2025年春八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)北師版教學(xué)課件 1.4 第1課時(shí) 角平分線的性質(zhì)

新知一覽等腰三角形三角形的證明線段的垂直平分線角平分線直角三角形三角形三條內(nèi)角的平分線角平分線1.4角平分線第一章三角形的證明第1課時(shí)角平分線

如圖，某地有兩所大學(xué)和兩條交叉的公路．圖中點(diǎn)

M，N表示大學(xué)，OA，OB表示公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學(xué)的距離相同，到兩條公路的距離也相同，你能確定出倉庫

P應(yīng)該建在什么位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出你的設(shè)計(jì)．(尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡)ONMAB在∠AOB的角平分線上任意取一點(diǎn)C，分別折出過點(diǎn)C且與∠AOB的兩邊垂直的直線，垂足分別為D，

E，將∠AOB再次對(duì)折，線段CD與CE能重合嗎?改變點(diǎn)C的位置，線段CD和CE還相等嗎?結(jié)論：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的性質(zhì)1對(duì)此你能得出什么結(jié)論？動(dòng)手證一證.CAOBCDE已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)

P在

OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D，E.求證：PD=PE.證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D，E，∴∠PDO=∠PEO=90°.∴△PDO≌△PEO(AAS).∴PD=PE(全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等).結(jié)論證明BADOPEC12∵OC是∠AOB的平分線，∴∠1

=∠2.∵OP=OP，性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.應(yīng)用所具備的條件：(1)角的平分線；(2)點(diǎn)在該平分線上；(3)垂直距離.定理的作用：證明線段相等.BADOPEC應(yīng)用格式：∵OP

是∠AOB的平分線，∴PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，推理的理由有三個(gè)，必須寫完全，不能少了任何一個(gè).(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).知識(shí)要點(diǎn)例1如圖，AM

是∠BAC

的平分線，點(diǎn)

P

在

AM

上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別是

D、E，PD

=

4

cm，則

PE

=

______cm.BACPMDE4溫馨提示：存在兩條垂線段——直接應(yīng)用典例精析定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.角平分線的判定2類比探究它是真命題嗎？你能證明嗎？在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.逆命題PAOBCDE已知：如圖，點(diǎn)

P為是∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D、E，且

PD=PE.求證：點(diǎn)

P在∠AOB的平分線上.∴

OP平分∠AOB.∵PD=PE

，OP=OP，證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為

D，E，∴∠ODP

=∠OEP

=90°.∴Rt△DOP≌Rt△EOP

(HL).∴∠1

=∠2(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等).結(jié)論證明BADOPEC12判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.PAOBCDE應(yīng)用所具備的條件：(1)位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；(2)數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上.應(yīng)用格式：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴點(diǎn)

P在∠AOB的平分線上.知識(shí)要點(diǎn)例2

如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，點(diǎn)

D

在

BC

上，AD

=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為

E，F(xiàn)，且DE

=DF，求

DE

的長.ABCDEF典例精析解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，且

DE

=DF，∴AD

平分∠BAC

(在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上).又∵∠BAC=60°，∴∠BAD=30°.在Rt△ADE

中，∠AED

=

90°，AD=

10，ABCDEF∴DE

=

AD

=

×10=5

(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半).例3

如圖，已知∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)

F.求證：點(diǎn)

F在∠DAE的平分線上．

證明：過點(diǎn)

F作

FG⊥AE于

G，F(xiàn)H⊥AD于

H，F(xiàn)M⊥BC于

M.∵

點(diǎn)

F在∠BCE的平分線上，F(xiàn)G⊥AE，F(xiàn)M⊥BC，∴

FG＝FM.又∵點(diǎn)

F在∠CBD的平分線上，F(xiàn)H⊥AD，F(xiàn)M⊥BC，∴FM＝FH.∴FG＝FH.∴點(diǎn)

F在∠DAE的平分線上.

GHMABCFED┑┑┑ONMAB方法總結(jié)：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，到兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在兩點(diǎn)連線的垂直平分線上.解：如圖所示.P.回顧導(dǎo)入圖形已知條件結(jié)論P(yáng)CPCOP

平分∠AOBPD⊥OA

于DPE⊥OB

于

EPD=PEOP平分∠AOBPD=PEPD⊥OA于

DPE⊥OB

于

E角的平分線的判定角的平分線的性質(zhì)歸納總結(jié)角平分線性質(zhì)定理一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段相等輔助線添加過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段判定定理角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上2.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，且BC=8，BD=5，則點(diǎn)D到

AB的距離是

.ABCD31.如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是

E，F(xiàn)，DE=DF，∠EDB

=60°，則∠EBF

=

°，BE