高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修一同步講義2.2.1不等式及其性質(zhì)(4知識(shí)點(diǎn)+4題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

2.2.1不等式及其性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論.2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式.3、熟練靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式.掌握配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法等熟悉思想方法.反證法是一種間接證明的方法，如推論5中用到的方法.靈活選用不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論。知識(shí)點(diǎn)01不等式的定義我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，稱為不等式．【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式不成立.知識(shí)點(diǎn)02實(shí)數(shù)大小比較符號(hào)表示a－b>0?a>b，a－b0?ab，a－b<0?a<b.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，則的大小關(guān)系為（）．A．B．C．D．知識(shí)點(diǎn)03不等式的性質(zhì)性質(zhì)1(可加性)如果a>b，那么a＋c>b＋c.性質(zhì)2(可乘性)如果a>b，c>0，那么ac>bc.性質(zhì)3(可乘性)如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)4(傳遞性)如果a>b，b>c，那么a>c.注：如果性質(zhì)4中的不等式帶有等號(hào)，那么結(jié)論是否仍然不成立？(1)如果性質(zhì)4中的兩個(gè)不等式只有一個(gè)帶有等號(hào)，那么等號(hào)是傳遞不過(guò)去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.(2)如果兩個(gè)不等式都帶有等號(hào)，那么有若a≥b且b≥c，則a≥c，其中ac時(shí)必有ab且bc.推論1(移項(xiàng)法則)如果a＋b>c，那么a>c－b.不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊．推論2(同向可加性)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.我們把a(bǔ)>b和c>d(或a<b和c<d)這類(lèi)不等號(hào)方向相同的不等式，稱為同向不等式．推論3(同向同正可乘性)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推論4(可乘方性)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).推論5(可開(kāi)方性)如果a>b>0，那么eq\r(a)>eq\r(b).注：(1)推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．推論2是同向不等式相加法則的依據(jù)．(2)同向不等式可以相加但不能相減，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特別注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.這是因?yàn)槿鬰<d，則－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d.【即學(xué)即練3】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如果那么下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．【即學(xué)即練4】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，，求，，的范圍.知識(shí)點(diǎn)04綜合法、分析法與反證法（1）綜合法從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法．（2）分析法從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論不成立的充分條件，最后得到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)，這種證明問(wèn)題的方法通常稱為分析法．（3）反證法首先假設(shè)結(jié)論的否定不成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不不成立．這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法．注：綜合法與分析法都是直接證明的方法，反證法是一種間接證明的方法．(1)綜合法中，最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已經(jīng)得出的結(jié)論，所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找必然不成立的結(jié)論．(2)分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為p?q，其中p是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論不成立的充分條件．【即學(xué)即練5】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，求證：．難點(diǎn)：用反證法證明命題示例：用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程可以歸納為以下三個(gè)步驟，①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A∠B90°.其正確順序?yàn)開(kāi)_______．【題型1：比較大小】（一）作差法例1．（2024·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知，，則a，b的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．無(wú)法確定變式1．（2024·湖北武漢·高一華中師大一附中期中）已知a為實(shí)數(shù)，，，則M，N的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．變式2.（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知，試比較與的值的大?。兪?．（2024·高一校考課時(shí)練習(xí)）比較與的大小，其中.變式4．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）比較大小：(1)和；(2)和，其中．變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a>0，b>0，M，N，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關(guān)系不確定（二）作商法例2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x－，y－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．xyC．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，比較與的大小變式2.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，試比較與的大??；變式3．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【方法技巧與總結(jié)】1、比較兩數(shù)大小比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無(wú)關(guān)．因此，比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，其關(guān)鍵在于經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，能夠確認(rèn)差a－b的符號(hào)，變形的常用方法有配方、分解因式等．2、用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的四步曲注意：上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵．【題型2：不等式的性質(zhì)應(yīng)用】例3.（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知，則下列不等關(guān)系中一定不成立的是（）A．B．C．D．變式1．【多選】（2024·貴州貴陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則變式2．（2024·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．變式3．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，有下列說(shuō)法①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的是(填序號(hào))變式4．【多選】（2024·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則變式5．【多選】（2024·河北保定·高二校聯(lián)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則變式6．（2024·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則變式7．【多選】（2024·廣西玉林·高二統(tǒng)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則變式8．【多選】（2024·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知，，則下列四個(gè)不等式中，一定不成立的是（

）A． B．C． D．變式9．【多選】（2024·山東東營(yíng)·高一利津縣高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c，若，則下列不等式不不成立的是（

）A． B．C． D．變式10．【多選】（2024·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)市海滄中學(xué)校考期中）下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則變式11．【多選】（2024·江西九江·高二統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式一定不成立的是（

）A． B．C． D．變式12.（2024·廣西）已知，則下列大小關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．【方法技巧與總結(jié)】不等式性質(zhì)的應(yīng)用(1)首先要注意不等式不成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．【題型3：利用不等式性質(zhì)求范圍】例4．（2024·陜西咸陽(yáng)·高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知,則的取值范圍是（）A． B． C． D．變式1．（2024·寧夏中衛(wèi)·高二中寧一中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x﹐y滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．變式2．（2024·上海黃浦·高一上海市光明中學(xué)?？计谥校┮阎?，則的取值范圍是．變式3.【多選】（2024·湖南長(zhǎng)沙）已知，，則下列正確的是（）A．B．C．D．變式4．（2024·河北保定·高二校聯(lián)考期末）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，分別求，，，的取值范圍．變式6．【多選】（2024·四川成都·高一石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是變式7.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)），，則的最小值是___________.【方法技巧與總結(jié)】利用不等式性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解．【題型4：證明不等式】例5．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用綜合法證明:如果，那么（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知，證明：.變式1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一?？茧A段練習(xí)）若，，，求證：.變式2．（2024·江蘇連云港·高一贛榆一中校考階段練習(xí)）（1）已知，，．求證：；（2）已知，，求證：．變式3．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．變式4．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）（1）已知，且，證明：．（2）證明：．變式5．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）證明下列不等式：(1)已知，求證(2)已知，求證：．【方法技巧與總結(jié)】1、證明不等式的解題策略(1)簡(jiǎn)單不等式的證明可直接由已知條件并利用不等式的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)不等式變形得證．(2)對(duì)于不等號(hào)兩邊都比較復(fù)雜的式子，直接利用不等式的性質(zhì)不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進(jìn)行變形，根據(jù)條件確定每一個(gè)因式(式子)的符號(hào)，利用符號(hào)法則判斷最終的符號(hào)，完成證明．2、不等式的證明方法(1)作差法：通過(guò)比較兩式之差的符號(hào)來(lái)判斷兩式的大小；(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法(3)反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定不成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不不成立；(4)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它不成立的充分條件，直至所需的條件為已知條件或一個(gè)明顯不成立的事實(shí)，從而得出要證的命題不成立。一、單選題1．（2024高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）若，且，則下列各式中，恒不成立的是（

）A． B． C． D．2．（2024高一上·北京·期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·河南駐馬店·二模）已知，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B．C． D．4．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．（2024高一上·山東·專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為6．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）若，，則下列不等式不成立的是（

）A． B． C． D．7．（2024高一下·安徽蕪湖·開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)m，n，p滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．二、多選題8．（2024高一上·江蘇常州·期中）在下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知，則D．為互不相等的正數(shù)，且，則9．（2024高一下·廣西南寧·期末）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．10．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列命題敘述正確的是（

）A．，當(dāng)時(shí)，B．，當(dāng)時(shí)，C．，當(dāng)時(shí)，D．，當(dāng)時(shí)，三、填空題11．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）某種服裝，平均每天可以銷(xiāo)售20件，每件獲利44元，在每件降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，若每件降價(jià)1元，每天可多賣(mài)出5件，如果每天獲利1800元，每件應(yīng)降價(jià)元．12．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若，，則下列不等式中不成立的是（填上正確的序號(hào)）．①；②；③；④．13．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，則的取值范圍為．14．（2024高二下·湖南張家界·期末）記為，，中最小的數(shù).已知，且，則的最大值為.四、解答題15．（2024高一·上?！ふn堂例題）已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足，且.求證：且.16．（2024高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若，求證：．17．（2024高一·上?！ふn堂例題）已知，求證：.18．（2024高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：(1)；(2)．19．【多選】（2024·新疆烏魯木齊·三模），運(yùn)算“”為，則（

）A． B．C． D．若，則20．（2024高一上·全國(guó)·專題練習(xí)），，，，設(shè)，證明：.21．（24-25高一上·遼寧·階段練習(xí)）根據(jù)要求完成下列問(wèn)題：(1)若、、.①求證：；②求證：；③在（2）中的不等式中，能否找到一個(gè)代數(shù)式，滿足所求式？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出該代數(shù)式；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.(2)設(shè)，求證：不成立的充要條件是.2.2.1不等式及其性質(zhì)課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論.2、掌握用配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法證明不等式.3、熟練靈活運(yùn)用不等式性質(zhì)、推論、思想方法證明不等式.掌握配方法、作差法、綜合法、反證法、分析法等熟悉思想方法.反證法是一種間接證明的方法，如推論5中用到的方法.靈活選用不等式5個(gè)性質(zhì)與5個(gè)推論。知識(shí)點(diǎn)01不等式的定義我們用數(shù)學(xué)符號(hào)“≠”“>”“<”“≥”“≤”連接兩個(gè)數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號(hào)的式子，稱為不等式．【即學(xué)即練1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a克糖水中含有b克糖（a>b>0），再添加m克糖（m>0）（假設(shè)全部溶解），糖水變甜了.請(qǐng)將這一事實(shí)表示為一個(gè)不等式，并證明這個(gè)不等式不成立.【答案】，證明見(jiàn)解析【分析】將不等關(guān)系表示為不等式，進(jìn)而由作差法證明即可.【詳解】解：.證明:，，，.知識(shí)點(diǎn)02實(shí)數(shù)大小比較符號(hào)表示a－b>0?a>b，a－b0?ab，a－b<0?a<b.【即學(xué)即練2】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，則的大小關(guān)系為（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】，，，，.又，故．綜上可得：．故選：.知識(shí)點(diǎn)03不等式的性質(zhì)性質(zhì)1(可加性)如果a>b，那么a＋c>b＋c.性質(zhì)2(可乘性)如果a>b，c>0，那么ac>bc.性質(zhì)3(可乘性)如果a>b，c<0，那么ac<bc.性質(zhì)4(傳遞性)如果a>b，b>c，那么a>c.注：如果性質(zhì)4中的不等式帶有等號(hào)，那么結(jié)論是否仍然不成立？(1)如果性質(zhì)4中的兩個(gè)不等式只有一個(gè)帶有等號(hào)，那么等號(hào)是傳遞不過(guò)去的．例如：如果a≥b且b>c，那么a>c；如果a>b且b≥c，那么a>c.(2)如果兩個(gè)不等式都帶有等號(hào)，那么有若a≥b且b≥c，則a≥c，其中ac時(shí)必有ab且bc.推論1(移項(xiàng)法則)如果a＋b>c，那么a>c－b.不等式中的任意一項(xiàng)都可以把它的符號(hào)變成相反的符號(hào)后，從不等式的一邊移到另一邊．推論2(同向可加性)如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d.我們把a(bǔ)>b和c>d(或a<b和c<d)這類(lèi)不等號(hào)方向相同的不等式，稱為同向不等式．推論3(同向同正可乘性)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.推論4(可乘方性)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n>1).推論5(可開(kāi)方性)如果a>b>0，那么eq\r(a)>eq\r(b).注：(1)推論2可以推廣為更一般的結(jié)論：有限個(gè)同向不等式的兩邊分別相加，所得到的不等式與原不等式同向．推論2是同向不等式相加法則的依據(jù)．(2)同向不等式可以相加但不能相減，即由a>b，c>d，可以得到a＋c>b＋d，但不能得到a－c>b－d.需要特別注意的是，由a>b，c<d，不能得到a＋c>b＋d，但可以得到a－c>b－d.這是因?yàn)槿鬰<d，則－c>－d，又a>b，所以a－c>b－d.【即學(xué)即練3】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）如果那么下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)?，不等式兩邊同時(shí)減去得，D正確，若，則AB錯(cuò)誤，若，C錯(cuò)誤．．【即學(xué)即練4】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）設(shè)，，求，，的范圍.【答案】，，【解析】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．知識(shí)點(diǎn)04綜合法、分析法與反證法（1）綜合法從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法，在數(shù)學(xué)中通常稱為綜合法．（2）分析法從待證結(jié)論出發(fā)，一步一步地尋求結(jié)論不成立的充分條件，最后得到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)，這種證明問(wèn)題的方法通常稱為分析法．（3）反證法首先假設(shè)結(jié)論的否定不成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不不成立．這種得到數(shù)學(xué)結(jié)論的方法通常稱為反證法．注：綜合法與分析法都是直接證明的方法，反證法是一種間接證明的方法．(1)綜合法中，最重要的推理形式為p?q，其中p是已知或者已經(jīng)得出的結(jié)論，所以綜合法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找必然不成立的結(jié)論．(2)分析法中，最重要的推理形式是“要證p，只需證明q”，這可以表示為p?q，其中p是需要證明的結(jié)論，所以分析法的實(shí)質(zhì)就是不斷尋找結(jié)論不成立的充分條件．【即學(xué)即練5】（2024·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，求證：．【答案】見(jiàn)解析【解析】．，，，，，，．，同理得，，．又，．難點(diǎn)：用反證法證明命題示例：用反證法證明命題“一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角”的過(guò)程可以歸納為以下三個(gè)步驟，①∠A＋∠B＋∠C90°＋90°＋∠C>180°，這與三角形內(nèi)角和為180°相矛盾，所以∠A∠B90°不不成立．②所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角．③假設(shè)∠A，∠B，∠C中有兩個(gè)角是直角，不妨設(shè)∠A∠B90°.其正確順序?yàn)開(kāi)_______．【解析】用反證法證明命題的步驟是：先假設(shè)命題不不成立，然后通過(guò)推理得出矛盾，最后否定假設(shè)，從而得到正確的命題．故填③①②.【題型1：比較大小】（一）作差法例1．（2024·青海西寧·高二統(tǒng)考期末）已知，，則a，b的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．無(wú)法確定【答案】A【分析】利用作差法并結(jié)合不等式的性質(zhì)，可得答案.【詳解】因?yàn)樗裕?，?.變式1．（2024·湖北武漢·高一華中師大一附中期中）已知a為實(shí)數(shù)，，，則M，N的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】用作差法結(jié)合配方法比較大?。驹斀狻浚裕兪?.（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知，試比較與的值的大小．【答案】時(shí)，；時(shí)，．【解析】，可得，當(dāng)時(shí)，，，則，即；當(dāng)時(shí)，，則，即．綜上可得時(shí)，；時(shí)，．變式3．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）比較與的大小，其中.【答案】【分析】?jī)墒阶鞑?，因式分解變形，根?jù)已知確定差的符號(hào)，即可判斷兩式大小.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?變式4．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）比較大?。?1)和；(2)和，其中．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用做差法比較大小即可；（2）利用做差法比較大小即可．【詳解】（1）因?yàn)椋?；?）因?yàn)?，所以，所?變式5．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知a>0，b>0，M，N，則M與N的大小關(guān)系為（）A．M>N B．M<N C．M≤N D．M，N大小關(guān)系不確定【答案】C【分析】平方后作差比較大小即可.【詳解】，∴M<N..（二）作商法例2．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知c＞1，且x－，y－，則x，y之間的大小關(guān)系是（

）A．x＞y B．xyC．x＜y D．x，y的關(guān)系隨c而定【答案】D【分析】應(yīng)用作商法比較的大小關(guān)系即可.【詳解】由題設(shè)，易知x，y＞0，又，∴x＜y..變式1．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)，比較與的大小【答案】【分析】先判斷兩個(gè)式子的符號(hào)，然后利用作商法與1進(jìn)行比較即可.【詳解】，，，.變式2.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，試比較與的大??；【答案】（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）【解析】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)不成立，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.變式3．（2024·江蘇·高一假期作業(yè)）已知，試比較和的大小.【答案】【分析】方法1：采用作商比較法，結(jié)合分母有理化即可求解；方法2：先計(jì)算，從而可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（方法1）因?yàn)?，所?所以.因?yàn)?，所以，即；（方?）所以，又，所以,所以.【方法技巧與總結(jié)】1、比較兩數(shù)大小比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，只需確定它們的差a－b與0的大小關(guān)系，與差的具體數(shù)值無(wú)關(guān)．因此，比較兩實(shí)數(shù)a，b的大小，其關(guān)鍵在于經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形，能夠確認(rèn)差a－b的符號(hào)，變形的常用方法有配方、分解因式等．2、用作差法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的四步曲注意：上述步驟可概括為“三步一結(jié)論”，這里的“判斷符號(hào)”是目的，“變形”是關(guān)鍵．【題型2：不等式的性質(zhì)應(yīng)用】例3.（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）已知，則下列不等關(guān)系中一定不成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析：因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B：當(dāng)時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)，，顯然滿足，但是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)，，顯然滿足，但是，故D錯(cuò)誤；變式1．【多選】（2024·貴州貴陽(yáng)·高二統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】AD【分析】舉反例排除BC，利用不等式的性質(zhì)判斷AD，從而得解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由不等式的同向可加性可知，該不等式不成立，所以A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，例如：，，但是，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，又，所以，所以D正確.D．變式2．（2024·遼寧·高二校聯(lián)考期末）已知，則下列不等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷C、D，利用特殊值判斷A、B.【詳解】因?yàn)椋?，故D正確；對(duì)于A：若，，滿足，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，滿足，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；變式3．（2024·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，有下列說(shuō)法①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.其中正確的是(填序號(hào))【答案】②③④【分析】利用不等式的性質(zhì)可逐一判定.【詳解】當(dāng)時(shí)，可以判定①錯(cuò)誤；因?yàn)椋怨什坏仁絻蛇吙赏瑫r(shí)除以，不變號(hào)，故②正確；因?yàn)?，所以?duì)于不等式兩邊同時(shí)乘以，不等式變號(hào)，故，不等式兩邊同時(shí)乘以，不等式變號(hào)，故，所以不成立，故③正確；因?yàn)?，，所以，故，故④正確.故答案為：②③④.變式4．【多選】（2024·山東濱州·高二統(tǒng)考期末）已知實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】CC【分析】根絕不等式的基本性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷，要注意不等式性質(zhì)不成立的條件.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，若，則，錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，若，故，則，正確；對(duì)于選項(xiàng)C，若則，所以，正確；對(duì)于選項(xiàng)D,，當(dāng)時(shí)，，但是的符號(hào)與的符號(hào)不確定，所以與大小關(guān)系不確定，錯(cuò)誤.C.變式5．【多選】（2024·河北保定·高二校聯(lián)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合作差比較法，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以，所以A正確；對(duì)于B中，若，，則，所以，所以B不正確；對(duì)于C中，若，則，所以C正確；對(duì)于D中，若，則，所以D正確．CD.變式6．（2024·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合舉反例的方法，可得答案.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，，可得，故C正確；對(duì)于D，若，，，則，故D錯(cuò)誤.．變式7．【多選】（2024·廣西玉林·高二統(tǒng)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】CC【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法即可結(jié)合選項(xiàng)逐一求解.【詳解】對(duì)于A,由,若時(shí)，不一定，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，所以故，所以，故B正確，對(duì)于C,由得，又，所以，故C正確，對(duì)于D，由于，無(wú)法確定的正負(fù)，所以的正負(fù)無(wú)法確定，故與的大小無(wú)法確定，故D錯(cuò)誤，C變式8．【多選】（2024·福建三明·高二統(tǒng)考期末）已知，，則下列四個(gè)不等式中，一定不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合作差法逐個(gè)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可．【詳解】對(duì)于A，，，，，，即，故A正確；對(duì)于B，，，，故B正確；對(duì)于C，取，，，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，，即，故D正確．BD．變式9．【多選】（2024·山東東營(yíng)·高一利津縣高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)a，b，c，若，則下列不等式不不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】舉特例即可否定選項(xiàng)A，B，D，利用不等式的性質(zhì)判斷C，從而得解.【詳解】當(dāng)，時(shí)，滿足，但，故A錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，滿足，但，故B錯(cuò)誤；因，，由不等式性質(zhì)得，故C正確；當(dāng)時(shí)，不不成立，故D錯(cuò)誤.BD.變式10．【多選】（2024·福建廈門(mén)·高一廈門(mén)市海滄中學(xué)?？计谥校┫铝姓f(shuō)法中正確的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】AB【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)及特值法即可作出判斷【詳解】對(duì)于，因?yàn)?，，所以，故正確；對(duì)于，因?yàn)椋?，又，所以，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，但，此時(shí)，故D錯(cuò)誤，B變式11．【多選】（2024·江西九江·高二統(tǒng)考期末）已知，則下列不等式一定不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以正確；由不等式的倒數(shù)法則可知，兩邊同乘以，得，C錯(cuò)誤；由，得，D正確，BD.變式12.（2024·廣西）已知，則下列大小關(guān)系正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】為正數(shù)，為負(fù)數(shù)，所以，，，所以.【方法技巧與總結(jié)】不等式性質(zhì)的應(yīng)用(1)首先要注意不等式不成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當(dāng)然隨意捏造性質(zhì)．(2)解決有關(guān)不等式選擇題時(shí)，也可采用特值法進(jìn)行排除，注意取值一定要遵循以下原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡(jiǎn)單，便于驗(yàn)證計(jì)算．【題型3：利用不等式性質(zhì)求范圍】例4．（2024·陜西咸陽(yáng)·高二武功縣普集高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知,則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式的基本性質(zhì)即可求得答案【詳解】因?yàn)?所以,由,得,變式1．（2024·寧夏中衛(wèi)·高二中寧一中?？茧A段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)x﹐y滿足，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)，解得，根據(jù)不等式性質(zhì)求出.【詳解】設(shè)，則，解得，因?yàn)?，，所以，所以，?變式2．（2024·上海黃浦·高一上海市光明中學(xué)?？计谥校┮阎?，，則的取值范圍是．【答案】【分析】由不等式的基本性質(zhì)求解即可【詳解】解：，，則，，故由不等式的可加性可知，，故的取值范圍是．故答案為：．變式3.【多選】（2024·湖南長(zhǎng)沙）已知，，則下列正確的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因?yàn)椋?，所以，，則，，，即，，，則；故AB正確，CD錯(cuò).變式4．（2024·河北保定·高二校聯(lián)考期末）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由待定系數(shù)法確定其系數(shù)，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，故．變?．（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，分別求，，，的取值范圍．【答案】詳見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和反比例函數(shù)特點(diǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，即的取值范圍是．由，，得，所以的取值范圍是．由，，得，所以的取值范圍是．易知，而則，所以的取值范圍是．變式6．【多選】（2024·四川成都·高一石室中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若實(shí)數(shù)a，b滿足，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是【答案】ABC【分析】利用不等式的性質(zhì)判斷AB；求得，然后利用不等式的性質(zhì)判斷CD；【詳解】由，兩式相加得，即，故A正確；由，得，又，兩式相加得，即，故B正確；設(shè)，所以，解得，則，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，故C正確，D錯(cuò)誤.BC.變式7.（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)），，則的最小值是___________.【答案】【解析】設(shè)，則，解得，所以，，因此，的最小值是.【方法技巧與總結(jié)】利用不等式性質(zhì)求范圍的一般思路(1)借助性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同向不等式相加進(jìn)行解答；(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；(3)結(jié)合不等式的傳遞性進(jìn)行求解．【題型4：證明不等式】例5．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）用綜合法證明:如果，那么【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)綜合法的要求執(zhí)因索果，逐步推導(dǎo)證明即可.【詳解】證明:，即顯然，即.（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）已知，證明：.【答案】證明見(jiàn)解析.【解析】∵，，，，.變式1．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高一校考階段練習(xí)）若，，，求證：.【答案】證明見(jiàn)解析.【分析】因?yàn)?，所以，又，先得出，再得出，由不等式的同?hào)可乘性即可證明.【詳解】證明：因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加得，所以，所以，因?yàn)?，，所以由同向不等式的相加性可將以上兩式相加?又，所以，所以由不等式的同號(hào)可乘性可得.變式2．（2024·江蘇連云港·高一贛榆一中?？茧A段練習(xí)）（1）已知，，．求證：；（2）已知，，求證：．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）答案見(jiàn)解析【分析】（1）利用不等式的性質(zhì)證明即可；（2）利用作差法證明即可．【詳解】（1）因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以所以又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)?，，所以，因此，從而，即．變?．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一統(tǒng)考期中）證明不等式．(1)，bd＞0，求證：；(2)已知a＞b＞c＞0，求證：．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)見(jiàn)詳解【分析】（1）作差后，根據(jù)條件結(jié)合不等式的性質(zhì)證明；（2）先用作差法證明，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)證明即可得到.【詳解】（1）證明：，因?yàn)?，，所以，，又bd＞0，所以，，即.（2）證明：因?yàn)閍＞b＞c＞0，所以有，，，，則，，即有，不成立；因?yàn)?，，所以，，又，所以，不成?所以，有.變式4．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）（1）已知，且，證明：．（2）證明：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】(1)利用不等式的性質(zhì)證明即可；(2)等價(jià)于證明++，對(duì)不等式兩邊同時(shí)平方后只需證明，再平方即可證明.【詳解】證明：（1）由，且，所以，且所以，所以，即；所以，即．（2）要證，只需證，即證；即證，即證；即證，顯然不成立；所以．變式5．（2024·全國(guó)·高一假期作業(yè)）證明下列不等式：(1)已知，求證(2)已知，求證：．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）（2）利用不等式的基本性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）證明：，，，，又因?yàn)椋?，所?（2）證明：，，；又，，；.【方法技巧與總結(jié)】1、證明不等式的解題策略(1)簡(jiǎn)單不等式的證明可直接由已知條件并利用不等式的性質(zhì)，通過(guò)對(duì)不等式變形得證．(2)對(duì)于不等號(hào)兩邊都比較復(fù)雜的式子，直接利用不等式的性質(zhì)不易得證，可考慮將不等式的兩邊作差，然后進(jìn)行變形，根據(jù)條件確定每一個(gè)因式(式子)的符號(hào)，利用符號(hào)法則判斷最終的符號(hào)，完成證明．2、不等式的證明方法(1)作差法：通過(guò)比較兩式之差的符號(hào)來(lái)判斷兩式的大小；(2)綜合法：從已知條件出發(fā)，綜合利用各種結(jié)果，經(jīng)過(guò)逐步推導(dǎo)最后得到結(jié)論的方法(3)反證法：首先假設(shè)結(jié)論的否定不成立，然后由此進(jìn)行推理得到矛盾，最后得出假設(shè)不不成立；(4)分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它不成立的充分條件，直至所需的條件為已知條件或一個(gè)明顯不成立的事實(shí)，從而得出要證的命題不成立。一、單選題1．（2024高二下·福建龍巖·階段練習(xí)）若，且，則下列各式中，恒不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式性質(zhì)推理判斷即得.【詳解】由，得，而，則，C錯(cuò)誤，D正確；取，滿足，且，而選項(xiàng)AB中不等式無(wú)意義，AB錯(cuò)誤.2．（2024高一上·北京·期末）已知，則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】由條件結(jié)合充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】由，可得：若，則，當(dāng)時(shí)，，故不能推出；若，則當(dāng)時(shí)，，可得，也不能推出．綜上所述，“”是“”的既不充分也不必要條件．．3．（2024·河南駐馬店·二模）已知，則下列說(shuō)法一定正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用賦值法來(lái)舉反例比較大小，利用作差法來(lái)比較大小，利用不等式的性質(zhì)來(lái)比較大小.【詳解】當(dāng)時(shí)，，且，故，C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；，故D項(xiàng)正確..4．（25-26高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】由題意可知，,所以..5．（2024高一上·山東·專題練習(xí)）已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．取值范圍為【答案】C【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)即可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以，，，所以的取值范圍為，的取值范圍為，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，，，所以的取值范圍為，的取值范圍為，故C正確，D正確.6．（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）若，，則下列不等式不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取特殊值作反例，可判斷A、B、C項(xiàng)；根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，取，，則，，顯然，但是，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，，，滿足，，，，但，B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C，取，，但，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，，則，故D正確..7．（2024高一下·安徽蕪湖·開(kāi)學(xué)考試）已知實(shí)數(shù)m，n，p滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意,將所給等式變形,得到,推導(dǎo)出,然后利用作差法比較大小,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)證出,從而得出正確結(jié)論.【詳解】因?yàn)?移項(xiàng)得,所以,可得,由,得,可得,可得.綜上所述,不等式不成立,故選:B.二、多選題8．（2024高一上·江蘇常州·期中）在下列四個(gè)命題中，正確的是（

）A．若，則B．若，則C．已知，則D．為互不相等的正數(shù)，且，則【答案】ACD【分析】利用不等式的性質(zhì)，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，由，知，由不等式的性質(zhì)可得，，因此A正確；對(duì)于B，令，則，，顯然，因此B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，又，，則，即，因此C正確；對(duì)于D，由為互不相等的正數(shù)，則，又，，即，，即，，又，，即，因此D正確；CD.9．（2024高一下·廣西南寧·期末）已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.【詳解】由，知必有，所以兩邊同乘以a，得，故A正確；因?yàn)閎的符號(hào)不能確定，所以不一定正確，故B錯(cuò)誤；由兩邊同乘以c，得，故C正確；當(dāng)，時(shí)，滿足且，但，故D錯(cuò)誤．C．10．（25-26高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列命題敘述正確的是（

）A．，當(dāng)時(shí)，B．，當(dāng)時(shí)，C．，當(dāng)時(shí)，D．，當(dāng)時(shí)，【答案】DD【分析】對(duì)于ABD選項(xiàng)，取特殊值進(jìn)行判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，利用作差法比較大小.【詳解】對(duì)于A，取，滿足，且，此時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，滿足，此時(shí)，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，則，故C正確；對(duì)于D，存在，，滿足，故D正確.D.三、填空題11．（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）某種服裝，平均每天可以銷(xiāo)售20件，每件獲利44元，在每件降價(jià)幅度不超過(guò)10元的情況下，若每件降價(jià)1元，每天可多賣(mài)出5件，如果每天獲利1800元，每件應(yīng)降價(jià)元．【答案】4【分析】設(shè)每件應(yīng)降價(jià)元，然后求出每件獲得利潤(rùn)和平均每天可