北京市海淀區(qū)2024-2025學年高三（上）期末數學試題（含答案）

北京市海淀區(qū)2024-2025學年高三（上）期末數學試題本試卷共9頁，共150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題紙一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知集合，，則 A. B. C. D.2.在的展開式中，的系數為 A. B. C. D.3.若復數滿足，則 A. B. C. D.4.拋物線的焦點為，點在上，則 A. B. C. D.5.已知直線與圓交于兩點，則 A. B. C. D.6.已知等差數列的前項和為，，則 A. B. C. D.7.已知橢圓的焦點在軸上，點，則 A.在外 B.的長軸長為 C.在內 D.的焦距為8.設函數，則“”是“沒有極值點”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件9.如圖，正方體的棱長為2，分別為棱的中點，為正方形邊上的動點（不與重合），則下列說法中錯誤的是 A.平面截正方體表面所得的交線形成的圖形可以是菱形 B.存在點，使得直線與平面垂直 C.平面把正方體分割成的兩個幾何體的體積相等 D.點到平面的距離不超過10.2023年，甲、乙兩公司的盈利規(guī)律如下：從2月份開始，甲公司每個月盈利比前一個月多200萬元；乙公司每個月盈利比前一個月增加.記甲、乙兩公司在2023年第個月的盈利分別為，（單位：萬元）.已知，，則最大時，的值為（參考數據：，） A. B. C. D.第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。11.雙曲線的一條漸近線方程可以為_________.12.已知向量，，則_________，的最小值為_________.13.已知為等腰三角形，且，則_________.14.已知函數存在最小值，則的取值范圍是_________.15.已知曲線.給出下列四個結論：①曲線關于直線對稱；②曲線上恰好有個整點（即橫、縱坐標均是整數的點）；③曲線上存在一點，使得到點的距離小于；④曲線所圍成區(qū)域的面積大于.其中，所有正確結論的序號為_________.三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明、演算步驟或證明過程。16.（本小題13分）已知函數.（Ⅰ）求曲線的兩條對稱軸之間距離的最小值；（Ⅱ）若在區(qū)間上的最大值為，求的值.

17.（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，，，，是的中點，在棱上，且平面.（Ⅰ）求證：是的中點；（Ⅱ）再從條件①，條件②中選擇一個作為已知，求平面與平面夾角的余弦值.條件①：平面平面；條件②：.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.18.（本小題13分）某校為評價學生參加選修課的學習效果，組織了選修課學習的過程性評價測試.選修課程甲的所有學生的原始成績統(tǒng)計如下：原始成績8.758.258.256.756.756.565.55.254.253.753.25排名122446789101112（Ⅰ）從這12名學生中隨機抽取2人，求這2人原始成績不同的概率；（Ⅱ）對課程甲采取“四分位數賦分法”進行賦分，記選修該課程的總人數為，規(guī)定原始成績排名為的學生賦分成績如下：當時，賦分成績?yōu)?00分；當，賦分成績?yōu)?5分；當時，賦分成績?yōu)?0分；當時，賦分成績?yōu)?0分.①從課程甲的原始成績不低于的學生中隨機抽取人，記為這人賦分成績之和，求的分布列和數學期望；②選修課程乙的所有學生的原始成績統(tǒng)計如下：原始成績9.75887.57.565.755.75排名12244677原始成績54.754.54.54.2543.753.5排名910111113141516對課程乙也采取“四分位數賦分法”進行賦分.現(xiàn)從課程甲、課程乙的學生中分別隨機抽取1人，記這2人的賦分成績分別為，直接寫出數學期望和的大小關系.19.（本小題15分）已知橢圓的左頂點為，離心率.（Ⅰ）求的標準方程；（Ⅱ）設點為上異于頂點的一點，點關于軸的對稱點為，過作的平行線，與的另一個交點為.當與不重合時，求證：.20.（本小題15分）已知函數.（Ⅰ）當時，求的定義域；（Ⅱ）若在區(qū)間上單調遞減，求的取值范圍；（Ⅲ）當時，證明：若，，則.（參考數據：，，）21.（本小題15分）已知為各項均為整數的無窮遞增數列，且.對于中的任意一項，在中都存在兩項，使得或.（Ⅰ）若，，寫出的所有可能值；（Ⅱ）若.①當時，求的最大值；②當時，求的最小值.

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）A （3）A （4）C（5）B（6）B （7）A （8）C （9）B（10）B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

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）或 （12）（0，1），2（13） （14）（15）②④ 三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（Ⅰ），令，解得，所以,曲線的兩條對稱軸之間的距離最小值為．（Ⅱ）當時，，因為在區(qū)間上的最大值為，所以，由正弦函數性質，在上單調遞減，所以，所以，所以．（17）（本小題14分）解：G（Ⅰ）取中點，連接，.G因為分別是，的中點.所以.因為，所以，所以四點確定平面.因為，，,所以.因為，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以.所以是的中點.（=2\*ROMANII）選條件①：因為，，，，所以.因為,所以.選條件②：因為,所以,所以.因為，，，，所以.因為，所以.則有兩兩垂直,建系如圖.,,,,.設平面的一個法向量為,,,,令,則,.即.平面的一個法向量為.則.由于平面與平面夾角為銳角，所以其余弦值為.（18）（本小題13分）解：（Ⅰ）設“從這12名學生中隨機抽取2人，且2人原始成績不同”為事件，依據題中數據，僅有排名為2和4的兩對學生原始成績相同，由古典概型，.（Ⅱ）根據題中數據，課程甲中等級成績?yōu)榈然虻鹊乃袑W生共有6人，賦分依次為100，100，100，85，85，85.由題設，的所有可能值為170，185，200.，，所以的分布列如下：170185200.（Ⅲ）. （19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題設，解得，.所以，橢圓C的標準方程為.（Ⅱ）設，，則，，得直線的斜率.由得直線的斜率.由經過點得直線的方程.由得，由韋達定理得.所以，.

，，由于不重合，所以，所以所以，.因為兩條直線不重合，所以，.另法：設直線的方程為，由得，設，因為，則.得.又,設，.由點在橢圓上得，即.所以,..所以，. 由于點不在直線上，所以，.（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）當時，，則，解得，所以函數的定義域為.（II）.因為在上是減函數，所以時，且.設，則時，，因為與在上是增函數，所以在上是增函數，（此處判斷的單調性的時候也可以求導，）所以，解得.所以的取值范圍是.（III）當時，.設，則，當時，；當時，，所以在上是增函數，在上是減函數.①當時，，↘極小值↗，.②當時，方法一：由可知存在.當變化時，的變化情況如下表：↗極大值↘由得.因為，所以，因為所以所以.方法二：令，則，當變化時，的變化情況如下表：↗極大值↘所以時，，即，所以.因為，所以，所以.（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）的所有可能值為.（Ⅱ）①的最大值為，理由如下：（1）當時符合題意且.（2）假設中存在偶數，且首個偶數為（），因為為遞增數列，所以存在，使得或，進而有.所以為奇數，此時均不為偶數，與為偶數矛盾. 所以中各項均為正奇數，又因為為遞增數列，所以，即，.綜上的最大值為1013.②的最小值為7，理由如下：（1）首先證明時存在符合條件的：當前7項為時，且可構造的后續(xù)項使其符合題意（如可?。ǎ?（2）其次證明.由題，當時，，，所以，，進而有（）,