微專題10導(dǎo)數(shù)解答題之零點(diǎn)問題 -2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題10導(dǎo)數(shù)解答題之零點(diǎn)問題【秒殺總結(jié)】1、函數(shù)零點(diǎn)問題的常見題型：判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn)或者求零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；根據(jù)含參函數(shù)零點(diǎn)情況，求參數(shù)的值或取值范圍．求解步驟：第一步：將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)問題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與軸（或直線）在某區(qū)間上的交點(diǎn)問題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)在此區(qū)間上的單調(diào)性、極值、端點(diǎn)值等性質(zhì)，進(jìn)而畫出其圖像；第三步：結(jié)合圖像判斷零點(diǎn)或根據(jù)零點(diǎn)分析參數(shù)．【典型例題】例1．（2024·河南·一模）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）根據(jù)條件則當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，因此在遞減；當(dāng)時(shí)，由，解得；，解得因此：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，無增區(qū)間；時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；注：區(qū)間端點(diǎn)處可以是閉的（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，有（1）可知且則必有即，解得又因，即，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在單調(diào)遞減，可得，也即得在恒成立，從而可得在，區(qū)間上各有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，若有兩個(gè)零點(diǎn)實(shí)數(shù)a的范圍為例2．（2024·湖南·二模）已函數(shù)，其圖象的對(duì)稱中心為.(1)求的值；(2)判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故為奇函數(shù)，從而有，即，，，所以，解得，所以；（2）由（1）可知，，，，①當(dāng)時(shí)，，，所以在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，，，有兩個(gè)正根，不妨設(shè)，則，函數(shù)在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，，令，解得或，有兩個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，，，有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，不妨設(shè)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn).例3．（2024·高三·四川雅安·開學(xué)考試）已知函數(shù)．(1)若，當(dāng)時(shí)，證明：．(2)若，證明：恰有一個(gè)零點(diǎn)．【解析】（1）證明：因?yàn)椋?，．?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，．（2）．令，則．令，則．當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則在上單調(diào)遞增．因?yàn)椋郧∮幸粋€(gè)零點(diǎn)，則恰有一個(gè)零點(diǎn)．例4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，，，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，的圖象在點(diǎn)處的切線方程為；（2），令，即，整理為：，設(shè)，即，則，化簡(jiǎn)為，，設(shè)，，令，得，，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，，若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，所以，得，，則，則在區(qū)間有1個(gè)零點(diǎn)，，設(shè)，,，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，，則在上單調(diào)遞增，，即，則，根據(jù)函數(shù)大單調(diào)性可知，在區(qū)間有1個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.例5．（2024·高三·河南·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)判斷的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?令，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.（2）且的零點(diǎn)等價(jià)于且的零點(diǎn).,令，易知，因?yàn)椋源嬖?，使得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上不存在零點(diǎn).取，則，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為.又，所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.例6．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）已知．(1)討論的單調(diào)性；(2)若存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：存在三個(gè)零點(diǎn)，且(3)在（2）的條件下，證明：．【解析】（1），如果則，所以在R上遞減；如果，則的符號(hào)以為分界線，左邊負(fù)右邊正，所以在遞減，在遞增；（2）由于有兩個(gè)零點(diǎn)，故，而且，也就是，所以，如果或，那么，所以有零點(diǎn)，同時(shí)，由于且，所以，而，令，則，令，則，這表明遞增，同時(shí)由于，所以在上有一實(shí)數(shù)u，滿足，且時(shí)，，時(shí)，.所以在遞減，在遞增.假設(shè)，就意味著在和上均遞增，所以，矛盾.所以，從而在和上各有一零點(diǎn)，且在和上大于0，在上小于0.那么由于，我們知道，所以上一定還有的零點(diǎn).綜上所述，存在三個(gè)零點(diǎn)，且；（3）設(shè)，，則有：，但，要證，只需要證明：，首先，容易說明當(dāng)時(shí)，，實(shí)際上，這也就是說此時(shí)，而意味著，上一問已證，同時(shí)由于是的零點(diǎn)（可導(dǎo)函數(shù)取極值的必要條件），所以，在這里對(duì)某個(gè)函數(shù)，我們定義函數(shù)列：，換言之是進(jìn)行次求導(dǎo)后得到的函數(shù)，從而令，，則，所以時(shí)，，所以時(shí)，，所以時(shí)，，即，所以，又因?yàn)?，所以，從而，也就是，由于，而在上小?，在上大于0，故，又由于，，而在上遞減，在上遞增，故，綜上，，從而.證.例7．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．(1)函數(shù)，求的最小值；(2)若為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．【解析】（1）由可得，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以的最小值為，故.（2）由于為函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，所以也是的兩個(gè)零點(diǎn)，故，故，，,令，令，則，當(dāng)時(shí),,故單調(diào)遞增，故，則，所以由零點(diǎn)存在定理可知，，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)，故故，故，所以由零點(diǎn)存在定理可知，，所以.例8．（2024·高三·河南濮陽·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)若，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若是函數(shù)（為的導(dǎo)函數(shù)）的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且，求證：.【解析】（1）由題意知的定義域?yàn)?，令，則，令，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象無交點(diǎn)，即無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，即有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即有2個(gè)零點(diǎn)；（2）由題意知，由于是函數(shù)的兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即是的兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，故，則，要證，即，由于在上有，故在上滿足，所以在上單調(diào)遞減，而，故，故即證，即證，而，令，則，設(shè)，則時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，故，即成立，故原不等式得證.【過關(guān)測(cè)試】1．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)若，求的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則.【解析】（1）的定義域?yàn)?，則，構(gòu)造，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，故要使，即需，即，故；（2）證明：由（1）可知的兩個(gè)零點(diǎn)一個(gè)小于1，另一個(gè)大于1，不妨設(shè)，因?yàn)?，?gòu)造函數(shù)，則，故在單調(diào)遞增，則由，則由可知，即，即，即，要證，即證，即證，構(gòu)造函數(shù)，，則，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，特別地，取，則有，即，故.2．（2024·青?！ひ荒＃┮阎瘮?shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)若有兩個(gè)零點(diǎn)，，證明：．【解析】（1）由題意可知的定義域?yàn)椋?，?duì)于，有在上恒成立，即遞減，所以，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在時(shí)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，，所以，即，所以的取值范圍為；（2）不妨設(shè)，由（1）知，即，令，構(gòu)造，且，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞減，故，所以時(shí)，單調(diào)遞減，故，即在上，所以，又，所以，即，由（1）知在上單調(diào)遞減，所以，故得證.3．（2024·河北·一模）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；(2)已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，在上有極小值0，對(duì)于某點(diǎn)，在P點(diǎn)的切線方程為，若對(duì)于，都有，則稱P為好點(diǎn)．①求a的值；②求所有的好點(diǎn)．【解析】（1）當(dāng)，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，只要存在兩個(gè)根即可，即存在兩個(gè)根，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，由，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間有2個(gè)零點(diǎn)，因此得到取值范圍是；（2）①，，令，則，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故，得，②設(shè)為好點(diǎn)，對(duì)于任意，都有，當(dāng)時(shí)，成立，當(dāng)時(shí)，即為當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，成立，因?yàn)樵邳c(diǎn)的切線方程為，所以，設(shè)，即，，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故分情況討論，（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉楹命c(diǎn)，所以恒成立，若，在上單調(diào)遞增，，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，，滿足條件，故時(shí)成立；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以在時(shí)單調(diào)遞減，，矛盾，不滿足條件；（2）當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉楹命c(diǎn)，所以恒成立，若，在上單調(diào)遞減，，，所以在時(shí)單調(diào)遞增，，滿足條件，故時(shí)成立；若，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，所以在時(shí)單調(diào)遞減，，矛盾，不滿足條件；綜上可知，由（1）（2）可得，且，即，所以只有一個(gè)好點(diǎn).4．（2024·全國(guó)·一模）已知(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)設(shè)是的兩個(gè)零點(diǎn)（），求證：①；②.【解析】（1），設(shè)，則，所以單調(diào)遞增，注意到，所以當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，所以，若，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為；（2）①由題意不妨設(shè)，則由（1）可知，且，所以，設(shè)，，所以函數(shù)單調(diào)遞增，所以，所以，即，又函數(shù)在上面單調(diào)遞減，所以，所以；②注意到，所以，要證，只需，即只需，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，所以，所以要證，只需，即，不妨設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)椋?，綜上所述，命題得證.5．（2024·北京門頭溝·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求的極值；(3)當(dāng)時(shí)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，則，，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則，因?yàn)?，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，無極小值.（3）令，即，因?yàn)?，所以，令，所以判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，又，，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，令，，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，即有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)無零點(diǎn)，即無零點(diǎn)，綜上可得當(dāng)時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)無零點(diǎn).6．（2024·山東濰坊·一模）已知函數(shù)（）．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：（，）；(3)若函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．【解析】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，求?dǎo)得，設(shè)，則，①當(dāng)時(shí)，恒成立，且至多一點(diǎn)處為0，函數(shù)在上遞減；②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，則當(dāng)或時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為.（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，則，令，于是，，所以.（3）函數(shù)，由于與同號(hào)，則只有一個(gè)零點(diǎn)，令，由，則有三個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，由（1）知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)，由（1）知，的兩極值點(diǎn)滿足，所以，得，由，則，由（2）知，當(dāng)時(shí)，，則，即，因此，由零點(diǎn)存在性定理知，在區(qū)間上有唯一的一個(gè)零點(diǎn)，顯然，而，則，于是當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)不同的零點(diǎn)，所以的取值范圍是.7．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知函數(shù)，且的極值點(diǎn)為.(1)求；(2)證明：；(3)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，證明：.【解析】（1）由，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以為的極大值點(diǎn)，即.（2）由（1）知，，要證，只需證，即，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，所以.（3）因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)不同的零點(diǎn)，所以，兩式相減并整理，得.設(shè)，由（2）知，所以要證，只需證，即證.設(shè)，下面只需證，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，從而，所以成立，從而.8．（2024·山西·一模）已知，且，函數(shù).(1)記為數(shù)列的前項(xiàng)和.證明：當(dāng)時(shí)，；(2)若，證明：；(3)若有3個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）由題意可知時(shí)，，所以；（2）易知時(shí)，，令，顯然時(shí)，時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以在上單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，時(shí)，，故；（3）①若，易知定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，不會(huì)有三個(gè)零點(diǎn)，不符題意；②若時(shí)，則時(shí)，，時(shí)，，由（2）可知：時(shí)，，時(shí)，，且，則函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，不符題意；③由（2）知，時(shí)，在上單調(diào)遞增，也不符題意；④若，，令，顯然時(shí)，時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，注意到，，所以使得，即在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，，，所以在區(qū)間各存在一個(gè)零點(diǎn)，及也是一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；綜上.9．（2024·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)(1)若和的圖象有公共點(diǎn)，且在公共點(diǎn)處有相同的切線，求值；(2)求證：當(dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象的上方；(3)令，若有2個(gè)零點(diǎn)，試證明【解析】（1），設(shè)公共點(diǎn)為，因?yàn)樵诠颤c(diǎn)處有相同的切線，則，故，解得，故.（2）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故.因?yàn)?，故，所以，故，所以即，故?dāng)時(shí)，的圖象恒在的圖象的上方.（3）因?yàn)橛?個(gè)零點(diǎn)，故，所以即，同理，不妨設(shè)，又，故，要證：，即證：，即證：，即證：.設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，故即，而，故成立，故成立.10．（2024·安徽阜陽·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性．(2)已知是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)．（ⅰ）求實(shí)數(shù)的取值范圍．（ⅱ）是的導(dǎo)函數(shù)．證明：．【解析】（1）．①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，令得，即在上單調(diào)遞增；同理，令得，即在上單調(diào)遞減．（2）（?。┯桑?）可知當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，即，解得，且，當(dāng)時(shí)，，則有，所以的取值范圍為．（ⅱ）是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則有①，②，①-②得，即，，因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，所以不單調(diào)，因?yàn)?，得，所以．若要證明成立，只需證，即證，令，則，則不等式只需證，即證，令，，令，令，因?yàn)?，得在上單調(diào)遞減，得，得，即在上單調(diào)遞減，得，得，即在上單調(diào)遞減，所以有，故有，不等式得證．11．（2024·北京豐臺(tái)·一模）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線為，記．(1)當(dāng)時(shí)，求切線的方程；(2)在（1）的條件下，求函數(shù)的零點(diǎn)并證明；(3)當(dāng)時(shí)，直接寫出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，而，所以，從而切線方程為，也就是.（2）由題意，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，，，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，綜上，恒成立，也就是恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，故函?shù)有唯一零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；因此當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故；（3）對(duì)個(gè)實(shí)數(shù)，定義和分別為中最大的一個(gè)和最小的一個(gè).現(xiàn)在，，故，令，再對(duì)求導(dǎo)一次得到.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.故函數(shù)在上遞減，在上遞增.由于曲線在處的切線斜率為，故該切線的方程為，從而.現(xiàn)在我們有，故.首先我們有，，故.已證函數(shù)在上遞減，在上遞增，下面我們分情況討論：當(dāng)時(shí)：由于，故，同時(shí)由在上遞增，知，而，故在上必存在一個(gè)零點(diǎn)，記該零點(diǎn)為，則有，且，從而.由于函數(shù)在上遞減，在上遞增，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.這表明在上遞減，在和上各自遞增.由于在上遞增，故在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，而.同時(shí)，當(dāng)時(shí)，有故，這表明當(dāng)時(shí)，有.故必有一個(gè)零點(diǎn)，且.已證在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，這就說明在上恰有一個(gè)零點(diǎn).然后，當(dāng)時(shí)，由于在上遞減，在上遞增，故.而，這說明在上恰有一個(gè)零點(diǎn).根據(jù)以上的討論，知恰有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)：由于，故，同時(shí)由在上遞減，知，而，故在上必存在一個(gè)零點(diǎn)，記該零點(diǎn)為，則有，且，從而.由于函數(shù)在上遞減，在上遞增，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.這表明在上遞減，在和上各自遞增.由于在上遞增，故在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，而.同時(shí)，當(dāng)時(shí)，有：故，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，故在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，即.所以當(dāng)時(shí)，有：這表明當(dāng)時(shí)，有，，從而.故必有一個(gè)零點(diǎn)，且.已證在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，這就說明在上恰有一個(gè)零點(diǎn).然后，當(dāng)時(shí)，由于在上遞減，在上遞增，故.而，這說明在上恰有一個(gè)零點(diǎn).根據(jù)以上的討論，知恰有2個(gè)零點(diǎn).綜上，無論哪種情況，都恰有2個(gè)零點(diǎn)，從而零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.12．（2024·江西贛州·一模）已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間，(2)已如.若函數(shù)有唯一的零點(diǎn).證明，.【解析】（1），令，當(dāng)時(shí)，即為增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.的減區(qū)間為，增區(qū)間為（2）由（1）可知在單調(diào)遞增，且，又存在唯一的使得當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增；若方程有唯一的實(shí)數(shù)，則消去可得，令，則，在上為減函數(shù)且當(dāng)時(shí)，即13．（2024·山東聊城·一模）已知函數(shù)，，.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求的最小值；(3)設(shè)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1），令，可得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2），令，則，由，故恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，故存在，使，即，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，由，則，令，則有，，當(dāng)時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增，故，即，則，即的最小值為；（3）令，即有，即函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)，由（2）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)，即時(shí)，有唯一實(shí)數(shù)根，當(dāng)，即時(shí)，有兩實(shí)數(shù)根，當(dāng)，即時(shí)，無實(shí)數(shù)根，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn).14．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性，并證明；(2)證明：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的零點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)椋?，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，因此，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以．（2）①設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即時(shí)，．②設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．③當(dāng)時(shí)，，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，由①、②，得，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，（?。┤簦散僦?，得，故，又由②知當(dāng)時(shí)，成立，則，此時(shí)單調(diào)遞減，（ⅱ）若，則，此時(shí)單調(diào)遞減，由（?。áⅲ┛芍趩握{(diào)遞減，即在單調(diào)遞減．綜上，可知當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知在上存在唯一零點(diǎn)．15．（2024·高三·陜西安康·階段練習(xí)）記函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是的定義域的子集，若在區(qū)間上，則稱在上是“凸函數(shù)”.已知函數(shù).(1)若在上為“凸函數(shù)”，求的取值范圍；(2)若，判斷在區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【解析】（1）由可得其定義域?yàn)?，且，所以，若在上為“凸函?shù)”可得在恒成立，當(dāng)時(shí)，顯然符合題意；當(dāng)時(shí)，需滿足，可得；綜上可得的取值范圍為；（2）若，可得，所以，令，則；易知在區(qū)間上恒成立，因此可得在上單調(diào)遞減；顯然，；根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得存在使得，因此可知當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即在上為單調(diào)遞減；又，顯然在上不存在零點(diǎn)；而，結(jié)合單調(diào)性可得在上存在一個(gè)零點(diǎn)；綜上可知，在區(qū)間上僅有1個(gè)零點(diǎn).16．（2024·高三·廣東廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的極值；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：，）【解析】（1）函數(shù)，；令，即，解得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，取極小值，函數(shù)的極小值是，無極大值；（2），則，令則，由于時(shí)，，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，因此存在唯一的，使得，故當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)的遞增，時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，綜上可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，當(dāng)時(shí)，，因此與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.17．（2024·高三·天津南開·階段練習(xí)）已知函數(shù)．（注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一的極值點(diǎn)．①求實(shí)數(shù)a的取值范圍；②求證：在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點(diǎn)，且．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，所以，即切點(diǎn)，故曲線在點(diǎn)處的切線方程為：；（2）①.函數(shù)，，（ⅰ）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，，則在上單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，不合題意，舍去；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則在上恒成立，所以在上遞增，即在上遞增，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有唯一極值點(diǎn)，符合題意，綜上，的取值范圍是．②由①知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以時(shí)，，則，又因?yàn)?，所以在上有唯一零點(diǎn)，即在上有唯一零點(diǎn)．因?yàn)?，由①知，所以，則，設(shè)，，則，，，所以在為單調(diào)遞增，又，所以，又時(shí)，，所以．所以．由前面討論知，，在單調(diào)遞增，所以．18．（2024·山東淄博·一模）已知函數(shù)(1)討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性;(2)證明函數(shù)