2023-2024學(xué)年浙江省舟山市高二上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省舟山市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，A正確；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故選：A2.若直線與平行，則的值為（）A.0 B.2 C.3 D.2或3【答案】B【解析】由題意，所以，解得，或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線重合，不符合題意，所以.故選：B3.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.20 B.16 C.14 D.12【答案】D【解析】∵是等差數(shù)列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故選：D．4.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為，極差為．由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B.新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是C.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 D.新數(shù)據(jù)的極差是【答案】B【解析】對于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對于CD，不妨設(shè)，所以，而，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：B.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，因?yàn)槭堑妊苯侨切危郧?，則，將代入雙曲線方程，得，解得，所以，即，得，由，解得.故選：C6.已知事件，如果與互斥，那么；如果與相互獨(dú)立，且，那么，則分別為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如果事件與互斥，則，所以.如果事件與相互獨(dú)立，則事件與也相互獨(dú)立，所以，，即.故選：C.7.已知為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與圓相切，切點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，設(shè)直線，且則，作差得：由，所以，①因?yàn)闉橹本€與圓的切點(diǎn)，所以，②由①②消去可得，所以.故選：A.8.已知數(shù)列及其前項(xiàng)和，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，故，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，，故，即，有，即，則，故選：A.二、多選題（每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分）9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2C.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則該直線方程為D.過兩點(diǎn)的直線方程為【答案】AB【解析】對于A，直線的斜率為，其傾斜角為，A正確；對于B，直線交軸分別于點(diǎn)，該直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為，B正確；對于C，過點(diǎn)與原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，符合題意，即過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為的直線可以是直線，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)的直線或當(dāng)時(shí)的直線方程不能用表示出，D錯(cuò)誤.故選：AB10.同時(shí)擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，骰子的面上標(biāo)有1、2、3、4，記錄骰子朝下的面上的點(diǎn)數(shù)，事件表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為”，事件表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”,事件表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”,事件表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”．則下列說法中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】設(shè)紅骰子朝下的面上的點(diǎn)數(shù)為m，藍(lán)骰子朝下的面上的點(diǎn)數(shù)為n，樣本點(diǎn)為，則樣本空間為，則，事件表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為”，，所以，故A錯(cuò)誤；事件表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，所以，故B正確；事件表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”，，所以，故C正確；事件表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”,，所以，故D正確.故選：BCD11.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若且，則是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列B.若是遞減數(shù)列，則C.任意為等比數(shù)列D.若，則存在為等比數(shù)列【答案】AD【解析】對于A：由題意知，則，所以，當(dāng)或時(shí)，，則是遞減數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，，則是遞增數(shù)列.綜上可知，若且，則是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，故A正確；對于B：若是遞減數(shù)列，則，可得或，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)?，所以時(shí)，，于是任意為等比數(shù)列不成立，故C錯(cuò)誤；對于D：當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和，假設(shè)存在為等比數(shù)列，則，，，，，，，.此時(shí)，，則有.所以，若，則存在為等比數(shù)列，故D正確.故選：AD.12.已知橢圓，直線過橢圓的左焦點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.的取值范圍為B.以為直徑的圓與相離C.若，則的斜率為D.若弦的中垂線與長軸交于點(diǎn)，則為定值【答案】BCD【解析】由題意，對于A，直線斜率不存在時(shí)，將代入，得，此時(shí)，直線斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，化簡整理得，顯然，，所以，因，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，直線斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓與相離，滿足題意；直線斜率存在時(shí)，設(shè)中點(diǎn)為，則，即，點(diǎn)到直線的距離滿足，故B正確；對于C，直線斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意，直線斜率存在時(shí)，若，則，又，所以，解得，所以的斜率為，故C正確；對于D，直線斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，，直線斜率存在且不為0時(shí)，弦的中垂線方程為，令，得，所以，即為定值，故D正確.故選：BCD.II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題（每小題5分，共20分）13.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為______．【答案】7.5【解析】由題意，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故答案為：7.5.14.方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】方程表示一個(gè)圓，則，得.故答案為：15.已知數(shù)列中，，若前項(xiàng)和，則______．【答案】【解析】由題意，所以.故答案為：.16.曲線上動(dòng)點(diǎn)與構(gòu)成，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由對稱性，不妨考慮點(diǎn)在軸或其上方，即設(shè)，，，則，作軸于點(diǎn)，則，所以梯形，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，由得，無解，當(dāng)即時(shí)，時(shí)，，滿足題意，綜上，．四、解答題（本題共6小題，70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．解：（1）由題，因?yàn)樵谔幍那芯€為所以，解得，所以；（2）令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在上的最小值為，所以即證得當(dāng)時(shí)，．18.舟山某校組織全體學(xué)生參加了海洋文化知識(shí)競賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的平均成績；（3）用分層抽樣的方法在這兩組學(xué)生內(nèi)抽取5人，再從這5人中選2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求所選的兩人恰好都在的概率．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知；（2）平均成績?yōu)?；?）由題意得，兩組人數(shù)比例為，所以組應(yīng)抽取2人，記為，組應(yīng)抽取3人，記為甲，乙，丙對應(yīng)的樣本空間為：,(,甲),(,乙),(,丙),(,甲),(,乙),(,丙),(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共10個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)事件“兩人來于”，則(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共有3個(gè)樣本點(diǎn)．所以．19.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且三點(diǎn)構(gòu)成三角形．（1）用表示弦長，并求的取值范圍；（2）記的面積為，求的最大值及取最大值時(shí)的值．解：（1）圓心到直線的距離，因?yàn)橹本€與圓相交于不重合的兩點(diǎn)，且三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以，得，解得且，所以的取值范圍為（2）法一：所以，且當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取到等號(hào)所以的最大值為2，取得最大值時(shí)法二：設(shè)，則，所以所以當(dāng)，即，即時(shí)，所以的最大值為2，取得最大值時(shí)法三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)．20.已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且是與的等差中項(xiàng)，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）令,數(shù)列的前項(xiàng)和為,若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）設(shè)遞增等差數(shù)列的公差為，由是與的等差中項(xiàng)，得，即，則有化簡得，即，又，解得，則；（2），則，于是得，兩式相減得：，因此，又，所以不等式，等價(jià)于，又，所以等價(jià)于恒成立，令，則，則時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，則，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．21.拋物線上的到焦點(diǎn)的距離為4，直線經(jīng)過與拋物線相交于兩點(diǎn)，是直線與軸的交點(diǎn)，直線分別交軸于兩點(diǎn)．（1）求拋物線方程；（2）求證：為定值．解：（1）由題可得或(舍去)，所以；（2）設(shè)直線方程為：，聯(lián)立，則，所以，直線，可得，同理，所以，所以．22.已知雙曲線，直線為其中一條漸近線，為雙曲線的右頂點(diǎn)，過作軸的垂線，交于點(diǎn)，再過作軸的垂線交雙曲線右支于點(diǎn)，重復(fù)剛才的操作得到，記．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）過作雙曲線的切線分別交雙曲線兩條漸近線于，記，求證：．解：（1）雙曲線，漸近線方程為，由已知可得：，又點(diǎn)在雙曲線上，所以，即，所以是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，所以即（2）設(shè)，有，以為切點(diǎn)的雙曲線的切線，時(shí)斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，切線方程為，代入雙曲線，得，由，得，解得，切線方程為，為切點(diǎn)的雙曲線的切線方程也滿足，由，可得，即，由可得，即，所以，所以，.先證右邊：，所以，右邊得證.下證左邊：先證，令，，所以在遞增，所以，即時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，證明如下：所以，所以當(dāng)時(shí)：，當(dāng)成立，所以，左邊得證所以命題得證．浙江省舟山市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.下列求導(dǎo)結(jié)果正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，A正確；，B錯(cuò)誤；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.故選：A2.若直線與平行，則的值為（）A.0 B.2 C.3 D.2或3【答案】B【解析】由題意，所以，解得，或，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)兩直線重合，不符合題意，所以.故選：B3.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（）A.20 B.16 C.14 D.12【答案】D【解析】∵是等差數(shù)列，∴，，所以，∴公差，∴，∴，故選：D．4.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，中位數(shù)為，極差為．由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則下列命題中錯(cuò)誤的是（）A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是 B.新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是C.新數(shù)據(jù)的中位數(shù)是 D.新數(shù)據(jù)的極差是【答案】B【解析】對于A，因?yàn)椋?，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對于CD，不妨設(shè)，所以，而，所以，故C正確；因?yàn)?，所以，故D正確.故選：B.5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，因?yàn)槭堑妊苯侨切?，所以且，則，將代入雙曲線方程，得，解得，所以，即，得，由，解得.故選：C6.已知事件，如果與互斥，那么；如果與相互獨(dú)立，且，那么，則分別為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】如果事件與互斥，則，所以.如果事件與相互獨(dú)立，則事件與也相互獨(dú)立，所以，，即.故選：C.7.已知為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，直線與圓相切，切點(diǎn)恰為線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】設(shè)，設(shè)直線，且則，作差得：由，所以，①因?yàn)闉橹本€與圓的切點(diǎn)，所以，②由①②消去可得，所以.故選：A.8.已知數(shù)列及其前項(xiàng)和，若，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由，故，當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，有，，故，即，有，即，則，故選：A.二、多選題（每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分）9.下列說法正確的是（）A.直線的傾斜角為B.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2C.過點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為，則該直線方程為D.過兩點(diǎn)的直線方程為【答案】AB【解析】對于A，直線的斜率為，其傾斜角為，A正確；對于B，直線交軸分別于點(diǎn)，該直線與坐標(biāo)軸圍成三角形面積為，B正確；對于C，過點(diǎn)與原點(diǎn)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都為0，符合題意，即過點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為的直線可以是直線，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)的直線或當(dāng)時(shí)的直線方程不能用表示出，D錯(cuò)誤.故選：AB10.同時(shí)擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的正四面體骰子，骰子的面上標(biāo)有1、2、3、4，記錄骰子朝下的面上的點(diǎn)數(shù)，事件表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為”，事件表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”,事件表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”,事件表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”．則下列說法中正確的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】設(shè)紅骰子朝下的面上的點(diǎn)數(shù)為m，藍(lán)骰子朝下的面上的點(diǎn)數(shù)為n，樣本點(diǎn)為，則樣本空間為，則，事件表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為”，，所以，故A錯(cuò)誤；事件表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，所以，故B正確；事件表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”，，所以，故C正確；事件表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”,，所以，故D正確.故選：BCD11.已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，下列結(jié)論正確的是（）A.若且，則是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列B.若是遞減數(shù)列，則C.任意為等比數(shù)列D.若，則存在為等比數(shù)列【答案】AD【解析】對于A：由題意知，則，所以，當(dāng)或時(shí)，，則是遞減數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，，則是遞增數(shù)列.綜上可知，若且，則是遞增數(shù)列或遞減數(shù)列，故A正確；對于B：若是遞減數(shù)列，則，可得或，故B錯(cuò)誤；對于C：因?yàn)椋詴r(shí)，，于是任意為等比數(shù)列不成立，故C錯(cuò)誤；對于D：當(dāng)時(shí)，等比數(shù)列的前項(xiàng)和，假設(shè)存在為等比數(shù)列，則，，，，，，，.此時(shí)，，則有.所以，若，則存在為等比數(shù)列，故D正確.故選：AD.12.已知橢圓，直線過橢圓的左焦點(diǎn)交橢圓于兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.的取值范圍為B.以為直徑的圓與相離C.若，則的斜率為D.若弦的中垂線與長軸交于點(diǎn)，則為定值【答案】BCD【解析】由題意，對于A，直線斜率不存在時(shí)，將代入，得，此時(shí)，直線斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立橢圓方程，化簡整理得，顯然，，所以，因，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，直線斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓與相離，滿足題意；直線斜率存在時(shí)，設(shè)中點(diǎn)為，則，即，點(diǎn)到直線的距離滿足，故B正確；對于C，直線斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意，直線斜率存在時(shí)，若，則，又，所以，解得，所以的斜率為，故C正確；對于D，直線斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與原點(diǎn)重合，，直線斜率存在且不為0時(shí)，弦的中垂線方程為，令，得，所以，即為定值，故D正確.故選：BCD.II卷非選擇題部分（共90分）三、填空題（每小題5分，共20分）13.某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次訓(xùn)練中10次射擊成績（單位：環(huán)）如下：5，5，6，6，7，7，8，9，9，9，這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為______．【答案】7.5【解析】由題意，所以這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為.故答案為：7.5.14.方程表示一個(gè)圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】方程表示一個(gè)圓，則，得.故答案為：15.已知數(shù)列中，，若前項(xiàng)和，則______．【答案】【解析】由題意，所以.故答案為：.16.曲線上動(dòng)點(diǎn)與構(gòu)成，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】由對稱性，不妨考慮點(diǎn)在軸或其上方，即設(shè)，，，則，作軸于點(diǎn)，則，所以梯形，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，由得，無解，當(dāng)即時(shí)，時(shí)，，滿足題意，綜上，．四、解答題（本題共6小題，70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）求證：當(dāng)時(shí)，．解：（1）由題，因?yàn)樵谔幍那芯€為所以，解得，所以；（2）令，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以在上的最小值為，所以即證得當(dāng)時(shí)，．18.舟山某校組織全體學(xué)生參加了海洋文化知識(shí)競賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，將數(shù)據(jù)按照分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖：（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)樣本的平均成績；（3）用分層抽樣的方法在這兩組學(xué)生內(nèi)抽取5人，再從這5人中選2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求所選的兩人恰好都在的概率．解：（1）根據(jù)頻率分布直方圖可知；（2）平均成績?yōu)?；?）由題意得，兩組人數(shù)比例為，所以組應(yīng)抽取2人，記為，組應(yīng)抽取3人，記為甲，乙，丙對應(yīng)的樣本空間為：,(,甲),(,乙),(,丙),(,甲),(,乙),(,丙),(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共10個(gè)樣本點(diǎn)．設(shè)事件“兩人來于”，則(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙)，共有3個(gè)樣本點(diǎn)．所以．19.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且三點(diǎn)構(gòu)成三角形．（1）用表示弦長，并求的取值范圍；（2）記的面積為，求的最大值及取最大值時(shí)的值．解：（1）圓心到直線的