中考數(shù)學二輪復習題型訓練專題07 中考7題 一元二次方程相關(guān)應(yīng)用題型（解析版）

專題07一元二次方程相關(guān)應(yīng)用題型選題介紹本題型在河南省近五年的中招試卷中考了5次，本專題整理的一元二次方程相關(guān)題型主要是試卷中考查的選擇題型或者填空題型，所考知識點主要是一元二次方程根的判別式，近五年內(nèi)均是此知識點。另外也會涉及到一元二次方程的應(yīng)用題型，主要考查如何正確列方程，涉及的方向主要包括平均變化率或者面積問題。該題一般為選擇題型，分值3分，難度系數(shù)中等，得分率偏高。其中根的判別式需要重點把握，基本屬于必考知識點。根的判別式的幾種根的情況判斷要熟練應(yīng)用：①一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，△＞0；②一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，△=0；③一元二次方程無實數(shù)根，△＜0；④一元二次方程有實數(shù)根（或者有兩個實數(shù)根），△≥0。***本題如果是填空題，涉及到求參量取值范圍時需要注意一元二次方程成立的條件a≠0.真題展現(xiàn)2022年河南中招填空題第6題（3分）一元二次方程下x2+x一1=0的根的情況是（）有兩個不相等的實數(shù)根沒有實數(shù)根有兩個相等的實數(shù)根只有一個實數(shù)根。【答案】A【解析】利用根的判別式求△的值，利用△的值與0進行比較，是解決本題的關(guān)鍵。【詳解】解：根據(jù)方程其中a=1，b=1，c=—1△=b2-4ac=12-4×1×（-1）=5＞0∴一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根故選A【總結(jié)】熟練掌握根的判別式的應(yīng)用，利用根的判別式求△的值，用△的值與0進行比較進行判定根的情況是解決本題的關(guān)鍵。2021年河南中招填空題第7題7．（3分）若方程x2﹣2x+m＝0沒有實數(shù)根，則m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【答案】D【解析】根據(jù)根的判別式和已知條件得出Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，求出不等式的解集，再得出答案即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0沒有實數(shù)根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝4﹣4m＜0，解得：m＞1，∴m只能為，故選：D．【總結(jié)】本題考查了根的判別式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c為常數(shù)，a≠0），①當Δ＝b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，②當Δ＝b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，③當Δ＝b2﹣4ac＜0時，方程沒有實數(shù)根．2020年河南中招填空題第7題7．（3分）定義運算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．則方程1☆x＝0的根的情況為（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根【答案】A【解析】根據(jù)新定義運算法則以及即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：1☆x＝x2﹣x﹣1＝0，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故選：A．【總結(jié)】本題考查根的判別式，解題的關(guān)鍵是正確理解新定義運算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．2019年河南中招填空題第6題6．（3分）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情況是（）A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根【答案】A【解析】先化成一般式后，在求根的判別式．【解答】解：原方程可化為：x2﹣2x﹣4＝0，∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝20＞0，∴方程由兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【總結(jié)】本題運用了根的判別式的知識點，把方程轉(zhuǎn)化為一般式是解決問題的關(guān)鍵．2018年河南中招填空題第7題7．（3分）下列一元二次方程中，有兩個不相等實數(shù)根的是（）A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 【答案】B【解析】根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷即可．【詳解】解：A、x2+6x+9=0△=62﹣4×9=36﹣36=0，方程有兩個相等實數(shù)根；B、x2=xx2﹣x=0△=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0兩個不相等實數(shù)根；C、x2+3=2xx2﹣2x+3=0△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，方程無實根；D、（x﹣1）2+1=0（x﹣1）2=﹣1，則方程無實根；故選：B．【總結(jié)】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．模擬演練1．若雙曲線在第二、四象限，那么關(guān)于的方程的根的情況為A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．無實根【解析】A【解析】由反比例函數(shù)的性質(zhì)判定a的大小，然后求解△的值，利用a的大小，判定△的值的大小是解題的關(guān)鍵?！驹斀狻侩p曲線在第二、四象限，，關(guān)于的方程，△，關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：．【總結(jié)】本題主要注意反比例函數(shù)的性質(zhì)，一元二次根的判別式的應(yīng)用。2．關(guān)于的一元二次方程的根的情況是A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．沒有實數(shù)根 D．無法確定【答案】A【解析】先確定a、b、c的值，在求根的判別式．【詳解】△，方程總有兩個不相等的實數(shù)根．故選：．【總結(jié)】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當△＜0時，方程無實數(shù)根．3．若關(guān)于的一元二次方程無實數(shù)根，則的值可以是A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】先確定a、b、c的值，在求根的判別式．根據(jù)一元二次方程根的情況求解參數(shù)取值范圍?！驹斀狻糠綗o實數(shù)根，△，解得：．故選：．【總結(jié)】已知根的情況，判定參數(shù)取值范圍，本題型中一定要注意限定條件a≠0的情況。4.關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則__________．【答案】10【解析】由一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根得到Δ=36-4(m-1)=0,求出m的值即可【詳解】解：∵一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根∴Δ=36-4(m-1)=0,解得m=10故答案為：10【總結(jié)】本題考查了利用一元二次方程的判別式來求系數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程有兩個相等得實數(shù)根，則Δ=0．根與判別式的關(guān)系是：當一元二次方程有兩個不相等得實數(shù)根時，Δ＞0；當一元二次方程有兩個相等得實數(shù)根時，Δ=0；當一元二次方程沒有實數(shù)根時，Δ＜0；反之也成立．5.已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A. B. C.且 D.且【答案】D【解析】利用一元二次方程的定義及根的判別式列不等式a≠0且，從而求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：a≠0且，即，解得：且，故選D．【總結(jié)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當△＜0時，方程無實數(shù)根．6.下列一元二次方程中，無實數(shù)根的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分別計算各選項方程的根的判別式Δ＝b2﹣4ac然后根據(jù)計算的結(jié)果分別判斷根的情況．【詳解】解：A，Δ＝b2﹣4ac=-8＜0，方程沒有實數(shù)根，故符合題意．B，Δ＝b2﹣4ac=1＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根，故不符合題意．C，Δ＝b2﹣4ac=0方程有兩個相等的實數(shù)根，故不符合題意．D，Δ＝b2﹣4ac=16＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根，故不符合題意．故選：A．【總結(jié)】本題考查了一元二次方程(a≠0，a，b，c為常數(shù))的根的判別式Δ＝b2﹣4ac解題的關(guān)鍵是掌握當△＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根;當△=0方程有兩個相等的實數(shù)根;當△＜0方程沒有實數(shù)根．7.已知關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k?1=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k?1=0有兩個實數(shù)根，則根的判別式△≥0，據(jù)此可以列出關(guān)于k的不等式，通過解不等式即可求得k的值．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2?2x?k?1=0有兩個實數(shù)根，∴Δ=（-2）2-4×（-k-1）≥0，解得k≥-2．故選：B．【總結(jié)】本題考查了根的判別式．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）Δ＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0?方程沒有實數(shù)根．8.定義運算：例如：則方程的根的情況為（）A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根 D.無法確定【答案】C【解析】已知等式利用題中的新定義化簡，再利用根與系數(shù)的關(guān)系確定出方程解的情況即可．【詳解】解：根據(jù)題中的新定義化簡得：，整理得，，方程無實數(shù)根．故選：C．【總結(jié)】此題考查了根的判別式，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．9.某市2020年底森林覆蓋率為45%．為貫徹落實“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念，該市大力開展植樹造林活動，2022年底森林覆蓋率將達到48%．如果這兩年森林覆蓋率的年平均增長率為，那么，符合題意的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】利用2022年底森林覆蓋率＝2020年底森林覆蓋率×（1+這兩年的森林覆蓋率年平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】依題意得：，即．故選：B．【總結(jié)】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．10.某校組織學生到一片荒地上進行植樹活動，原計劃植樹8行10列，后來增加了40棵樹，為了美觀起見，要求增加的行數(shù)、列數(shù)相同，設(shè)增加了x行，根據(jù)題意，所列方程正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由增加了x行可得出后來共種了（8+x）行、（10+x）列，根據(jù)后來種植的樹共（8×10+40）棵，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：∵增加了x行，∴后來共種了（8+x）行，（10+x）列．依題意得：（8+x）（10+x）＝8×10+40．故選：D．【總結(jié)】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11.下列關(guān)于的一元二次方程一定有實數(shù)解的是()A. B.C. D.【答案】D【解析】根據(jù)根的判別式△=b2-4ac的值的符號，即可得到答案.【詳解】解：A、a的值未知，不能保證這是一元二次方程，且，不能確定△正負，故不符合題意；B、，沒有實數(shù)根，故不符合題意；C、，不能確定△正負，故不符合題意；D、，一定有實數(shù)根，符合題意；故選擇：D.【總結(jié)】本題考查了一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根；12.一元二次方程的根的情況是（）A.沒有實數(shù)根 B.只有一個實數(shù)根C.有兩個相等的實數(shù)根 D.有兩個不相等的實數(shù)根【答案】D【解析】先把一元二次方程化為一般式，然后利用根的判別式求解即可．【詳解】解：∵，∴，即，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選D．【總結(jié)】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，熟知判別式符號與一元二次方程根的關(guān)系式解題的關(guān)鍵．13.一元二次方程的根的情況是A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】A【解析】先計算出根的判別式△的值，根據(jù)△的值就可以判斷根的情況．【詳解】∵在方程x2+2x﹣1＝0中，△＝22﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，∴方程x2+2x﹣1＝0有兩個不相等的實數(shù)根．故選A．【總結(jié)】此題考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△＝0?方程有兩個相等的實數(shù)；（3）△＜0?方程沒有實數(shù)根．14.關(guān)于的一元二次方程的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.有實數(shù)根 D.沒有實數(shù)根【答案】C【解析】先確定a、b、c的值，計算的值進行判斷即可求解．【詳解】解：∵a=1，b=m，c=-m-1，∴，∴方程有兩個實數(shù)根．故選：C【總結(jié)】本題考查一元二次方程根的判別式，是常見考點，當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根，熟記判別式并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．15.關(guān)于x的一元二次方程，下列說法正確的是（