2025屆浙江省寧波市高三上學(xué)期11月一模仿真數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市2025屆高三上學(xué)期11月一模數(shù)學(xué)仿真試題第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣2x≥0}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2} C．{﹣1，0，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】由x2﹣2x≥0，得x≤0或x≥2，所以B＝{x|x≤0或x≥2}，因為A＝{﹣1，0，1，2}，所以A∩B＝{﹣1，0，2}．故選：C．2．已知復(fù)數(shù)z=ai+2i1+i(a∈R)A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】B【解析】∵z=ai+2i1+i=ai+2i(1-i)(1+i)(1-i)=ai+i+1=1+(a+1)i是實數(shù)，∴3．已知平面向量a→，b→滿足(3a→-2bA．92 B．152 C．7 D【答案】C【解析】∵平面向量a→，b→滿足∴15a→2-7a∴15-1-2|b→|4．已知A（﹣2，0），B（4，0），在直線l：4x+3y+m＝0上存在點P，使PA⊥PB，則m的最大值是（）A．9 B．11 C．15 D．19【答案】B【解析】∵A（﹣2，0），B（4，0），∴以AB為直徑的圓的方程為（x﹣1）2+y2＝9，∵在直線l：4x+3y+m＝0上存在點P，使PA⊥PB，∴直線l與圓有公共點，∴圓心到直線的距離小于等于半徑，即d=|4+m|42+32≤3故m的最大值為11．故選：B．5．（1﹣x2）（1+x）5的展開式中x4的系數(shù)為（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【答案】A【解析】（1+x）5的展開式通項為Tr+1=C5rxr，r則（1﹣x2）（1+x）5的展開式中x4項為C5所以（1﹣x2）（1+x）5的展開式中x4的系數(shù)為C54-6．袋子中有n個太小質(zhì)地完全相同的球，其中4個為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，已知摸出的2個球都是紅球的概率為16A．518 B．49 C．59 【答案】C【解析】袋子中有n個太小質(zhì)地完全相同的球，其中4個為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，摸出的2個球都是紅球的概率為16，則4解得n＝9或n＝﹣8（舍），則兩次摸到的球顏色不相同的概率為：P=59×7．若a=2A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】B【解析】令f(x)=lnxx，則當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，∵a=2，∴l(xiāng)na=12ln2=ln44=f(4)∴f（e）＞f（4），即lnb＞lna，故b＞a，∵b=e1e故c=36＞3，即c＞b，綜上所述a＜b＜8．假設(shè)變量x與變量Y的n對觀測數(shù)據(jù)為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），兩個變量滿足一元線性回歸模型Y=bx+e，E(e)=0，D(e)=σ2．要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)b的最小二乘估計A．b?=n∑i=1xiyin∑i=1C．b?=n∑i=1xiyin【答案】A【解析】因為Q(a=b上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)b的取值為b?=i=1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列說法正確的是（）A．若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，則P（3＜X＜4）＝0.2B．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14 C．若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強 D．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為y?=0.3x-m，若樣本點的中心為（m，2.8），則實數(shù)m【答案】ACD【解析】對于選項A：若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，則P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣0.5＝0.2，故選項A正確；對于選項B：已知一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22，該組數(shù)據(jù)共有10個數(shù)，因為10×60%＝6，所以第60百分位數(shù)為14+162=15，故選項對于選項C：若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強，故選項C正確；對于選項D：已知線性回歸方程為y?因為樣本點的中心為（m，2.8），所以2.8＝0.3m﹣m，解得m＝﹣4，故選項D正確．故選：ACD．10．已知函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x），且f'（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），x1＜x2，則（）A．x2是函數(shù)y＝f（x）的一個極大值點 B．f（x1）＜f（x2） C．函數(shù)y＝f（x）在x=x1+2xD．f(【答案】AB【解析】令f'（x）＞0，解得x1＜x＜x2，令f'（x）＜0，解得x＞x2或x＜x1，則f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞減，故x2是函數(shù)y＝f（x）的一個極大值點，f（x1）＜f（x2），A、B正確；∵x1＜x1+2x23＜x2，則f又∵x1＜x1+x211．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，動點P在C上，若定點M(2，3)滿足|MF|＝2|A．C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣2 B．△PMF周長的最小值為5 C．四邊形OPMF可能是平行四邊形 D．FM→?【答案】BD【解析】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F（p2，0），準(zhǔn)線方程為x=定點M(2，3)滿足|MF|＝2|OF|，可得(2-p2故C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，故A錯誤；設(shè)P（m，n），P在準(zhǔn)線上的射影H，可得|PM|+|PF|＝|PH|+|PM|≥|MH|＝2+1＝3，當(dāng)P，M，H共線時，△PMF周長取得最小值為3+|MF|＝3+2＝5，故B正確；若四邊形OPMF是平行四邊形，可得PM∥OF，PM＝OF，即有n=3n2=4m，解得P（34，3），|PM|＝2-3設(shè)P（m，n），可得n2＝4m，F(xiàn)M→?OP→=（1，3）?（m，n）＝m+3n=n24+3n=14（n+23）2﹣3，當(dāng)n＝﹣故選：BD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知sin(3x-π3)-2sinxcos(2x-【答案】-7【解析】sin(3x-則sin(3x-則cos(2x+π故答案為：-713．已知f(x)=2x+a2x為奇函數(shù)，g(x)=lo【答案】-【解析】由f(x)=2x+a2x為奇函數(shù)，可得f（0∴a＝﹣1，∵g(x)=log∴g（﹣x）＝g（x），∴l(xiāng)og2整理可得，2bx＝2x，∴b＝1，∴f（ab）＝f（﹣1）=故答案為：-314．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（1，1），B（1，﹣1），點P為圓（x﹣4）2+y2＝4上任意一點，記△OAP和△OBP的面積分別為S1和S2，則S1S2的最小值是【答案】2-【解析】S△OAPS△OBP顯然，當(dāng)OP與圓C：（x﹣4）2+y2＝4相切時，比值最小．在Rt△OPC中，OC＝4，CP＝2，∴∠COP＝30°，結(jié)合A，B兩點坐標(biāo)，易知∠AOP＝15°，∠BOP＝75°，∴sin∠AOPsin∠BOP=sin15°sin75°＝tan15°＝2-四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知sin2A+sin2C＝sin2B+sinAsinC．（1）求角B的大??；（2）若△ABC的面積為3，求a+c的最小值，并判斷此時△ABC的形狀．解：（1）由正弦定理得a2+c2＝b2+ac，又由余弦定理得cosB=a因為B是三角形內(nèi)角，所以B=π（2）由三角形面積公式得：S△ABC=12acsinB=因為a+c≥2ac=4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝所以a+c的最小值為4，此時△ABC為等邊三角形．16．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，E為SB的中點，且SA＝AB＝BC＝1，AD=1（1）求證：AE⊥平面SBC；（2）求四棱錐S﹣ABCD體積；（3）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．（1）證明：∵SA⊥平面ABCD，∴平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，CB⊥AB，CB⊥平面SAB，又AE?平面SAB，∴AE⊥BC，∵AS＝AB，E為SB中點，∴AE⊥SB，SB∩BC＝B．∴AE⊥平面SBC．（2）解：VS-ABCD（3）解：以A為坐標(biāo)原點，AD，AB，AS所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，得A(0，設(shè)平面SDC的法向量為n→則n→?SC→=0n→?SD→=0∴n→=(2，-1，1)，平面SAB的法向量為AD→∴cos，令平面SAB和平面SCD所成的二面角為θ，∴cosθ=617．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過點F的動直線l與拋物線交于A，B兩點，M為AB的中點，且點M到拋物線的準(zhǔn)線距離的最小值為2．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)拋物線在A，B兩點的切線相交于點Q，求點Q的橫坐標(biāo)．解：（1）由題知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l：聯(lián)立x=my+p得y2﹣2pmy﹣p2＝0，則Δ＝4p2m2+4p2＞0，y1由拋物線的定義，知點M到拋物線準(zhǔn)線的距離d=1所以當(dāng)m＝0時，dmin＝p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x．（2）由題易知拋物線在A，B兩點處的切線與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)在點A（x1，y1）處的切線方程為l1：x﹣x1＝n（y﹣y1），即x＝ny+x1﹣ny1，聯(lián)立x=ny+x得y2﹣4ny﹣4x1+4ny1＝0，則Δ＝16n2+16x1﹣16ny1＝0，即4n解得n=y所以l1即y=2(x-同理可得拋物線在點B（x2，y2）處的切線方程為l2設(shè)Q（x0，y0），由y=2(x+得x0由（1）知y1所以x0＝﹣1，所以點Q的橫坐標(biāo)為﹣1．18．已知函數(shù)f(x)=x-12ax（Ⅰ）求f（x）在x＝0處的切線方程；（Ⅱ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)a＝0時，證明：f（x）＞x﹣ex﹣1．（Ⅰ）解：f'因為f'（0）＝0，f（0）＝0，所以f（x）在x＝0處的切線方程為y＝0．（Ⅱ）解：f'（i）當(dāng)a＝0時，f'(x)=xx+1≥0在[0，+∞）恒成立，所以f（x所以f（x）在[0，+∞）的最小值為f（0）＝0，不符合題意（舍）．（ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1-aa；令f'（x所以f（x）在(0，1-aa又f（0）＝0，所以存在x∈(0，1-aa)，使得（iii）當(dāng)a≥1時，f'（x）≤0在[0，+∞）恒成立，所以f（x）在[0，+∞）單調(diào)遞減，則f（x）在[0，+∞）的最大值為f（0）＝0，符合題意．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．（Ⅲ）證明：當(dāng)a＝0時，要證f（x）＝x﹣ln（x+1）＞x﹣ex﹣1，需證g（x）＝ex﹣1﹣ln（x+1）＞0，g'(x)=ex-1-又g'（0）＝e﹣1﹣1＜0，g'所以，存在x0∈（0，1），使得g'（x0）＝0，即ex故當(dāng)x∈（﹣1，x0）時，g'（x0）＜0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x0，+∞）時，g'（x0）＞0，g（x）單調(diào)遞增，所以g（x）在（﹣1，+∞）的最小值為g(x由ex0-1=1x0+1，得﹣ln（x所以g(x)≥故當(dāng)a＝0時，f（x）＞x﹣ex﹣1得證．19．把一個無窮數(shù)列{an}從第2項起，每一項減去它的前一項，得到一個新數(shù)列，此數(shù)列叫做原數(shù)列{an}的1階差數(shù)列．對1階差數(shù)列作同樣的處理得到的數(shù)列叫做原數(shù)列{an}的2階差數(shù)列，如此類推，可得到原數(shù)列{an}的K階差數(shù)列．如果一個數(shù)列{an}的K階差數(shù)列是由一個非零常數(shù)D組成的常數(shù)數(shù)列，則稱這個數(shù)列{an}為K階等差數(shù)列，非零常數(shù)D叫做數(shù)列{an}的K階公差．例如，原數(shù)列：14，24，34，44，54，64，74，…1階差數(shù)列：15，65，175，369，671，1105，…2階差數(shù)列：50，110，194，302，434，…3階差數(shù)列：60，84，108，132，…4階差數(shù)列：24，24，24，…所以原數(shù)列為4階等差數(shù)列，24為該數(shù)列的4階公差．已知數(shù)列{an}是2階等差數(shù)列，2階公差為1，且a1＝1，a2＝2．（1）已知數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的1階差數(shù)列，求數(shù)列{bn}的通項；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）數(shù)列{cn}的前n項和為Sn，c1＝1，cn=1an-1(n≥2)，證明：（1）解：根據(jù)題意，數(shù)列{an}是2階等差數(shù)列，2階公差為1，而數(shù)列{bn}是數(shù)列{an}的1階差數(shù)列，則數(shù)列{bn}是公差為1的等差數(shù)列，又由a1＝1，a2＝2，則b1＝a2﹣a1＝1，故bn＝1+（n﹣1）＝n；（2）解：根據(jù)題意，由（1）的結(jié)論，bn＝n，則有bn＝an+1﹣an＝n，變形可得an﹣an﹣1＝n﹣1（n≥2），故當(dāng)n≥2時，有an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+……+（a2﹣a1）+a1＝（n﹣1）+（n﹣2）+……+1+1=n(n-1)2當(dāng)n＝1時，a1＝1符合an=n(n-1)2故an=n(n-1)2（3）證明：根據(jù)題意，由（2）的結(jié)論，an=n(n-1)2當(dāng)n≥2時，cn=1an-1故Sn＝1+2（1-12）+2（12-13）+……+2又由n≥2，則1≤3-2n＜3，故1≤Sn浙江省寧波市2025屆高三上學(xué)期11月一模數(shù)學(xué)仿真試題第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣2x≥0}，則A∩B＝（）A．{﹣1，0} B．{2} C．{﹣1，0，2} D．{0，1，2}【答案】C【解析】由x2﹣2x≥0，得x≤0或x≥2，所以B＝{x|x≤0或x≥2}，因為A＝{﹣1，0，1，2}，所以A∩B＝{﹣1，0，2}．故選：C．2．已知復(fù)數(shù)z=ai+2i1+i(a∈R)A．0 B．﹣1 C．2 D．﹣2【答案】B【解析】∵z=ai+2i1+i=ai+2i(1-i)(1+i)(1-i)=ai+i+1=1+(a+1)i是實數(shù)，∴3．已知平面向量a→，b→滿足(3a→-2bA．92 B．152 C．7 D【答案】C【解析】∵平面向量a→，b→滿足∴15a→2-7a∴15-1-2|b→|4．已知A（﹣2，0），B（4，0），在直線l：4x+3y+m＝0上存在點P，使PA⊥PB，則m的最大值是（）A．9 B．11 C．15 D．19【答案】B【解析】∵A（﹣2，0），B（4，0），∴以AB為直徑的圓的方程為（x﹣1）2+y2＝9，∵在直線l：4x+3y+m＝0上存在點P，使PA⊥PB，∴直線l與圓有公共點，∴圓心到直線的距離小于等于半徑，即d=|4+m|42+32≤3故m的最大值為11．故選：B．5．（1﹣x2）（1+x）5的展開式中x4的系數(shù)為（）A．﹣5 B．5 C．﹣10 D．10【答案】A【解析】（1+x）5的展開式通項為Tr+1=C5rxr，r則（1﹣x2）（1+x）5的展開式中x4項為C5所以（1﹣x2）（1+x）5的展開式中x4的系數(shù)為C54-6．袋子中有n個太小質(zhì)地完全相同的球，其中4個為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，已知摸出的2個球都是紅球的概率為16A．518 B．49 C．59 【答案】C【解析】袋子中有n個太小質(zhì)地完全相同的球，其中4個為紅球，其余均為黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，摸出的2個球都是紅球的概率為16，則4解得n＝9或n＝﹣8（舍），則兩次摸到的球顏色不相同的概率為：P=59×7．若a=2A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【答案】B【解析】令f(x)=lnxx，則當(dāng)x＞e時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞增，∵a=2，∴l(xiāng)na=12ln2=ln44=f(4)∴f（e）＞f（4），即lnb＞lna，故b＞a，∵b=e1e故c=36＞3，即c＞b，綜上所述a＜b＜8．假設(shè)變量x與變量Y的n對觀測數(shù)據(jù)為（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），兩個變量滿足一元線性回歸模型Y=bx+e，E(e)=0，D(e)=σ2．要利用成對樣本數(shù)據(jù)求參數(shù)b的最小二乘估計A．b?=n∑i=1xiyin∑i=1C．b?=n∑i=1xiyin【答案】A【解析】因為Q(a=b上式是關(guān)于b的二次函數(shù)，因此要使Q取得最小值，當(dāng)且僅當(dāng)b的取值為b?=i=1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．下列說法正確的是（）A．若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，則P（3＜X＜4）＝0.2B．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位數(shù)為14 C．若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強 D．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x，y，其線性回歸方程為y?=0.3x-m，若樣本點的中心為（m，2.8），則實數(shù)m【答案】ACD【解析】對于選項A：若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3，ω2），且P（X≤4）＝0.7，則P（3＜X＜4）＝P（X≤4）﹣0.5＝0.2，故選項A正確；對于選項B：已知一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22，該組數(shù)據(jù)共有10個數(shù)，因為10×60%＝6，所以第60百分位數(shù)為14+162=15，故選項對于選項C：若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強，故選項C正確；對于選項D：已知線性回歸方程為y?因為樣本點的中心為（m，2.8），所以2.8＝0.3m﹣m，解得m＝﹣4，故選項D正確．故選：ACD．10．已知函數(shù)y＝f（x）的導(dǎo)函數(shù)y＝f'（x），且f'（x）＝﹣（x﹣x1）（x﹣x2），x1＜x2，則（）A．x2是函數(shù)y＝f（x）的一個極大值點 B．f（x1）＜f（x2） C．函數(shù)y＝f（x）在x=x1+2xD．f(【答案】AB【解析】令f'（x）＞0，解得x1＜x＜x2，令f'（x）＜0，解得x＞x2或x＜x1，則f（x）在（x1，x2）上單調(diào)遞增，在（﹣∞，x1），（x2，+∞）上單調(diào)遞減，故x2是函數(shù)y＝f（x）的一個極大值點，f（x1）＜f（x2），A、B正確；∵x1＜x1+2x23＜x2，則f又∵x1＜x1+x211．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，O為坐標(biāo)原點，動點P在C上，若定點M(2，3)滿足|MF|＝2|A．C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣2 B．△PMF周長的最小值為5 C．四邊形OPMF可能是平行四邊形 D．FM→?【答案】BD【解析】拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F（p2，0），準(zhǔn)線方程為x=定點M(2，3)滿足|MF|＝2|OF|，可得(2-p2故C的準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，故A錯誤；設(shè)P（m，n），P在準(zhǔn)線上的射影H，可得|PM|+|PF|＝|PH|+|PM|≥|MH|＝2+1＝3，當(dāng)P，M，H共線時，△PMF周長取得最小值為3+|MF|＝3+2＝5，故B正確；若四邊形OPMF是平行四邊形，可得PM∥OF，PM＝OF，即有n=3n2=4m，解得P（34，3），|PM|＝2-3設(shè)P（m，n），可得n2＝4m，F(xiàn)M→?OP→=（1，3）?（m，n）＝m+3n=n24+3n=14（n+23）2﹣3，當(dāng)n＝﹣故選：BD．第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知sin(3x-π3)-2sinxcos(2x-【答案】-7【解析】sin(3x-則sin(3x-則cos(2x+π故答案為：-713．已知f(x)=2x+a2x為奇函數(shù)，g(x)=lo【答案】-【解析】由f(x)=2x+a2x為奇函數(shù)，可得f（0∴a＝﹣1，∵g(x)=log∴g（﹣x）＝g（x），∴l(xiāng)og2整理可得，2bx＝2x，∴b＝1，∴f（ab）＝f（﹣1）=故答案為：-314．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A（1，1），B（1，﹣1），點P為圓（x﹣4）2+y2＝4上任意一點，記△OAP和△OBP的面積分別為S1和S2，則S1S2的最小值是【答案】2-【解析】S△OAPS△OBP顯然，當(dāng)OP與圓C：（x﹣4）2+y2＝4相切時，比值最?。赗t△OPC中，OC＝4，CP＝2，∴∠COP＝30°，結(jié)合A，B兩點坐標(biāo)，易知∠AOP＝15°，∠BOP＝75°，∴sin∠AOPsin∠BOP=sin15°sin75°＝tan15°＝2-四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知sin2A+sin2C＝sin2B+sinAsinC．（1）求角B的大?。唬?）若△ABC的面積為3，求a+c的最小值，并判斷此時△ABC的形狀．解：（1）由正弦定理得a2+c2＝b2+ac，又由余弦定理得cosB=a因為B是三角形內(nèi)角，所以B=π（2）由三角形面積公式得：S△ABC=12acsinB=因為a+c≥2ac=4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝所以a+c的最小值為4，此時△ABC為等邊三角形．16．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，側(cè)棱SA⊥底面ABCD，E為SB的中點，且SA＝AB＝BC＝1，AD=1（1）求證：AE⊥平面SBC；（2）求四棱錐S﹣ABCD體積；（3）求面SCD與面SAB所成二面角的余弦值．（1）證明：∵SA⊥平面ABCD，∴平面SAB⊥平面ABCD，平面SAB∩平面ABCD＝AB，CB⊥AB，CB⊥平面SAB，又AE?平面SAB，∴AE⊥BC，∵AS＝AB，E為SB中點，∴AE⊥SB，SB∩BC＝B．∴AE⊥平面SBC．（2）解：VS-ABCD（3）解：以A為坐標(biāo)原點，AD，AB，AS所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，得A(0，設(shè)平面SDC的法向量為n→則n→?SC→=0n→?SD→=0∴n→=(2，-1，1)，平面SAB的法向量為AD→∴cos，令平面SAB和平面SCD所成的二面角為θ，∴cosθ=617．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，過點F的動直線l與拋物線交于A，B兩點，M為AB的中點，且點M到拋物線的準(zhǔn)線距離的最小值為2．（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)拋物線在A，B兩點的切線相交于點Q，求點Q的橫坐標(biāo)．解：（1）由題知直線l的斜率不為0，設(shè)直線l：聯(lián)立x=my+p得y2﹣2pmy﹣p2＝0，則Δ＝4p2m2+4p2＞0，y1由拋物線的定義，知點M到拋物線準(zhǔn)線的距離d=1所以當(dāng)m＝0時，dmin＝p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x．（2）由題易知拋物線在A，B兩點處的切線與坐標(biāo)軸不垂直，設(shè)在點A（x1，y1）處的切線方程為l1：x﹣x1＝n（y﹣y1），即x＝ny+x1﹣ny1，聯(lián)立x=ny+x得y2﹣4ny﹣4x1+4ny1＝0，則Δ＝16n2+16x1﹣16ny1＝0，即4n解得n=y所以l1即y=2(x-同理可得拋物線在點B（x2，y2）處的切線方程為l2設(shè)Q（x0，y0），由y=2(x+得x0由（1）知y1所以x0＝﹣1，所以點Q的橫坐標(biāo)為﹣1．18．已知函數(shù)f(x)=x-12ax（Ⅰ）求f（x）在x＝0處的切線方程；（Ⅱ）若f（x）在[0，+∞）上的最大值是0，求a的取值范圍；（Ⅲ）當(dāng)a＝0時，證明：f（x）＞x﹣ex﹣1．（Ⅰ）解：f'因為f'（0）＝0，f（0）＝0，所以f（x）在x＝0處的切線方程為y＝0．（Ⅱ）解：f'（i）當(dāng)a＝0時，f'(x)=xx+1≥0在[0，+∞）恒成立，所以f（x所以f（x）在[0，+∞）的最小值為f（0）＝0，不符合題意（舍）．（ⅱ）當(dāng)0＜a＜1時，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1-aa；令f'（x所以f（x）在(0，1-aa又f（0）＝0，所以存在x∈(0，1-aa)，使得（iii）當(dāng)a≥1時，f'（x）≤0在[0，+∞）恒成立，所以f