電動(dòng)機(jī)總的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；f為電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折算到軸上的等效粘性阻尼系數(shù)；If為勵(lì)磁電流（常數(shù)）。

解

(1)明確輸入、輸出量。輸出量為Ω，輸入量為u(t)。

圖2-3直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)(2)建立輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系。在他勵(lì)直流電動(dòng)機(jī)系統(tǒng)中有機(jī)械運(yùn)動(dòng)及電磁運(yùn)動(dòng)，二者之間還存在耦合。根據(jù)幾種關(guān)系建立的輸入、輸出量的動(dòng)態(tài)聯(lián)系為機(jī)械運(yùn)動(dòng)：（2-7）電磁運(yùn)動(dòng):（2-8）

機(jī)電之間的耦合關(guān)系：

Ea=CeΩ

（2-９）

M=CmIa

（2-10）其中，Ce為電動(dòng)機(jī)電勢常數(shù)；Cm為電動(dòng)機(jī)力矩常數(shù)。(3)消去中間變量，得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。消去中間變量Ea、Ia和M,得（2-11）

當(dāng)電動(dòng)機(jī)的電感La和粘性摩擦系數(shù)f較小時(shí)，二者對系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)影響可以忽略不計(jì)，則式(2-11)可以簡化為（2-12）其中稱為電動(dòng)機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)。2.1.4非線性方程的線性化嚴(yán)格說，現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)中的元件幾乎都具有不同程度的非線性，所以對于系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量之間的關(guān)系來說，其實(shí)應(yīng)該用非線性動(dòng)態(tài)方程來加以描述。但是在大多數(shù)情況下，非線性因素都比較弱，可以將它們近似為線性元件，然后用線性微分方程加以描述。然而，有的元件的非線性程度較為嚴(yán)重，如果簡單地將它們看作線性元件，則會使建立的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際情況偏離過大，從而導(dǎo)致分析結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤。通常采用“小偏差法”對非線性方程進(jìn)行線性化。

應(yīng)用“小偏差法”的條件是輸入變量和輸出變量的函數(shù)及各階導(dǎo)數(shù)值在預(yù)定的工作點(diǎn)附近都存在。該方法的實(shí)質(zhì)是在一個(gè)很小的范圍內(nèi)將非線性曲線用一段直線來代替。方法如下。設(shè)非線性函數(shù)y=f(x)，其特性如圖2-４所示。圖2-4非線性特性

圖中，A點(diǎn)為工作點(diǎn)，y0=f(x0)。x、y在工作點(diǎn)附近做小范圍增量變化，即當(dāng)x=x0+Δx

時(shí)，有y=y0+Δy。則函數(shù)y=f(x)在工作點(diǎn)附近可以展開成泰勒級數(shù)：（2-13）

當(dāng)Δx很小時(shí)，可以忽略上式的高次項(xiàng)，則式(2-13)可以改寫為

y=f(x0)+f′(x0)Δx

（2-1４）或

y-y0=f′(x0)Δx

（2-15）即

Δy=f′(x0)Δx

（2-16）

對于式(2-16)，如果略去增量符號Δ，那么非線性函數(shù)y=f(x)在工作點(diǎn)處的線性化方程就是

y=f′(x0)x

（2-17）令k=f′(x0)，則有

y=kx

（2-18）

2.2.1傳遞函數(shù)的概念設(shè)RC電路如圖2-5所示，輸入電壓為ui(t)，輸出電壓為uo(t)。

（2-19）令RC=T，上式改寫為（2-20）2.2傳遞函數(shù)

圖2-5RC電路

設(shè)初始值uc(0-)=0，對式(2-20)進(jìn)行拉氏變換，得

TsUo(s)+Uo(s)=Ui(s)（2-21）比較式(2-20)和式(2-21)可以看出，只要將微分方程中的d/dt變?yōu)閟；uo(t)變?yōu)閁o(s)；ui(t)變?yōu)閁i(s)，就可以得到象方程。二者的結(jié)構(gòu)、項(xiàng)數(shù)、系數(shù)和階次完全一致。 一般地，要由微分方程得到其拉氏變換的象方程（零初始條件），只需將微分方程中的d/dt

改寫為s,d2/dt2改寫為s2,…,再將微分方程中的變量改寫為s域中的象函數(shù)即可。將式(2-21)整理,得（2-22）式(2-22)中，Uo(s)和Ui(s)分別為輸出量和輸入量的象函數(shù)。由式(2-22)可知，Uo(s)和Ui(s)的比值是s的有理分式函數(shù)，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，而與輸入信號無關(guān)。由于它包含了微分方程(2-19)中的全部信息，故可以用它作為在復(fù)頻域中描述RC電路輸入-輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，可記為

這一關(guān)系可以用圖2-6所示的方框圖表示，輸入信號經(jīng)過G(s)動(dòng)態(tài)傳遞到輸出，故稱G(s)為RC電路的傳遞函數(shù)。（2-23）圖2-6RC電路方框圖

2.2.2傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)是指在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出變量的拉氏變換象函數(shù)與輸入變量的拉氏變換象函數(shù)之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)為

（2-2４）

設(shè)初始值為0，對式(2-2４)兩邊進(jìn)行拉氏變換得

(a0sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)

=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)（2-25）根據(jù)傳遞函數(shù)的定義得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（2-26）2.2.3傳遞函數(shù)的性質(zhì)

(1)傳遞函數(shù)是將線性定常系統(tǒng)的微分方程經(jīng)拉氏變換后導(dǎo)出的，因此傳遞函數(shù)的概念只適用于線性定常系統(tǒng)。

(2)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式函數(shù)，通常n≥m，且所有的系數(shù)均為實(shí)數(shù)。

(3)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式和大小無關(guān)。

(4)傳遞函數(shù)是在零初始條件下求得的。

2.2.4傳遞函數(shù)的求法

1.根據(jù)系統(tǒng)的微分方程求傳遞函數(shù)首先列寫出系統(tǒng)的微分方程或微分方程組，然后在零初始條件下求各微分方程的拉氏變換，將它們轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程組，消去中間變量，得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例2.4

試求例2.2中RLC電路的傳遞函數(shù)。解

根據(jù)基爾霍夫定律，有（2-27）（2-28）在零初始條件下,將上兩式進(jìn)行拉氏變換得（2-29）（2-30）消去中間變量I(s)后，得

(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s)（2-31）根據(jù)傳遞函數(shù)的定義,可得RLC電路的傳遞函數(shù)為（2-32）

2.用復(fù)阻抗的概念求電路的傳遞函數(shù)在電路中有三種基本的阻抗元件：電阻、電容、電感。流過這三種阻抗元件的電流i與電壓u的關(guān)系是電阻：u=Ri；電容：；電感：

。

對以上各等式兩邊作拉氏變換（零初始條件），得：電阻：

U(s)=RI(s)

可見電阻R的復(fù)阻抗仍為R。電容：整理得可見電容的復(fù)阻抗為1/(Cs)。

電感：

U(s)=LsI(s)

可見電感的復(fù)阻抗為Ls。復(fù)阻抗在電路中經(jīng)過串聯(lián)、并聯(lián)，組成各種復(fù)雜電路，其等效阻抗的計(jì)算和一般電阻電路完全一樣。通過復(fù)阻抗的概念可以直接寫出一個(gè)電路的傳遞函數(shù)，省掉了微分方程的推導(dǎo)和計(jì)算過程，從而減小了計(jì)算量。

例2.5試用復(fù)阻抗的概念求例2.2所示電路的傳遞函數(shù)。

解

根據(jù)基爾霍夫定律，有（2-33）整理得（2-34）2.3系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（方框圖）是描述系統(tǒng)中各變量間關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形。應(yīng)用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖可以簡化復(fù)雜控制系統(tǒng)的分析和計(jì)算，同時(shí)能直觀地表明控制信號在系統(tǒng)內(nèi)部的動(dòng)態(tài)傳遞關(guān)系，因此在控制理論中的應(yīng)用十分廣泛。

2.3.1動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖是系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)函數(shù)功能和信號流向的圖形表示，由函數(shù)方框、信號線、信號分支點(diǎn)、信號相加點(diǎn)等組成（如圖2-７所示）。

(1)信號線（如圖2-7(a)所示）：表示輸入、輸出通道，箭頭代表信號的傳遞方向。

(2)函數(shù)方框（傳遞方框，如圖2-7(b)所示）：方框內(nèi)為具體環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。(3)信號相加點(diǎn)（綜合點(diǎn)、比較點(diǎn)，如圖2-7(c)所示）：表示幾個(gè)信號相加減。

(4)信號分支點(diǎn)（引出點(diǎn)，如圖2-7(d)所示）：表示同一信號輸出到幾個(gè)地方。

圖2-7動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本組成部分2.3.2動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的繪制步驟如下：

(1)根據(jù)信號傳遞過程，將系統(tǒng)劃分為若干個(gè)環(huán)節(jié)或部件。

(2)確定各環(huán)節(jié)的輸入量與輸出量，求出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

(3)繪出各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

(4)將各環(huán)節(jié)相同的量依次連接，得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。例2.6試?yán)L制圖2-8所示RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。圖2-8RC電路

解

(1)根據(jù)信號傳遞過程，將系統(tǒng)劃分為四個(gè)部件：R1、C1、R2、C2。

(2)確定各環(huán)節(jié)的輸入量與輸出量，求出各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。

R1：輸入量為ui-u1，輸出量為i1；傳遞函數(shù)為C1：輸入量為i1-i2，輸出量為u1；傳遞函數(shù)為R2：輸入量為u1-uo，輸出量為i2；傳遞函數(shù)為C2：輸入量為i2，輸出量為uo；傳遞函數(shù)為(3)繪出各環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（如圖2-9所示）。

(4)將各環(huán)節(jié)相同的量依次連接，得到系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖（如圖2-10所示）。圖2-9RC電路各部件的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖圖2-10RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.3.3動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接方式動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本連接方式有三種：串聯(lián)、并聯(lián)、反饋。復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖都是由這三種基本的連接方式組合而成的。

1.串聯(lián)如圖2-11所示，在串聯(lián)連接方式中，n個(gè)環(huán)節(jié)首尾相連，前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出作為后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，這種連接方式稱為串聯(lián)。圖2-11串聯(lián)環(huán)節(jié)n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積：（2-35）

2.并聯(lián)如圖2-12所示，在并聯(lián)連接方式中，n個(gè)環(huán)節(jié)的輸入相同，而總輸出為各環(huán)節(jié)輸出的代數(shù)和，這種連接方式稱為并聯(lián)。圖2-12并聯(lián)連接n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)后的總傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之代數(shù)和：（2-36）3.反饋圖2-13所示為反饋連接方式的一般形式，其特點(diǎn)是將系統(tǒng)的輸出信號C(s)在經(jīng)過某個(gè)環(huán)節(jié)H(s)后，反向送回到輸入端。圖2-13反饋連接

從E(s)到C(s)的通道稱為前向通道，從C(s)到B(s)的通道稱為反饋通道。前向通道和反饋通道在系統(tǒng)中形成閉合回路。從R(s)到C(s)的傳遞函數(shù)稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，一般用Φ(s)表示。根據(jù)反饋信號加在相加點(diǎn)的極性，反饋連接方式可以分為負(fù)反饋和正反饋。由圖2-13可知，在負(fù)反饋的情況下：

C(s)=G(s)E(s)=G(s)［R(s)-B(s)］=G(s)［R(s)-H(s)C(s)］

即［1+G(s)H(s)］C(s)=G(s)R(s)

整理得（2-37）相應(yīng)的，在正反饋的情況下：(2-38）

如果反饋通道的傳遞函數(shù)H(s)=1，則稱閉環(huán)系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。2.4動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換

2.4.1相加點(diǎn)的移動(dòng)

1.相加點(diǎn)的前移將圖2-14（a）中G(s)方框之后的相加點(diǎn)移到方框之前，需要在被挪動(dòng)的通道串上1/G(s)方框，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-14(b)所示。圖2-14相加點(diǎn)的前移移動(dòng)前

C(s)=R(s)G(s)±X(s)

移動(dòng)后移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。

2.相加點(diǎn)的后移將圖2-15（a）中G(s)方框之前的相加點(diǎn)移到方框之后，需要在被挪動(dòng)的通道串上G(s)方框，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-15(b)所示。移動(dòng)前

C(s)=［R(s)±X(s)］G(s)

移動(dòng)后

C(s)=R(s)G(s)±X(s)G(s)=［R(s)±X(s)］G(s)

移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。圖2-15相加點(diǎn)的后移

3.相加點(diǎn)之間的移動(dòng)將圖2-16（a）中的兩個(gè)相加點(diǎn)交換位置之后，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-16(b)所示。移動(dòng)前

C(s)=R1(s)±R2(s)±R3(s)

移動(dòng)后

C(s)=R1(s)±R3(s)±R2(s)

移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。這說明相加點(diǎn)之間可以任意移動(dòng)。圖2-16相加點(diǎn)之間的移動(dòng)2.4.2分支點(diǎn)的移動(dòng)

1.分支點(diǎn)的前移將圖2-17（a）中G(s)方框之后的分支點(diǎn)移到方框之前，需要在被挪動(dòng)的通道串上G(s)方框，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-17(b)所示。移動(dòng)前

C(s)=R(s)G(s)

移動(dòng)后

C(s)=R(s)G(s)

移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。圖2-17分支點(diǎn)的前移2.分支點(diǎn)的后移將圖2-18（a）中G(s)方框之前的分支點(diǎn)移到方框之后，需要在被移動(dòng)的通道串上1/G(s)方框，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-18(b)所示。圖2-18分支點(diǎn)的后移

移動(dòng)前

C(s)=R(s)

移動(dòng)后移動(dòng)前后的輸出相同，可見二者是等效的。

3.分支點(diǎn)之間的移動(dòng)將圖2-19（a）中的兩個(gè)分支點(diǎn)交換位置之后，其等效結(jié)構(gòu)如圖2-19(b)所示。移動(dòng)前后相鄰分支點(diǎn)的輸出相同，可見二者是等效的。說明分支點(diǎn)之間可以任意移動(dòng)。圖2-19分支點(diǎn)之間的移動(dòng)

例2.7

化簡圖2-10所示RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求出傳遞函數(shù)。

解這是一個(gè)多回路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，圖中有多處交叉，所以必須移動(dòng)相加點(diǎn)和分支點(diǎn)，消除交叉連接，使各個(gè)回路互相分離。移動(dòng)過程如圖2-20(a)、(b)、(c)所示，從而求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：（2-39）圖2-20RC電路動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換過程2.5信號流圖與梅遜公式

信號流圖與動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖一樣，也是一種描述控制系統(tǒng)信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形，它比動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖更簡潔。利用梅遜公式可以避免復(fù)雜的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換，直接寫出信號流圖或動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖所描述的控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。2.5.1信號流圖的組成信號流圖的基本單元有兩個(gè)：節(jié)點(diǎn)和支路。在圖2-21所示的信號流圖中，節(jié)點(diǎn)表示系統(tǒng)中的變量或信號，在圖中用一個(gè)小圓圈表示。支路是連接兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的有向線段，支路上的箭頭表示信號傳遞的方向；兩個(gè)變量之間的因果關(guān)系式叫做增益（相當(dāng)于動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖方框中的傳遞函數(shù)），增益標(biāo)在相應(yīng)的支路上。支路相當(dāng)于一個(gè)乘法器，信號流經(jīng)支路時(shí)，乘上支路中的增益變?yōu)榱硪恍盘?。增益為１時(shí)可以不標(biāo)出來。如節(jié)點(diǎn)變量X2與其它變量的因果關(guān)系可以表示為：X2=aX1-dX4

（2-40）節(jié)點(diǎn)具有兩個(gè)特點(diǎn)：①節(jié)點(diǎn)所表示的變量等于流入該節(jié)點(diǎn)的信號之和。②從節(jié)點(diǎn)流出的每一支路信號都等于該節(jié)點(diǎn)所表示的變量?？梢姽?jié)點(diǎn)起到了動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖中相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的作用（這一特點(diǎn)對于根據(jù)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖畫出信號流圖而言是非常有用的）。

節(jié)點(diǎn)分為三種：

(1)輸入節(jié)點(diǎn)。只有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，又稱為源節(jié)點(diǎn)，用來表示系統(tǒng)的輸入變量，如圖2-21中的X1節(jié)點(diǎn)。

(2)輸出節(jié)點(diǎn)。只有輸入支路的節(jié)點(diǎn)，又稱為阱節(jié)點(diǎn)，用來表示系統(tǒng)的輸出變量，如圖2-21中的X5節(jié)點(diǎn)。

(3)混合節(jié)點(diǎn)。既有輸入支路，又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)，如圖2-21中的X2、X3、X4節(jié)點(diǎn)。圖2-21信號流圖2.5.2信號流圖的繪制信號流圖可以根據(jù)系統(tǒng)的微分方程繪制：在列寫出系統(tǒng)的微分方程以后，利用拉氏變換將微分方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程；再根據(jù)系統(tǒng)中各變量的因果關(guān)系，將對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)從左到右順序排列；最后繪制出有關(guān)的支路，并標(biāo)出各支路的增益，就可以得到系統(tǒng)的信號流圖。當(dāng)然，在畫出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基礎(chǔ)上，也可以根據(jù)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖繪制信號流圖。

例2.8

試?yán)L制圖2-22所示RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖對應(yīng)的信號流圖。圖2-22RC電路的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖

解在動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖中的信號線上流動(dòng)的信號對應(yīng)于信號流圖中的節(jié)點(diǎn)。圖2-22中有8個(gè)不同的信號：Ui、E1、I1、E2、U1、E3、I2、Uo。

(1)按從左到右的順序，畫出上面的8個(gè)信號對應(yīng)的節(jié)點(diǎn)。

(2)按結(jié)構(gòu)圖中信號的傳遞關(guān)系用支路將這些節(jié)點(diǎn)連接起來，并標(biāo)出支路的信號傳遞方向。

(3)將結(jié)構(gòu)圖中的傳遞函數(shù)標(biāo)在對應(yīng)的信號流圖中的支路旁。如果動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的輸出信號為負(fù)，則信號流圖中對應(yīng)的增益也應(yīng)該加一個(gè)負(fù)號，如圖2-23所示。圖2-23RC電路的信號流圖

2.5.3梅遜(S.J.Mason)公式

應(yīng)用梅遜公式可以不進(jìn)行結(jié)構(gòu)變換而直接得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。梅遜公式為（對于動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖而言）

（2-４1）

其中,Δ為系統(tǒng)的主特征式，且：

Δ=1-∑La+∑LbLc-∑LdLeLf+…

（2-42）

∑La為各回路的回路傳遞函數(shù)回路傳遞函數(shù)是指每一個(gè)回路前向通道和反饋通道的傳遞函數(shù)之乘積，并且包含表示反饋極性的正、負(fù)號。

例2.9

試用梅遜公式求圖2-23所示RC電路的信號流圖的傳遞函數(shù)。解

(1)求Δ。系統(tǒng)有三個(gè)回路：故三個(gè)回路中，只有和互不接觸，所以因此（2-43）(2)求Pk。在該系統(tǒng)中只有一條前向通道（2-44）

(3)求Δk。因?yàn)镻1與三個(gè)回路都有接觸，所以L1、L2、L3都應(yīng)該從Δ的表達(dá)式中除去。故（2-45）⑷求將式（2-43）（2-44（2-45）帶入（2-41），得（2-46）該結(jié)果與采用動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的等效變換求得的結(jié)果相同。例2.10

試用梅遜公式求圖2-2４所示動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖的傳遞函數(shù)。圖２-２４某系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖(4)求G(s)。將式(2-47)、(2-48)和(2-49)代入式(2-41)，得(2-50)2.6系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

控制系統(tǒng)一般受到兩類信號的作用。一類是有用信號r(t),即輸入信號、給定信號、指令信號；另一類是各種干擾信號n(t)。輸入信號r(t)加在控制裝置的輸入端，即系統(tǒng)的輸入端。干擾信號n(t)一般作用在受控對象上，但也可能出現(xiàn)在其他元部件上，甚至夾雜在輸入信號中。一個(gè)系統(tǒng)往往有多個(gè)干擾信號，一般只考慮其中主要的干擾信號。

閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)如圖2-25所示。在控制系統(tǒng)中，影響系統(tǒng)輸出的因素不僅有輸入信號r(t)，而且還有干擾信號n(t)，因此在研究系統(tǒng)被控量c(t)的變化規(guī)律時(shí)，要同時(shí)考慮r(t)和n(t)的影響。下面介紹控制系統(tǒng)中經(jīng)常使用的幾個(gè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)的概念。圖2-25閉環(huán)控制系統(tǒng)的典型動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.6.1閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)在圖2-25中，將反饋環(huán)節(jié)H(s)的輸出端切斷，斷開系統(tǒng)的反饋通道。則反饋信號B(s)與輸入信號R(s)的比值，稱為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：（2-51）也就是說，閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)等于前向通道的傳遞函數(shù)與反饋通道的傳遞函數(shù)的乘積，一般用Gk(s)表示。

需要注意的是：①要將閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與開環(huán)控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)區(qū)別開來。②閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)與梅遜公式中的回路傳遞函數(shù)是不同的，開環(huán)傳遞函數(shù)不包含反饋的極性。

2.6.2給定輸入信號r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)由于只考慮r(t)的作用，因此可設(shè)n(t)=0，圖2-25簡化為圖2-26。

（2-52）稱Φr(s)為r(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。而輸出量為（2-53）圖2-26r(t)作用下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖2.6.3擾動(dòng)信號n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)由于只考慮n(t)的作用，因此可設(shè)r(t)=0，圖2-25簡化為圖2-2７。圖2-27n(t)作用下的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖輸出量c(t)與擾動(dòng)信號n(t)之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)為（2-54）稱Φn(s)為n(t)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)。而輸出量為（2-55）

2.6.4系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)的總輸出為給定輸入r(t)和擾動(dòng)輸入n(t)引起的輸出的總和，將式(2-53)和(2-55)相加，得到系統(tǒng)的總輸出（2-56）

2.6.5閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)誤差的大小反映了系統(tǒng)的控制精度，故有必要分析誤差與輸入信號r(t)和擾動(dòng)n(t)之間的關(guān)系。閉環(huán)系統(tǒng)的誤差e(t)是指給定輸入信號r(t)和反饋信號b(t)之差：

e(t)=r(t)-b(t)（2-57）

E(s)=R(s)-B(s)（2-58）1.r(t)作用下閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)令n(t)=0，以E(s)為輸出量，將圖2-25轉(zhuǎn)換為圖2-28。求得（2-59）圖2-28r(t)作用下的誤差輸出結(jié)構(gòu)圖2.n(t)作用下閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)令r(t)=0，以E(s)為輸出量，將圖2-25轉(zhuǎn)換為圖2-29。求得（2-60）

圖2-29n(t)作用下閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)3.系統(tǒng)的總誤差由疊加原理可得，系統(tǒng)的總誤差為

E(s)=Φer(s)R(s)+Φen(s)N(s)（2-61）

比較Φr(s)、Φn(s)、Φer(s)和Φen(s)可以看出，它們都具有相同的分母——［1+G1(s)G2(s)H(s)］，即它們均具有相同的特征方程

1+G1(s)G2(s)H(s)=0

該特征方程反映了它們共同的本質(zhì)，其根就是反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。習(xí)題2.1試列寫出習(xí)題2.1圖中各電路的動(dòng)態(tài)方程。

2.2試求習(xí)題2.2圖所示有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

2.3試求習(xí)題2.3圖所示有源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。

習(xí)題2.1圖習(xí)題2.2圖習(xí)題2.3圖2.4試用拉氏變換變換下列微分方程（初始值為0）。2.5系統(tǒng)的微分方程如下：

式中,T1、T2、K1、K2、K3均為正的常數(shù)，系統(tǒng)的輸入量為r(t)，輸出量為c(t)，試畫出動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。2.6系統(tǒng)微分方程如下：

x1(t)=r(t)-c(t)-n1(t)x2(t)=K1x1(t)x3(t)=x2(t)-x5(t)

式中,T、K1、K2、K3均為正常數(shù)。試建立以r(t)、n1(t)和n2(t)為輸入量，c(t)為輸出量的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。

2.7試將習(xí)題2.7圖所示的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖轉(zhuǎn)換為信號流圖。

2.8分別用等效變換及梅遜公式求解習(xí)題2.8圖所示各圖的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

2.9試求習(xí)題2.9圖所示系統(tǒng)分別在輸入信號和擾動(dòng)信號作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并求系統(tǒng)的總輸出。習(xí)題2.7圖習(xí)題2.8圖習(xí)題2.9圖3.1系統(tǒng)性能指標(biāo)及動(dòng)態(tài)性能分析3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析習(xí)題

第3章時(shí)域分析法3.1系統(tǒng)性能指標(biāo)及動(dòng)態(tài)性能分析3.1.1典型輸入信號和時(shí)域性能指標(biāo)

1.常用的輸入信號控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能是通過系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程來評價(jià)的。而系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)不僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)，還與系統(tǒng)的初始狀態(tài)及輸入信號有關(guān)。為了便于在統(tǒng)一的條件下進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)，一方面，假定在輸入信號作用于系統(tǒng)的瞬時(shí)(t=0)之前系統(tǒng)相對靜止，即為零初始狀態(tài)；

另一方面，也需要假定一些典型的輸入信號作為系統(tǒng)的試驗(yàn)信號。典型的輸入信號一般應(yīng)具備以下兩個(gè)條件：

(1)典型信號應(yīng)具有一定的代表性，而且其數(shù)學(xué)表達(dá)式簡單，以便于數(shù)學(xué)分析、計(jì)算與處理。

(2)典型信號應(yīng)易于在實(shí)驗(yàn)室獲得。因此，在控制工程中常采用下述五種信號作為典型的輸入信號。1)階躍信號階躍輸入信號表示輸入量的瞬間突變過程，如圖3-1(a)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-1)相應(yīng)的拉氏變換為(3-2)

其中，R0為常量。當(dāng)R0=1時(shí)，稱為單位階躍函數(shù)，記為1(t)。在時(shí)域分析中，階躍信號用得最為廣泛。實(shí)際中，電源的突然接通、負(fù)載的突變等均可近似看作階躍信號。

圖3-1典型輸入信號(一)(a)階躍信號；(b)斜坡信號；(c)拋物線信號2)斜坡信號斜坡信號表示由零值開始隨時(shí)間t線性增長的信號，如圖3-1(b)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-3)其拉氏變換為(3-4)其中，v0為常量。當(dāng)v0=1時(shí)，稱為單位斜坡函數(shù)。3)拋物線信號拋物線信號亦稱等加速度信號，它表示隨時(shí)間以等加速度增長的信號，如圖3-1(c)所示。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-5)它的拉氏變換為(3-6)4)脈沖信號脈沖信號可看作一個(gè)持續(xù)時(shí)間極短的信號，如圖3-2(a)所示。它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-7)當(dāng)H=1時(shí)，記為δε(t)。若令脈寬ε→0，則稱其為單位理想脈沖函數(shù)，見圖3-2(b)，并用δ(t)表示，即

且其面積（又稱脈沖強(qiáng)度）為(3-8)相應(yīng)的拉氏變換為(3-9)

圖3-2典型輸入信號(二)(a)脈沖信號；(b)單位理想脈沖函數(shù)圖3-3正弦信號5)正弦信號正弦信號如圖3-3所示，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式為(3-10)

正弦信號的拉氏變換為(3-11)3.1.2控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)

1.跟隨性能指標(biāo)在給定信號r(t)的作用下，系統(tǒng)輸出c(t)的變化情況可用跟隨性能指標(biāo)來描述。設(shè)圖3-4所示為控制系統(tǒng)典型的階躍響應(yīng)曲線，據(jù)此定義常用的跟隨性能指標(biāo)如下。

圖3-4階躍響應(yīng)曲線與跟隨性能指標(biāo)1)上升時(shí)間tr

上升時(shí)間tr指系統(tǒng)輸出響應(yīng)從0開始第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。tr小，表明系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)快。

2)峰值時(shí)間tp

峰值時(shí)間tp指系統(tǒng)輸出響應(yīng)由0開始，越過第一次穩(wěn)態(tài)值到達(dá)峰值所需的時(shí)間。

3)超調(diào)量σ%

超調(diào)量σ%指系統(tǒng)輸出響應(yīng)超出穩(wěn)態(tài)值的最大偏離量占穩(wěn)態(tài)值的百分比。(3-12)4)調(diào)節(jié)時(shí)間ts

調(diào)節(jié)時(shí)間ts指系統(tǒng)的輸出響應(yīng)達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的±5%（或±2%）誤差范圍內(nèi)，即輸出響應(yīng)進(jìn)入并保持在±5%（或±2%）誤差帶之內(nèi)所需的時(shí)間。ts小，表示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)過程短，快速性好。

5)振蕩次數(shù)N

振蕩次數(shù)N指在調(diào)節(jié)時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)輸出量在穩(wěn)態(tài)值上下擺動(dòng)的次數(shù)。次數(shù)少，表明系統(tǒng)穩(wěn)定性好。2.穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能一般是指其穩(wěn)態(tài)精度，常用穩(wěn)態(tài)誤差ess來表述。穩(wěn)態(tài)誤差ess是指系統(tǒng)期望值與實(shí)際輸出的最終穩(wěn)態(tài)值之間的差值。ess小，說明系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度高。3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析

當(dāng)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為一階微分方程式時(shí)，稱其為一階系統(tǒng)。研究如圖3-5所示的一階系統(tǒng)。在物理上，這個(gè)系統(tǒng)可以表示一個(gè)RC電路，也可以表示一個(gè)熱系統(tǒng)等。系統(tǒng)的輸入-輸出關(guān)系為(3-13)圖3-5一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)設(shè)輸入則輸出量的拉氏變換為(3-14)單位階躍響應(yīng)為(3-15)圖3-6一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

其單位階躍響應(yīng)曲線如圖3-6所示。由方程(3-15)可以看出，輸出響應(yīng)的初始值等于0，而最終將變成1。當(dāng)t=T時(shí)，c(t)=0.632，這表明輸出響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的63.2％所需的時(shí)間就是一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)越小，響應(yīng)就越快。另外，輸出響應(yīng)沒有振蕩，也就沒有超調(diào)。減小時(shí)間常數(shù)可提高響應(yīng)的速度。

比較式(3-14)和式(3-15)可知，輸入R(s)的極點(diǎn)對應(yīng)系統(tǒng)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)分量，而傳遞函數(shù)Φ(s)的極點(diǎn)則產(chǎn)生系統(tǒng)響應(yīng)的瞬態(tài)分量。這一結(jié)論不僅適用于階線性定常系統(tǒng)，而且適用于任何階次的線性定常系統(tǒng)。因?yàn)闆]有超調(diào)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)主要是調(diào)節(jié)時(shí)間ts。從響應(yīng)曲線可知：

t=3T時(shí),c(t)=0.95,故ts=3T（按±5%誤差帶）；

t=4T時(shí),c(t)=0.98,故ts=4T（按±2%誤差帶）。

例3.1

一階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3-7所示，其中KK為開環(huán)放大倍數(shù)，KH為反饋系數(shù)。設(shè)KK＝100，KH＝0.1，試求系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間ts(按±5％誤差帶)。如果要求ts＝0.1s，求反饋系數(shù)。解由結(jié)構(gòu)圖得系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可見 ,所以（按誤差帶）對照一階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)式，有由(按誤差帶）可得圖3-7例3.1系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖3.2.2一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入函數(shù)的拉氏變換為

此時(shí)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換為(3-16)對上式取拉氏反變換，得(3-17)誤差信號e(t)為e(t)=r(t)-c(t)=T(1-e-t/T)

(3-18)當(dāng)t趨近于無窮大時(shí)，e-t/T趨近于0，因而誤差信號趨近于T，即

c(∞)=T3.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖輸入函數(shù)的拉氏變換為

R(s)=L［δ(t)］=1

此時(shí)系統(tǒng)輸出響應(yīng)的拉氏變換為(3-19)對上式取拉氏反變換，得(3-20)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析

由二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。例如，他激直流電動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)、RLC電路等都是二階系統(tǒng)的實(shí)例。為了使對二階系統(tǒng)的研究具有普遍的意義，通常構(gòu)造出其典型結(jié)構(gòu)，如圖3-8所示。圖3-8二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)

根據(jù)圖3-8，可求出二階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式：(3-21)其中，ξ為阻尼比，ωn為無阻尼自然振蕩頻率，它們均為系統(tǒng)參數(shù)。

由式(3-21)可以看出，二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性可以用ξ和ωn這兩個(gè)參數(shù)的形式加以描述。如果0<ξ<1，則閉環(huán)極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)，并且位于左半s平面，這時(shí)系統(tǒng)叫做欠阻尼系統(tǒng)，其瞬態(tài)響應(yīng)是振蕩的。如果ξ=1，那么就叫做臨界阻尼系統(tǒng)。而當(dāng)ξ>1時(shí)，就叫做過阻尼系統(tǒng)。臨界阻尼系統(tǒng)和過阻尼系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)都不振蕩。如果ξ=0，那么瞬態(tài)響應(yīng)變?yōu)榈确袷帯＠?，電路的傳遞函數(shù)為對照二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)式，有即即3.3.1二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)二階系統(tǒng)在單位階躍輸入信號1(t)作用下的拉氏變換式為其中,由可求得兩個(gè)特征根(3-22)1)ξ>1,過阻尼

ξ>1時(shí),s1,2=-ξωn±ωn

為兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)根，即有其中，A1、A2、A3為待定系數(shù)。據(jù)此，可求得輸出響應(yīng)的拉氏反變換(3-23)2)ξ=1,臨界阻尼

ξ=1時(shí)，s1,2=-ωn為一對重負(fù)實(shí)根。輸出的拉氏變換