高中數(shù)學(xué)(人教B版)選擇性必修一同步講義1.2.5空間中的距離(5知識(shí)點(diǎn)+6題型+鞏固訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

1.2.5空間中的距離課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解圖形與圖形之間的距離的概念.，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2．理解并掌握兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線的距離的概念及它們之間的相互轉(zhuǎn)化,會(huì)用法向量求距離:提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)、1.能用向量方法進(jìn)行有關(guān)距離的計(jì)算2.能用向量方法求點(diǎn)到面的距離知識(shí)點(diǎn)01兩點(diǎn)間的距離1.兩點(diǎn)間距離A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），|AB|=(2用向量表示兩點(diǎn)間距離BA=(x1?x2,y1?【即學(xué)即練1】（2024高二下·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知點(diǎn)A(1,2,?3),B(?1,0,1)，則AB=（

）A．32 B．26 C．2【即學(xué)即練2】（23-24高二上·寧夏·階段練習(xí)）如圖，已知線段AB,BD在平面α內(nèi)，BD⊥AB,AC⊥α，且AB=4,BD=3,AC=5，則CD=.

知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)到直線的距離定義：若P為直線l外一點(diǎn)，A是l上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個(gè)與直線l垂直的向量n，則點(diǎn)P到直線l的距離為d==|PQ|=設(shè)e是直線l的方向向量，則點(diǎn)P到直線l的距離為d=|AP|sin<AP,e>【即學(xué)即練3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量AB=0,1,0，AC=A．63 B．33 C．2 【即學(xué)即練4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量OA=(0,1,1),OB=(?2,1,2)，則點(diǎn)A到直線OB知識(shí)點(diǎn)03點(diǎn)到平面的距離定義：若P是平面α外一點(diǎn)，PQ⊥α，垂足為Q，A為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)n為平面α的法向量，點(diǎn)P到平面α的距離d=|AP【即學(xué)即練5】（17-18高二上·陜西·期中）已知平面α的一個(gè)法向量n=?2,?2,1，點(diǎn)A?1,3,0在平面α內(nèi)，則點(diǎn)PA．10 B．3 C．103 D．【即學(xué)即練6】（23-24高二下·江蘇·單元測(cè)試）已知平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1,0,0，且α的法向量n=1,1,1，則P2,2,0到平面知識(shí)點(diǎn)04線面間的距離1.定義：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個(gè)平面之間的距離，2.公式：如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個(gè)法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn)，則直線l與平面α之間的距離為deq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．【即學(xué)即練7】（23-24高二上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．36 B．12 C．24【即學(xué)即練8】（23-24高二上·山東淄博·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B(1)求直線EC與AC(2)求直線FC到平面AEC知識(shí)點(diǎn)05面面間的距離1.定義：當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩個(gè)平行平面之間的距離．2.公垂線段：一般地，與兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，稱為這兩個(gè)平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個(gè)平面的公垂線段．顯然，兩個(gè)平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長(zhǎng).3.公式：如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個(gè)法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點(diǎn)，則平面α和平面β之間的距離為deq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．【即學(xué)即練9】（22-23高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知正方體ABCD?A(1)求B'到平面A(2)求平面A'C'【即學(xué)即練10】（2022高二·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)正方體ABCD?A(1)求直線B1C到平面(2)求平面A1BD與平面難點(diǎn)：建系有難度問(wèn)題示例1：（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，側(cè)面A1(1)求側(cè)棱AA(2)側(cè)棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得直線AE與平面A1BC所成角的正弦值為

難點(diǎn)：幾何的應(yīng)用示例2：（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，平面ABCD⊥平面ABS，四邊形ABCD為矩形，△ABS為正三角形，SA=2BC，O為

(1)證明：平面SOC⊥平面BDS；(2)已知四棱錐S?AOCD的體積為62，求點(diǎn)D到平面SOC【題型1：兩點(diǎn)間的距離】例1．（22-23高二上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為23A．72 B．2 C．6 D．變式1.（21-22高二上·安徽合肥·期中）如圖正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2A．13 B．C．1 D．4變式2.（22-23高二上·浙江杭州·期中）兩條異面直線a，b所成的角為π3，在直線a，b上分別取點(diǎn)A'，E和A，F(xiàn)，使A'A⊥a，且A'A⊥b已知變式3.（22-23高二上·遼寧沈陽(yáng)·開學(xué)考試）正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2,P,Q分別是異面直線變式4.（21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知在邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M,N分別為線段A1D變式5.（20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知A0,0,2，B1,1,0，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在直線AB上，則線段PQ長(zhǎng)的最小值為變式6.（2021高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動(dòng)彈子M,N分別在正方形對(duì)角線AC,BF上移動(dòng)，若CM=BN，則MN長(zhǎng)度的最小值為．變式7.（20-21高二上·山東泰安·期中）如圖所示，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，動(dòng)點(diǎn)P變式8.（18-19高二下·江蘇常州·期中）如圖所示的正方體是一個(gè)三階魔方(由27個(gè)全等的棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成），正方形ABCD是上底面正中間一個(gè)正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q【方法技巧與總結(jié)】計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法1.利用|a|2a·a，通過(guò)向量運(yùn)算求|a|，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解．2.用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)．【題型2：向量法求點(diǎn)線距】例2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)A3,3,3，B0,6,0兩點(diǎn)，則點(diǎn)P0,0,6A．62 B．23 C．26變式1．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，F(xiàn)是棱A．53 B．253 C．2變式2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在三棱錐P?ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心為G，則點(diǎn)P到直線AG的距離為（

）A．67 B．53 C．217變式3．（2024·廣西來(lái)賓·一模）棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1DA．3355 C．375 變式4．(多選)（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD,ABEF都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，P，Q分別是線段AE,BD的中點(diǎn)，則（

）A．PQB．異面直線AQ,PF所成角為πC．點(diǎn)P到直線DF的距離為6D．△DFQ的面積是3變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1CA．存在點(diǎn)E，使得A1E⊥B．當(dāng)點(diǎn)E為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B1C．點(diǎn)E到直線BD1D．當(dāng)點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，存在點(diǎn)P，使得平面PBD與平面EBD變式6．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A1,1,1,B0,1,0,C1,2,3，則點(diǎn)C變式7．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=4

(1)求點(diǎn)D1到直線EF(2)求證：A1C⊥面變式8．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E是PB上一點(diǎn)，且BE=2EP，求點(diǎn)E到直線PD的距離.【方法技巧與總結(jié)】用向量法求點(diǎn)線距的一般步驟建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求直線的方向向量；（3）計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影長(zhǎng)；（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.【題型3：用向量法求點(diǎn)面距】例3．（多選）（23-24高二下·甘肅·期末）如圖，正方體ABCD?AA．直線D1C和BB．四面體BDC1C．點(diǎn)A1到平面BDCD．平面BDA1與平面BD變式1．（多選）（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，

A．直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為10B．點(diǎn)G到平面AEF的距離為2C．四面體AEFG的體積為2D．若線段AA1的中點(diǎn)為H，則GH變式2．（23-24高二下·安徽·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為正方形ABCD和正方形變式3．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，H為棱變式4．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱錐P—ABC中，AB=BC=PC=PB=2，∠ABC=90°，E為AC的中點(diǎn)，PB⊥AC．

(1)求證：平面PBE⊥平面ABC；(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．變式5．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）如圖所示，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥AD，PC=2，PD=1

(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，若M、N分別為棱PD、PC的中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)．(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；(2)求點(diǎn)N到平面ACM的距離．變式7．（23-24高二下·天津·期末）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE且DE=2AF=4.(1)求證：BF//平面DEC；(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)D到平面BEF的距離.變式8．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PB=5，PC=6，(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求二面角B?PC?D的余弦值；(3)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.【方法技巧與總結(jié)】用向量法求點(diǎn)面距的步驟建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出（求出）相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)（AP，α內(nèi)兩個(gè)不共線向量，平面α的法向量n）；（4）求距離d=|AP【題型4：用向量法求線面距】例4．（23-24高二下·甘肅·期中）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，M，A．1 B．33 C．32 變式1．（多選）（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是A1

A．直線MP到截面ABB．點(diǎn)M到截面AB1C．MP的最大值是2D．MP的最小值是2變式2．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知正四面體A?BCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M、N分別為△ABC和△ABD的重心，則直線MN到平面ACD的距離為．變式3．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P在B1C1上，點(diǎn)Q在平面ABB1A1內(nèi)，設(shè)直線A變式4．（2024·廣東·三模）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，AG=2GD，直線AB與平面EFG相交于點(diǎn)H.(1)證明：BD//(2)求直線BD與平面EFG的距離.變式5．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB=PC=26，PA=BC=2AD=2CD=4,E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在梭PB(1)證明：平面AEF⊥平面PAD；(2)若點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)，求直線EF到平面PCD的距離.變式6．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD,ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記CM=BN=a(0<a<2(1)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最小？(2)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值；(3)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)求直線CE到平面MNB的距離．變式7．（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1,BC=2,∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF．(1)證明：AB⊥CF；(2)求直線AC到平面BEF的距離；(3)求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值．【方法技巧與總結(jié)】求直線與平面間的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則，求直線到平面的距離的題目不多，因直線到平面的距離可以用點(diǎn)到平面的距離求解，但在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)有時(shí)用直線到平面的距離進(jìn)行過(guò)渡.【題型5：用向量法求面面距】例5．（23-24高二上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在幾何體ABC?A1B1C1中，四邊形A1ACB1是矩形，

A．AC1//BB1 C．幾何體ABC?A1B1C1的體積為12變式1．（22-23高二下·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?AA．直線BC與平面ABC1B．AC．三棱錐B1?D．平面A1BD與平面B變式2．（23-24高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）正方體ABCD?A1B1CA．2 B．3 C．23 D．變式3．（21-22高二上·浙江紹興·期末）空間直角坐標(biāo)系中A0,0,0、B1,1,1、C1,0,0）、D?1,2,1，其中A∈α，B∈α，C∈β，D∈β，已知平面α//平面βA．2626 B．1313 C．33變式4．（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M、N、R分別是OA、BC、AD的中點(diǎn)．求：(1)直線MN與平面OCD的距離；(2)平面MNR與平面OCD的距離．變式5．（20-21高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)M，N，E，F(xiàn)分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點(diǎn)，（1）證明：平面AMN∥平面EFBD；（2）求平面AMN與平面EFBD間的距離．【題型6：線線距離】例6．（23-24高二上·廣東廣州·期中）定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值．在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1CA．1 B．22 C．12 變式1.（23-24高二上·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1DA．24 B．22 C．1 變式2.（21-22高二上·上海浦東新·期中）如圖是一棱長(zhǎng)為1的正方體，則異面直線A1B與A．3 B．33 C．12 變式3.(多選)（2023·遼寧朝陽(yáng)·一模）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為B1C1的中點(diǎn)，EA．A1C1B．EF是異面直線A1C1C．異面直線A1C1與BD．異面直線A1C1與變式4.（23-24高二上·北京昌平·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)是2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為變式5.（21-22高二·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，多面體ABC?A1B1C1是由長(zhǎng)方體一分為二得到的，AA1=2，AB=BC=1，∠ABC=90°變式6.（21-22高二·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在正方體ABCD?A1B1C一、單選題1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知A1,1,1,B1,0,1,BCA．33 B．233 C．62．（22-23高二上·浙江溫州·期中）已知A0,0,1A．67 B．672 C．23．（22-23高二上·河南焦作·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1，中，M、N分別是A．2 B．263 C．3 4．（22-23高二下·福建漳州·期中）已知點(diǎn)A(1,1,2),B(2,0,1),C(?1,2,0)，則點(diǎn)C到直線AB的距離為（

）A．33 B．13 C．7835．（22-23高二下·四川成都·期末）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，已知A1,0,0,B0,1,0A．13 B．23 C．336．（23-24高二下·河南·階段練習(xí)）如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=2,∠APB=90°,∠BPC=∠APC=60°,M為BC的中點(diǎn)，A．2 B．52 C．32 7．（23-24高二下·江蘇·期中）已知點(diǎn)M2,3,1A．a(chǎn)>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>c>a8．（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）在正三棱錐P?ABC中，AB=2PA=2A．3 B．233 C．3 二、多選題9．(多選)（22-23高二上·遼寧·期中）如圖，在正四棱柱ABCD?A1B1C1DA．點(diǎn)O到側(cè)棱的距離相等 B．正四棱柱外接球的體積為6C．若D1E=14D1D，則A110．（23-24高二下·甘肅·期中）如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1和BBA．EF//平面ABCDB．DC．a(chǎn)=(1,0,2)是平面EFD．點(diǎn)C到平面EFD111．（24-25高二上·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個(gè)圓柱和直三棱柱ABF?DCE組合而成，AB⊥AF，AB=AD=AF=4，G是CD上的動(dòng)點(diǎn)．則（

）A．平面ADG⊥平面BCGB．G為CD的中點(diǎn)時(shí)，BFC．存在點(diǎn)G，使得直線EF與AG的距離為2D．存在點(diǎn)G，使得直線CF與平面BCG所成的角為60三、填空題12．（23-24高二上·陜西漢中·階段練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為13．（23-24高二上·天津·期末）已知空間中三點(diǎn)A0,3,?2，B1,2,?3，C2,0,?4，則點(diǎn)A到直線BC14．（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·期中）在正三棱錐P?ABC中，AB=2PA=2，且該三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在以O(shè)為球心的球面上，設(shè)點(diǎn)O到平面PAB的距離為m，到平面ABC的距離為n，則n四、解答題15．（24-25高二上·江蘇·假期作業(yè)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，側(cè)面PAD⊥平面ABCD，ΔPAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面ABCD為直角梯形，其中BC//AD，AB⊥AD，AB=BC=1(1)取線段PA中點(diǎn)M連接BM，判斷直線BM與平面PCD是否平行并說(shuō)明理由；(2)求B到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點(diǎn)E，使得平面EAC與平面DAC夾角的余弦值為105？若存在，求出PE16．（23-24高二下·江蘇鹽城·期中）如圖，已知四棱錐P?ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AD=2，∠ABC=90°，且PA⊥平面ABCD，(1)平面PCD與平面PBA所成的二面角的正弦值；(2)點(diǎn)A到平面PCD的距離．17．（23-24高一下·廣西·階段練習(xí)）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，E,F分別是(1)證明：BC⊥A(2)求點(diǎn)C到平面AEF的距離．18．（23-24高二下·江蘇連云港·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，四邊形ABCD是梯形，AD⊥AB,BC∥AD,PA⊥AB，平面PAC⊥平面ABCD,AD=2,PA=AB=BC=1.(1)證明：PA⊥AD；(2)若點(diǎn)T是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PT上的點(diǎn)，點(diǎn)P到平面ABM的距離是313①直線CD與平面ABM所成角的正弦值；②三棱錐P?ABM外接球的表面積.19．（23-24高二下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖1所示△PAB中，AP⊥AB,AB=AP=12．D,C分別為PA,PB中點(diǎn)．將△PDC沿DC向平面ABCD上方翻折至圖2所示的位置，使得PA=62．連接PA,PB,PC得到四棱錐P?ABCD，記PB的中點(diǎn)為N，連接CN，動(dòng)點(diǎn)Q在線段CN

(1)證明：CN⊥平面PAB；(2)若QC=2QN，連接AQ,PQ，求平面PAQ與平面ABCD的夾角的余弦值；(3)求動(dòng)點(diǎn)Q到線段AP的距離的取值范圍．20．（23-24高二上·全國(guó)·期中）已知正方形的邊長(zhǎng)為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖所示的60°的二面角．(1)若H為AB的中點(diǎn)，M在線段AH上，且直線DE與平面EMC所成的角為60°，求此時(shí)平面MEC與平面ECF的夾角的余弦值．(2)在（1）的條件下，設(shè)EG=λEA(λ∈(0,1))，DN=NC，CP=PF1.2.5空間中的距離課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解圖形與圖形之間的距離的概念.，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)2．理解并掌握兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線的距離的概念及它們之間的相互轉(zhuǎn)化,會(huì)用法向量求距離:提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)、1.能用向量方法進(jìn)行有關(guān)距離的計(jì)算2.能用向量方法求點(diǎn)到面的距離知識(shí)點(diǎn)01兩點(diǎn)間的距離1.兩點(diǎn)間距離A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），|AB|=(2用向量表示兩點(diǎn)間距離BA=(x1?x2,y1?【即學(xué)即練1】（2024高二下·江蘇·學(xué)業(yè)考試）已知點(diǎn)A(1,2,?3),B(?1,0,1)，則AB=（

）A．32 B．26 C．2【答案】C【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算即可.【詳解】由已知點(diǎn)的坐標(biāo)應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式可得AB→.【即學(xué)即練2】（23-24高二上·寧夏·階段練習(xí)）如圖，已知線段AB,BD在平面α內(nèi)，BD⊥AB,AC⊥α，且AB=4,BD=3,AC=5，則CD=.

【答案】5【分析】根據(jù)空間向量的線性表示，結(jié)合模長(zhǎng)公式，即可求解.【詳解】由于AC⊥α，AB,BD在平面α內(nèi)，所以AC⊥AB,AC⊥BD,又BD⊥AB,所以AC?由于CD=CA+所以CD=5故答案為：5知識(shí)點(diǎn)02點(diǎn)到直線的距離定義：若P為直線l外一點(diǎn)，A是l上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)P和直線l所確定的平面內(nèi)，取一個(gè)與直線l垂直的向量n，則點(diǎn)P到直線l的距離為d==|PQ|=設(shè)e是直線l的方向向量，則點(diǎn)P到直線l的距離為d=|AP|sin<AP,e>【即學(xué)即練3】（23-24高二上·湖北孝感·期末）已知空間向量AB=0,1,0，AC=A．63 B．33 C．2 【答案】A【分析】利用點(diǎn)到直線的空間向量距離公式求出答案.【詳解】AB=0,1,0，AC=?1,1?1，故AB→故B點(diǎn)到直線AC的距離為AB2【即學(xué)即練4】（23-24高二上·福建福州·期末）已知向量OA=(0,1,1),OB=(?2,1,2)，則點(diǎn)A到直線OB【答案】1【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求出答案.【詳解】OA在OB方向上投影向量的模為d=|所以點(diǎn)A到直線OB的距離OA2故答案為：1知識(shí)點(diǎn)03點(diǎn)到平面的距離定義：若P是平面α外一點(diǎn)，PQ⊥α，垂足為Q，A為平面α內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)n為平面α的法向量，點(diǎn)P到平面α的距離d=|AP【即學(xué)即練5】（17-18高二上·陜西·期中）已知平面α的一個(gè)法向量n=?2,?2,1，點(diǎn)A?1,3,0在平面α內(nèi)，則點(diǎn)PA．10 B．3 C．103 D．【答案】D【分析】利用向量法求點(diǎn)到平面的距離公式即可求解.【詳解】由題得PA=所以P?2,1,4到平面α的距離為n.【即學(xué)即練6】（23-24高二下·江蘇·單元測(cè)試）已知平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)B1,0,0，且α的法向量n=1,1,1，則P2,2,0到平面【答案】3【分析】根據(jù)點(diǎn)到面距離空間向量公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)锽P=1,2,0，所以P2,2,0到平面α的距離d=故答案為：3知識(shí)點(diǎn)04線面間的距離1.定義：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上任意一點(diǎn)到平面的距離稱為這條直線與這個(gè)平面之間的距離，2.公式：如果直線l與平面α平行，n是平面α的一個(gè)法向量，A、B分別是l上和α內(nèi)的點(diǎn)，則直線l與平面α之間的距離為deq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．【即學(xué)即練7】（23-24高二上·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．36 B．12 C．24【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),E(12,1,0),F所以EB=(設(shè)平面EFD1Bn?B1D1因?yàn)锽D//B1D1，BD?平面EFD所以BD//平面EFD1B1，所以直線BD到平面EFD所以直線BD到平面EFD1B.

【即學(xué)即練8】（23-24高二上·山東淄博·階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B(1)求直線EC與AC(2)求直線FC到平面AEC【答案】(1)3(2)6【分析】（1）以D1為原點(diǎn)，D1A（2）利用向量法求線面距離作答即可.【詳解】（1）在正方體ABCD?A1B1C1D則A1,0,1，C0,1,1，C10,1,0，所以AC1=所以直線EC與AC1所成角的余弦值為（2）由（1）知，AE=0,12,?1，E顯然FC=EC而FC?平面AEC1，EC1?平面AE因此直線FC到平面AEC1的距離等于點(diǎn)F到平面設(shè)平面AEC1的法向量為則n?AE=12所以點(diǎn)F到平面AEC1的距離為所以直線FC到平面AEC1的距離是知識(shí)點(diǎn)05面面間的距離1.定義：當(dāng)平面與平面平行時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離稱為這兩個(gè)平行平面之間的距離．2.公垂線段：一般地，與兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，稱為這兩個(gè)平面的公垂線，公垂線夾在平行平面間的部分，稱為這兩個(gè)平面的公垂線段．顯然，兩個(gè)平行平面之間的距離也等于它們的公垂線段的長(zhǎng).3.公式：如果平面α與平面β平行，n是平面β的一個(gè)法向量，A和B分別是平面α和平面β內(nèi)的點(diǎn)，則平面α和平面β之間的距離為deq\f(|\o(BA,\s\up7(→))·n|,|n|)．【即學(xué)即練9】（22-23高二·全國(guó)·隨堂練習(xí)）已知正方體ABCD?A(1)求B'到平面A(2)求平面A'C'【答案】(1)3(2)3【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面A'（2）求出平面D'AC的法向量，得到平面A'【詳解】（1）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,DD'所在直線分別為則A'設(shè)平面A'C'則m?令x=1，則y=z=1，故平面A'C'則B'到平面A'C（2）則A1,0,0設(shè)平面D'AC的法向量為則n?令a=1，則b=c=1，故平面A'C'由于m=n，故平面A'則平面D'AC上任意一點(diǎn)到平面A'C'不妨求點(diǎn)D'到平面A?=故平面A'C'B與平面【即學(xué)即練10】（2022高二·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)正方體ABCD?A(1)求直線B1C到平面(2)求平面A1BD與平面【答案】(1)2(2)2【分析】（1）直線B1C到平面A1BD的距離等于點(diǎn)（2）平面A1BD與平面B1CD【詳解】（1）以D為原點(diǎn)，DA,DC,DD則D所以CB1=2,0,2,又CB1?平面A1BD，DA1所以直線B1C到平面A1BD的距離等于點(diǎn)設(shè)平面A1BD的一個(gè)法向量為則n?DA1=2x+2z=0n?所以點(diǎn)B1到平面A1BD

（2）由（1）知CB1//平面A1BD又B1C∩D1B所以平面A1BD//平面即平面A1BD與平面B1CD由（1）知，點(diǎn)B1到平面A1BD所以平面A1BD與平面B1難點(diǎn)：建系有難度問(wèn)題示例1：（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）三棱柱ABC?A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，側(cè)面A1(1)求側(cè)棱AA(2)側(cè)棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得直線AE與平面A1BC所成角的正弦值為

【答案】(1)A(2)C【分析】（1）證明AD⊥平面ABC，結(jié)合題目條件，先計(jì)算出AD的值，然后即可以求得側(cè)棱AA（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)未知數(shù)λ，結(jié)合題目條件，列出方程求解，即可得到本題答案.【詳解】（1）在平面AA1B1B內(nèi)過(guò)A因?yàn)閭?cè)面A1ACC又CA⊥AB，AB∩AA1=A，AB,A所以CA⊥平面AA又CA?平面ABC，所以平面AA1B易得AD⊥AB，AD?面AA1B1B所以AD⊥平面ABC，因?yàn)閂C1?ABC因?yàn)椤螦1AB=2π（2）存在點(diǎn)E滿足題意，C1如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB,AC,AD所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A1設(shè)C1E=λ故AE=(λ?1,2,3?3設(shè)平面A1BC則m?A1B=0m?故平面A1BC的一個(gè)法向量設(shè)直線AE與平面A1BC所成角為則sinθ=AE?故存在點(diǎn)E滿足題意，所以C1難點(diǎn)：幾何的應(yīng)用示例2：（2023·四川成都·校聯(lián)考二模）如圖，平面ABCD⊥平面ABS，四邊形ABCD為矩形，△ABS為正三角形，SA=2BC，O為

(1)證明：平面SOC⊥平面BDS；(2)已知四棱錐S?AOCD的體積為62，求點(diǎn)D到平面SOC【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)2【分析】（1）利用平面幾何知識(shí)結(jié)合已知條件可以證明BD⊥CO，再利用面面垂直的性質(zhì)進(jìn)一步證明BD⊥SO，結(jié)合線面垂直、面面垂直的判定定理即得證.（2）不妨設(shè)BD∩CO=E，則點(diǎn)D到平面SOC的距離即為DE的長(zhǎng)度，結(jié)合附加條件四棱錐S?AOCD的體積為62【詳解】（1）一方面：因?yàn)椤鰽BS為正三角形且O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)S⊥AB（三線合一），又因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABS且平面ABCD∩平面ABS=AB，并注意到OS?平面ABS，所以由面面垂直的性質(zhì)可知OS⊥平面ABCD，又因?yàn)锽D?平面ABCD，所以由線面垂直的性質(zhì)可知OS⊥BD；另一方面：由題意不妨設(shè)BC=AD=a，則CD=AB=AS=BS=2因?yàn)椤鰽BS為正三角形且O為AB的中點(diǎn)，所以O(shè)B=OA=a2，所以tan∠ABD=ADAB=a2a所以∠ABD=∠BCO，不妨設(shè)BD∩CO=E，

因?yàn)椤螩BE+∠BCE=∠CBE+∠ABD=∠CBA=π所以∠BEC=π2，即綜合以上兩方面有BD⊥OS且BD⊥CO，注意到OS∩OC=O，OS?平面SOC，OC?平面SOC，所有由線面垂直的判定有BD⊥平面SOC，又因?yàn)锽D?平面BDS，所以平面SOC⊥平面BDS.（2）由（1）可知BD⊥平面SOC，則點(diǎn)D到平面SOC的距離即為DE的長(zhǎng)度，一方面梯形AOCD的面積為S1=1所以有四棱錐S?AOCD的體積為V=1另一方面由題可知四棱錐S?AOCD的體積為V=6結(jié)合以上兩方面有34a3因?yàn)镃D∥AB，所以∠CDE=∠ABD，由（1）可知所以tan∠CDE=22所以DE=CD?cos【題型1：兩點(diǎn)間的距離】例1．（22-23高二上·山西運(yùn)城·期中）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，底面△ABC是邊長(zhǎng)為23A．72 B．2 C．6 D．【答案】A【分析】設(shè)O是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC，CO⊥AB，以直線CO為x軸，OA1為z軸，過(guò)O平行于AB的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系，P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線【詳解】如圖，O是底面正△ABC的中心，A1O⊥平面ABC，AO?平面ABC，則AB=23，則AO=23×3CO⊥AB，直線CO交AB于點(diǎn)D，OD=1，以直線CO為x軸，OA1為z軸，過(guò)O平行于AB的直線為則A1(0,0,3)，A(1,?3AA1=(?1,3,AC設(shè)n=(x,y,z)與A1B則n?AC1=?4x+23y+P，Q兩點(diǎn)間距離的最小值即為異面直線AC1與A1．變式1.（21-22高二上·安徽合肥·期中）如圖正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2A．13 B．C．1 D．4【答案】C【分析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算出異面直線C1【詳解】由題意可知，線段PQ長(zhǎng)度的最小值為異面直線C1D、如下圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、則點(diǎn)A1,0,0、C0,1,0、C1所以，AC=?1,1,0，DC設(shè)向量n=x,y,z滿足n⊥由題意可得n?AC=?x+y=0n?DC1=y+2z=0可得n=因此，PQmin故選：B.變式2.（22-23高二上·浙江杭州·期中）兩條異面直線a，b所成的角為π3，在直線a，b上分別取點(diǎn)A'，E和A，F(xiàn)，使A'A⊥a，且A'A⊥b已知【答案】23或【分析】利用空間向量線性運(yùn)算得到EF=EA【詳解】由題意，得EF=所以EF2因?yàn)锳'E=3,AF=4,EF=7，所以EF2因?yàn)锳'A⊥a，所以A'A⊥A因?yàn)楫惷嬷本€a，b所成的角為π3當(dāng)EA',AF的夾角為所以49=9+A'A2+16+0+2×6+0，則A當(dāng)EA',AF的夾角為所以49=9+A'A2+16+0+2×綜上：線段AA'的長(zhǎng)為23故答案為：23或6.變式3.（22-23高二上·遼寧沈陽(yáng)·開學(xué)考試）正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2,P,Q分別是異面直線【答案】2【分析】利用空間向量法求出異面直線AD1和【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D10,0,0、A1,0,2，D所以D1A=1,0,2，設(shè)n=x,y,z且n?D1A=0n?DB=0所以異面直線AD1和BD的距離所以P、Q間距離的最小值為23故答案為：2變式4.（21-22高二上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知在邊長(zhǎng)為6的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)M,N分別為線段A1D【答案】13【分析】根據(jù)題意，設(shè)D1ND1B【詳解】解：如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則A16,0,6，D1Mx,0,x設(shè)D1ND1B所以DAMN=所以MN?DA1=0,此時(shí)MN所以當(dāng)D1ND1故答案為：13；6變式5.（20-21高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知A0,0,2，B1,1,0，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在直線AB上，則線段PQ長(zhǎng)的最小值為【答案】2【分析】如圖將點(diǎn)放在棱長(zhǎng)為2的正方體中，建系如圖，取D2,0,0，根據(jù)題意求異面直線OD和AB之間的距離即可，先求OD和AB的公垂線的方向向量n=x,y,z【詳解】如圖：在棱長(zhǎng)為2的正方體中，以O(shè)為原點(diǎn)，建系如圖：則O0,0,0，D2,0,0，A0,0,2所以O(shè)D=2,0,0，因?yàn)辄c(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在直線AB上，求線段PQ長(zhǎng)的最小值也即是求異面直線OD和AB之間的距離，設(shè)直線OD和AB的公垂線的方向向量n=由n?OD=2x=0n?AB=x+y?2z=0所以n=因?yàn)镺B=所以異面直線OD和AB之間的距離為OB?即線段PQ長(zhǎng)的最小值為25故答案為：25變式6.（2021高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）在如圖所示的實(shí)驗(yàn)裝置中，正方形框架的邊長(zhǎng)都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動(dòng)彈子M,N分別在正方形對(duì)角線AC,BF上移動(dòng)，若CM=BN，則MN長(zhǎng)度的最小值為．【答案】3【分析】MN的最小值即為兩條異面直線AC,BF間的距離d，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)異面直線AC、BF的公垂向量為n=x,y,z，由距離公式【詳解】∵M(jìn),N分別是異面直線AC、BF上的點(diǎn)，∴MN的最小值即為兩條異面直線AC,BF間的距離d，∵平面ABCD⊥平面ABEF，AB⊥BC，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴BC⊥平面ABEF，又AB⊥BE，∴AB,BE,BC兩兩垂直．以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1,0,0,B0,0,0，F(xiàn)設(shè)異面直線AC、BF的公垂向量為n=x,y,z，則令x=1，則y=?1,z=1，∴n∴d=AB?nn=1故答案為：3變式7.（20-21高二上·山東泰安·期中）如圖所示，在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2，AB=BC=1，動(dòng)點(diǎn)P【答案】1【解析】以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算出異面直線C1【詳解】由題意可知，線段PQ長(zhǎng)度的最小值為異面直線C1D、如下圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線分別為x、y、則點(diǎn)A1,0,0、C0,1,0、C1所以，AC=?1,1,0，DC設(shè)向量n=x,y,z滿足n⊥由題意可得n?AC=?x+y=0n?DC1=y+2z=0可得n=因此，PQmin故答案為：23【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于將PQ長(zhǎng)度的最小值轉(zhuǎn)化為異面直線AC、C1變式8.（18-19高二下·江蘇常州·期中）如圖所示的正方體是一個(gè)三階魔方(由27個(gè)全等的棱長(zhǎng)為1的小正方體構(gòu)成），正方形ABCD是上底面正中間一個(gè)正方形，正方形A1B1C1D1是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q【答案】3【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出目標(biāo)PQ的表達(dá)式，從而可得最小值.【詳解】以B1為坐標(biāo)原點(diǎn)，B則B1設(shè)B1Q=λB1B1Q=QP=QP=17當(dāng)λ=1517且μ=12時(shí)，QP2取到最小值9【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量的應(yīng)用，利用空間向量求解距離的最值問(wèn)題時(shí)，一般是把目標(biāo)式表示出來(lái)，結(jié)合目標(biāo)式的特征，選擇合適的方法求解最值.【方法技巧與總結(jié)】計(jì)算兩點(diǎn)間的距離的兩種方法1.利用|a|2a·a，通過(guò)向量運(yùn)算求|a|，如求A，B兩點(diǎn)間的距離，一般用|eq\o(AB,\s\up7(→))|eq\r(\o(|\o(AB,\s\up7(→))|2))eq\r(\o(\o(AB,\s\up7(→))·\o(AB,\s\up7(→))))求解．2.用坐標(biāo)法求向量的長(zhǎng)度(或兩點(diǎn)間距離)，此法適用于求解的圖形適宜建立空間直角坐標(biāo)系時(shí)．【題型2：向量法求點(diǎn)線距】例2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知在空間直角坐標(biāo)系中，直線l經(jīng)過(guò)A3,3,3，B0,6,0兩點(diǎn)，則點(diǎn)P0,0,6A．62 B．23 C．26【答案】D【分析】由題意先求出直線的方向向量e=AB=?3,3,?3，然后依次求得cose【詳解】由題意可知直線l的方向向量為：e=又AP=?3,?3,3，則sine點(diǎn)P0,0,6到直線l的距離為：d=.變式1．（23-24高二下·江西·階段練習(xí)）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，F(xiàn)是棱A．53 B．253 C．2【答案】A【分析】以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量結(jié)合二次函數(shù)求解作答.【詳解】在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C則有B2,2,0，F(xiàn)設(shè)點(diǎn)P0,y,0則點(diǎn)P到直線BF的距離d=|當(dāng)且僅當(dāng)y=65時(shí)取等號(hào)，則點(diǎn)P到直線BF的距離的最小值為.變式2．（23-24高二下·江蘇南通·階段練習(xí)）在三棱錐P?ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心為G，則點(diǎn)P到直線AG的距離為（

）A．67 B．53 C．217【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求點(diǎn)到直線的距離即可得解.【詳解】如圖所示：以PA,PB,PC為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P0,0,0，A1,0,0，B0,2,0C

PA=1,0,0，AG故PA在AG的投影為PA?點(diǎn)P到線AG的距離為PA2.變式3．（2024·廣西來(lái)賓·一模）棱長(zhǎng)為3的正方體ABCD?A1B1C1DA．3355 C．375 【答案】A【分析】利用向量法求點(diǎn)到直線的距離.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件可得E0,0,1，F(xiàn)3,3,2，EF=3,3,1，F(xiàn)C1=?3,0,1，設(shè)向量∴cos所以點(diǎn)E到直線FC1的距離為.變式4．(多選)（23-24高二下·江西·開學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD,ABEF都是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD⊥平面ABEF，P，Q分別是線段AE,BD的中點(diǎn)，則（

）A．PQB．異面直線AQ,PF所成角為πC．點(diǎn)P到直線DF的距離為6D．△DFQ的面積是3【答案】AC【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，判斷DF,PQ是否平行即可；對(duì)于B，求出兩直線的方向向量，由兩向量的夾角的余弦公式即可驗(yàn)算；對(duì)于C，由公式PF2?PF?DF【詳解】由題意知AB,AD,AE兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,AB,AE所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則A0,0,0，B0,2,0，D2,0,0，E又P，Q分別是線段AE，BD的中點(diǎn)，所以P0,1,1，Q所以PQ=1,又PQ，DF不共線，所以PQ∥AQ=1,設(shè)異面直線AQ,PF所成角為θ，則cosθ=又θ∈0,π2，所以θ=π由PF=0,?1,所以點(diǎn)P到直線DF的距離為PF2因?yàn)镻Q∥DF，所以Q到DF的距離即為P到DF的距離所以△DFQ的面積S=1C．變式5．（多選）（23-24高二下·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1CA．存在點(diǎn)E，使得A1E⊥B．當(dāng)點(diǎn)E為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B1C．點(diǎn)E到直線BD1D．當(dāng)點(diǎn)E為棱CC1的中點(diǎn)，存在點(diǎn)P，使得平面PBD與平面EBD【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直即可求解A，求解平面法向量，即可根據(jù)點(diǎn)面距離，以及點(diǎn)線距離，求解BC，利用兩平面的法向量的夾角即可求解D.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，以DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸，y軸，則根據(jù)題意可得D(0,0,0),D1(0,0,2),A1(2,0,2),B1設(shè)E(0,2,a)(0≤a≤2)，所以AD1=(?2,0,2)，A假設(shè)存在點(diǎn)E，使得A1E⊥平面則AD1?解得a=0，所以存在點(diǎn)E，使得A1E⊥平面AB1D對(duì)于B，點(diǎn)E為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，E0,2,1,AE設(shè)平面AED1的法向量為m=x,y,z，則ADAB1=(0,2,2),故點(diǎn)B1到平面對(duì)C選項(xiàng),E(0,2,a)(0≤a≤2)，BE=點(diǎn)E到直線BD1的距離為故當(dāng)a=1時(shí)，即點(diǎn)E為CC1中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)E到直線BD對(duì)D選項(xiàng)，點(diǎn)E為線段CC1的中點(diǎn)時(shí)，E0,2,1,DE設(shè)平面EBD的法向量為a=x1,y1,設(shè)Px,0,2?x0≤x≤2,DP=設(shè)平面PBD的法向量為b=x2,y2,若存在點(diǎn)P，使得平面PBD與平面EBD所成角為π4則cosa,b=a?bab=2?x?x+2?2xBD．變式6．（23-24高二上·河北邢臺(tái)·期末）已知空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A1,1,1,B0,1,0,C1,2,3，則點(diǎn)C【答案】3【分析】設(shè)CD為三角形ABC的邊BA上的高，由A,B,D三點(diǎn)共線，以及CD⊥AB，可通過(guò)待定系數(shù)得出CD=【詳解】由題意設(shè)CD為三角形ABC的邊BA上的高，而AB=因?yàn)锳,B,D三點(diǎn)共線，設(shè)CD=λ因?yàn)镃D⊥AB，所以CD?AB=1?λ+3?λ=4?2λ=0所以CD=1,?1,?1，所以點(diǎn)C到直線AB的距離為故答案為：3.變式7．（23-24高二上·山東青島·期末）在正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1=2AB=4

(1)求點(diǎn)D1到直線EF(2)求證：A1C⊥面【答案】(1)114(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）依題建系，求得相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離的空間向量計(jì)算公式即可求得；（2）由（1）中所建的系求出A1C,DB,【詳解】（1）

如圖,以D為原點(diǎn)，以DA,DC,∵正四棱柱ABCD?A1B1C∴則點(diǎn)D1到直線EF的距離為：d=（2）由（1）可得C0,2,0則A1由A1C?又由A1C?又DB∩DE=D，故A1C⊥面變式8．（2024高二上·江蘇·專題練習(xí)）如圖所示，在四棱錐P?ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=3，BC=2，E是PB上一點(diǎn)，且BE=2EP，求點(diǎn)E到直線PD的距離.【答案】221【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】以A為原點(diǎn)，AB,AD,則E1,0,2所以EP=設(shè)<EP,PD則sinθ=所以點(diǎn)E到直線PD的距離d=EP【方法技巧與總結(jié)】用向量法求點(diǎn)線距的一般步驟建立空間直角坐標(biāo)系；（2）求直線的方向向量；（3）計(jì)算所求點(diǎn)與直線上某一點(diǎn)所構(gòu)成的向量在直線的方向向量上的投影長(zhǎng)；（4）利用勾股定理求解．另外，要注意平行直線間的距離與點(diǎn)到直線的距離之間的轉(zhuǎn)化.【題型3：用向量法求點(diǎn)面距】例3．（多選）（23-24高二下·甘肅·期末）如圖，正方體ABCD?AA．直線D1C和BB．四面體BDC1C．點(diǎn)A1到平面BDCD．平面BDA1與平面BD【答案】CCD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算A、C、D，利用割補(bǔ)法求出四面體BDC【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Dxyz，則D0,0,0,B2,2,0,C0,2,0對(duì)于A，D1C=故D1C,BC1=對(duì)于B，易得四面體BDC則VBD對(duì)于C，DA設(shè)平面BDC1的法向量為n=令x=1，則n=1,?1,1，故點(diǎn)A1到平面BD對(duì)于D，設(shè)平面BDA1的法向量為m=令a=?1，則m=?1,1,1，所以所以平面BDA1與平面BDCCD變式1．（多選）（23-24高二下·四川涼山·期末）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，

A．直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為10B．點(diǎn)G到平面AEF的距離為2C．四面體AEFG的體積為2D．若線段AA1的中點(diǎn)為H，則GH【答案】CD【分析】建系，求平面AEF的法向量.對(duì)于A：利用空間向量求線面夾角；對(duì)于B：利用空間向量求點(diǎn)到面的距離；對(duì)于C：根據(jù)錐體的體積公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：利用空間向量證明線面平行.【詳解】如圖，以A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1B

則A0,0,2,E2,0,1可得AE=設(shè)平面AEF的法向量n=x,y,z，則令x=1，則y=0,z=2，可得n=對(duì)于選項(xiàng)A：設(shè)直線AG與平面AEF所成角為θ∈0,可得sinθ=所以直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為1515對(duì)于選項(xiàng)B：點(diǎn)G到平面AEF的距離為d=AG對(duì)于選項(xiàng)C：由題意可知：AE=5所以四面體AEFG的體積為13對(duì)于選項(xiàng)D：由題意可知：H0,0,1，則HG可得n?HG=2×1+a×0+且GH?平面AEF，所以GH一定平行于平面AEF，故D正確；D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求平面AEF的法向量，進(jìn)而利用空間向量處理相關(guān)問(wèn)題.變式2．（23-24高二下·安徽·期末）在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為正方形ABCD和正方形【答案】21111【分析】建系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出AA1與平面A1【詳解】如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD1所在直線為則A(2,0,0),A于是，AA1?設(shè)平面A1EF的法向量為n=(x,y,z)故可取n=(1,3,1)，則點(diǎn)A到平面A1EF故答案為：2變式3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，H為棱【答案】3【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而可得范圍.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D0,0,0，B1,1,0，C0,1,0，A1,0,0，D1設(shè)H1,0,?，其中0≤?≤1則D1B1設(shè)平面B1CD則n?令p=?1，故n=而B1故H到平面B1CD故答案為：33變式4．（23-24高二下·河北唐山·期末）在三棱錐P—ABC中，AB=BC=PC=PB=2，∠ABC=90°，E為AC的中點(diǎn)，PB⊥AC．

(1)求證：平面PBE⊥平面ABC；(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)26【分析】（1）先證AC⊥BE，再證AC⊥平面PBE由線面垂直推出面面垂直即得；（2）先證PE⊥平面ABC，建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)向量坐標(biāo)，利用點(diǎn)到平面距離的向量公式計(jì)算即得.【詳解】（1）∵AB=BC，E為AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC又PB⊥AC，且PB∩BE=B,PB,BE?平面PBE，故AC⊥平面PBE．又AC?平面ABC，所以平面PBE⊥平面ABC（2）在三角形ABC中：AB=BC=2,∠ABC=90°，∴AC=22

由（1）知AC⊥平面PBE．因PE?平面PBE∴AC⊥PE．又E為AC的中點(diǎn)，則PE垂直平分AC，PC=2，∴PE=2，又∴PB2=PE2+BE2，即PE⊥BE，又故可以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA、EB、EP所在方向?yàn)閤軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則A2,0,0，B0,2,0∴AP=?2,0,設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為n=x,y,z令z=1，得n=設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離d，則d=PC變式5．（21-22高二上·安徽蕪湖·期中）如圖所示，已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，PD⊥AD，PC=2，PD=1

(1)求點(diǎn)D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．【答案】(1)3(2)17【分析】（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及點(diǎn)到面的距離公式代入計(jì)算，即可求解；（2）結(jié)合直線到平面的距離公式，代入計(jì)算，即可求解.【詳解】（1）

∵PD=CD=1，PC=2，∴PD⊥CD．又PD⊥AD，CD∩AD=D，CD,AD?平面ABCD，∴PD⊥面ABCD，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．則D(0,0,0)，P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E1,12PE=1,12,?1設(shè)n=(x,y,z)為面PEF的法向量，n→令y=2，則x+1?z=012x+2?z=0，∴x=2，z=3設(shè)點(diǎn)D到平面PEF的距離為d，則d=DP（2）因?yàn)锳C//EF，AC?平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，所以直線AC到平面PEF的距離等于點(diǎn)A到平面PEF的距離，設(shè)點(diǎn)A到平面PEF的距離為d1，PA=(1,0,?1)，則變式6．（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，若M、N分別為棱PD、PC的中點(diǎn)，O為AC中點(diǎn)．(1)求證：平面ABM⊥平面PCD；(2)求點(diǎn)N到平面ACM的距離．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)6【分析】（1）要證面面垂直，可以先證線線垂直，線面垂直，再證面面垂直即可，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出AN=1,2,2及平面【詳解】（1）∵PA⊥平面ABCD，AB,AD?面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD．∵矩形ABCD，∴AB⊥AD，故PA、AB、AD兩兩垂直．分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．則P0,0,4，B2,0,0，C2,4,0，D∴M0,2,2，N1,2,2，AB設(shè)平面ABM的法向量為n1=x1,設(shè)平面PCD的法向量為n2=x2,y2,z∴n∴n∴平面ABM⊥平面PCD．（2）解：設(shè)平面ACM的法向量為n=∵AC=2,4,0由AC?n=0,AM∵AN=1,2,2，平面ACM的法向量為n∴d=AN變式7．（23-24高二下·天津·期末）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF//DE且DE=2AF=4.(1)求證：BF//平面DEC；(2)求平面BEC與平面BEF夾角的余弦值；(3)求點(diǎn)D到平面BEF的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)17(3)12【分析】（1）以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出BF=0,?3,2，平面DEC的一個(gè)法向量為DA=3,0,0，則由（2）分別求出平面BEC與平面BEF的一個(gè)法向量m,（3）由平面BEF的一個(gè)法向量為n=2,2,3，【詳解】（1）由已知，ABCD是邊長(zhǎng)為3的正方形，DE⊥平面ABCD，由DA、DC?平面ABCD，所以DE⊥DA，DE⊥DC，又DE∩DC=D，DE、DC?平面DEC，所以DA⊥平面DEC，以D為原點(diǎn)，DA、DC、DE為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，已知DE=2AF=4，則B3,3,0,F3,0,2易知平面DEC的一個(gè)法向量為DA=得DA?BF=0，又BF?所以BF//平面DEC.（2）由上坐標(biāo)系可知E0,0,4,C設(shè)平面BEC與平面BEF的一個(gè)法向量分別為m=則有m?BE=0取b=4,y=2，則a=0,c=3,x=2,z=3，即m=設(shè)平面BEC與平面BEF的夾角為θ，則cosθ=（3）由（2）得平面BEF的一個(gè)法向量為n=又DE=0,0,4，所以點(diǎn)D到平面BEF的距離變式8．（23-24高二下·江蘇淮安·期末）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PB=5，PC=6，(1)證明：平面PAB⊥平面PBC；(2)求二面角B?PC?D的余弦值；(3)求點(diǎn)C到平面PBD的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)?(3)2【分析】（1）根據(jù)題意可證BC⊥平面PAB，結(jié)合面面垂直的判定定理分析證明；（2）建系標(biāo)點(diǎn)，分別為求平面PBC、平面PCD的法向量，利用空間向量求二面角；（3）求平面PBD的法向量，利用空間向量求點(diǎn)到面的距離.【詳解】（1）因?yàn)镻A⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，則PA⊥BC，又因?yàn)锳BCD為矩形，則AB⊥BC，且PA∩AB=A，PA,AB?平面PAB，可得BC⊥平面PAB，且BC?平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.（2）由題意可知：PA⊥平面ABCD，且AB⊥AD，如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD,AP分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=a,AD=b,AP=c,a,b,c>0，由題意可得a2+c則A0,0,0可得BC=設(shè)平面PBC的法向量為n1=x令x1=1，則y1設(shè)平面PCD的法向量為n2=x令y2=1，則x2則，由題意可知：二面角B?PC?D為鈍角，所以二面角B?PC?D的余弦值為?10（3）設(shè)平面PBD的法向量為m=x,y,z，則令x=1，則y=z=2，可得m=所以點(diǎn)C到平面PBD的距離d=m【方法技巧與總結(jié)】用向量法求點(diǎn)面距的步驟建系：建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；求點(diǎn)坐標(biāo)：寫出（求出）相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）求向量：求出相關(guān)向量的坐標(biāo)（AP，α內(nèi)兩個(gè)不共線向量，平面α的法向量n）；（4）求距離d=|AP【題型4：用向量法求線面距】例4．（23-24高二下·甘肅·期中）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，M，A．1 B．33 C．32 【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，先利用向量法證明AC//【詳解】如圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,1,2),M(1,0,0),N(0,2,1)，所以ME=(1,1,2),MN=(?1,2,1),AC=(?2,2,0)則m?ME=x+y+2z=0,m?MN=?x+2y+z=0,即AC⊥m，又AC?平面EMN，所以AC故點(diǎn)A到平面EMN的距離即為直線AC到平面EMN的距離，又MA=(1,0,0)，所以點(diǎn)A到平面EMN的距離為MA即直線AC與平面EMN之間的距離為33變式1．（多選）（22-23高二上·云南昆明·期中）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M是A1

A．直線MP到截面ABB．點(diǎn)M到截面AB1C．MP的最大值是2D．MP的最小值是2【答案】ABC【分析】由MP//截面AB1C，可得直線MP到截面AB1C的距離即為點(diǎn)M到截面AB1C的距離，利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離，即可判斷A、B，取CC1的中點(diǎn)為R，取CD的中點(diǎn)為N，取B1【詳解】因?yàn)镸P//截面AB1C，所以直線MP到截面AB1C的距離，即為點(diǎn)M如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0，C0,2,0，B1所以B1C=?2,0,?2，設(shè)平面AB1C的法向量為n=x,y,z所以點(diǎn)M到截面AB1C所以點(diǎn)M到截面AB1C

取CC1的中點(diǎn)為R，取CD的中點(diǎn)為N，取B1

因?yàn)镽是CC1的中點(diǎn)，H是所以B1因?yàn)镠R?平面AB1C，B所以HR//平面A同理可證MH//平面A又HR∩MH=H，HR,MH?平面MNRH，所以平面MNRH//平面A又MP?平面MNRH，線段MP掃過(guò)的圖形是△MNR，即點(diǎn)P的軌跡為線段NR，由AB=2，得MN=22+MC1=所以MN2=N所以線段MP長(zhǎng)度的取值范圍是6,22，即所以MP的最大值是22，MP的最小值是6BC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離關(guān)鍵是利用空間向量法，當(dāng)然也可利用等體積法，C、D主要是確定動(dòng)點(diǎn)P的軌跡，從而確定MP的取值范圍.變式2．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知正四面體A?BCD的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M、N分別為△ABC和△ABD的重心，則直線MN到平面ACD的距離為．【答案】2【分析】將正四面體放入正方體中，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可證線面平行，進(jìn)而可得直線到平面的距離.【詳解】將正四面體A?BCD放入正方體DEBF?GAHC中，以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DE、DF、DG所在直線為x軸、y軸、z軸，如圖所示，因?yàn)檎拿骟wA?BCD的棱長(zhǎng)為2，所以正方體的棱長(zhǎng)為2，則A2,0,2，B因?yàn)辄c(diǎn)M、N分別為△ABC和△ABD的重心，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為223,22所以MN=設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n=因?yàn)镈A=2,0,所以2x+2z=02y+因?yàn)镸N?n=0，且直線MN所以直線MN//平面ACD所以點(diǎn)N到平面ACD的距離就是直線MN到平面ACD的距離，點(diǎn)N到平面ACD的距離d=DN故答案為：26變式3．（23-24高二下·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)P在B1C1上，點(diǎn)Q在平面ABB1A1內(nèi)，設(shè)直線A【答案】3【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出P到面ACD1的距離，進(jìn)而求出點(diǎn)P坐標(biāo)，過(guò)P作平面ACD【詳解】因?yàn)橹本€PQ到平面ACD1的距離為所以必有PQ//面ACD1，即點(diǎn)P到平面ACD如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)Pp,1,1，又A則AC=設(shè)面ACD1的法向量為則AC?n=?x+y=0AD則CP?nn=p+1過(guò)P作平面ACD1的平行平面，與正方體ABCD?AM,N分別為線段A1B1和線段所以Q在直線MN上，設(shè)PQ=又AA1=當(dāng)λ=0時(shí)，cosθ=0當(dāng)λ≠0時(shí)，cosθ=又1λ2?則sinθ的最小值為1?故答案為：3變式4．（2024·廣東·三模）如圖，邊長(zhǎng)為4的兩個(gè)正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在棱AD上，AG=2GD，直線AB與平面EFG相交于點(diǎn)H.(1)證明：BD//(2)求直線BD與平面EFG的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)62【分析】（1）首先證明BD//平面EFG（2）連接EA,ED，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到平面距離公式求解即得.【詳解】（1）因?yàn)镋、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，所以EF//又BD?平面EFG，EF?平面EFG，則BD//平面EFG又BD?平面ABD，平面ABD∩平面EFG=GH，所以BD//GH.（2）由（1）知，BD//平面EFG，則點(diǎn)B到平面EFG的距離即為BD與平面EFG的距離，連接EA,ED，由△ABC,△BCD均為正三角形，E為BC的中點(diǎn)，得EA⊥BC,ED⊥BC，又平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC,AE?平面ABC，于是AE⊥平面BCD，又ED?平面BCD，則EA⊥ED，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，直線EB,ED,EA分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B2,0,0，F(xiàn)?1,3,0，又又AG→=2GD所以EB=2,0,0，EF=設(shè)平面EFG的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)，則EF令y=1，得n=設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為d，則d=|所以BD與平面EFG的距離為62變式5．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB=PC=26，PA=BC=2AD=2CD=4,E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F在梭PB(1)證明：平面AEF⊥平面PAD；(2)若點(diǎn)F為PB的中點(diǎn)，求直線EF到平面PCD的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)4【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)與勾股定理，結(jié)合三線合一證得AE⊥AD，PA⊥AE，再線面垂直與面面垂直的判定定理即得證.（2）由線面平行判定定理可證得EF//平面PCD，則點(diǎn)E到平面PCD的距離即為EF到平面PCD的距離.方法一：以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用點(diǎn)到面的距離公式計(jì)算即可.方法二：運(yùn)用等體積法V【詳解】（1）證明：連接AC，如圖所示，∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AB,PA⊥AC，∵PB=PC=26∵BC=4,∴AB2+A又∵E為BC中點(diǎn)，則AE⊥BC，且AE=EC=2，∵AD=CD=2,∴四邊形AECD為正方形，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD,AE?平面ABCD,∴PA⊥AE，又∵AD∩PA=A，AD、PA?平面PAD，∴AE⊥平面PAD，又∵AE?平面AEF,∴平面AEF⊥平面PAD.（2）∵在△PBC中，E,F分別為BC,PB中點(diǎn)，∴EF∥PC，又EF?平面PCD,PC?平面PCD，∴EF//平面PCD∴點(diǎn)E到平面PCD的距離即為EF到平面PCD的距離，（方法一）∵PA⊥AD,PA⊥AE,AE⊥AD，∴以A為原點(diǎn)，AE,AD,AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，如圖所示，則E2,0,0EC=設(shè)n=x,y,z是平面∴n取z=1，則y=2,∴n=0,2,1∴點(diǎn)E到平面PCD的距離為d=EC即直線EF到平面PCD的距離為45（方法二）連接ED、PE，如圖所示，∵△EDC為等腰直角三角形，∴S△EDC又∵PA⊥平面ECD,∴PA是三棱錐P?EDC的高，∴VP?EDC∵CD=2,PD=P∴PD∴S設(shè)E到平面PCD距離為d，則VP?EDC∴1即EF到平面PCD的距離為45變式6．（23-24高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）在如圖所示的試驗(yàn)裝置中，兩個(gè)正方形框架ABCD,ABEF的邊長(zhǎng)都是1，且它們所在的平面互相垂直．活動(dòng)彈子M，N分別在正方形對(duì)角線AC和BF上移動(dòng)，且CM和BN的長(zhǎng)度保持相等，記CM=BN=a(0<a<2(1)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最?。?2)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)求平面MNA與平面MNB夾角的余弦值；(3)當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)求直線CE到平面MNB的距離．【答案】(1)2(2)1(3)3【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間兩點(diǎn)間距離公式、配方法進(jìn)行求解即可得；（2）利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可得，（3）可得CE//平面MNB，借助空間向量中點(diǎn)到平面的距離公式求解即可得.【詳解】（1）因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABEF，BC⊥AB，BE⊥AB，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，BC?平面ABCD，故CB⊥平面ABEF，又BE?平面ABEF，故BC⊥BE，從而BC,AB,BE兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，有B0,0,0、A1,0,0、C0,0,1、F∵CM=BN=a，∴Ma2,0,1?MN=aMN=a當(dāng)a=22時(shí)，MN最小，最小值為（2）由（1）可知，當(dāng)M，N為AC、BF中點(diǎn)時(shí)，MN最短，則M12,0,MA=12,0,?1令平面MNA與平面MNB的法向量分別為m=x1則有12y1?1則有m=1,1,1，則∴cos∴平面MNA與平面MNB夾角的余弦值是13（3）CE=0,1,?1，當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)，平面MNB的法向量為有CE?n=?1+1=0，故CE//故直線CE到平面MNB的距離等于點(diǎn)C到平面MNB的距離，BC=0,0,1，故即當(dāng)MN的長(zhǎng)最小時(shí)直線CE到平面MNB的距離為33變式7．（22-23高二下·江蘇連云港·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=1,BC=2,∠ABC=60°，四邊形ACEF為正方形，且平面ABCD⊥平面ACEF．(1)證明：AB⊥CF；(2)求直線AC到平面BEF的距離；(3)求平面BEF與平面ADF夾角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)32(3)74【分析】（1）利用余弦定理計(jì)算AC，再證明AB⊥AC即可推理作答.（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量計(jì)算點(diǎn)C到平面BEF的距離即可求出線面距離.（3）利用（2）中坐標(biāo)系，用向量數(shù)量積計(jì)算兩平面夾角余弦值，進(jìn)而求解作答.【詳解】（1）在?ABCD中，AB=1,BC=2,∠ABC=60°，由余弦定理AAC2=12+22?2×1×2由平面ABCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF=AC，AB?平面ABCD，得AB⊥平面ACEF，又CF?平面ACEF，所以AB⊥CF.（2）由四邊形ACEF為正方形，得AF⊥AC，由（1）易知AB,AC,AF兩兩垂直，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，射線AB，AC，AF分別為x，y，z軸非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,3,0),F(0,0,FE=(0,3,0),BF=(?1,0,則n?FE=3y而BC=(?1,3,0)，于是得點(diǎn)C到平面BEF而AC//EF，EF?平面BEF，AC?平面BEF，則AC//平面BEF，所以線AC到平面BEF的距離等于點(diǎn)C到平面BEF的距離為32（3）由（2）知，AF=(0,0,3),AD=(?1,則m?AF=3z2=0于是cosθ=|cos?所以平面BEF與平面ADF夾角的正弦值為74【方法技巧與總結(jié)】求直線與平面間的距離，往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解，且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取，以求解最為簡(jiǎn)單為準(zhǔn)則，求直線到平面