人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊第八章立體幾何初步章末復(fù)習(xí)課檢測含答案

章末復(fù)習(xí)課空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征

1.緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵,熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型,在條件不變的情況下,先變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素,再依據(jù)題意判定.2.通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析,即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的,只要舉出一個(gè)反例即可.1.設(shè)有四個(gè)命題:①底面是矩形的平行六面體是長方體;②棱長都相等的直四棱柱是正方體;③側(cè)棱垂直于底面兩條邊的平行六面體是直平行六面體;④對角線相等的平行六面體是直平行六面體.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.1 B.2 C.3 D.4解析:底面是矩形的直平行六面體是長方體,①錯(cuò)誤;棱長都相等的直四棱柱是正方體,②正確;側(cè)棱垂直于底面兩條相鄰邊的平行六面體是直平行六面體,③錯(cuò)誤;任意側(cè)面上兩條對角線相等的平行六面體是直平行六面體,④錯(cuò)誤.故真命題的個(gè)數(shù)是1.答案:A2.(2024·廣東佛山順德區(qū)模擬)多選題一個(gè)平面截正方體所得的截面圖形可以是()A.等腰三角形 B.菱形C.梯形 D.正五邊形答案:ABC空間幾何體的表面積與體積

1.空間幾何體表面積的求法:(1)解決以三視圖為載體的幾何體的表面積問題,關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量.(2)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和;組合體的表面積問題注意銜接部分的處理.(3)旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,應(yīng)注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用.2.空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略:(1)若所給定的幾何體問題是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體,則可直接利用公式進(jìn)行求解.(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出,則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等進(jìn)行求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體,則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖,再根據(jù)條件求解.1.(2023·全國乙卷,理)已知圓錐PO的底面半徑為3,O為底面圓心,PA,PB為圓錐的母線,∠AOB=120°,若△PAB的面積為934,則該圓錐的體積為A.π B.6π C.3π D.36π解析:根據(jù)題意,設(shè)該圓錐的高為h,即PO=h,如圖所示,取AB的中點(diǎn)E,連接PE,OE,由于圓錐PO的底面半徑為3,即OA=OB=3,而∠AOB=120°,故AB=OA2+OB同時(shí)OE=OA×sin30°=32在△PAB中,PA=PB,E為AB的中點(diǎn),則有PE⊥AB,又由△PAB的面積等于934,即12PE·解得PE=332,而在△POE中,PE=則有h2+34=274,解得h=故該圓錐的體積V=13π×(3)2×6=6π答案:B2.已知一個(gè)六棱錐的體積為23,其底面是邊長為2的正六邊形,側(cè)棱長都相等,則該六棱錐的側(cè)面積為12.解析:由題意可知,該六棱錐是正六棱錐.設(shè)該六棱錐的高為h,則13×6×34×22×h=23,解得h=1.由題意,得底面正六邊形的中心到其邊的距離為3,所以側(cè)面等腰三角形底邊上的高為(3)2+1=2,所以該六棱錐的側(cè)面積為6×123.(2024·廣東韶關(guān)模擬)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為1和3,側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán),則圓臺(tái)的側(cè)面積為()A.6π B.16π C.26π D.32π解析:把圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐,設(shè)上面小圓錐的母線長為l1,設(shè)大圓錐的母線長為l2,因?yàn)閳A臺(tái)的側(cè)面展開圖是半個(gè)圓環(huán),所以小圓錐和大圓錐的側(cè)面展開都是半圓.所以2π×1=12×2πl(wèi)1,2π×3=12×2πl(wèi)2.解得l1=2,l2=6,所以圓臺(tái)的側(cè)面積為兩個(gè)半圓的面積之差,即π×l222-π×l答案:B4.如圖所示,已知三棱柱ABC-A'B'C',側(cè)面B'BCC'的面積是S,點(diǎn)A'到側(cè)面B'BCC'的距離是a,求三棱柱ABC-A'B'C'的體積.解:連接A'B,A'C,如圖所示,這樣就把三棱柱ABC-A'B'C'分割成了兩個(gè)棱錐,即三棱錐A'-ABC和四棱錐A'-BCC'B'.設(shè)所求體積為V,顯然三棱錐A'-ABC的體積是13而四棱錐A'-BCC'B'的體積為13Sa故有13V+13Sa=V,所以V=與球有關(guān)的切、接問題

與球相關(guān)問題的解題策略:(1)作適當(dāng)?shù)慕孛?如軸截面等)時(shí),對于球內(nèi)接長方體、正方體,則截面一要過球心,二要過長方體或正方體的兩條體對角線,才有利于解題.(2)對于“內(nèi)切”和“外接”等問題,首先要弄清幾何體之間的相互關(guān)系,主要是指特殊的點(diǎn)、線、面之間的關(guān)系,然后把相關(guān)的元素放到這些關(guān)系中來解決.1.(2024·廣東汕頭模擬)在母線長為4的圓錐PO中,其側(cè)面展開圖的圓心角為π2,則該圓錐的外接球的表面積為A.32π 64π3256π15D.256π解析:圓錐PO的母線長l=4,側(cè)面展開圖的圓心角為π2,設(shè)圓錐的底面半徑為r,則圓錐的底面周長為滿足2πr=4×π2,解得r=1.設(shè)圓錐的外接球的球心為H,半徑為R則該圓錐的高為h=l2-r2=16-1=15.在△AHO中,AH2=HO2+OA2,即(15-R)2+r2=R2?215R=16,解得R=815.所以S球答案:C2.一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面都相切,如果這個(gè)球的體積是323π,那么這個(gè)正三棱柱的體積是()A.963 B.163C.243 D.483解析:由球的體積公式可求得球的半徑R=2.設(shè)球的外切正三棱柱的底面邊長為a,高即側(cè)棱長,為h,則h=2R=4.在底面正三角形中,由正三棱柱的內(nèi)切球特征,得a2×33=R=2,解得a=43.故這個(gè)正三棱柱的體積V=12×32×(43)2×4答案:D空間中的平行關(guān)系

1.平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系:2.直線與平面平行的主要判定方法:(1)定義法;(2)判定定理;(3)面與面平行的性質(zhì).3.平面與平面平行的主要判定方法:(1)定義法;(2)判定定理;(3)推論;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β.1.如圖所示,三棱柱ABC-A'B'C'中,M,N分別為BB',A'C'的中點(diǎn).求證:MN∥平面ABC'.證明:取B'C'的中點(diǎn)P,連接MP,NP(圖略),則MP∥BC',NP∥A'B'.因?yàn)锳'B'∥AB,所以NP∥AB.因?yàn)锳B?平面ABC',NP?平面ABC',所以NP∥平面ABC'.同理MP∥平面ABC'.因?yàn)镹P∩MP=P,所以平面MNP∥平面ABC'.因?yàn)镸N?平面MNP,所以MN∥平面ABC'.2.如圖所示,兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,過點(diǎn)M作MH⊥AB于點(diǎn)H.求證:平面MNH∥平面BCE.證明:因?yàn)檎叫蜛BCD中,MH⊥AB,BC⊥AB,所以MH∥BC.因?yàn)锽F=AC,AM=FN,所以FNBF=AM因?yàn)镸H∥BC,所以AMAC=AH所以FNBF=AHAB,所以NH∥AF因?yàn)镸H?平面MNH,NH?平面MNH,MH∩NH=H,BC?平面BCE,BE?平面BCE,BC∩BE=B,所以平面MNH∥平面BCE.空間中的垂直關(guān)系

1.空間中垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.2.判定線線垂直的方法:(1)平面幾何中證明線線垂直的方法.(2)線面垂直的性質(zhì):a⊥α,b?α?a⊥b;a⊥α,b∥α?a⊥b.3.判定線面垂直的常用方法:(1)利用線面垂直的判定定理.(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直,則另一條也與這個(gè)平面垂直”.(3)利用“一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè),則與另一個(gè)平面也垂直”.(4)利用面面垂直的性質(zhì).4.判定面面垂直的方法:(1)利用定義.兩個(gè)垂直平面相交,所成的二面角是直二面角.(2)判定定理.a?α,a⊥β?α⊥β.1.(2023·東莞期中)如圖,四棱錐P-ABCD中,四邊形ABCD為梯形,其中AB∥CD,∠BCD=60°,AB=2BC=2CD=4,AD⊥PB.求證:平面PBD⊥平面ABCD.證明:因?yàn)椤螧CD=60°,AB=2BC=2CD=4,AD⊥PB,所以△BCD為等邊三角形,所以BD=12AB=又四邊形ABCD為梯形,AB∥CD,則∠ABD=60°.在△ABD中,根據(jù)余弦定理可知:AD2=AB2+BD2-2AB·BDcos∠ABD=42+22-2×4×2×12=12,所以AD2+BD2=AB2所以AD⊥BD.因?yàn)锳D⊥PB,PB∩BD=B,PB,BD?平面PBD,所以AD⊥平面PBD.又AD?平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD.2.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=BC=2,AD=CD=7,PA=3,∠ABC=120°,G為線段PC上的點(diǎn),O為AC,BD交點(diǎn).(1)求證:BD⊥平面APC;(2)若G滿足PC⊥平面BGD,求PGGC的值(1)證明:由AB=BC,AD=CD,得BD垂直平分線段AC.所以O(shè)為AC的中點(diǎn),BD⊥AC.因?yàn)镻A⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,所以PA⊥BD.因?yàn)锳C∩PA=A,AC?平面APC,PA?平面APC,所以BD⊥平面APC.(2)解:連接OG,如圖所示.因?yàn)镻C⊥平面BGD,OG?平面BGD,所以PC⊥OG.在△ABC中,由余弦定理,得AC=22+22在Rt△PAC中,得PC=AC2+PA所以由△GOC∽△APC可得GC=AC·OCPC從而PG=3155,所以PGGC空間角的求解方法

1.找異面直線所成角的三種方法:(1)利用圖中已有的平行線平移.(2)利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移.(3)補(bǔ)形平移.2.線面角.求斜線與平面所成的角關(guān)鍵是找到斜線在平面內(nèi)的射影,即確定過斜線上一點(diǎn)向平面所作垂線的垂足.通常是解由斜線段、垂線段、斜線段在平面內(nèi)的射影所組成的直角三角形.3.求二面角的兩種常用方法:(1)定義法.在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過該點(diǎn)作垂直于棱的射線.(2)垂面法.過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面,該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線,這兩條交線所成的角,即為二面角的平面角.1.如圖所示,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB≠AC,D,E分別是BC,AB的中點(diǎn),AC>AD,設(shè)PC與DE所成的角為α,PD與平面ABC所成的角為β,二面角P-BC-A的平面角為γ,則α,β,γ的大小關(guān)系是α<β<γ.解析:因?yàn)镈,E分別是BC,AB的中點(diǎn),所以DE∥AC,所以PC與DE所成的角為∠PCA,即α.因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以PD與平面ABC所成的角為∠PDA,即β.如圖所示,過點(diǎn)A作AH⊥BC,垂足為H,連接PH,易證BC⊥平面PAH,所以∠PHA是二面角P-BC-A的平面角,即γ.因?yàn)锳B≠AC,所以AD>AH.因?yàn)锳C>AD,所以AC>AD>AH,所以PAAC<PAAD<PAAH,所以tanα<tanβ<tanγ,所以2.(2023·全國甲卷,理)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)求證:AC=A1C;(2)若直線AA1與BB1的距離為2,求直線AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.(1)證明:如圖,取CC1的中點(diǎn)O,連接A1O,因?yàn)锳1C⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以A1C⊥AC,所以A1C⊥A1C1.所以A1O=12C1C=12AA1=因?yàn)锳1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,所以A1C⊥BC,因?yàn)椤螦CB=90°,所以AC⊥BC.因?yàn)锳1C∩AC=C,所以BC⊥平面A1C1CA.因?yàn)锽C?平面BCC1B1,所以平面BCC1B1⊥平面A1C1CA.因?yàn)锳1到平面BCC1B1的距離為1,所以A1到CC1的距離為1,所以A1O⊥CC1,所以A1C=A1C1=AC.(2)解:過A作AM∥A1O交C1C的延長線于M,連接MB1,取BB1的中點(diǎn)N,連接ON,所以四邊形BCON為平行四邊形.所以O(shè)N⊥平面A1C1CA,A1O∩ON=O,所以CC1⊥平面A1ON.因?yàn)锳1N?平面A1ON,所以CC1⊥A1N,所以AA1⊥A1N.所以A1N為直線AA1與BB1的距離,所以A1N=2,所以O(shè)N=3,由(1)可知AM⊥平面BCC1B1.所以∠AB1M為直線AB1與平面BCC1B1所成角,易求得C1M=3,所以B1M=9+3=23.因?yàn)锳M=1,所以AB1=1+12=13,所以sin∠AB1M=113=13所以直線AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為1313轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是指在解決數(shù)學(xué)問題時(shí),一個(gè)數(shù)學(xué)對象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一種數(shù)學(xué)對象的思想.它包括從未知到已知的轉(zhuǎn)化,從一般到特殊的轉(zhuǎn)化等,折疊問題中體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.解決折疊問題的關(guān)鍵在于認(rèn)真分析折疊前后元素的位置變化情況,看看哪些元素的位置變了,哪些元素的位置沒有變,基本思路是利用“不變求變”,一般步驟如下:(1)平面→空間.根據(jù)平面圖形折出滿足條件的空間圖形,想象出空間圖形,完成平面圖形與空間圖形在認(rèn)識(shí)上的轉(zhuǎn)化.(2)空間→平面.為解決空間圖形問題,要回到平面上來,重點(diǎn)分析元素的變與不變.1.如圖所示,四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.若將△ADB沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,構(gòu)成三棱錐A-BCD,則在三棱錐A-BCD中,下列結(jié)論正確的是()A.平面ABD⊥平面ABCB.平面ADC⊥平面BDCC.平面ABC⊥平面BDCD.平面ADC⊥平面ABC解析:因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°,所以BD⊥CD.因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CD⊥平面ABD,所以CD⊥AB.因?yàn)锳D⊥AB,AD∩CD=D,AD?平面ADC,CD?平面ADC,故AB⊥平面ADC.因?yàn)锳B?平面ABC,所以平面ABC⊥平面ADC.答案:D2.如圖所示,在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E為DC的中點(diǎn),F為線段EC(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn)