高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修二同步講義第4章第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)章末題型大總結(jié)(學(xué)生版+解析)

第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)章末題型大總結(jié)題型01指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪的運(yùn)算解題錦囊解題錦囊(1)指數(shù)式的運(yùn)算首先注意化簡(jiǎn)順序,一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù),根式化為指數(shù)運(yùn)算,其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的.(2)對(duì)數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過(guò)程中范圍的變化,前后要等價(jià),熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式、換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧.【典例1】（23-24高一上·云南昆明·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【變式1】（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬(wàn)萬(wàn)曰億，萬(wàn)萬(wàn)億日兆．”說(shuō)明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億萬(wàn)1萬(wàn)，1兆萬(wàn)萬(wàn)億．若1兆，則m的值為（

）【變式2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【變式3】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）的值為（

）A． B． C．1 D．【變式4】（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．題型02冪指對(duì)函數(shù)的定義域解題錦囊解題錦囊（1）求冪函數(shù)、指數(shù)型與對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域主要通過(guò)構(gòu)建不等式(組)來(lái)求解,有時(shí)解不等式(組)時(shí)要借助于指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.（2）涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題有兩個(gè)類(lèi)型,一是形如和的函數(shù)，一般要先求f(x)的值域，然后利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的單調(diào)性求解;二是形如和的函數(shù),則要根據(jù)和的范圍,利用函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)求解.【典例2】（23-24高一上·天津·期末）已知，求函數(shù)的定義域；【變式1】（23-24高一上·安徽阜陽(yáng)·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．題型03冪指對(duì)函數(shù)的值域解題錦囊解題錦囊1、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍．（2）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．2、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用在上的單調(diào)性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函數(shù)的值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．【典例3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【變式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【變式2】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【變式3】（23-24高一下·廣西柳州·期中）函數(shù)在的最小值是．【變式4】（23-24高一上·全國(guó)·期末）如果函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或題型04指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性解題錦囊解題錦囊1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：“同增異減”若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．2、具體判斷步驟（1）求出原函數(shù)的定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（3）分析內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性；（4）利用復(fù)合函數(shù)法“同增異減”可得出結(jié)論．【典例4】（24-25高三上·黑龍江鶴崗·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；(3)若對(duì)任意的，不等式不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【變式1】（（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一下·廣東河源·期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式4】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【變式5】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期末）（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為B．的遞減區(qū)間是C．的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是題型05冪指對(duì)函數(shù)的圖象解題錦囊解題錦囊對(duì)于圖像的判斷與選擇可利用圖像的變換，也要重視利用特殊點(diǎn)與選擇題中排除法的應(yīng)用【典例5】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（

）A．B．C． D．【變式1】（23-24高三上·山東濰坊·期中）已知指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系不成立的是（

）A． B．C． D．【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，圖象①②③④所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個(gè)是（

）A．① B．② C．③ D．④【變式3】（23-24高一下·廣東湛江·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)（且）的圖象所過(guò)的定點(diǎn)為（）A． B． C． D．【變式4】（24-25高三上·廣西貴港·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限題型06比較大小問(wèn)題解題錦囊解題錦囊(1)數(shù)(式)的大小比較及常用的方法:比較兩數(shù)(式)或幾個(gè)數(shù)(式)大小問(wèn)題是本章的一個(gè)重要題型,主要考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用.常用的方法有單調(diào)性法、圖像法、中間量法、作差法、作商法等.(2)數(shù)的大小比較常用的技巧:①當(dāng)需要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時(shí),可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.②比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí),先利用“0”和“1”作為分界點(diǎn),即把它們分為“小于0”“大于等于0,小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【典例6】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，則，，的大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【變式3】（23-24高一下·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）若，，則（

）A． B．C． D．題型07冪指對(duì)函數(shù)中的函數(shù)與方程問(wèn)題解題錦囊解題錦囊函數(shù)與方程問(wèn)題，注意利用冪指對(duì)函數(shù)的圖像，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題處理.【典例7】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【變式1】（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知方程的解在內(nèi)，則B．函數(shù)的零點(diǎn)是C．函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中得到，則零點(diǎn)近似值在區(qū)間上【變式2】（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）（多選）已知，定義域和值域均為的函數(shù)和的圖像如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論，正確結(jié)論的是（

）A．方程有且僅有三個(gè)解 B．方程有且僅有二個(gè)解C．方程有且僅有五個(gè)解 D．方程有且僅有一個(gè)解【變式3】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.4題型08冪指對(duì)函數(shù)模型的應(yīng)用解題錦囊(1)在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸榻忸}錦囊(1)在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸閥=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式.解題時(shí),往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算,要注意與已知表格中給定的值對(duì)應(yīng)求解.(2)有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題,一般都會(huì)給出函數(shù)解析式,要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)值回答其實(shí)際意義.【典例8】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個(gè)月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認(rèn)為當(dāng)該種類(lèi)型的電池的性能指數(shù)降低到原來(lái)的以下時(shí)就需要更換其中的硫酸來(lái)達(dá)到持久續(xù)航，則最多使用（

）個(gè)月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．14【變式1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某種藥物實(shí)驗(yàn)中，規(guī)定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現(xiàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)動(dòng)物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么至少經(jīng)過(guò)（

）個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．7【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）假設(shè)有機(jī)體生存吋碳14的含量為，那么有機(jī)體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量滿(mǎn)足的關(guān)系為（其中m?，a都是非零實(shí)數(shù)）.若測(cè)得死亡5730年后的古生物樣品，體內(nèi)碳14的含量為0.5，又測(cè)得死亡11480年后這類(lèi)古生物樣品.體內(nèi)碳14的含量為0.25.如果測(cè)得某古生物樣品碳14的含量為0.3，推測(cè)此古生物的死亡時(shí)間為（取）（

）A．10570年 B．7570年C．8570年 D．9570年【變式3】（23-24高一上·福建龍巖·期末）美國(guó)生物學(xué)家和人口統(tǒng)計(jì)學(xué)家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長(zhǎng)規(guī)律的生長(zhǎng)曲線(xiàn)，稱(chēng)為“皮爾曲線(xiàn)”，常用的“皮爾曲線(xiàn)”的函數(shù)解析式可以簡(jiǎn)化為的形式．已知描述的是一種植物的高度隨著時(shí)間（單位：年）變化的規(guī)律．若剛栽種時(shí)該植物的高為1米，經(jīng)過(guò)一年，該植物的高為1.5米，要讓該植物的高度超過(guò)2.8米，至少需要（

）年．A．3 B．4 C．5 D．6題型09冪指對(duì)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用問(wèn)題【典例9】（23-24高一下·河南洛陽(yáng)·期末）已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的最大值；(2)設(shè)不等式的解集為，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)的值.【變式1】（24-25高一上·上海·期末）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的奇偶性；(2)若函數(shù)在上為嚴(yán)格減函數(shù)，求a的取值范圍．【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽(yáng)·期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．(1)求的值；(2)若對(duì)任意的，關(guān)于的不等式恒不成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍．第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)章末題型大總結(jié)題型01指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪的運(yùn)算解題錦囊解題錦囊(1)指數(shù)式的運(yùn)算首先注意化簡(jiǎn)順序,一般負(fù)指數(shù)先轉(zhuǎn)化成正指數(shù),根式化為指數(shù)運(yùn)算,其次若出現(xiàn)分式則要注意分子、分母因式分解以達(dá)到約分的目的.(2)對(duì)數(shù)運(yùn)算首先注意公式應(yīng)用過(guò)程中范圍的變化,前后要等價(jià),熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)并結(jié)合對(duì)數(shù)恒等式、換底公式是對(duì)數(shù)計(jì)算、化簡(jiǎn)、證明常用的技巧.【典例1】（23-24高一上·云南昆明·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)運(yùn)算；（2）利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算【詳解】（1）原式；（2）原式.【變式1】（24-25高一上·湖南長(zhǎng)沙·開(kāi)學(xué)考試）《孫子算經(jīng)》中記載：“凡大數(shù)之法，萬(wàn)萬(wàn)曰億，萬(wàn)萬(wàn)億日兆．”說(shuō)明了大數(shù)之間的關(guān)系：1億萬(wàn)1萬(wàn)，1兆萬(wàn)萬(wàn)億．若1兆，則m的值為（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】A【分析】由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】1萬(wàn)=，所以1億=，所以1兆=，所以.【變式2】（23-24高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．．【變?】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）的值為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用對(duì)數(shù)的換底公式和運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】因?yàn)椋?【變式4】（23-24高一下·云南昆明·期中）下列等式正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.【詳解】對(duì)于A中，由，所以A正確；對(duì)于B中，由，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，由，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，所以D錯(cuò)誤．題型02冪指對(duì)函數(shù)的定義域解題錦囊解題錦囊（1）求冪函數(shù)、指數(shù)型與對(duì)數(shù)型函數(shù)的定義域主要通過(guò)構(gòu)建不等式(組)來(lái)求解,有時(shí)解不等式(組)時(shí)要借助于指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.（2）涉及指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域問(wèn)題有兩個(gè)類(lèi)型,一是形如和的函數(shù)，一般要先求f(x)的值域，然后利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的單調(diào)性求解;二是形如和的函數(shù),則要根據(jù)和的范圍,利用函數(shù)y=f(x)的性質(zhì)求解.【典例2】（23-24高一上·天津·期末）已知，求函數(shù)的定義域；【答案】.【分析】（1）根據(jù)給定的函數(shù)有意義，列出不等式，再解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式即得.【詳解】依題意，，解得，因此或，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?【變式1】（23-24高一上·安徽阜陽(yáng)·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)偶次根式被開(kāi)方數(shù)大于等于、中求解出的范圍，則定義域可知.【詳解】由題意可知，解得且，故函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】由函數(shù)有意義的條件，求函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)有意義，則有，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：【變式3】（23-24高一下·云南玉溪·期末）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0，然后解不等式得出答案.【詳解】由題意知，，即，所以或..題型03冪指對(duì)函數(shù)的值域解題錦囊解題錦囊1、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求的值域，但要注意“新元”的范圍．（2）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．2、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求法（1）形如（，且）的函數(shù)求值域：令，先求出的值域，再利用在上的單調(diào)性，再求出的值域．（2）形如（，且）的函數(shù)的值域：令，先求出的值域，再利用的單調(diào)性求出的值域．【典例3】（23-24高一上·安徽宣城·期末）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；(2)設(shè)函數(shù)，若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）令，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）對(duì)任意，存在，使得，則，即，在上恒不成立，再利用分離參數(shù)法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，因?yàn)?，則，所以，其中，則時(shí)，，時(shí)，，即，所以的值域?yàn)椋唬?）由，，設(shè)，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而函數(shù)為增函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因?yàn)閷?duì)任意，存在，使得，則，所以，在上恒不成立，令，因?yàn)?，則，即在上恒不成立，則在上恒不成立，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，故，所以，即．【變式1】（23-24高一上·浙江杭州·期中）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】，設(shè)，，計(jì)算得到答案.【詳解】，設(shè)，則，故函數(shù)的值域?yàn)?【變式2】（24-25高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于，所以，所以原函數(shù)的值域?yàn)楣蚀鸢笧椋骸咀兪?】（23-24高一下·廣西柳州·期中）函數(shù)在的最小值是．【答案】/【分析】令，然后利用配方法可得答案.【詳解】令，則，則，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故答案為：.【變式4】（23-24高一上·全國(guó)·期末）如果函數(shù)且在區(qū)間上的最大值是，則的值為（

）A．3 B． C． D．3或【答案】A【分析】利用換元法，令，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性及在區(qū)間上的最大值是，求出的值即可.【詳解】令，則．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得（舍去）．當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，又函?shù)在上單調(diào)遞增，則，解得（舍去）．綜上知或．.題型04指對(duì)型函數(shù)的單調(diào)性解題錦囊解題錦囊1、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律：“同增異減”若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相同，則它們的復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)；若內(nèi)外兩層函數(shù)的單調(diào)性相反，則它們的復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．2、具體判斷步驟（1）求出原函數(shù)的定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解為內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（3）分析內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性；（4）利用復(fù)合函數(shù)法“同增異減”可得出結(jié)論．【典例4】（24-25高三上·黑龍江鶴崗·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義加以證明；(3)若對(duì)任意的，不等式不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析；(3).【分析】（1）利用奇函數(shù)性質(zhì)求出，再利用定義驗(yàn)證即得.（2）利用函數(shù)單調(diào)性定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷推理即得.（3）利用奇函數(shù)性質(zhì)及單調(diào)性質(zhì)脫去法則。分離參數(shù)，借助基本不等式求解即得.【詳解】（1）定義在R上的函數(shù)為奇函數(shù)，得，解得，此時(shí)，則，即函數(shù)是奇函數(shù)，所以.（2）由（1）知，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，則，由，得，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.（3）依題意，對(duì)任意的，不成立，則，即在上恒不成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式1】（（23-24高一上·甘肅定西·期末）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，判定內(nèi)外函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案.【詳解】?jī)?nèi)函數(shù)，其在上單調(diào)遞增，而外函數(shù)在上單調(diào)遞減，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則知的單調(diào)遞減區(qū)間為，.【變式2】（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，則函數(shù)的減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)則來(lái)解答.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在定義域上單調(diào)遞減，故函數(shù)的減區(qū)間即為函數(shù)的增區(qū)間，所以，解得，即函數(shù)的減區(qū)間是..【變式3】（23-24高一下·廣東河源·期中）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性法則，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【變式4】（24-25高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，由題意可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，所以，解得.故選：.【變式5】（多選）（23-24高一上·江蘇連云港·期末）（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．的最小值為B．的遞減區(qū)間是C．的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱(chēng)D．函數(shù)在上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是【答案】AC【分析】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷A正確；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷B錯(cuò)誤；對(duì)函數(shù)變形后，利用反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和函數(shù)圖像的變換規(guī)律可得C正確；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷D錯(cuò)誤.【詳解】A：因?yàn)?，所以，故A正確；B：設(shè)，因?yàn)樵诙x域上為增函數(shù)，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)函數(shù)有意義可知，減區(qū)間為，故B錯(cuò)誤；C：，對(duì)稱(chēng)中心為，故C正確；D：函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，故D錯(cuò)誤；C.題型05冪指對(duì)函數(shù)的圖象解題錦囊解題錦囊對(duì)于圖像的判斷與選擇可利用圖像的變換，也要重視利用特殊點(diǎn)與選擇題中排除法的應(yīng)用【典例5】（23-24高一下·浙江·期中）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)且的圖象可能是（

）A．B．C． D．【答案】A【分析】分、討論，結(jié)合圖象可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過(guò)0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過(guò)12,0當(dāng)時(shí)，是單調(diào)遞減函數(shù)，圖象恒過(guò)0,1點(diǎn)，是單調(diào)遞增函數(shù)，圖象恒過(guò)12,0所以滿(mǎn)足條件的圖象為D..【變式1】（23-24高三上·山東濰坊·期中）已知指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列關(guān)系不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得到的范圍，從而得到結(jié)果.【詳解】由圖象可得，指數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以，即.【變式2】（23-24高一下·安徽阜陽(yáng)·期末）如圖，圖象①②③④所對(duì)應(yīng)的函數(shù)不屬于中的一個(gè)是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】由函數(shù)解析式確定其圖象所過(guò)的定點(diǎn)，結(jié)合單調(diào)性確定對(duì)應(yīng)的圖形即可.【詳解】依題意，函數(shù)的圖象分別過(guò)定點(diǎn)，它們分別對(duì)應(yīng)圖③②①，因此④不屬于給定的三個(gè)函數(shù)之一.【變式3】（23-24高一下·廣東湛江·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)（且）的圖象所過(guò)的定點(diǎn)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)（且），令，解得，則，所以的圖象所過(guò)的定點(diǎn)為..【變式4】（24-25高三上·廣西貴港·開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，且的圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，則函數(shù)的圖象不經(jīng)過(guò)（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得，再由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可判斷出結(jié)論.【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，圖象經(jīng)過(guò)第一象限，不合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，圖象不經(jīng)過(guò)第一象限，合題意；顯然此時(shí)，則函數(shù)為單調(diào)遞增，又恒過(guò)點(diǎn)，因此函數(shù)的圖象不過(guò)第四象限.題型06比較大小問(wèn)題解題錦囊解題錦囊(1)數(shù)(式)的大小比較及常用的方法:比較兩數(shù)(式)或幾個(gè)數(shù)(式)大小問(wèn)題是本章的一個(gè)重要題型,主要考查指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖像與性質(zhì)的應(yīng)用.常用的方法有單調(diào)性法、圖像法、中間量法、作差法、作商法等.(2)數(shù)的大小比較常用的技巧:①當(dāng)需要比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)均是指數(shù)冪或?qū)?shù)式時(shí),可將其看成某個(gè)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的函數(shù)值,然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較.②比較多個(gè)數(shù)的大小時(shí),先利用“0”和“1”作為分界點(diǎn),即把它們分為“小于0”“大于等于0,小于等于1”“大于1”三部分,然后再在各部分內(nèi)利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小.【典例6】（23-24高一下·安徽滁州·期末）若，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù),指數(shù)函數(shù)單調(diào)性，引入中間值，比較，根據(jù)指數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性，引入中間值，比較即可.【詳解】根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞增，知道，根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞減，知道，根據(jù)函數(shù)在單調(diào)遞減，知道，綜上所得，..【變式1】（23-24高一下·浙江·期中）已知，，，則，，的大小關(guān)系（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】取中間值，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的單調(diào)性分析判斷.【詳解】因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，可得，即；且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得，即；又因?yàn)椋?；所?【變式2】（23-24高一上·云南德宏·期末）已知，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍，從而判斷大小.【詳解】由在上單調(diào)遞增，又，所以，由在R上單調(diào)遞減，又，所以，由是0,+∞上的減函數(shù)，又，所以.所以..【變式3】（23-24高一下·上海·開(kāi)學(xué)考試）若，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)和冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．【詳解】，，函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，，A錯(cuò)誤；由，則函數(shù)在0,+∞上為增函數(shù)，所以，即，B正確；由，C錯(cuò)誤；，函數(shù)為0,+∞上為增函數(shù)，則，所以，即，D錯(cuò)誤.故選：．題型07冪指對(duì)函數(shù)中的函數(shù)與方程問(wèn)題解題錦囊解題錦囊函數(shù)與方程問(wèn)題，注意利用冪指對(duì)函數(shù)的圖像，將函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題處理.【典例7】（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的實(shí)根在區(qū)間上，則（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】D【分析】根據(jù)方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)來(lái)求解，畫(huà)出函數(shù)圖象觀察交點(diǎn)范圍，再用零點(diǎn)存在性定理證明即可.【詳解】方程化為，分別做出方程左右兩邊的圖象，從圖象可知，方程，方程有兩個(gè)分別在和2,3之間的根，下面證明：方程在和2,3之間各有一個(gè)實(shí)根，設(shè)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)得在區(qū)間2,3上是增函數(shù)，又，，則，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間2,3上僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程區(qū)間2,3上僅有一個(gè)實(shí)根，同理可得方程區(qū)間上僅有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合題意可知，或，.【變式1】（23-24高一下·內(nèi)蒙古赤峰·期末）（多選）下列說(shuō)法正確的是（

）A．已知方程的解在內(nèi)，則B．函數(shù)的零點(diǎn)是C．函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)D．用二分法求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中得到，則零點(diǎn)近似值在區(qū)間上【答案】AD【分析】對(duì)A，構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在性定理和單調(diào)性可得；對(duì)B，根據(jù)零點(diǎn)定義可知；對(duì)C，作出的圖象，觀察其交點(diǎn)個(gè)數(shù)可得；對(duì)D，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得.【詳解】對(duì)A，記，易知都在R單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，又，所以存在唯一零點(diǎn)，且，即方程的唯一解在內(nèi)，所以，A正確；對(duì)B，令，解得或，所以函數(shù)的零點(diǎn)是或，B錯(cuò)誤；對(duì)C，作出的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，函數(shù)和的圖象顯然有一個(gè)交點(diǎn)，又，所以函數(shù)和的圖象在處相交，所以有三個(gè)不同的零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；對(duì)D，因?yàn)?，所以由零點(diǎn)存在性定理可知，零點(diǎn)近似值在區(qū)間上，D正確.D【變式2】（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·期中）（多選）已知，定義域和值域均為的函數(shù)和的圖像如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論，正確結(jié)論的是（

）A．方程有且僅有三個(gè)解 B．方程有且僅有二個(gè)解C．方程有且僅有五個(gè)解 D．方程有且僅有一個(gè)解【答案】ACD【分析】將內(nèi)層函數(shù)看作一個(gè)變量，先由外層函數(shù)確定其解的個(gè)數(shù)情況，再根據(jù)內(nèi)層函數(shù)的圖象即可確定復(fù)合函數(shù)的解的個(gè)數(shù)，由此一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】對(duì)于A，由題意可知時(shí)，或或，故方程時(shí)，則或或，，又在上單調(diào)遞減，故都有唯一解，即方程有且僅有三個(gè)解，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故時(shí)，即，而，故由圖象可知有一個(gè)解，即方程有且僅有一個(gè)解，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)，或或，故由可得或或，而，故和各有唯一一個(gè)解，有3個(gè)解，故方程有且僅有五個(gè)解，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，故由可得，而，在上單調(diào)遞減，故有唯一解，故方程有且僅有一個(gè)解，故D正確，CD【變式3】函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.4【答案】D【解析】令,即,在同一平面直角坐標(biāo)系下作出的圖像(圖略),易知兩圖像有2個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).故選C.題型08冪指對(duì)函數(shù)模型的應(yīng)用解題錦囊(1)在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通?？梢员硎緸榻忸}錦囊(1)在實(shí)際問(wèn)題中,有關(guān)人口增長(zhǎng)、銀行利率、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題常用指數(shù)函數(shù)模型表示,通常可以表示為y=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式.解題時(shí),往往用到對(duì)數(shù)運(yùn)算,要注意與已知表格中給定的值對(duì)應(yīng)求解.(2)有關(guān)對(duì)數(shù)型函數(shù)的應(yīng)用題,一般都會(huì)給出函數(shù)解析式,要求根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù)或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)值回答其實(shí)際意義.【典例8】（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某種鉛蓄電池由于硫酸濃度的降低，每隔一個(gè)月其性能指數(shù)都要損失10%，且一般認(rèn)為當(dāng)該種類(lèi)型的電池的性能指數(shù)降低到原來(lái)的以下時(shí)就需要更換其中的硫酸來(lái)達(dá)到持久續(xù)航，則最多使用（

）個(gè)月就需要更換純硫酸（參考數(shù)據(jù)，）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】D【分析】依題意建立通過(guò)月后性能指數(shù)y與之間的函數(shù)關(guān)系式，得到不等式，通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)，整理化簡(jiǎn)即得.【詳解】設(shè)最初該種電池的性能指數(shù)為k，通過(guò)月后性能指數(shù)變?yōu)?，則．由題意得，即，兩邊取常用對(duì)數(shù)，可得．∵，∴．又，故最多使用13個(gè)月就需要更換純硫酸．.【變式1】（23-24高一下·浙江杭州·期末）在某種藥物實(shí)驗(yàn)中，規(guī)定血液中藥物含量低于為“藥物失效”．現(xiàn)測(cè)得實(shí)驗(yàn)動(dòng)物血液中藥物含量為，若血液中藥物含量會(huì)以每小時(shí)的速度減少，那么至少經(jīng)過(guò)（

）個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”．（參考數(shù)據(jù)：）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】由題意得到不等式，兩邊取對(duì)數(shù)求出答案.【詳解】物實(shí)驗(yàn)中，血液中藥物含量為的濃度為，設(shè)至少經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”，根據(jù)題意，兩邊取對(duì)數(shù)得，可得.所以至少經(jīng)過(guò)個(gè)小時(shí)才會(huì)“藥物失效”..【變式2】（23-24高一上·北京延慶·期末）假設(shè)有機(jī)體生存吋碳14的含量為，那么有機(jī)體死亡x年后體內(nèi)碳14的含量滿(mǎn)足的關(guān)系為（其中m?，a都是非零實(shí)數(shù)）.若測(cè)得死亡5730年后的古生物樣品，體內(nèi)碳14的含量為0.5，又測(cè)得死亡11480年后這類(lèi)古生物樣品.體內(nèi)碳14的含量為0.25.如果測(cè)得某古生物樣品碳14的含量為0.3，推測(cè)此古生物的死亡時(shí)間為（?。?/p>

）A．10570年 B．7570年C．8570年 D．9570年【