2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章統(tǒng)計案例3.1獨立性檢驗講義新人教B版選修2-3

PAGE1-3.1獨立性檢驗學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解分類變量、2×2列聯(lián)表、隨機變量χ2的意義.2.通過對典型案例的分析，了解獨立性檢驗的基本思想方法．(重點)3.通過對典型案例的分析，了解兩個分類變量的獨立性檢驗的應(yīng)用．(難點)教材整理獨立性檢驗閱讀教材P77～P78例2以上部分，完成下列問題．1．卡方統(tǒng)計量χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，用χ2的大小可以確定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)H0.假如算出的χ2值較大，就拒絕H0，也就是拒絕“事務(wù)A與B無關(guān)”，從而就認為它們是有關(guān)的了．2．兩個臨界值(1)當(dāng)依據(jù)詳細的數(shù)據(jù)算出的χ2>3.841時，有95%的把握說事務(wù)A與B有關(guān)；(2)當(dāng)χ2>6.635時，有99%的把握說事務(wù)A與B有關(guān)，當(dāng)χ2≤3.841時，認為事務(wù)A與B是無關(guān)的．1．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)分類變量中的變量與函數(shù)中的變量是同一概念．()(2)獨立性檢驗的方法就是反證法．()(3)獨立性檢驗中可通過統(tǒng)計表從數(shù)據(jù)上說明兩分類變量的相關(guān)性的大?。?)【答案】(1)×(2)×(3)√2．考察棉花種子經(jīng)過處理與生病之間的關(guān)系，得到下表中的數(shù)據(jù)：種子處理種子未處理合計得病32101133不得病61213274合計93314407依據(jù)以上數(shù)據(jù)可得出()A．種子是否經(jīng)過處理與是否生病有關(guān)B．種子是否經(jīng)過處理與是否生病無關(guān)C．種子是否經(jīng)過處理確定是否生病D．有90%的把握認為種子經(jīng)過處理與生病有關(guān)【解析】χ2＝eq\f(407×32×213－61×1012,93×314×133×274)≈0.164<3.841，即沒有足夠的理由認為種子是否經(jīng)過處理跟生病有關(guān)．【答案】B3．若由一個2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計算得χ2＝4.013，那么有__________的把握認為兩個變量之間有關(guān)系．【解析】查閱χ2表知有95%的把握認為兩個變量之間有關(guān)系．【答案】95%用2×2列聯(lián)表分析兩變量間的關(guān)系【例1】在對人們飲食習(xí)慣的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中六十歲以上的70人，六十歲以下的54人．六十歲以上的人中有43人的飲食以蔬菜為主，另外27人則以肉類為主；六十歲以下的人中有21人的飲食以蔬菜為主，另外33人則以肉類為主．請依據(jù)以上數(shù)據(jù)作出飲食習(xí)慣與年齡的列聯(lián)表，并利用eq\f(n11,n1＋)與eq\f(n21,n2＋)推斷二者是否有關(guān)系．【精彩點撥】eq\x(對變量進行分類)→eq\x(求出分類變量的不同取值)→eq\x(作出2×2列聯(lián)表)→eq\x(計算\f(n11,n1＋)與\f(n21,n2＋)的值作出推斷)【解】飲食習(xí)慣與年齡2×2列聯(lián)表如下：年齡在六十歲以上年齡在六十歲以下合計飲食以蔬菜為主432164飲食以肉類為主273360合計7054124將表中數(shù)據(jù)代入公式得eq\f(n11,n1＋)＝eq\f(43,64)≈0.67，eq\f(n21,n2＋)＝eq\f(27,60)＝0.45.明顯二者數(shù)據(jù)具有較為明顯的差距，據(jù)此可以在某種程度上認為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系．1．作2×2列聯(lián)表時，留意應(yīng)當(dāng)是4行4列，計算時要精確無誤．2．作2×2列聯(lián)表時，關(guān)鍵是對涉及的變量分清類別．1．上例中條件不變，嘗試用|n11n22－n12n21|的大小推斷飲食習(xí)慣與年齡是否有關(guān)．【解】將本例2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入可得|n11n22－n12n21|＝|43×33－21×27|＝852.相差較大，可在某種程度上認為飲食習(xí)慣與年齡有關(guān)系.由χ2進行獨立性檢驗【例2】在500人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們一年中的感冒記錄與另外500名未用血清的人的感冒記錄作比較，結(jié)果如表所示．問：能否在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用.未感冒感冒合計運用血清258242500未運用血清216284500合計4745261000【精彩點撥】獨立性檢驗可以通過2×2列聯(lián)表計算χ2的值，然后和臨界值比照作出推斷．【解】假設(shè)感冒與是否運用該種血清沒有關(guān)系．由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，求得χ2＝eq\f(1000×258×284－242×2162,474×526×500×500)≈7.075.χ2＝7.075＞6.635，P(χ2≥6.635)＝0.01，故我們在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，即有99%的把握認為該種血清能起到預(yù)防感冒的作用．1．獨立性檢驗的關(guān)注點在2×2列聯(lián)表中，假如兩個分類變量沒有關(guān)系，則應(yīng)滿意n11n22－n12n21≈0，因此|n11n22－n12n21|越小，關(guān)系越弱；|n11n22－n12n21|越大，關(guān)系越強．2．獨立性檢驗的詳細做法(1)依據(jù)實際問題的須要確定允許推斷“事務(wù)A與B有關(guān)系”犯錯誤的概率的上界α，然后查表確定臨界值k0.(2)利用公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)計算隨機變量χ2.(3)假如χ2≥k0，推斷“X與Y有關(guān)系”這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”，或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)覺足夠的證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．2．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對540名40歲以上的人的調(diào)查結(jié)果如下：患胃病未患胃病合計生活不規(guī)律60260320生活有規(guī)律20200220合計80460540依據(jù)以上數(shù)據(jù)推斷40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)嗎？【解】由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202,320×220×80×460)≈9.638.∵9.638>6.635，∴有99%的把握說40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃?。毩⑿詸z驗的綜合應(yīng)用[探究問題]1．利用χ2進行獨立性檢驗，估計值的精確度與樣本容量有關(guān)嗎？【提示】利用χ2進行獨立性檢驗，可以對推斷的正確性的概率作出估計，樣本容量n越大，這個估計值越精確，假如抽取的樣本容量很小，那么利用χ2進行獨立性檢驗的結(jié)果就不具有牢靠性．2．在χ2運算后，得到χ2的值為29.78，在推斷變量相關(guān)時，P(χ2≥6.635)≈0.01和P(χ2≥7.879)≈0.005，哪種說法是正確的？【提示】兩種說法均正確．P(χ2≥6.635)≈0.01的含義是在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為兩個變量相關(guān)；而P(χ2≥7.879)≈0.005的含義是在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為兩個變量相關(guān)．【例3】為調(diào)查某地區(qū)老年人是否須要志愿者供應(yīng)幫助，用簡潔隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：男女須要4030不須要160270(1)估計該地區(qū)老年人中，須要志愿者供應(yīng)幫助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否須要志愿者供應(yīng)幫助與性別有關(guān)？(3)依據(jù)(2)的結(jié)論，能否提出更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)的老年人中須要志愿者供應(yīng)幫助的老年人的比例？說明理由．【精彩點撥】依據(jù)題中表格供應(yīng)的數(shù)據(jù)，可通過求χ2的值進行判定．對于(1)(3)可依據(jù)古典概率及抽樣方法分析求解．【解】(1)調(diào)查的500位老年人中有70位須要志愿者供應(yīng)幫助，因此該地區(qū)老年人中，須要幫助的老年人的比例的估計值為eq\f(70,500)＝14%.(2)χ2＝eq\f(500×40×270－30×1602,200×300×70×430)≈9.967.由于9.967>6.635，所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否須要幫助與性別有關(guān)．(3)由(2)的結(jié)論知，該地區(qū)老年人是否須要幫助與性別有關(guān)，并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中須要幫助的比例有明顯差異，因此在調(diào)查時，先確定該地區(qū)老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女兩層并采納分層抽樣方法進行抽樣，這比采納簡潔隨機抽樣方法更好．1．檢驗兩個變量是否相互獨立，主要依據(jù)是利用χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)公式計算χ2的值，再利用該值與3.841，6.635兩個值進行比較作出推斷．2．χ2計算公式較困難，一是公式要清晰；二是代入數(shù)值時不能張冠李戴；三是計算時要細心．3．統(tǒng)計的基本思維模式是歸納，它的特征之一是通過部分數(shù)據(jù)的性質(zhì)來推想全部數(shù)據(jù)的性質(zhì)．因此，統(tǒng)計推斷是可能犯錯誤的，即從數(shù)據(jù)上體現(xiàn)的只是統(tǒng)計關(guān)系，而不是因果關(guān)系．3．若兩個分類變量x和y的列聯(lián)表為：yxy1y2x1515x24010則x與y之間有關(guān)系的概率約為________．【解析】χ2＝eq\f(5＋15＋40＋105×10－40×152,5＋1540＋105＋4015＋10)≈18.822.∵18.822>6.635，∴x與y之間有關(guān)系的概率約為1－0.01＝0.99.【答案】0.991．下列選項中，哪一個χ2的值可以有95%以上的把握認為“A與B有關(guān)系”()A．χ2＝2.700 B．χ2＝2.710C．χ2＝3.765 D．χ2＝5.014【解析】∵5.014>3.841，故D正確．【答案】D2．通過隨機詢問110名性別不同的高校生是否愛好某項運動，得到如下的列聯(lián)表：男女合計愛好402060不愛好203050合計6050110經(jīng)計算得χ2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.則正確結(jié)論是()A．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”B．在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”C．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關(guān)”D．有99%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關(guān)”【解析】依據(jù)獨立性檢驗的思想方法，正確選項為C.【答案】C3．在一個2×2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計算得χ2＝13.097，認為“兩個變量有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過________．【解析】假如χ2>6.635時，認為“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過0.01.【答案】0.014．某高校在探討性別與職稱(分正教授、副教授)之間是否有關(guān)系，你認為應(yīng)當(dāng)收集的數(shù)據(jù)是________．【解析】由探討的問題可知，需收集的數(shù)據(jù)應(yīng)為男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)．【答案】男正教授人數(shù)，女正教授人數(shù)，男副教授人數(shù)，女副教授人數(shù)5．調(diào)查某醫(yī)院某段時間內(nèi)嬰兒誕生的時間與性別的關(guān)系，得到下面的數(shù)據(jù)：誕生時間在晚上的男嬰為24人，女嬰為8人；誕生時間在白天的男嬰為31人，女