2025屆浙江省杭州市蕭山區(qū)高三上學(xué)期聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省杭州市蕭山區(qū)2025屆高三上學(xué)期聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，則；當(dāng)時，，所以；所以.故選：.2.已知，為單位向量，，，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以，所以與的夾角為．故選：A．3.某公司通過研發(fā)技術(shù)、提升工藝、提高效率等方法來降低成本.假設(shè)該公司的年成本以每年10%的比例降低，要使年成本低于原來的，至少需要年，則（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】設(shè)該公司原來的年成本為，年成本低于原來的需要的時間為年，則由題意得，得，得，因為，所以.故選：C.4.已知表面積為的球與一圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切，若該圓臺的下底面半徑為上底面半徑的4倍，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為，由，解得．作出圓臺的軸截面，如圖，設(shè)，則，由相切的性質(zhì)可知，，易知，分別是，的平分線，即，，又，所以，所以，所以，又，則，所以，即，所以，所以，解得（負值已舍去），所以該圓臺的體積為，故選：D．5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點，則的面積的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可得直線恒過點，該點在已知圓內(nèi)，圓的圓心為，半徑，作于點，如下圖所示：易知圓心到直線的距離為，所以，又，可得；因此可得，所以的面積為.故選：D6.已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b等于()A.10 B.9 C.8 D.5【答案】D【解析】由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC為銳角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故選D.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過上頂點作直線交橢圓于另一點.若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：因為的周長為，，，所以，.又，所以.所以橢圓的離心率為.故選：C8.不等式對任意恒成立，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由題意可得，需滿足是的一個根，即，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.所以的最小值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.為了解鴨梨種植園的畝收入（單位：萬元）情況，從“高標(biāo)準(zhǔn)梨園”種植區(qū)抽取樣本，得到的畝收入樣本均值，樣本方差；從“標(biāo)準(zhǔn)化梨園”種植區(qū)抽取樣本，畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)“高標(biāo)準(zhǔn)梨園”的畝收入服從正態(tài)分布，則（）.（若服從正態(tài)分布，則A. B.C. D.【答案】BC【解析】由題意可知，服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，所以，故A錯誤；，故B正確；，所以C正確，D錯誤.故選：BC．10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.為的圖象的一個對稱中心C.在上單調(diào)遞增D.將的圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍后得到的圖象，則曲線與直線有4個交點【答案】AB【解析】函數(shù)，最小正周期，故A正確；，則為的圖象的一個對稱中心，故B正確；時，，易知在上先減后增，故在上先減后增，故C錯誤；，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y=gx與的大致圖象如下所示，觀察可知，它們有3個交點，故D錯誤.故選：AB11.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且上的點滿足：，且到點的距離與到定直線的距離之積為，則（）A.B.點，均在曲線上C.曲線在第二象限的點到軸的距離的最大值為D.【答案】ABD【解析】由已知，，又曲線過坐標(biāo)原點，則，則，又，則，A選項正確；則曲線方程為，，即，，令，得，所以，即點，均在曲線上，B選項正確；設(shè)，，則，當(dāng)時，，設(shè)，則，則當(dāng)時，，時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，使gx0且時，gx>0，時，gx即時，f'x>0，的單調(diào)遞增，時，f'x<0，則，即，使，又，所以，C選項錯誤；將軌跡方程轉(zhuǎn)化為，可知恒成立，又，所以，即，即，D選項正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】【解析】，故.故答案為：13.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，現(xiàn)從中隨機刪除兩項，得到一個新的數(shù)列.這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為______.【答案】【解析】不妨設(shè)，則，其極差為．若隨機刪除兩項后極差不變，則刪除的兩項必存在于第2項至第5項，則有種刪除方法，所以．故答案為：.14.已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)和均為偶函數(shù)，且，則__________.【答案】2【解析】因為為偶函數(shù)，則，即，又因為為偶函數(shù)，則.由，求導(dǎo)得，即，所以，則，所以是以4為周期的周期函數(shù).由，可得，即，則，，所以，所以.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，△為等邊三角形.（1）求證：；（2）若，，求與平面所成角的正弦值.（1）證明：∵菱形，且，∴△等邊三角形，又△為等邊三角形，若是中點，連接，易知：，又，即面，又面，∴（2）解：由，，結(jié)合（1）知：，即，∴，又，故可構(gòu)建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，∴，即與平面所成角的正弦值為.16.隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質(zhì)人才的需求不斷擴大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2021年的考研人數(shù)是377萬人，2022年考研人數(shù)是457萬人.某省統(tǒng)計了該省其中四所大學(xué)2023年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)2023年畢業(yè)人數(shù)（千人）87542023年考研人數(shù)（千人）0.60.40.30.3（1）已知與具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）假設(shè)該省對選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.6萬元的補貼，若大學(xué)的畢業(yè)生中小江?小沈選擇考研的概率分別為，該省對小江?小沈兩人的考研補貼總金額的期望不超過0.75萬元，求的取值范圍.參考公式：.解：（1）由題意得，又，，，，所以，故得關(guān)于線性回歸方程為；（2）設(shè)小江?小沈兩人中選擇考研的人數(shù)為，則的所有可能值為，，，，，則，可得，又因為，可得，故.17.已知點為橢圓上不同兩點，點為橢圓的一個焦點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）若的面積，求直線的方程.解：（1）由在橢圓C:x2a2+y又F1,0可得，因此，即所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其離心率為.（2）根據(jù)題意可知，若直線的斜率不存在，則，如下圖所示：此時，的面積為，滿足題意；可得此時直線的方程為；若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，如下圖所示：聯(lián)立，消去并整理可得，解得或，又，所以此時，點F1,0到直線的距離為，所以的面積為，解得，所以直線的方程為；綜上可知，直線的方程為或18.已知曲線在處的切線過點.（1）試求的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）證明：當(dāng)時，.（1）解：函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，因此曲線在處的切線方程為，即，依題意，，所以則.（2）解：由（1）知函數(shù)，其定義域為R，求導(dǎo)得，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時，由，得，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，在R上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）證明：由（2）得，要證明，即證，即證，令，求導(dǎo)得，由，得，由，得，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，即恒成立，所以當(dāng)時，.19.已知是個正整數(shù)組成的行列的數(shù)表，當(dāng)時，記．設(shè)，若滿足如下兩個性質(zhì)：①；②對任意，存在，使得，則稱為數(shù)表．（1）判斷是否為數(shù)表，并求的值；（2）若數(shù)表滿足，求中各數(shù)之和的最小值；（3）證明：對任意數(shù)表，存在，使得．（1）解：是數(shù)表，（2）解：由題可知.當(dāng)時，有，所以.當(dāng)時，有，所以.所以所以或者，或者，或，或，故各數(shù)之和，當(dāng)時，各數(shù)之和取得最小值.（3）證明：由于數(shù)表中共個數(shù)字，必然存在，使得數(shù)表中的個數(shù)滿足設(shè)第行中的個數(shù)為當(dāng)時，將橫向相鄰兩個用從左向右的有向線段連接，則該行有條有向線段，所以橫向有向線段的起點總數(shù)設(shè)第列中的個數(shù)為.當(dāng)時，將縱向相鄰兩個用從上到下的有向線段連接，則該列有條有向線段，所以縱向有向線段的起點總數(shù)所以,因為,所以.所以必存在某個既是橫向有向線段的起點，又是縱向有向線段的起點，即存在使得，所以，則命題得證.浙江省杭州市蕭山區(qū)2025屆高三上學(xué)期聯(lián)考（四）數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由得，則；當(dāng)時，，所以；所以.故選：.2.已知，為單位向量，，，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以，所以，所以，所以與的夾角為．故選：A．3.某公司通過研發(fā)技術(shù)、提升工藝、提高效率等方法來降低成本.假設(shè)該公司的年成本以每年10%的比例降低，要使年成本低于原來的，至少需要年，則（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】設(shè)該公司原來的年成本為，年成本低于原來的需要的時間為年，則由題意得，得，得，因為，所以.故選：C.4.已知表面積為的球與一圓臺的上、下底面以及側(cè)面均相切，若該圓臺的下底面半徑為上底面半徑的4倍，則該圓臺的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)球的半徑為，由，解得．作出圓臺的軸截面，如圖，設(shè)，則，由相切的性質(zhì)可知，，易知，分別是，的平分線，即，，又，所以，所以，所以，又，則，所以，即，所以，所以，解得（負值已舍去），所以該圓臺的體積為，故選：D．5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線與圓交于兩點，則的面積的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可得直線恒過點，該點在已知圓內(nèi)，圓的圓心為，半徑，作于點，如下圖所示：易知圓心到直線的距離為，所以，又，可得；因此可得，所以的面積為.故選：D6.已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b等于()A.10 B.9 C.8 D.5【答案】D【解析】由題意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC為銳角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故選D.7.已知橢圓的左、右焦點分別為，，過上頂點作直線交橢圓于另一點.若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：因為的周長為，，，所以，.又，所以.所以橢圓的離心率為.故選：C8.不等式對任意恒成立，則的最小值為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】由題意可得，需滿足是的一個根，即，且，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號.所以的最小值為.故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.為了解鴨梨種植園的畝收入（單位：萬元）情況，從“高標(biāo)準(zhǔn)梨園”種植區(qū)抽取樣本，得到的畝收入樣本均值，樣本方差；從“標(biāo)準(zhǔn)化梨園”種植區(qū)抽取樣本，畝收入服從正態(tài)分布，假設(shè)“高標(biāo)準(zhǔn)梨園”的畝收入服從正態(tài)分布，則（）.（若服從正態(tài)分布，則A. B.C. D.【答案】BC【解析】由題意可知，服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，所以，故A錯誤；，故B正確；，所以C正確，D錯誤.故選：BC．10.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.為的圖象的一個對稱中心C.在上單調(diào)遞增D.將的圖象的橫坐標(biāo)伸長為原來的3倍后得到的圖象，則曲線與直線有4個交點【答案】AB【解析】函數(shù)，最小正周期，故A正確；，則為的圖象的一個對稱中心，故B正確；時，，易知在上先減后增，故在上先減后增，故C錯誤；，在同一直角坐標(biāo)系中分別作出y=gx與的大致圖象如下所示，觀察可知，它們有3個交點，故D錯誤.故選：AB11.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線經(jīng)過坐標(biāo)原點，且上的點滿足：，且到點的距離與到定直線的距離之積為，則（）A.B.點，均在曲線上C.曲線在第二象限的點到軸的距離的最大值為D.【答案】ABD【解析】由已知，，又曲線過坐標(biāo)原點，則，則，又，則，A選項正確；則曲線方程為，，即，，令，得，所以，即點，均在曲線上，B選項正確；設(shè)，，則，當(dāng)時，，設(shè)，則，則當(dāng)時，，時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，使gx0且時，gx>0，時，gx即時，f'x>0，的單調(diào)遞增，時，f'x<0，則，即，使，又，所以，C選項錯誤；將軌跡方程轉(zhuǎn)化為，可知恒成立，又，所以，即，即，D選項正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，則______.【答案】【解析】，故.故答案為：13.已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，現(xiàn)從中隨機刪除兩項，得到一個新的數(shù)列.這兩組數(shù)據(jù)的極差相同的概率為______.【答案】【解析】不妨設(shè)，則，其極差為．若隨機刪除兩項后極差不變，則刪除的兩項必存在于第2項至第5項，則有種刪除方法，所以．故答案為：.14.已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)和均為偶函數(shù)，且，則__________.【答案】2【解析】因為為偶函數(shù)，則，即，又因為為偶函數(shù)，則.由，求導(dǎo)得，即，所以，則，所以是以4為周期的周期函數(shù).由，可得，即，則，，所以，所以.故答案為：2四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，且，△為等邊三角形.（1）求證：；（2）若，，求與平面所成角的正弦值.（1）證明：∵菱形，且，∴△等邊三角形，又△為等邊三角形，若是中點，連接，易知：，又，即面，又面，∴（2）解：由，，結(jié)合（1）知：，即，∴，又，故可構(gòu)建以為原點，為x、y、z軸正方向的空間直角坐標(biāo)系，∴，則，，，若是面的一個法向量，則，令，則，∴，即與平面所成角的正弦值為.16.隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質(zhì)人才的需求不斷擴大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2021年的考研人數(shù)是377萬人，2022年考研人數(shù)是457萬人.某省統(tǒng)計了該省其中四所大學(xué)2023年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），得到如下表格：A大學(xué)B大學(xué)C大學(xué)D大學(xué)2023年畢業(yè)人數(shù)（千人）87542023年考研人數(shù)（千人）0.60.40.30.3（1）已知與具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，求關(guān)于的線性回歸方程；（2）假設(shè)該省對選擇考研的大學(xué)生每人發(fā)放0.6萬元的補貼，若大學(xué)的畢業(yè)生中小江?小沈選擇考研的概率分別為，該省對小江?小沈兩人的考研補貼總金額的期望不超過0.75萬元，求的取值范圍.參考公式：.解：（1）由題意得，又，，，，所以，故得關(guān)于線性回歸方程為；（2）設(shè)小江?小沈兩人中選擇考研的人數(shù)為，則的所有可能值為，，，，，則，可得，又因為，可得，故.17.已知點為橢圓上不同兩點，點為橢圓的一個焦點.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率；（2）若的面積，求直線的方程.解：（1）由在橢圓C:x2a2+y又F1,0可得，因此，即所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,其離心率為.（2）根據(jù)題意可知，若直線的斜率不存在，則，如下圖所示：此