微專題06 數(shù)列中的復(fù)雜遞推式問題-2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題06數(shù)列中的復(fù)雜遞推式問題【秒殺總結(jié)】1、疊加法：；2、疊乘法：；3、構(gòu)造法（等差，等比）：①形如(其中均為常數(shù))的遞推公式，，其中，構(gòu)造，即是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．②形如(其中均為常數(shù)，)，可以在遞推公式兩邊同除以，轉(zhuǎn)化為型．③形如，可通過取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求通項(xiàng)．4、取對(duì)數(shù)法：．5、由和的關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)（1）利用，化為．（2）當(dāng)不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求．6、數(shù)列求和：（1）錯(cuò)位相減法：適用于一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列(公比不等于1)對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘構(gòu)成的數(shù)列求和型（2）倒序相加法（3）裂項(xiàng)相消法常考題型數(shù)列的通項(xiàng)公式裂項(xiàng)方法等差數(shù)列型是公差為的等差數(shù)列是公差為的等差數(shù)列無理型指數(shù)型對(duì)數(shù)型三角型是公差為的等差數(shù)列階乘型【典型例題】例1．（2024·安徽六安·高三統(tǒng)考期末）某種生命體M在生長(zhǎng)一天后會(huì)分裂成2個(gè)生命體M和1個(gè)生命體N，1個(gè)生命體N生長(zhǎng)一天后可以分裂成2個(gè)生命體N和1個(gè)生命體M，每個(gè)新生命體都可以持續(xù)生長(zhǎng)并發(fā)生分裂.假設(shè)從某個(gè)生命體M的生長(zhǎng)開始計(jì)算，記表示第n天生命體M的個(gè)數(shù)，表示第n天生命體N的個(gè)數(shù)，則，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列C． D．若為等比數(shù)列，則【答案】B【解析】依題意，，，則，而，因此數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，，又，因此，于是，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，因此為遞增數(shù)列，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，由為等比數(shù)列，得，解得或，當(dāng)時(shí)，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，因此當(dāng)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，或，D錯(cuò)誤.故選：B例2．（2024·浙江·高三甌海中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列結(jié)論不正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是遞增數(shù)列C． D．【答案】C【解析】對(duì)于A，由題意易得，由，得，故A正確；對(duì)于C，由選項(xiàng)A得，所以，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得也是遞增數(shù)列，所以，即，故B正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)AC得，累加得，令，則，兩式相減，得，則，所以，故D正確.故選：C.例3．（2024·海南省直轄縣級(jí)單位·高三嘉積中學(xué)校考開學(xué)考試）已知數(shù)列中，，若，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】數(shù)列中，，，顯然，則，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，求導(dǎo)得，因此在上單調(diào)遞增，，于是當(dāng)時(shí)，，則有，當(dāng)時(shí)，，則，因此，，則，顯然，所以，D正確.故選：D例4．（2024·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列滿足，則的值為（

）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，依次類推，，，，所以數(shù)列為周期數(shù)列，周期，所以，故B正確.故選：B.例5．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，且，則實(shí)數(shù)t的最大值為（

）A．4 B．5 C． D．6【答案】A【解析】由題意得，若，則．當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，與矛盾；若，則，得，又，所以，，所以當(dāng)時(shí)，，所以實(shí)數(shù)的最大值為4．故選：A.例6．（2024·上海浦東新·高三上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：對(duì)任意，都有，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為．【答案】【解析】若，則，得，若，與矛盾，只能?。⒁獾揭粋€(gè)可行的數(shù)列為0，，1，，2，，3，…下面證明該數(shù)列使達(dá)到最大：為此，我們證明：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，假設(shè)存在某正奇數(shù)使，則分為兩種可能：①若，則，；同時(shí)，按原數(shù)列要求，，，故.注意到該數(shù)列顯然為整數(shù)數(shù)列，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不存在整數(shù)能位于該區(qū)間,因此矛盾．②若，則，，與矛盾；綜上，原假設(shè)不成立，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.而已經(jīng)找到的數(shù)列0，，1，，2，，3，…中等號(hào)全部成立，故的最大值為．例7．（2024·北京·高三北理工附中?？奸_學(xué)考試）已知數(shù)列，，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①；

②；③為遞增數(shù)列；

④，使得．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②④【解析】對(duì)于①，根據(jù)題意可知，因?yàn)?，所以，即，故①錯(cuò)誤；對(duì)于③，則，故，即，所以，即，故③錯(cuò)誤；對(duì)于②，依次遞推有，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，所以，即，故②正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，則，依次可知，所以，故④正確.故答案為：②④.例8．（2024·河北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）在數(shù)列中，滿足，則的值為.【答案】【解析】設(shè)，則，,所以，解得,所以，所以,故答案為：例9．（2024·河北·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）菲波納契數(shù)列又稱“兔子數(shù)列”“黃金分割數(shù)列”，是由13世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家菲波納契提出的，其定義是從數(shù)列的第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都等于前兩項(xiàng)的和，即滿足.規(guī)定，.(1)試證明：；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)試證明：時(shí)，.【解析】（1）因?yàn)?，所?（2）因?yàn)椋?，設(shè)，即，則，解得或，將代入得，則①，同理代入得，所以②，①②聯(lián)立解得，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足上述式子，所以的通項(xiàng)公式為.（3）方法一：觀察發(fā)現(xiàn)：，，，，，設(shè)，則時(shí)，認(rèn)為，解得：或舍去，即，所以.方法二：分別代入、通項(xiàng)公式：得，所以時(shí)，.例10．（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考開學(xué)考試）已知數(shù)列與數(shù)列滿足下列條件：①，；②，；③，，記數(shù)列的前項(xiàng)積為.(1)若，，，，求；(2)是否存在，，，，使得，，，成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫出一組，，，；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)若，求的最大值.【解析】（1）由，得，由，得，由，得，所以.（2）不存在.假設(shè)存在，設(shè)公比為，若，則，公比，矛盾，若，則，公比，矛盾，因此假設(shè)不成立，所以不存在.（3）依題意，，且，，設(shè)，則，得，于是，顯然的值從大到小依次為，若，則且，當(dāng)數(shù)列為或，可以取得，顯然當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)，則，，從而，又，所以.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·浙江·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意均有.記的前項(xiàng)和為，則（

）A．28 B．140 C．256 D．784【答案】B【解析】由數(shù)列滿足，且，令，可得，即，再令，可得，即數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又由，可得，即，又由即，所以及，令，可得，代入可得，解得，所以，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為，所以.故選：B.2．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則滿足不等式的的值為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【解析】由題意知數(shù)列滿足，故，則，結(jié)合，可知數(shù)列為首項(xiàng)是，公比為的等比數(shù)列，故，則，由于在R上單調(diào)遞減，則隨n的增大而減小，令，即得，由于隨n的增大而增大，且，則，而，故，，即數(shù)列的前5項(xiàng)為正，從第6項(xiàng)起均為負(fù)，故滿足不等式的的值為6，故選：C3．（2024·全國·高三專題練習(xí)）己知正項(xiàng)數(shù)列滿足，則下列正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C．?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列 D．【答案】D【解析】因?yàn)?，故，得，?duì)于選項(xiàng)A，由可得：，兩邊同乘，可得：，，則選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，易知，，因此，則，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，，，因此，又，同時(shí)，得，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，當(dāng)時(shí)，，則，則有，則選項(xiàng)D正確．故選：D.4．（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，兩式相減可得，即，所以，所以.故選：D5．（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，令．若數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，則，即，.故選：B二、多選題6．（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，則下列說法正確的是（

）A． B．為遞增數(shù)列C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，即，所以?shù)列為遞增數(shù)列，可得，選項(xiàng)A正確；因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列且，則為遞減數(shù)列，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋傻茫瑑蛇吰椒秸淼?，選項(xiàng)C正確．因?yàn)?，整理得，兩邊平方得，即，可得，累加可得，即，所以，故D正確．故選：ACD7．（2024·河南周口·高三項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）斐波那契數(shù)列又稱為黃金分割數(shù)列，在現(xiàn)代物理?化學(xué)等領(lǐng)域都有應(yīng)用．斐波那契數(shù)列滿足，則（

）A．B．，使得成等比數(shù)列C．，對(duì)成等差數(shù)列D．【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，由遞推公式可知中有兩個(gè)奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)，不可能成等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，所以，故成等差數(shù)列，所以存在，使得成等差數(shù)列，故C正確；對(duì)于D，由，得，所以，故D正確．故選：ACD．8．（2024·江西·高三統(tǒng)考期末）已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，，其中，則（

）A．為單調(diào)遞減數(shù)列 B．C． D．【答案】ACD【解析】對(duì)于AB，由已知得，令，定義域?yàn)?，，令，，?dāng)時(shí)，此時(shí)恒成立，故在上單調(diào)遞減，，也可得，即，故在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，故，則，即，故為單調(diào)遞減數(shù)列，故A正確，顯然，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，欲證，且由題意得，即證，即證，取指數(shù)得，又易知，化簡(jiǎn)得，故證明恒成立即可，令，，而，故在上單調(diào)遞增，且，故，即恒成立，故得證，故C正確，對(duì)于D，由C可知，，，，，，上式相加，得，故得證，故D正確.故選：ACD9．（2024·廣東·惠州一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）英國著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).已知二次函數(shù)有兩個(gè)不相等的實(shí)根，其中.在函數(shù)圖象上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作曲線的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替，重復(fù)以上的過程得到；一直下去，得到數(shù)列.記，且，，下列說法正確的是（

）A．（其中） B．?dāng)?shù)列是遞減數(shù)列C． D．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和【答案】AD【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，由得，所以，故A正確.二次函數(shù)有兩個(gè)不等式實(shí)根，，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處的切線方程為：，令，則，因?yàn)樗?，即：所以為公比?，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列.所以故BC錯(cuò).對(duì)于D選項(xiàng)，，得故D正確.故選：AD10．（2024·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知函數(shù)的圖象為曲線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，且分別是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.記點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，則（

）A． B．C．為等差數(shù)列 D．【答案】BCD【解析】由圖知，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把點(diǎn)代入中，可得：，因，解得：，則.由,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把點(diǎn)代入中，可得：，因，解得：，于是，,故A項(xiàng)錯(cuò)誤；又，,點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，把點(diǎn)代入中，可得：，因，解得：，故B項(xiàng)正確；由上分析可知，當(dāng)時(shí)，由點(diǎn)代入中，可得：，即得：，即組成公差為4的等差數(shù)列，故C項(xiàng)正確；由上分析可知，，因，因，則，則，，于是，故D項(xiàng)正確.故選：BCD.11．（2024·浙江溫州·高三統(tǒng)考期末）已知數(shù)列滿足，，若，，，則的值可能為（

）A．－1 B．2 C． D．－2【答案】BCD【解析】A：當(dāng)時(shí)，，得，所以數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，則，不符合題意，故A錯(cuò)誤；B：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故B正確；C：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，，得，所以，符合題意，故D正確.故選：BCD12．（2024·全國·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，且，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)積為，則下列說法正確的有（

）A．，使得 B．C． D．【答案】ABC【解析】數(shù)列滿足，，若，則，而，所以，下證：.令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故即，故即，故不等式成立.下面討論原問題.由題設(shè)有，即，所以且單調(diào)遞減，我們用數(shù)學(xué)歸納法證明：，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不等式成立；設(shè)當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，故，由數(shù)學(xué)歸納法可得成立.對(duì)于A，則，故當(dāng)時(shí)，，故A成立，對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故，而，故對(duì)任意的恒成立，故B成立.對(duì)于C，，但，故等號(hào)不成立，故成立，故C成立.對(duì)于D，由題設(shè)可得，因?yàn)?，故，而，故，所以，所以，而，即，因?yàn)?，故，故，而，而，故即，故，故即，因?yàn)?，故，，故即，故，所以，而，故，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三、填空題13．（2024·江西·高三校聯(lián)考期末）在1，3中間插入二者的乘積，得到1，3，3，稱數(shù)列1，3，3為數(shù)列1，3的第一次擴(kuò)展數(shù)列，數(shù)列1，3，3，9，3為數(shù)列1，3的第二次擴(kuò)展數(shù)列，重復(fù)上述規(guī)則，可得1，，，…，，3為數(shù)列1，3的第n次擴(kuò)展數(shù)列，令，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以是以為首?xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故答案為：14．（2024·北京·高三統(tǒng)考競(jìng)賽）整數(shù)列，，，對(duì)有，為固定正整數(shù)，求使成立的的個(gè)數(shù)【答案】2【解析】①設(shè)，則，若，則由可得，故對(duì)任意正整數(shù)，，這與項(xiàng)矛盾，所以.②設(shè)（），則，，，，，，因此整個(gè)數(shù)列是以6為周期的循環(huán)數(shù)列.因此，設(shè)是整數(shù)（，都是正整數(shù)），則，因此只可能是1或2，對(duì)應(yīng)的也只有2個(gè)，即2024與1012.故答案為：2.15．（2024·河北邢臺(tái)·高三寧晉中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）函數(shù)的最小值是，數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式是．【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的最小值是，所以當(dāng)時(shí)，，解得.所以，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?，所以，所?所以，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.所以，即.故答案為：.16．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知是各項(xiàng)均為正實(shí)數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和，，若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【解析】因?yàn)?，又因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正實(shí)數(shù)的數(shù)列，所以，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以，而，所以，即恒成立，又，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：.17．（2024·北京西城·高三北京師大附中?？奸_學(xué)考試）項(xiàng)數(shù)為的有限數(shù)列的各項(xiàng)均為不小于的整數(shù)，滿足，其中．給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則；②若，則滿足條件的數(shù)列有4個(gè)；③存在的數(shù)列；④所有滿足條件的數(shù)列中，首項(xiàng)相同．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②④【解析】因?yàn)橛邢迶?shù)列的各項(xiàng)均不小于的整數(shù)，所以，，，又因?yàn)椋?，所以，且，為整?shù)，所以，所以③錯(cuò)誤，④正確；當(dāng)時(shí)，得，所以，則，所以，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，得，又因?yàn)?，所以，則，所以，為整數(shù)，則的可能取值為，0，1，2，對(duì)應(yīng)的的取值為6，4，2，0，故數(shù)列可能為，，6；，0，4；，1，2；，2，0，共4個(gè)，故②正確．故答案為：②④．18．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則.【答案】【解析】，，.故答案為：.19．（2024·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則，.【答案】3【解析】由題意得，則數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，所以，得，則；由，得，即，所以.故答案為：；320．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列，對(duì)都有，且，則.【答案】【解析】令，可得，故是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，故，，，，故是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，設(shè)前項(xiàng)和為，則.故答案為：21．（2024·江蘇·高三統(tǒng)考期末）若數(shù)列滿足，（），則.【答案】3268【解析】由題意可得，作差得，故，故答案為：3268四、解答題22．（2024·北京·高三清華附中?？茧A段練習(xí)）若無窮數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)．且對(duì)于，，都存在，使得，則稱數(shù)列滿足性質(zhì)P．(1)判斷下列數(shù)列是否滿足性質(zhì)P，并說明理由．①，，2，3，…；②，，2，3，…．(2)若數(shù)列滿足性質(zhì)P，且，求證：集合為無限集；(3)若周期數(shù)列滿足性質(zhì)P，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．【解析】（1）對(duì)①，取，對(duì)，則，可得，顯然不存在，使得，所以數(shù)列不滿足性質(zhì)P；對(duì)②，對(duì)于，則，，故，因?yàn)?，則，且，所以存在，，使得，故數(shù)列滿足性質(zhì)P；（2）若數(shù)列滿足性質(zhì)，且，則有：取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，故數(shù)列中存在，使得，即，反證：假設(shè)為有限集，其元素由小到大依次為，取，均存在，使得，取，均存在，使得，取，均存在，使得，即這與假設(shè)相矛盾，故集合為無限集.（3）設(shè)周期數(shù)列的周期為，則對(duì)，均有，設(shè)周期數(shù)列的最大項(xiàng)為，最小項(xiàng)為，即對(duì)，均有，若數(shù)列滿足性質(zhì)：反證：假設(shè)時(shí)，取，則，使得，則，即，這對(duì)，均有矛盾，假設(shè)不成立；則對(duì)，均有；反證：假設(shè)時(shí)，取，則，使得，這與對(duì)，均有矛盾，假設(shè)不成立，即對(duì)，均有；綜上所述：對(duì)，均有，反證：假設(shè)1為數(shù)列中的項(xiàng)，由（2）可得：為數(shù)列中的項(xiàng)，∵，即為數(shù)列中的項(xiàng)，這與對(duì)，均有相矛盾，即對(duì)，均有，同理可證：，∵，則，當(dāng)時(shí)