人教版數(shù)學(xué)七年級下教案：第5章 相交線與平行線

5.1相交線

5.1.1相交線

1.理解對頂角和鄰補角的概念，能在圖形中辨認；（重點）

2.掌握對頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程；（重點、難點）

3.通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力.

一、情境導(dǎo)入

同學(xué)們，你們看這座宏偉的大橋，它的兩端有很多斜拉的平行鋼索，橋的側(cè)面有許多相

交鋼索組成的圖案；圍棋棋盤的縱線相互平行，橫線相互平行，縱線和橫線相交.這些都給

我們以相交線、平行線的形象.在我們生活中，蘊涵著大量的相交線和平行線.那么兩條直

線相交形成哪些角？這些角又有什么特征?

大橋卜的鋼梁和鋼索棋就卜的橫線和縱線

二、合作探究

探究點一：對頂角和鄰補角的概念

［類型一］對頂角的識別

砸I下列圖形中N1與N2互為對頂角的是（）

解析：觀察N1與N2的位置特征，只有C中N1和N2同時滿足有公共頂點，且N1的

兩邊是/2的兩邊的反向延長線.故選C.

方法總結(jié)：判斷對頂角只看兩點：①有公共頂點；②一個角的兩邊分別是另一個角的兩

邊的反向延長線.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第I題

［類型二］鄰補角的識別

例日如圖所示，直線AB和CD相交所成的四個角中，N1的鄰補角是.

解析：根據(jù)鄰補角的概念判斷：有一個公共頂點、一條公共邊，另一邊互為延長線.Z1

和N2、Z1和/4都滿足有一個公共頂點和一條公共邊，另一邊互為延長線，故為鄰補角.故

答案為22和N4.

方法總結(jié)：鄰補角的定義包含了兩層含義：相鄰且互補.但需要注意的是：互為鄰補角

的兩個角一定互補，但互補的角不一定是鄰補角.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第2題

探究點二：對頂角的性質(zhì)

［類型—］利用對頂角的性質(zhì)求角的度數(shù)

MB如圖，直線48、CO相交于點0,若/80。=42°,平分/COE,求/OOE

的度數(shù).

解析：根據(jù)對頂角的性質(zhì)，可得NAOC與ZBOD的關(guān)系，根據(jù)0A平分NCOE,可得

/COE與/AOC的關(guān)系，根據(jù)鄰補角的性質(zhì)，可得答案.

解：由對頂角相等得NAOC=/BOD=42°平分NCOE,AZC0E=2ZA0C=

84°.由鄰補角的性質(zhì)得NDOE=180°-NCOE=180°—84。=96。.

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是在圖中找出對頂角和鄰補角，根據(jù)兩種角的性質(zhì)找出

已知角和未知角之間的數(shù)量關(guān)系.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第9題

［類型二］結(jié)合方程思想求角度

胸口如圖，直線AC,E尸相交于點0,。。是NAOB的平分線，0E在N80C內(nèi)，Z

BOE=3NEOC,/DOE=72°,求/AOF的度數(shù).

解析：因為已知量與未知量的關(guān)系較復(fù)雜，所以想到列方程解答，根據(jù)觀察可設(shè)NBOE

=x,則N4OF=NEOC=2x,然后根據(jù)對頂角和鄰補角找到等量關(guān)系，列方程.

解：設(shè)/BOE=x,則乙40尸=/￡0。=2%.：乙4。8與/80(7互為鄰補角，AAAOB

13

=180°-平分NAOB,.?.NOOB=zN4O8=90°一2工；NDOE=72°,.*.90°一

3

京+x=72°,解得x=36°".NAOF=2x=72°.

方法總結(jié)：在相交線中求角的度數(shù)時，就要考慮使用對頂角相等或鄰補角互補.若已知

關(guān)系較復(fù)雜，比如出現(xiàn)比例或倍分關(guān)系時，可列方程解決角度問題.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第3題

［類型三］應(yīng)用對頂角的性質(zhì)解決實際問題

睡I如圖，要測量兩堵墻所形成的/AOB的度數(shù)，但人不能進入圍墻，如何測量？請

你寫出測量方法，并說明幾何道理.

解析：可以利用對頂角相等的性質(zhì)，把NA08轉(zhuǎn)化到另外一個角上.

解：反向延長射線08到E,反向延長射線0A到尸，則/E0尸和/A0B是對頂角，所

以可以測量出NE0F的度數(shù)，NE0尸的度數(shù)就是NA0B的度數(shù).

方法總結(jié)：解決此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)對頂角的性質(zhì)把不能測量的角進行轉(zhuǎn)化.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第7題

探究點三：與對頂角有關(guān)的探究問題

頹3我們知道：兩直線交于一點，對頂角有2對；三條直線交于一點，對頂角有6對；

四條直線交于一點，對頂角有12對……

(2)"("22)條直線交于一點，對頂角有對.

解析：(1)仔細觀察計算對頂角對數(shù)的式子，發(fā)現(xiàn)式子不變的部分及變的部分的規(guī)律，

(4—2)X4

得出結(jié)論，代人數(shù)據(jù)求解.如圖①，兩條直線交于一點，圖中共有-----5-----=2對對頂

角；如圖②，三條直線交于一點，圖中共有X6:6對對頂角；如圖③，四條直線

(8—9)xQ

交于一點，圖中共有-----4----=12對對頂角....按這樣的規(guī)律，10條直線交于一點，那

(20—2)X20

么對頂角共有-------------=90(對).故答案為90;

(2)利用(1)中規(guī)律得出答案即可.由(1)得〃("22)條直線交于一點，對頂角的對數(shù)為

2"(2；■~~—=n(n—l).故答案為n(n-l).

方法總結(jié)：解決探索規(guī)律的問題，應(yīng)全面分析所給的數(shù)據(jù)，特別要注意觀察符號的變化

規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化特征.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第9題

三、板書設(shè)計

'鄰補角'

兩條直線相交，對頂角，求角的大小

.對頂角相等，

本節(jié)課通過對學(xué)生身邊熟悉的事物引入，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與我們

的生活密不可分;學(xué)生經(jīng)歷合作探究過程獲得新知，并能用所學(xué)的新知識來解決實際問題.這

樣教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提升學(xué)生的能力，促進學(xué)生的發(fā)展

5.1.1相交線

教學(xué)目標

1.理解對頂角和鄰補角的概念，能在圖形中辨認.

2.掌握對頂角相等的性質(zhì)和它的推證過程.

3.通過在圖形中辨認對頂角和鄰補角，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力.

重點：在較復(fù)雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角.

難點：在較復(fù)雜的圖形中準確辨認對頂角和鄰補角.

教學(xué)過程【教學(xué)備注】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

問題：請同學(xué)們觀察下面的圖片，說一說那些道路是

交錯的，那些是平行的？

教師導(dǎo)入：圖中的道路是有寬度的，是有限長的，而

且也不是完全直的，當我們把它們看成直線時，這些

直線有些是相交線，有些是平行線.相交線、平行線

都有許多重要性質(zhì)，并且在生產(chǎn)和生活中有廣泛應(yīng)

用.所以研究這些問題對今后的工作和學(xué)習(xí)都是有用的，也將為后面的學(xué)習(xí)做些準

備.我們先研究直線相交的問題.

二、目標導(dǎo)學(xué)，探索新知

目標導(dǎo)學(xué)1：理解對頂角和鄰補角的概念，并會在圖形中進行辨別

1.觀察圖片，注意剪刀剪開布片過程中有關(guān)角的變化.

2.將剪刀抽象為幾何圖形并畫一畫.

答：如圖：

幾何語言描述圖形：直線AB、CD相交于點0.

概念：如果兩條直線有一個公共點，就說這兩條直線相交，公共點叫做這兩條直線

的交點。

3.觀察上圖，同桌討論。

(1)兩條直線相交組成兒個角？

(2)這兩條直線相交得到哪幾對角？

(3)每對角中兩個角的位置有怎樣的關(guān)系？

(4)根據(jù)它們的位置和度數(shù)的關(guān)系將這幾對角進行分類.

【教師提示】教師

兩面婉和文所形成的角分類統(tǒng)一學(xué)生觀點并板

Z1而IN2Z2>filZ3_

CBZ1Z2書.

\2O^z_yiiz_4_z_3*iz±

Z3Z4Z1和N3

A，4

、口Z2JRIZ_￡

4.概念歸納

(1)Z1與N3是直線AB、CD相交得到的，它們有一個公共頂

點0,沒有公共邊，像這樣的兩個角叫做對頂角.

(2)與/2是直線AB、CD相交得到的，有公共頂點0,且有一條公共邊，像

這樣的兩個角叫做鄰補角.

5.概念深化

(1)找一找上圖中還有沒有對頂角，如果有，是哪兩個角？

(2)找一找上圖中還有沒有鄰補角，如果有，是哪兩個角？

學(xué)生口答：N2和/4再也是對頂角.N3與N2、與N4、N3與N4也互為鄰補

角。

6.初步應(yīng)用

例1：(1)下列圖中的N1與N2是鄰補角嗎？為什么？

(1)(2)

【教師強調(diào)】鄰補角的特點：①頂點相同；②有一條公共邊，另一邊互為反向延長線;

③成對出現(xiàn)。

(2)下列各圖中N1、/2是對頂角嗎？

y><

（1）（2?（3）（4）

【教師強調(diào)】對頂角的特點：①頂點相同；②角的兩邊互為反向延長線；③成對出現(xiàn)

的。

（3）請分別畫出下圖中的對頂角和N2的鄰補角.

■y

學(xué)習(xí)目標2掌握對頂角的性質(zhì)并會推導(dǎo)

問題：我們在圖形中能準確地辨認對頂角，那么對頂角有什么性質(zhì)呢？

1.動手操作，推出性質(zhì)

已知，直線AB與CD相交于。點（如圖）,試猜想N1、N3的大小關(guān)系，并借助量角

器或其他方式驗證你的想法.

答：Z1=Z3.

思考：你能用說理的方法推出/1=/3嗎？【教學(xué)提示】學(xué)生

以小組為單位展開

解：與互補，與互補（鄰補角定義），

N2N3N2討論，選代表發(fā)言,

并口答為什么.例

/.ZI=Z3（同角的補角相等）.

題比較簡單，教師

不做任何提示，讓

或?qū)懗?VZ1=180°-Z2,Z3=180°-Z2（鄰補角定義），

學(xué)生在練習(xí)本上獨

立完成解題過程，

.?.N1=N3（等量代換）.

請一個學(xué)生板演。

教師提醒：NI與N2互補不是給出的已知條件，而是分析圖形得到的；所以括號內(nèi)

不填已知，而填鄰補角定義.

2.性質(zhì)歸納：對頂角相等.

3.初步應(yīng)用

例1：如圖，直線a、b相交，Z1=40e,求N2,N3,N4的度數(shù).

【教學(xué)說明】要求

解：?；N1=N3（對頂角相等），N1=40”己知）學(xué)生能用文字語言

，Z3=409.說理，并讓學(xué)生寫

又...N1+N2=180。（鄰補角定義），N1=401已知）出推理過程，由于

本階段對于推理的

N2=/4（對頂角相等）要求處在入門階

,Z4=Z2=180s-Z1=140支段，因此形式上可

不做過分要求。

4.變式練習(xí)

學(xué)生活動：讓學(xué)生把例題中=40。這個條件換成其他條件，而結(jié)論不變，自編幾道

題.

變式1：把NI=40。變?yōu)?2—/1=40。

變式2：把/1=40。變?yōu)镹2是NI的3倍

變式3：把/1=40。變?yōu)镹1：Z2=2：9.

三、鞏固訓(xùn)練，熟練技能

【教學(xué)提示】表格

1.（1）若與N2是對頂角，Z1=162,則/2=e；

中的結(jié)論均由學(xué)生

自己口答填出.

（2）若N3與N4是鄰補角，則N3+N4=e.

2.若N1與/2為對頂角，N1與/3互補，則N2+/3=a.

3.要測量兩堵圍墻所形成的/AOB的度數(shù)，但人不能進入圍墻，如何測量？

四、歸納總結(jié)，板書設(shè)計

角的特征性相同點不同點

質(zhì)

名稱

對①兩條直線相交①都是兩條直①有無公共邊

形成的角；對頂

頂角相線相交而成的

②有公共頂點；角；

等

角③沒有公共邊②兩直線相

交時,對預(yù)

②都有一個公

鄰角只有兩又寸，

①兩條直線相交共頂點:

而成；沔卜鄰樸角有四

補對.

②有公共頂點；角互③都是成對出

角③^一奈公共邊補王見的

五、課后作業(yè)，目標檢測

見《學(xué)練優(yōu)》本課時內(nèi)容

教學(xué)反思

成功之處：本節(jié)課是在七年級上冊學(xué)過線、角的有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進一步研究兩直線位置關(guān)系的第一課

時.對頂角是幾何求解、證明中的一個基本圖形，其中對頂角相等也是證明中常用的結(jié)論，以此實現(xiàn)角之間

的相互轉(zhuǎn)化.內(nèi)容相對簡單，但又非常重要。對頂角的概念出來后，立即找到生活原型，以加強認識，聯(lián)系

生活.在辨別給出圖形是否為對頂角的一組題目中，果然如課前所料r學(xué)生的幾何語言運用不夠熟練、嚴謹,

我耐心地糾正，原因是幾何開始一定要讓學(xué)生重視幾何語言的表述，養(yǎng)成學(xué)習(xí)幾何的好習(xí)慣.在這個題目中

我始終讓學(xué)生對照定義辨別，加強認識.探究對頂角相等這個性質(zhì)是本課時的重難點，所以我的設(shè)計是先畫

圖量角，讓學(xué)生有一個感性認識，同時讓學(xué)生認識到度量是有誤差的，所以叫學(xué)生記下讀數(shù)，提出可不可

以根據(jù)一個角的度數(shù)，計算出其對頂角的度數(shù)這樣一個問題，其實這個問題設(shè)計是承上啟下的，因為在證

明時我聽到他們說出“和剛才計算一樣”的話.練習(xí)題的設(shè)置一來是鞏固，二來時讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化思想.

不足之處：本節(jié)課通過對比教學(xué)，學(xué)生對概念的理解及簡單的一些推理說明基本能掌握，但可能是課堂上

沒有照顧到所有的學(xué)生導(dǎo)致部分學(xué)習(xí)有困難的孩子對推理說明類似的題目在解題過程中出現(xiàn)亂、繁等現(xiàn)象

（個別學(xué)生甚至無法下手）.課后要根據(jù)實際情況及時進行補差補缺，爭取不讓一個孩子掉對.

5.1.2垂線

簪司醐

1.理解垂線、垂線段的概念，會用三角尺或量角器過一點畫已知直線的垂線；（重點）

2.掌握點到直線的距離的概念，并會度量點到直線的距離；

3.掌握垂線的性質(zhì)，并會利用所學(xué)知識進行簡單的推理.（難點）

鸚婕

一、情境導(dǎo)入

大家都看到過跳水比賽，下面幾幅圖片中是幾種不同的入水方式，你知道哪個圖片中運

動員獲得的分數(shù)最高嗎？

在獲得分數(shù)最高的圖片中你知道運動員的身體和水面之間的關(guān)系嗎？這節(jié)課我們將要

學(xué)習(xí)有關(guān)這種關(guān)系的知識.

二、合作探究

探究點一：垂線的概念

［類型—］利用垂直的定義求角的度數(shù)

硒I如圖，已知點0在直線48上，于點0,若/1=150°,則/3的度數(shù)

為（）

A—-B

n

A.30°B.40°C.50°D.60°

解析：先根據(jù)鄰補角關(guān)系求出/2=180°-150°=30°,再由CO_LOO得出/CO￡>

=90°,最后由互余關(guān)系求出N3=90°-Z2=90°-30°=60°.故選D.

方法總結(jié)：兩條直線垂直時，其夾角為90°；由一個角是90°也能得到這個角的兩條

邊是互相垂直的.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第2題

［類型二］垂直與對頂角、鄰補角結(jié)合求角的度數(shù)

MB如圖，/1=30°,AB1CD,垂足為O,EF經(jīng)過點。.求/2、/3的度數(shù).

解析：首先根據(jù)垂直的概念得到/BOC=90°,然后根據(jù)/I與/3是對頂角，N2與

/3互為余角，從而求出角的度數(shù).

解：由題意得/3=/1=30°（對頂角相等）.?.?A8_LC7）（已知），：.ZBOD^90a,（垂

直的定義），.?.Z3+Z2=90°,即30。+/2=90。，：.Z2=60°.

方法總結(jié)：解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)垂直的概念，得到度數(shù)為90°的角，然后根據(jù)對頂

角、鄰補角的性質(zhì)解決.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第9題

探究點二：垂線的畫法

砸1（1）如圖①，過點P畫AB的垂線；

（2）如圖②，過點P分別畫OA、08的垂線；

（3）如圖③，過點4畫8c的垂線.

解：如圖所示.

圖①圖②圖③

方法總結(jié)：垂線的畫法需要三步完成：一落：讓三角板的一條直角邊落在已知直線上,

使其與已知直線重合；二移：沿直線移動三角板，使其另一直角邊經(jīng)過所給的點；三畫：沿

此直角邊畫直線，則這條直線就是已知直線的垂線.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)”課后鞏固提升”第8題

探究點三：垂線的性質(zhì)（垂線段最短）

胸口如圖，是一條河，C是河邊AB外一點.現(xiàn)欲用水管從河邊A8將水引到C處，請

在圖上畫出應(yīng)該如何鋪設(shè)水管能讓路線最短，并說明理由.

AB

解析：根據(jù)垂線的性質(zhì)可解，即過C作CELA8,根據(jù)“垂線段最短”可得CE最短.

解：如圖所示，沿CE鋪設(shè)水管能讓路線最短，因為垂線段最短.

A-A---B

方法總結(jié):在利用垂線的性質(zhì)解決生活中最近、最短距離的問題時，要依據(jù)“兩點之間，

線段最短”和“垂線段最短”來解決.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第5題

探究點四：點到直線的距離

的?如圖，在△ABC中，過點C作COLA8,垂足為。，則點C到直線A8的距離是（）

A.線段CA的長B.線段8

C.線段40的長D.線段CZ）的長

解析：根據(jù)點到直線的距離的定義：直線外一點到直線的垂線段的長度叫做點到直線的

距離，可得點C到直線48的距離是線段C￡＞的長.故選D.

方法總結(jié)：點到直線的距離是直線外一點到直線的垂線段的長度，而不是垂線段.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第9題

三、板書設(shè)計

廠垂線的定義

『落

垂線的作法（二移

垂線〈

【三畫＞求最短距離

垂線的性質(zhì)：垂線段最短

本節(jié)課主要研究兩條直線相交時的特殊情況——垂直，可類比前面兩條直線相交時的一

般情況學(xué)習(xí)新知識.經(jīng)歷合作探究過程獲得新知，并能用所學(xué)的新知識來解決實際問題.這

樣教學(xué)更能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，使每個學(xué)生在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)上都能得到不同的發(fā)展

5.1.2垂線

教學(xué)目標

1.了解垂直概念；

2.能說出垂線的性質(zhì)“經(jīng)過一點；能畫出已知直線的一條垂線，并且只能畫出一條垂線”；

3.會用三角尺或量角器過一點畫一條直線的垂線.

重點：兩直線互相垂直的有關(guān)性質(zhì).

難點：過直線上（外）一點作已知直線的垂線.

教學(xué)過程【教學(xué)備注】

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

生活中的垂線

二、目標導(dǎo)學(xué)，探索新知

目標導(dǎo)學(xué)1垂直的定義

活動1在相交線的模型中，固定木條a,轉(zhuǎn)動木條b,當b

的位置變化時，a、b所成的角a也會發(fā)生變化.

當a=90°時,a與b垂直.當a"90°時,a與b不

垂直，叫斜交.

【教學(xué)提示】引導(dǎo)學(xué)

1.垂直定義：當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角生通過木條的轉(zhuǎn)動

是直角（90°）時，這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫過程得出垂線的定

另一條直線的垂線，它們的交點叫垂足。義。

（說明）從垂直的定義可知，判斷兩條直線互相垂直的關(guān)鍵：只要找到兩條直線相交時

四個交角中有一個角是直角。

2.垂直的表示：用“_L”和直線字母表示垂直ah

I____r

例如、如圖，a、b互相垂直，垂足為O,則記為：a，b或b_La,°

若要強調(diào)垂足，則記為：a±b,垂足為。.或a，b于O.

實際應(yīng)用：日常生活中，兩條直線互相垂直的情形很常見，說出圖中的一些互相垂直的線條.

你能再舉出其他例子嗎？

方格本的橫線和豎線

試一試：

1、下面四種判定兩條直線垂直的方法，正確的有（）個

（1）兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角，則這兩條直線互相垂直

（2）兩條直線相交，只要有一組鄰補角相等，則這兩條直線互相垂直

（3）兩條直線相交，所成的四個角相等，這兩條直線互相垂直

（4）兩條直線相交，有一組對頂角互補，則這兩條直線互相垂直

（A）4（B）3（C）2（D）1

2.如圖，已知A0B為一直線，ZAOD：NB0D=3：1,OD平分/COB,（1）

求NAOC的度數(shù)；（2）判斷AB與0C的位置關(guān)系.

C

目標導(dǎo)學(xué)2：垂線的書寫形式

當直線AB與CD相交于0點，ZAOD=90°時，AB±CD,垂足為0.

書寫形式1：因為NAOD=90°（已知）

所以ABLCD（垂直的定義）反之，若直線AB與CD垂直，垂足為0,那么，ZA0D=

90°

書寫形式2：.如圖.直線AB、CD相交于點O,OELAB于O,OB平分/DOF,Z

DOE=50°,求NAOC、ZEOF、ZCOF的度數(shù).

垂線的定義

定義圖示文字語言幾何語言兩層含義

當兩條直

AAB1CD,含義1:

線所成的L

四個角中直線AB垂。為垂VAB±CD

足.

有一個角直于直線AZ1=90°【教學(xué)提示】對垂線

是直角時，CODCD,0為(垂直用概念進行小結(jié)。

含義2：

我們就說垂足.符號“_L”

這兩條直來表示，VZ1=9O°

線互相垂讀祚“垂直/.AB±CD

直.于”)

學(xué)習(xí)目標3：垂線的畫法和垂線性質(zhì)1

活動2(一)畫已知直線的垂線

(1)如圖1,已知直線m,作m的垂線。

rd111—----------m

5圖］圖2A1l

(2)如圖2,已知直線m和m上的一點A，作m的垂線.

(1)靠:把三角板的一直角邊靠在直線上；

(2)移:移動三角板到已知點；

(3)畫線:沿著三角板的另一直角邊畫出垂線.

【教學(xué)提示】通過畫

思考：

垂線的過程，引導(dǎo)學(xué)

(1)畫已知直線m的垂線能畫幾條？

生思考，得出性質(zhì)

(2)過直線m上的一點A畫m的垂線，這樣的垂線能畫幾條？

1.

(3)過直線m外的一點A畫m的垂線，這樣的垂線能畫幾條？

試一試：

過點p向線段AB所在直線引垂線，正確的是().

垂線的性質(zhì)1過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

說明：（1）“過一點”包括幾種情況？線上和線外；（2）“有且只有”是什么意

思？存在性與唯一性。

（二）過點P作線段或射線所在直線的垂線

⑴（2）

注意:過一點畫己知線段（或射線）的垂線，就是畫這條線段（或射線）所在直線的垂線.畫線段

（或射線）的垂線時，有時要將線段延長（或?qū)⑸渚€反向延長）后再畫垂線.

試一試：

1.如圖，分別過A、B、C,作BC、AC、AB的垂線。

2.如圖，過P分別作OA、0B的垂線。

，NB

學(xué)習(xí)目標3：垂線的性質(zhì)

活動3比較過直線m外一點。與m相交的所有線段中，哪一條最短?

垂線的性質(zhì)2直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中.垂線段最短.即：垂線

段最短.

點到直線的距離直線外一點到已知直線的垂線段的長度就叫做點到直線的距離.

應(yīng)用：在體育課上，老師是怎樣測量同學(xué)們的跳遠成績的？你能嘗試說明其中的理由

嗎？

踏板

沙坑

做法：將尺子拉直與踏板邊所在直線垂直，取最近的腳印后跟與踏板邊沿之間的距

離就是跳遠成績.

理由：直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中，垂線段最短.

四、垂線的定義與性質(zhì)的應(yīng)用

1.如圖.直線AB、CD相交于點0,OE_LAB于O,0B平分NDOF,NDOE=50°,

求NAOC、ZEOF、ZCOF的度數(shù).

解：因為ABLOE（已知）

所以NEOB=90°（垂直的定義）

因為NDOE=50°（已知）

所以NDOB=40°（互余的定義）

所以NA0C=ZDOB=40°（對頂角相等）

又因為OB平分NDOF

所以NBOF=ZDOB=40°（角平分線定義）

所以NEOF=ZEOB+ZBOF=90°+40°

=130°

所以NC0F=NC0D—NDOF=180°—80°=100°（鄰補角定義）

2.如圖，一輛汽車在一段筆直的公路上從A村開往B村,P村不在路AB上.

（1）如果有一人想在A、B兩村之間下車，前往P村，他在哪里下車走的路程最短？

請畫出圖形,并說明原因.

（2）汽車在哪一段路上行短時，與P村的距離越來越近？汽車在哪一段路上行駛時,

與P村的距離越來越遠？

答案：（1）在。點下車走的路程最短.

原因：垂線段最短.

（2）在A0路段上行駛時，與P村的距離

越來越近，在0B路段上行駛時，與P

村的距離越來越遠.

3.下面四種判定兩條直線的垂直的方法.正確的個數(shù)為（）

①兩條直線相交所成的四個角中有一個角是直角.則這兩條直線互相垂直

②兩條直線相交.只要有一組鄰補角相等.則這兩條直線互相垂直

③兩條直線相交.所成的四個角相等.這兩條直線互相垂直

④兩條直線相交.有一組對頂角互補.則這兩條直線互相垂直

A.5B.4C.3D.2

三、鞏固訓(xùn)練，熟練技能

1..兩條直線相交所成的四個角中，下列條件中能判定兩條直線垂直的是（）

（A）有兩個角相等（B）有兩對角相等

（C）有三個角相等（D）有四對鄰補角

2.如圖所示，在AABC中，ZABC=90,

①過點B作三角形ABC的AC邊上的高BD,過

D點作三角形

ABD的AB邊上的高DE。

②點A到直線BC的距離是線段的

長度.

點B到直線AC的距離是線段的

長度.

點D到直線AB的距離是線段的長度

線段AD的長度是點到直線的距離.

?如圖AB1CD垂足為O,/COF=56°,求N

AOE.

4.如圖：直線AB和CD相交

于點O,OEJ_AB,OF，CD,

ZBOF=40",求ND0E和N

四、歸納總結(jié)，板書設(shè)計

1.垂直的概念：如果兩條直線相交所成的四個角中，有一個是直角，就說這兩條直線互相垂

直.

2.垂線的性質(zhì)1：同一平面內(nèi)，經(jīng)過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.

3.垂線的性質(zhì)2：直線外一點與直線上各點連結(jié)的所有線段中.垂線段最短.

五、課后作業(yè)，目標檢測

見《學(xué)練優(yōu)》本課時內(nèi)容

教學(xué)反思

垂線是平面幾何所要研究的基本內(nèi)容之一.垂線的概念、畫法和性質(zhì)是重要的基礎(chǔ)知

識，是進一步學(xué)習(xí)平面直角坐標系、三角形的高、切線的性質(zhì)和判定、以及空間里的垂直關(guān)

系等知識的基礎(chǔ)，與其他數(shù)學(xué)知識一樣，它在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應(yīng)用.垂線的概念和性

質(zhì)，蘊含著“從一般到特殊”的認識規(guī)律，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的重要內(nèi)容之一.垂線的概

念和性質(zhì)是本節(jié)課的重點，也是全章的內(nèi)容之一；經(jīng)過一點畫已知直線的垂線，是本節(jié)課的

一個難點，在這個地方應(yīng)讓學(xué)生多觀察，多思考.讓學(xué)生動手畫一畫，試一試.鼓勵學(xué)生思考

并在小組內(nèi)交流，全班交流.教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)以上兩個結(jié)論.全班內(nèi)交流成果.教師板書

學(xué)生的結(jié)論:經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線垂直.引導(dǎo)學(xué)生分清“互相垂直”

與“垂線”的區(qū)別與聯(lián)系：（1）“互相垂直”指兩條直線的位置關(guān)系；（2）“垂線”是

指其中一條直線對另一條直線的命名.如果說兩條直線“互相垂直”時，其中一條必定是

另一條的“垂線”，如果一條直線是另一條直線的“垂線”，則它們必定“互相垂直”.

5.1.3同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

辱匐圜痂

1.理解''三線八角"中沒有公共頂點的角的位置關(guān)系，知道什么是同位角、內(nèi)錯角、

同旁內(nèi)角；

2.通過比較、觀察、掌握同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的特征；（重點）

3.能在復(fù)雜圖形中正確識別圖形中的同位角、內(nèi)錯角和同旁內(nèi)角.（重點、難點）

一、情境導(dǎo)入

上一節(jié)課中我們主要學(xué)習(xí)兩條直線相交的情況，兩條直線相交時，可以形成哪幾種角？

如果兩條直線被第三條直線所截時，還能形成以上的角嗎？是否還有其他類型的角呢？你能

說出它們的名字嗎？

二、合作探究

探究點一：識別同位角

［類型—］判斷同位角及截線

硒I如圖，Z1和N2是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？Z1和

Z3是哪兩條直線被哪一條直線所截形成的？它們是什么角？

解析：識別同位角要弄清哪兩條直線被哪一條直線所截.也就是說，在辨別這些角之前，

要弄清哪一條直線是戰(zhàn)線，哪兩條直線是被裁線.

解：N1和N2是直線EF、DC被直線AB所截形成的同位角，/I和N3是直線AB、

CD被直線EF所截形成的同位角.

方法總結(jié)：①同位角中的“同”字有兩層含義：一同是指兩角在截線的同旁，二同是指

它們在被截兩直線同方向；②在表述“三線八角”中某種位置關(guān)系的角時，可用以下方法:

“/X和NX是直線X和直線X被直線X所截形成的X角”.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第6題

［類型二］在圖形中判斷同位角

崛下列圖形中，/I和/2不是同位角的是（）

ABCD

解析：選項A、B、D中，Z1與/2在截線的同側(cè)，并且在被截線的同一方向，是同

位角，即在圖中可找到形如“F”的模型；選項C中，N1與22的兩條邊都不在同一條直線

上，不是同位角.故選C.

方法總結(jié)：確定兩個角的位置關(guān)系的有效方法——描圖法：①把兩個角在圖中“描畫”

出來；②找到兩個角的公共直線；③觀察所描的角，判斷所屬“字母”類型，同位角為“F”

型.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第1題

［類型三］數(shù)同位角的對數(shù)

例?如圖，直線/2被所截，則同位角共有（）

A.1對B.2對C.3對D.4對

解析：圖中同位角有：N1和/5,N2和/6,N3和27,N4和/8,共4文寸.故選

D.

方法總結(jié)：數(shù)同位角的個數(shù)時，應(yīng)從各個方向逐一觀察，避免重復(fù)或漏數(shù).

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第5題

探究點二：識別內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角

硒1如圖，下列說法錯誤的是（）

c

1

A.NA與NB是同旁內(nèi)角

B.Z3與N1是同旁內(nèi)角

C.N2與N3是內(nèi)錯角

D.N1與/2是同位角

解析：根據(jù)同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角的基本模型判斷.A中NA與NB形成“U”型，

是同旁內(nèi)角：B中/3與/I形成“U”型，是同旁內(nèi)角；C中N2與23形成“Z”型，是內(nèi)

錯角；D中N1與N2是鄰補角，該選項說法錯誤.故選D.

方法總結(jié)：在復(fù)雜的圖形中判別三類角時，應(yīng)從角的兩邊入手，具有上述關(guān)系的角必有

兩邊在同一直線上，此直線即為截線，而另外不在同一直線上的兩邊，它們所在的直線即為

被截的線.同位角的邊構(gòu)成“F”型，內(nèi)錯角的邊構(gòu)成“Z”型，同旁內(nèi)角的邊構(gòu)成“U”型.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第3題

例?如圖所示，直線力E與/0的兩邊相交，則/0的同位角是,/8的同旁

內(nèi)角是.

解析：直線QE與/0的兩邊相交，則N。的同位角是/5和N2,N8的同旁內(nèi)角是/I

和20.故答案為/5和/2,N1和20.

易錯點撥：找某角的同位角、同旁內(nèi)角時，應(yīng)從各個方位觀察，避免漏數(shù).

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第4題

三、板書設(shè)計

,同位角“F”型

三線八角，內(nèi)錯角“Z”型

.同旁內(nèi)角“U”型

本節(jié)課以學(xué)生交流、合作、探究貫穿始終，在教學(xué)過程中，給學(xué)生的思考留下了足夠的

時間和空間，由學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)結(jié)論.學(xué)生在經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題的過程中，

對“三線八角”的概念準確理解并掌握.培養(yǎng)學(xué)生動手、合作、概括能力，同時也提高思維

水平和探究能力

5.2平行線及其判定

5.2.1平行線

1.了解平行線的概念及平面內(nèi)兩條直線相交或平行的兩種位置關(guān)系；

2.掌握平行公理以及平行公理的推論；(重點、難點)

3.會用符號語言表示平行公理推論，會用三角尺和直尺過已知直線外一點畫這條直線

的平行線.(重點)

一、情境導(dǎo)入

數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，觀察下面的圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？

以上的圖片都有兩條相互平行的直線，這將是我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容.

二、合作探究

探究點一：平行線的概念

硒1下列說法中正確的有：.

(1)在同一平面內(nèi)不相交的兩條線段必平行；

(2)在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線必平行；

(3)在同一平面內(nèi)不平行的兩條線段必相交；

(4)在同一平面內(nèi)不平行的兩條直線必相交；

(5)在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和垂直.

解析：根據(jù)平行線的念進行判斷.線段不相交，延長后不一定不相交，(1)錯誤；同

一平面內(nèi)，直線只有平行和相交兩種位置關(guān)系，(2)(4)正確，(5)錯誤；線段是有長度的，不

平行也可以不相交，(3)錯誤.故答案為(2)(4).

方法總結(jié)：同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有兩種：平行和相交.兩條線段平行、

兩條射線平行是指它們所在的直線平行，因此，兩條線段不相交不意味著它們所在的直線不

相交，也就無法判斷它們是否平行.

探究點二：過直線外一點畫已知直線的平行線

傍唱I如圖所示，在N40B內(nèi)有一點P.

⑴過點P畫P〃Q4；

（2）過點尸畫為〃。&

（3）用量角器量一量/,與/2相交的角與NO的大小有怎樣的關(guān)系.

解析：用兩個三角板，根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”來畫平行線，然后用量角器量

一量6與b相交的角，該角與N。的關(guān)系為相等或互補.

解：（1）（2）如圖所示；

（3川與b夾角有兩個：Zl,Z2；Z1=ZO,/2+/。=180°,所以和b的夾角與

/O相等或互補.

易錯點撥：注意N2與/。是互補關(guān)系，解答時容易漏掉.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第5題

探究點三：平行公理及其推論

［類型一］應(yīng)用平行公理及其推論進行判斷

砸1有下列四種說法：（1）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；（2）同一平

面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直；（3）直線外一點與直線上各點連接的所

有線段中，垂線段最短；（4）平行于同一條直線的兩條直線互相平行.其中正確的個數(shù)是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

解析：根據(jù)平行公理、垂線的性質(zhì)進行判斷.（1）過直線外一點有且只有一條直線與這

條直線平行，正確；（2）同一平面內(nèi)，過一點能且只能作一條直線與已知直線垂直，正確；（3）

直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，正確；（4）平行于同一條直線的

兩條直線互相平行，正確；正確的有4個.故答案為D.

方法總結(jié):平行線公理和垂線的性質(zhì)兩者比較相近，兩者區(qū)別在于：對于平行線公理中，

必須是過直線外一點可以作已知直線的平行線，但過直線上一點不能作已知直線的平行線，

垂線的性質(zhì)中，無論點在何處都能作出已知直線的垂線.

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課堂達標訓(xùn)練”第3題

［類型二］應(yīng)用平行公理的推論進行論證

1例13四條直線a,b,c,4互不重合，如果b//c,c//d,那直線a,d的位置關(guān)

系為.

解析：由于a〃乩b//c,根據(jù)平行公理的推論得到。〃c,而c〃d,所以故答案

為a//d.

方法總結(jié)：平行公理的推論是證明兩條直線相互平行的理論依據(jù).

變式訓(xùn)練：見《學(xué)練優(yōu)》本課時練習(xí)“課后鞏固提升”第4題

［類型三］平行公理推論的實際應(yīng)用

睡I將一張長方形的硬紙片ABCQ對折后打開，折痕為EF,把長方形ABEF平攤在桌

面上，另一面C0FE無論怎樣改變位置，總有存在，為什么？

a

DE

'b

FA

解析：根據(jù)平行公理的推論得出答案即可.

角星：,JCD//EF,EF//AB,：.CD//AB.

方法總結(jié)：利用平行公理的推論進行證明時，關(guān)鍵是找到與要證的兩邊都平行的第三條

邊進行說明.

三、板書設(shè)計

「概念

兩條直線的位置關(guān)系：平行或相交

平行線〈

［平行公理

性質(zhì)

平行公理的推論

本節(jié)課以學(xué)生身邊熟悉的事物引入，讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與我們的生

活密不可分.經(jīng)歷觀察多媒體的演示和通過畫圖等操作，交流歸納與活動，進一步培養(yǎng)學(xué)生

的空間想象能力

5.2.1平行線

教學(xué)任務(wù)分析

(1)在豐富的現(xiàn)實情境中，進一步了解兩條直線的平行關(guān)系，掌握有

關(guān)的符號表示.

知識技能

(2)