全優(yōu)課堂·數(shù)學·選擇性必修第三冊(人教A版)·課件 6.2.3 組合

第六章計數(shù)原理6.2排列與組合6.2.3組合學習目標素養(yǎng)要求1.通過實例，理解組合的概念數(shù)學抽象2.能寫出一些簡單問題的所有組合邏輯推理3.明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題數(shù)學抽象、邏輯推理自學導引一般地，從n個不同元素中_____________________________，叫作從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．取出m(m≤n)個元素作為一組組合的概念1．組合對元素有何要求？提示：組合要求n個元素是不同的，被取出的m個元素也是不同的．2．組合是有放回抽取還是無放回抽取？提示：無放回抽取，即從n個不同的元素中進行m次不放回抽?。?．組合的特性：元素的無序性．取出的m個元素不講究順序，即元素沒有位置的要求．2．兩個組合相同，只需這兩個組合的元素相同即可．(1)共同點：兩者都是從n個不同的元素中取出m(m≤n)個元素．(2)不同點：排列與元素的順序_______，組合與元素的順序_______.有關排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別無關1．辨析記憶(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)組合和排列一樣，都與順序有關． (

)(2)“從正方體的頂點中選出四個，求其中能構(gòu)成矩形的個數(shù)”是組合問題．

(

)(3)ABC與BAC是相同的組合． (

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√2．(教材改編題)(多選)下列問題中是組合問題的是 (

)A．從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學去參加兩個社區(qū)的社會調(diào)查，有多少種不同的選法B．從甲、乙、丙3名同學中選出2名同學，有多少種不同的選法C．5人去干3種不同的工作，每種工作至少有1人干，有多少種分工方法D．5本相同的書分給3名同學，每人至少一本，有多少種分配方法【答案】BD【解析】A，C與順序有關，是排列問題；B，D與順序無關，是組合問題．故選BD．3．(教材改編題)從1，3，5三個數(shù)中選兩個數(shù)，求這兩個數(shù)的乘積，所有可能的結(jié)果有____________.【答案】3，5，15【解析】所有可能為1×3＝3，1×5＝5，3×5＝15.課堂互動判斷下列問題是排列問題，還是組合問題：(1)從集合A＝{1，10，8，6，4}中任取兩個數(shù)相加，得到的和共有多少個？(2)從集合A＝{－1，1，10，8，6，4}中任取兩個數(shù)相除，得到的商共有多少個？(3)從a，b，c，d這四名同學中任選兩名同學去參加某一活動，共有多少種不同的選法？(4)四個人互發(fā)一封電子郵件，共發(fā)了多少封電子郵件？題型1組合的概念解：(1)從集合A中取出兩個數(shù)后，改變兩個數(shù)的順序，其和不變.因此，此問題只與取出的元素有關，與元素的順序無關，故是組合問題．(2)從集合A中取出兩個數(shù)相除，若改變其除數(shù)、被除數(shù)的位置，其結(jié)果就不同，因此其商的值與元素的順序有關，是排列問題．(3)由于從四名同學中選出的兩名同學參加的是同一項活動，沒有順序，因此是組合問題．(4)四個人互發(fā)一封電子郵件，由于發(fā)件人與收件人是有區(qū)別的，與順序有關，是排列問題．組合與排列的區(qū)別方法先弄清楚事件是什么，再根據(jù)有無順序區(qū)分排列與組合．區(qū)分有無順序的方法：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否會產(chǎn)生新的變化．若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題．1．(多選)下列問題是組合問題的有 (

)A．設集合A＝{a，b，c，d，e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個B．某鐵路線上有5個車站，則這條線上共需準備多少種票價C．3人去干5種不同的工作，每人干一種，有多少種分工方法D．把3本相同的書分給5個學生，每人最多分得1本，有幾種分配方法【答案】ABD【解析】A選項，取出的元素與順序無關，故是組合問題．B選項，甲站到乙站的車票與乙站到甲站的車票是不同的，但票價與順序無關，甲站到乙站與乙站到甲站是同一種票價，故是組合問題．C選項，從5種不同的工作中選出3種，并按一定順序分給3個人去干，故是排列問題．D選項，因為3本書是相同的，無論把3本書分給哪三人，都不需要考慮它們的順序，故是組合問題．故選ABD．(2024年潮州期中)已知集合A＝{0，1，3，5，9}．(1)寫出集合A的子集中含有4個元素的子集；(2)從集合A中選3個數(shù)，寫出這3個數(shù)構(gòu)成的遞增數(shù)列．題型2組合的列舉問題解：(1)此問題是寫出從5個不同元素中取出4個元素的組合，符合題意的子集有{0，1，3，5}，{0，1，3，9}，{0，1，5，9}，{0，3，5，9}，{1，3，5，9}，共5個．(2)由于此數(shù)列為遞增數(shù)列，所以選出3個數(shù)后順序是固定的，所以此問題是寫出從5個不同元素中取出3個元素的組合，符合題意的數(shù)列有0，1，3；0，1，5；0，1，9；0，3，5；0，3，9；0，5，9；1，3，5；1，3，9；1，5，9；3，5，9．共10個．【例題遷移】若本例條件不變，若B?A，且0∈B，寫出集合B的所有可能情形．解：集合B可能有以下情況：{0}，{0，1}，{0，3}，{0，5}，{0，9}，{0，1，3}，{0，1，5}，{0，1，9}，{0，3，5}，{0，3，9}，{0，5，9}，{0，1，3，5}，{0，1，3，9}，{0，1，5，9}，{0，3，5，9}，{0，1，3，5，9}．共16個．根據(jù)問題情境列出組合的常用方法(1)枚舉法．依據(jù)一定的規(guī)則和方法，把符合題意的組合一一列出，必要時要進行分類．(2)圖表法．根據(jù)問題的情境，選用樹狀圖、表格或其他形式直觀地找出符合題意的組合．提醒：關鍵是要做到不重不漏．2．已知A，B，C，D，E五個元素，寫出每次取出3個元素的所有組合．解：(方法一)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD順序?qū)懗觯核运薪M合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.(方法二)畫出樹狀圖如圖所示：由此可以寫出所有的組合為ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE．現(xiàn)有6名教師，其中4名男教師，2名女教師．(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有多少種不同的選法？(2)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有多少種不同的選法？題型3簡單的組合問題解：(1)設4名男教師分別為“男1，男2，男3，男4”，2名女教師分別為“女1，女2”，則從中選2名的選法有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男1，女1；男1，女2；男2，男3；男2，男4；男2，女1；男2，女2；男3，男4；男3，女1；男3，女2；男4，女1；男4，女2；女1，女2”共15種．(2)從4名男教師中選2名有“男1，男2；男1，男3；男1，男4；男2，男3；男2，男4；男3，男4”共6種，2名女教師只有1種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同的選法6×1＝6(種)．【例題遷移】

(改變問法)本例已知條件不變，若改為“現(xiàn)從中選2名教師參加會議，至少有1名男教師的選法有多少種？最多有1名男教師的選法又有多少種？”解：至少有1名男教師可分兩類：1男1女和2男0女．由例2知，1男1女有8種，2男0女有6種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，有8＋6＝14(種).最多有1名男教師包括兩類：1男1女和0男2女．由例2知，1男1女有8種，0男2女有1種，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，有8＋1＝9(種)．簡單的組合問題的解題思路及注意點(1)解簡單的組合應用題時，首先要判斷它是不是組合問題．排列問題與元素順序有關，而組合問題與元素的順序無關．(2)要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用．在分類和分步時，一定注意有無重復或遺漏．3．一個口袋內(nèi)裝有4個標號不同的白球和1個黑球．(1)從口袋內(nèi)取出3個小球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：設口袋內(nèi)的4個白球分別為“白1，白2，白3，白4”．(1)從口袋內(nèi)取出3個小球，有“白1，白2，白3；白1，白2，白4；白1，白2，黑；白1，白3，白4；白1，白3，黑；白1，白4，黑；白2，白3，白4；白2，白3，黑；白2，白4，黑；白3，白4，黑”共10種取法．(2)取出的3個球中有1個黑球，由(1)知有6種取法．(3)取出的3個球中不含黑球，由(1)知有4種取法．素養(yǎng)訓練1．(題型1)以下四個問題，屬于組合問題的是 (

)A．從3個不同的小球中，取出2個排成一列B．老師在排座次時將甲、乙兩名同學安排為同桌C．在電視節(jié)目中，主持人從100名幸運觀眾中選出2名幸運之星D．從13名司機中任選出兩名開同一輛車往返甲、乙兩地【答案】C2．(題型3)在1，2，3，4，5這五個數(shù)字組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，各數(shù)位之和為偶數(shù)的共有

(

)A．36個 B．24個C．18個 D．6個【答案】A3．(題型3)某班級要從4名男生、2名女生中派4人參加社區(qū)服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數(shù)為 (

)A．14 B．24C．28 D．48【答案】A【解析】可分類完成．第1類，選派1名女生、3名男生(男1男2男3，男1男2男4，男1男3男4，男2男3男4)，有2×4＝8(種)選派方案；第2類，選派2名女生、2名男生(男1男2，男1男3，男1男4，男2男3，男2男4，男3男4)，有1×6＝6(種)選派方案．故不同的選派方案共有8＋6＝14(種).4．(題型3)五個點中任意三點都不共線，則這五個點可以連成______條線段；如果是有向線段，共有______條．【答案】10

20【解析】從五個點(設為A，B，C，D，E)中任取兩個點恰好連成一條線段，這兩個點沒有順序，所以是組合問題，連成的線段共有10條(AB，AC，AD，AE，BC，