全優(yōu)課堂·數(shù)學·選擇性必修第三冊(人教A版)·課件 6.1 第2課時 兩個計數(shù)原理的綜合應用

第六章計數(shù)原理6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理第2課時兩個計數(shù)原理的綜合應用學習目標素養(yǎng)要求1.進一步理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別邏輯推理2.能根據(jù)具體問題的特征，選擇兩種計數(shù)原理解決一些實際問題數(shù)學運算自學導引兩個計數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系項目分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理相同點回答的都是有關(guān)___________的不同方法種數(shù)的問題不同點1針對的是“分類”問題針對的是“分步”問題2各種方法相互________，用其中任何一種方法都可以做完這件事各個步驟中的方法互相_______，只有每一個步驟都完成才算做完這件事做一件事獨立依存用兩個計數(shù)原理解決計數(shù)問題時，最重要的是在開始計算之前要仔細分析兩點：一是要完成的“一件事”是什么；二是需要分類還是需要分步．(1)分類要做到“__________”，分類后再分別對每一類進行計數(shù)，最后用分類加法計數(shù)原理________，得到總數(shù)．(2)分步要做到“____________”，即完成了所有步驟，恰好完成任務(wù)．分類后再計算每一步的方法數(shù)，最后根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，把完成每一步的方法數(shù)________，得到總數(shù).不重不漏兩個計數(shù)原理的應用求和步驟完整相乘分類“不重不漏”的含義是什么？提示：“不重”即各類之間沒有交叉點，“不漏”即各類的并集是全集．1．辨析記憶(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)從書架上任取數(shù)學書、語文書各一本是分類問題． (

)(2)用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數(shù)字給教室里的座位編號，總共能編出26＋10＝36種不同的號碼． (

)(3)從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問題． (

)(4)兩個計數(shù)原理可以分別推廣到含有“n類方案”和“n個步驟”的情況．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)√2．有不同的語文書9本，不同的數(shù)學書7本，不同的英語書5本，從中選出不屬于同一學科的書2本，則不同的選法有 (

)A．21種

B．315種C．143種

D．153種【答案】C3．(教材改編題)如圖，從A→B→C有________種不同的走法；從A→C有________種不同的走法．【答案】4

64．(教材例題改編)已知某乒乓球隊有男隊員9人、女隊員8人，現(xiàn)從男、女隊員中各選1人去參加比賽，則共有________種不同的選法．【答案】72【解析】先從男隊員中選1人，有9種不同的選法，再從女隊員中選1人，有8種不同的選法．由分步乘法計數(shù)原理得，共有9×8＝72(種)不同的選法．課堂互動(1)(2024年長沙期末)從數(shù)字1，2，3，4中取出3個數(shù)字(允許重復)，組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個數(shù)為

(

)A．7

B．9C．10

D．13(2)用1，2，3，4組成沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)的個數(shù)為

(

)A．6

B．12C．16

D．24題型1數(shù)字排列計數(shù)問題【答案】(1)C

(2)B【解析】(1)其中各位數(shù)字之和等于6的三位數(shù)可分為以下情形：①由1，1，4三個數(shù)字組成的三位數(shù)：114，141，411共3個；②由1，2，3三個數(shù)字組成的三位數(shù)：123，132，213，231，312，321共6個；③由2，2，2三個數(shù)字可以組成1個三位數(shù)，即222.共有3＋6＋1＝10個．故選C．(2)先排個位，有4種排法，再排十位，有3種排法，因此共有4×3＝12(種)排法．故選B．排數(shù)問題的解題策略(1)對于排數(shù)問題，一般按特殊位置(末位或首位)由誰占領(lǐng)分類，分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成，如果正面分類較多，可采用間接法求解．(2)解決排數(shù)問題，應特別注意其限制條件，有些條件是隱藏的，要善于挖掘，排數(shù)時要注意保證特殊位置、特殊元素優(yōu)先的原則．1．(1)用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成無重復數(shù)字的三位數(shù)，然后由小到大排成一個數(shù)列，這個數(shù)列的項數(shù)為 (

)A．24

B．46C．48

D．120(2)由0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字可以組成________個沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)．【答案】(1)D

(2)52【解析】(1)完成這件事需要分別確定百位、十位和個位數(shù)，可以先確定百位數(shù)，再確定十位數(shù)，最后確定個位數(shù)，因此要分步求解．第一步：確定百位數(shù)，有6種方法；第二步：確定十位數(shù)，有5種方法；第三步：確定個位數(shù)，有4種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有6×5×4＝120(個)三位數(shù)，所以這個數(shù)列的項數(shù)為120．故選D．(2)根據(jù)題意，對該沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)進行分類討論．第一類：0在個位數(shù)時，先填百位，有5種方法，再填十位，有4種方法，故能組成5×4＝20(個)沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)；第二類，0不在個位數(shù)時，先填個位，只有2，4兩種方法，再填百位，0不能在此位，故有4種方法，最后填十位，有4種方法，故能組成2×4×4＝32(個)沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)．綜上，一共可以組成32＋20＝52(個)沒有重復數(shù)字的三位偶數(shù)．(1)(2024年丹東期末)如圖所示為某公園景觀的一隅，是由ABCDE五處區(qū)域構(gòu)成，現(xiàn)為了美觀要將五處區(qū)域用鮮花裝飾，要求相鄰區(qū)域種植不同色的鮮花，有4種顏色的鮮花可供選用，則不同的裝飾方案數(shù)為

(

)A．216

B．144C．128

D．96題型2涂色(種植問題)ABCDE(2)如圖，將一個四棱錐的每一個面涂上一種顏色，使每兩個具有公共棱的面涂成不同顏色．若只有4種顏色可供使用，則不同的涂色方法的種數(shù)為

(

)A．36

B．48C．72

D．108【答案】(1)B

(2)C【解析】(1)區(qū)域B有4種顏色的鮮花可供選擇，區(qū)域A有3種顏色的鮮花可供選擇，區(qū)域D有3種顏色的鮮花可供選擇，區(qū)域C，E各有2種顏色的鮮花可供選擇，由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的裝飾方案數(shù)為4×3×3×2×2＝144．故選B．(2)分兩類：第1類，面SAB與面SDC同色，則面ABCD有4種涂法，面SDC有3種涂法，面SAD有2種涂法，面SAB有1種涂法，面SBC有2種涂法，共有4×3×2×1×2＝48種涂法；第2類，面SAB與面SDC不同色，則面ABCD有4種涂法，面SDC有3種涂法，面SAD有2種涂法，面SAB有1種涂法，面SBC有1種涂法，共有4×3×2×1×1＝24種涂法．由分類加法計數(shù)原理可知，不同的涂色方法種數(shù)為48＋24＝72．故選C．求解涂色(種植)問題的常用方法提醒：對于空間涂色問題，可將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域涂色問題．2．(1)如圖，A地分別與B，C，D，E四地交界，且B，C，D三地互不交界，在圖上分別給各地涂色，要求相鄰兩地涂不同色，現(xiàn)有5種不同的顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為

(

)A．480

B．600C．720

D．840(2)將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗田中，每塊種植一種作物，且相鄰的試驗田不能種同一種作物，則不同的種植方法共有多少種？

【答案】(1)C【解析】首先涂C地，有5種涂法，再涂A地，有4種涂法．接著涂B地，分類：若B地與C地同色，此時E地有3種，最后涂D地，有3種涂法，即5×4×1×3×3＝180；若B地與C地不同色，則B地有3種涂法，D地，E地也各有3種涂法，即5×4×3×3×3＝540.綜上，不同的涂色方案數(shù)為180＋540＝720．故選C．(2)解：從左往右5塊試驗田分別有3，2，2，2，2種種植方法，共有3×2×2×2×2＝48(種)方法，其中5塊試驗田只種植2種作物共有3×2×1×1×1＝6(種)方法，所以共有48－6＝42(種)不同的種植方法．(1)(2024年廊坊月考)高三年級的三個班到甲、乙、丙、丁四個工廠進行社會實踐，其中甲工廠必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有

(

)A．16種

B．18種C．37種

D．48種題型3分配問題(2)(2023年南充月考)甲、乙、丙、丁4名交通志愿者申請在國慶期間到A，B，C三個路口協(xié)助交警值勤，他們申請值勤路口的意向如下表：這4名志愿者的申請被批準，且值勤安排也符合他們的意向，若要求A，B，C三個路口都要有志愿者值勤，則不同的安排方法有 (

)A．14種

B．11種C．8種

D．5種交通路口ABC志愿者甲、乙、丙、丁甲、乙、丙丙、丁【答案】(1)C

(2)B【解析】(1)(方法一，直接法)：以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為三類：第1類，三個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；第2類，有兩個班級去甲工廠，剩下的班級去另外三個工廠，其分配方案共有3×3＝9(種)；第3類，有一個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他三個工廠，其分配方案共有3×3×3＝27種．綜上，不同的分配方案有1＋9＋27＝37(種).(方法二，間接法)：先計算三個班級自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無人去的情況，即有4×4×4－3×3×3＝37(種)不同的分配方案.(2)根據(jù)C路口的安排情況，分為三類：第1類，C路口安排丙、丁，A，B路口安排甲、乙，有2×1＝2(種)安排方法；第2類，C路口安排丙，丁只能安排在A路口，甲、乙兩人只能安排在A，B路口，且B路口至少一人，有2×1＋1＝3(種)安排方法；第3類，C路口安排丁，甲、乙、丙安排在A，B路口，且A，B路口各至少1人，有2×2×2－2＝6(種)安排方法．故共有2＋3＋6＝11(種)不同的安排方法．3．甲、乙、丙、丁4個人各寫1張賀卡，放在一起，再每人各分配1張不是自己所寫的賀卡，共有多少種不同的分配方法？解：(方法一，列舉法)①甲分得乙卡，此時乙有甲、丙、丁3種分配方法．若乙分得甲卡，則丙分得丁卡，丁分得丙卡；若乙分得丙卡，則丙分得丁卡，丁分得甲卡；若乙分得丁卡，則丙分得甲卡，丁分得丙卡，故有3種分配方法．②甲分得丙卡，分配方法按甲、乙、丙、丁4人依序可分得賀卡如下：丙甲丁乙，丙丁甲乙，丙丁乙甲．③甲分得丁卡，分配方法按甲、乙、丙、丁4人依序可分得賀卡如下：丁甲乙丙、丁丙甲乙、丁丙乙甲．由分類加法計數(shù)原理，共有3＋3＋3＝9(種)不同的分配方法．(方法二，間接法)4個人各分得1張賀卡，甲先分1張賀卡有4種分法，乙再分1張賀卡有3種分法，然后丙分1張賀卡有2種分法，最后丁僅有1種分法．由分步乘法計數(shù)原理知，4個人各分1張賀卡共有4×3×2×1＝24(種)分配方法．4個人都分配到自己所寫的賀卡有1種分法；2個人分配到自己所寫的賀卡，另2個人分配不到自己所寫賀卡的分法有6種(即從4個人中選出分配到自己所寫的賀卡的2人有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁)；1個人分配到自己所寫的賀卡，另3個人分配不到自己所寫賀卡的分法有8種(從4個人中選出分配到自己所寫的賀卡的1個人有4種方法，而另3個人都分配不到自己所寫的賀卡有2種方法).所以4個人都分配不到自己所寫的賀卡的分配方法共有24－(1＋6＋8)＝9(種).(方法三，分步法)第1步，甲分1張不是自己所寫的那張賀卡，有3種分法；第2步，給甲分得的那張賀卡的供卡人分，也有3種分法；第3步，給剩余兩個中任1個人分，此時只有1種分法；第4步，給最后1個人分，只有1種分法．由分步乘法計數(shù)原理，共有3×3×1×1＝9(種)不同的分配方法．素養(yǎng)訓練1．(題型3)有A，B兩種類型的車床各一臺，現(xiàn)有甲、乙、丙三名工人，其中甲、乙都會操作兩種車床，丙只會操作A種車床，要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車床，則不同的選派方法有 (

)A．6種

B．5種C．4種

D．3種【答案】C2．(題型1)用0，1，…，9這10個數(shù)字，可以組成有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)為

(

)A．243

B．252C．261

D．648【答案】B3．(題型2)如圖所示，積木拼盤由A，B，C，D，E五塊積木組成，若每塊積木都要涂一種顏色，且為了體現(xiàn)拼盤的特色，相鄰的區(qū)域需涂不同的顏色(如：A與B為相鄰區(qū)域，A與D為不相鄰區(qū)域)，現(xiàn)有五種不同的顏色可供挑選，則不同的涂色方法的種數(shù)是 (

)A．780

B．840C．900

D．960【答案】D【解析】先涂A