2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)5對數(shù)函數(shù)5.3對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)案北師大版必修1

PAGE1-5.3對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.駕馭對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)．(重點)2．駕馭對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應(yīng)用．(難點)3．體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.1.通過對對數(shù)函數(shù)圖像和性質(zhì)的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2．通過數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，提升直觀想象素養(yǎng).對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)閱讀教材P93～P96有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題．思索：函數(shù)y＝logax與y＝logeq\f(1,a)x的圖像有什么關(guān)系？[提示]y＝logeq\f(1,a)x＝eq\f(logax,loga\f(1,a))＝－logax，所以，它們關(guān)于x軸對稱．1．如圖所示，曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖像，已知a取eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10)，則相應(yīng)于c1，c2，c3，c4的a值依次為()A.eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10) B．eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(1,10)，eq\f(3,5)C.eq\f(4,3)，eq\r(3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10) D．eq\f(4,3)，eq\r(3)，eq\f(1,10)，eq\f(3,5)A[先排c1，c2底的依次，底都大于1，當(dāng)x>1時圖低的底大，c1，c2對應(yīng)的a分別為eq\r(3)，eq\f(4,3).然后考慮c3，c4底的依次，底都小于1，當(dāng)x<1時底大的圖高，c3，c4對應(yīng)的a分別為eq\f(3,5)，eq\f(1,10).綜合以上分析，可得c1，c2，c3，c4的a值依次為eq\r(3)，eq\f(4,3)，eq\f(3,5)，eq\f(1,10).故選A.]2．函數(shù)f(x)＝log2.5x的值域為________．[答案]R3．函數(shù)y＝log2x2的單調(diào)遞增區(qū)間是________．(0，＋∞)[由x2>0，得x≠0，令u＝x2，則u在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又y＝log2u在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則y＝log2x2的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，＋∞)．]4．函數(shù)y＝的定義域是________．(0,1][由logeq\s\do8(\f(1,2))x≥0，得0<x≤1，所以，其定義域為(0,1]．]比較大小【例1】比較大小：(1)log0.31.8，log0.32.7；(2)log67，log76；(3)log3π，log20.8；(4)log712，log812.[思路探究](1)底數(shù)相同，可利用單調(diào)性比較；(2)與1比較；(3)與0比較；(4)可結(jié)合圖像比較大?。甗解](1)考查對數(shù)函數(shù)y＝log0.3x，∵0<0.3<1，∴它在(0，＋∞)上是減函數(shù)，∴l(xiāng)og0.31.8>log0.32.7；(2)∵log67>log66＝1，log76<log77＝1，∴l(xiāng)og67>log76；(3)∵log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，∴l(xiāng)og3π>log20.8；(4)法一：在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝log7x與y＝log8x的圖像，由底數(shù)改變對圖像位置的影響知：log712>log812.法二：∵log712－log812＝eq\f(lg12,lg7)－eq\f(lg12,lg8)＝eq\f(lg12lg8－lg7,lg7lg8)>0，∴l(xiāng)og712>log812.比較對數(shù)大小的思路1底數(shù)相同，真數(shù)不同的，可看作同一對數(shù)函數(shù)上的幾個函數(shù)值，用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小；2底數(shù)不同，真數(shù)相同的幾個數(shù)，可通過圖像比較大小，也可通過換底公式比較大??；3底數(shù)不相同，真數(shù)也不相同的幾個數(shù)，可通過特別值來比較大小，常用的特別值是“0”或“1”.1．設(shè)a＝log36，b＝log510，c＝log714，則()A．c>b>a B．b>c>aC．a(chǎn)>c>b D．a(chǎn)>b>cD[a＝log36＝log33＋log32＝1＋log32，b＝log510＝log55＋log52＝1＋log52，c＝log714＝log77＋log72＝1＋log72.∵log32＞log52＞log72，∴a＞b＞c，故選D.]對數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例2】已知函數(shù)y＝loga(x＋b)（c>0，且a≠1）的圖像如圖所示．(1)求實數(shù)a與b的值；(2)函數(shù)y＝loga(x＋b)與y＝logax的圖像有何關(guān)系？[解](1)由圖像可知，函數(shù)的圖像過點(－3,0)與點(0,2)，所以得方程0＝loga(－3＋b)與2＝logab，解得a＝2，b＝4.(2)函數(shù)y＝loga(x＋4)的圖像可以由y＝logax的圖像向左平移4個單位得到．解決對數(shù)函數(shù)圖像問題的留意事項1明確對數(shù)函數(shù)圖像的分布區(qū)域.對數(shù)函數(shù)的圖像在第一、四象限.當(dāng)x趨近于0時，函數(shù)圖像會越來越靠近y軸，但恒久不會與y軸相交.2建立分類探討的思想.在畫對數(shù)函數(shù)圖像之前要先推斷對數(shù)的底數(shù)a的取值范圍是a>1，還是0<a<1.3牢記特別點.對數(shù)函數(shù)y＝logaxa>0，且a≠1的圖像經(jīng)過點：1，0，a，1和2．畫出下列函數(shù)的圖像，并依據(jù)圖像寫出函數(shù)的定義域與值域以及單調(diào)區(qū)間：(1)y＝log3(x－2)；(2)y＝|logeq\s\do8(\f(1,2))x|.[解](1)函數(shù)y＝log3(x－2)的圖像可看作把函數(shù)y＝log3x的圖像向右平移2個單位得到的，如圖①.其定義域為(2，＋∞)，值域為R，在區(qū)間(2，＋∞)上是增加的．(2)y＝|logeq\s\do8(\f(1,2))x|＝其圖像如圖②.其定義域為(0，＋∞)，值域為[0，＋∞)，在(0,1)上是削減的，在[1，＋∞)上是增加的.與logaf(x)型函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)的問題[探究問題]1．求函數(shù)y＝log2(－x2＋2x＋3)的單調(diào)區(qū)間．提示：由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3.令u＝－x2＋2x＋3，則u在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減．又y＝log2u是增函數(shù)．則y＝log2(－x2＋2x＋3)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)．2．已知函數(shù)y＝logeq\f(1,2)(x2－ax＋a)在區(qū)間(－∞，eq\r(2))上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．提示：依題意，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)≥\r(2)，,\r(2)2－\r(2)a＋a>0，))解得2eq\r(2)≤a<2eq\r(2)＋2.【例3】已知函數(shù)f(x)＝loga(6－ax)在[0,2]上為減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．[思路探究]從u＝6－ax是減函數(shù)及u>0入手，分析a滿意的條件．[解]令u＝6－ax，∵a>0且a≠1，∴u是減函數(shù)，又f(x)在[0,2]上為減函數(shù)，則y＝logau是增函數(shù)，所以，a>1，由u＝6－ax在[0,2]恒大于0，得6－2a>0.解得a<3.綜上得1<a<3.函數(shù)y＝logafx的單調(diào)性可通過y＝logau與u＝fx的單調(diào)性來推斷.當(dāng)y＝logau與u＝fx的單調(diào)性相同時，y＝logafx單調(diào)遞增；當(dāng)y＝logau與u＝fx的單調(diào)性相反時，y＝logafx單調(diào)遞減.3．(1)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，則x的取值范圍是________．(2)若函數(shù)f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和為a，則a的值等于________．(1)(1，＋∞)(2)eq\f(1,2)[(1)因為函數(shù)y＝log0.7x在(0，＋∞)上為減函數(shù)，所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.即x的取值范圍是(1，＋∞)．(2)當(dāng)0<a<1時，因為y＝ax在[0,1]上為減函數(shù)，y＝loga(x＋1)在[0,1]上也是減函數(shù)，所以f(x)在[0,1]上為減函數(shù)，所以f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(1)＝a＋loga2，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝eq\f(1,2)；同理，當(dāng)a>1時，f(x)在[0,1]上為增函數(shù)，所以f(x)max＝f(1)＝a＋loga2，f(x)min＝f(0)＝1，于是1＋a＋loga2＝a，解得a＝eq\f(1,2)，與a>1沖突．綜上，a＝eq\f(1,2).]1．比較兩個(或多個)對數(shù)的大小時，一看底數(shù)，底數(shù)相同的兩個對數(shù)可干脆利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小，若“底”的范圍不明確，則需分兩種狀況探討；二看真數(shù)，底數(shù)不同但真數(shù)相同的兩個對數(shù)可借助于圖像，或應(yīng)用換底公式將其轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)來比較大??；三找中間值，底數(shù)、真數(shù)均不相同的兩個對數(shù)可選擇適當(dāng)?shù)闹虚g值(如1或0等)來比較．2．須要留意的問題(1)由logaf(x)>logag(x)利用單調(diào)性去掉對數(shù)符號時，務(wù)必保證f(x)>0，g(x)>0，否則就擴(kuò)大了自變量的取值范圍．(2)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律“同增異減”：內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相反時，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù).1．思索辨析(1)對數(shù)函數(shù)y＝logaxa>0，且a≠1在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(2)若logπm<logπn，則m<n.()(3)對數(shù)函數(shù)y＝log2x與y＝logeq\s\do8(\f(1,2))x的圖像關(guān)于y軸對稱．()[答案](1)×(2)√(3)×2．已知logaeq\f(1,2)<1，則a的取值范圍是()A．0<a<eq\f(1,2) B．a(chǎn)>eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)<a<1 D．0<a<eq\f(1,2)，或a>1D[當(dāng)0<a<1時，logaeq\f(1,2)<1＝logaa，∴0<a<eq\f(1,2)；當(dāng)a>1時，logaeq\f(1,2)<1＝logaa，∴a>1.綜上得，0<a<eq\f(1,2)，或a>1.]3．函數(shù)y＝log2(x2－1)的遞增區(qū)間是________．(1，＋∞)[由x2－1>0，得x>1，或x<－1.令u＝x2－1，則u在(－∞，－1)上遞減，在(1，＋∞)上遞增，又y＝log2a是增函數(shù)，則y＝log2(x2－1)的遞增區(qū)間是(1，＋∞)．]4．求函數(shù)y＝(logeq\s\do8(\f(1,3))x)2＋logeq\s\do8(\f(1,3))x的單調(diào)區(qū)間．[解]令u＝logeq\s\do8(\f(1,3))x，則y＝u2＋u.由y＝u2＋u＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(u＋\f(1,2)))2－eq\f(1,4)，得y＝u2＋u在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(