2025年春八年級(jí)數(shù)學(xué)滬科版教學(xué)課件：第18章 小結(jié)與復(fù)習(xí)

小結(jié)與復(fù)習(xí)第18章勾股定理1.如果直角三角形兩直角邊分別為

a，b，斜邊為

c，那么a2

+b2=c2.即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.在直角三角形中才可以運(yùn)用2.勾股定理的應(yīng)用條件一、勾股定理3.勾股定理表達(dá)式的常見變形：

a2=c2

-

b2，b2=c2

-

a2，ABCcab二、勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)

a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足

a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).2.勾股數(shù)ABCcab例1在

Rt△ABC

中，∠ACB

=

90°，CD⊥AB

于

D，AC

=

20，BC

=

15.（1）求

AB

的長(zhǎng)；（2）求

BD

的長(zhǎng)．解:（1）在

Rt△ABC

中，∵∠ACB

=

90°，（2）方法一：∵

S△ABC

=

AC?BC

=AB?CD，

∴

20×15

=

25CD，解得

CD

=

12．

∴

在

Rt△BCD中，考點(diǎn)一勾股定理及其應(yīng)用方法二：設(shè)

BD=x，則

AD=25-

x.解得

x=9.即BD=9.方法總結(jié)

對(duì)于類似本題的模型，若已知兩直角邊求斜邊上的高，常需結(jié)合面積的兩種表示方法來求解；若是同本題(2)中兩直角三角形共一邊的情況，還可利用勾股定理列方程求解.針對(duì)訓(xùn)練1.Rt△ABC

中，斜邊

BC

=

2，則

AB2

+

AC2

+BC2

的值為

（

）A.

8B.

4C.

6D.

無法計(jì)算A3.一直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為

2、3、x，那么以

x

為邊長(zhǎng)的正方形的面積為________.2.如圖，∠C

=∠ABD

=

90°，AC

=

4，BC

=

3，BD

=

12，則

AD

的長(zhǎng)為____．13

或

5134.已知

Rt△ABC

中，∠C

=

90°，若

a+

b

=

14

cm，c

=

10

cm，求△ABC

的面積.解：∵

a

+

b

=

14，

∴(a

+

b)2

=

196.

又∵

a2+

b2=

c2=100，

∴

2ab

=

196

-(a2

+

b2)=

96．

∴

△ABC

的面積為

ab

=

24．例2

我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載了一道有趣的問題，這個(gè)問題的意思是：有一個(gè)水池，水面是一個(gè)邊長(zhǎng)為10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的蘆葦，它高出水面1尺，如果把這根蘆葦垂直拉向岸邊，它的頂端恰好到達(dá)岸邊的水面，請(qǐng)問這個(gè)水池的深度和這根蘆葦?shù)拈L(zhǎng)度各是多少？解：如圖，設(shè)水池的水深

AC為

x尺，則這根蘆葦長(zhǎng)

AD=AB=(x+1)尺．在Rt△ABC中，BC=5尺，由勾股定理得

BC2+AC2=AB2,即52+x2=(x+1)2，25+x2=x2+2x+1，2x=24，∴x=12，x

+

1=13.答：水池的水深12尺，這根蘆葦長(zhǎng)13尺.DBCA例3如圖所示，一只螞蟻從實(shí)心長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)

A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)

C1處，問怎樣走路線最短？最短路線長(zhǎng)為多少？解析：螞蟻由

A

點(diǎn)沿長(zhǎng)方體的表面爬行到

C1

點(diǎn)，有三種方式：①沿

ABB1A1

和

A1

B1C1D1

面；②沿

ABB1A1

和

BCC1B1

面；③沿

AA1D1D

和

A1B1C1D1

面，把三種方式分別展開成平面圖形如下：解：

在

Rt△ABC1中，

在

Rt△ACC1中，

在

Rt△AB1C1中，∴沿路徑走路線最短，最短路線長(zhǎng)為5.化折為直：長(zhǎng)方體中求表面上兩點(diǎn)之間的最短路徑，展開方法有多種，一般沿最長(zhǎng)棱展開，路徑最短.方法總結(jié)針對(duì)訓(xùn)練5.現(xiàn)有一長(zhǎng)

5

米的梯子架靠在建筑物的墻上，它們的底部在地面的水平距離是

3

米，則梯子可以到達(dá)建筑物的高度是____米．4在Rt△AOB中，OA＝2，OB＝DC＝1.4，∴AB2＝22－1.42＝2.04，解得

AB≈1.43.∴AC＝AB+BC≈1.43+2.6＝4.03＞4．答：卡車可以通過，但要小心．解：過半圓的圓心

O，作直徑的垂線交地面于點(diǎn)

D，在地面取點(diǎn)

C，使

CD＝1.4

米，過

C

作

OD

的平行線交半圓直徑于點(diǎn)

B

，交半圓于點(diǎn)

A，連接

OA.6.如圖，某住宅小區(qū)在相鄰兩樓之間修建一個(gè)上方是半圓，下方是長(zhǎng)方形的仿古通道，現(xiàn)有一輛卡車裝滿家具后，高4米，寬2.8米，請(qǐng)問這輛送家具的卡車能否通過這個(gè)通道？7.在

O

處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東

60°

方向相距

1000

米的

A

處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干小時(shí)后快艇到達(dá)哨所東南方向的

B

處.（1）此時(shí)快艇航行了多少米(即

AB

的長(zhǎng))？解：根據(jù)題意得∠AOC=30°，∠COB=45°，AO=1000米，∴AC=500米，BC=OC.在Rt△AOC中，由勾股定理得∴BC=OC=北東OAB60°45°C（2）此時(shí)快艇距離哨所多少米(即

OB

的長(zhǎng))？解：在Rt△BOC中，由勾股定理得北東OAB60°45°C例4

在

△ABC

中，AB

=

c，BC

=

a，AC

=

b，，2c

-

b

=

12，求

△ABC

的面積．解：由題意可設(shè)

a

=

3k，則

b

=

4k，c

=

5k．∵

2c

-

b

=

12，∴

10k

-

4k

=

12．∴k

=

2．∴

a

=

6，b

=

8，c

=

10．∵

62

+

82

=

102，∴

a2

+

b2

=

c2．∴

△ABC

為直角三角形．∴

△ABC

的面積為×6×8

=

24．考點(diǎn)二勾股定理的逆定理及其應(yīng)用例5B港有甲、乙兩艘漁船，若甲船沿北偏東60°

方向以每小時(shí)8nmile的速度前進(jìn)，乙船沿南偏東某個(gè)角度以每小時(shí)15nmile的速度前進(jìn)，2h后，甲船到

M島，乙船到

P島，兩島相距34nmile，你知道乙船是沿哪個(gè)方向航行的嗎？解：甲船航行的路程為

BM=16nmile，

乙船航行的路程為

BP=30nmile．

∵162+302=1156，342=1156，

∴

BM2+BP2=MP2．

∴

△MBP為直角三角形，且∠MBP=90°．

∴

乙船是沿著南偏東30°

方向航行的．8.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的為

（

）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，99.已知下列圖形中的三角形的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，可以判定三角形是直角三角形的有________．針對(duì)訓(xùn)練

(2)(4)

C10.如圖，在四邊形

ABCD

中，AB

=

20

cm，BC

=

15

cm，CD

=

7

cm，AD

=

24

cm，∠ABC

=

90°．猜想∠BAD與∠BCD的關(guān)系，并加以證明．解：猜想∠BAD+

∠BCD=

180°．證明如下：連接AC.在

Rt△ABC

中，由勾股定理得

∴AD2

+

DC2

=

625

=

252

=

AC2．∴△ADC是直角三角形，且∠D

=

90°．∵∠DAB

+∠B

+∠BCD

+∠D

=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°．考點(diǎn)三勾股定理與折疊問題例6如圖，在長(zhǎng)方形

ABCD

中，AB

=

3

cm，AD

=

9

cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)

D

與點(diǎn)

B

重合，折痕為

EF，求

△ABE

的面積.解：由折疊可知

ED

=

BE.設(shè)

AE

=

x

cm，則

ED

=

BE

=(9

-

x)cm．在

Rt△ABE

中，AB2

+

AE2

=

BE2，∴

32

+

x2

=(9

-

x)2，解得

x

=

4.∴△ABE

的面積為

×3×4

=

6(cm2).方法總結(jié)

勾股定理可以直接解決直角三角形中已知兩邊求第三邊的問題；如果只知一邊和另兩邊的關(guān)系時(shí)，往往要通過勾股定理列方程去求解．針對(duì)訓(xùn)練11.如圖，有一張直角三角形紙片，兩直角邊

AC＝6cm，BC＝8cm，將

△ABC折疊，使點(diǎn)

B與點(diǎn)

A重合，折痕是

DE，則

CD的長(zhǎng)為

．

1.75cm考點(diǎn)四本章解題思想方法方程思想

例7如圖，在

△ABC

中，AB

=

17，BC

=

9，AC

=

10，AD⊥BC于

D.試求

△ABC

的面積．解：在

Rt△ABD

和

Rt△ACD

中，AB2

-

BD2

=

AD2，AC2

-

CD2

=

AD2．設(shè)

DC

=

x，則

BD

=

9

+

x．故

172

-(9+x)2

=

102

-

x2，解得

x

=

6.∴AD2=AC2

?

CD2=64．∴AD

=

8.∴S△ABC

=×9×8

=

36．解：當(dāng)高

AD

在

△ABC

內(nèi)部時(shí)，如圖①.在

Rt△ABD

中，由勾股定理得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴

BD＝16.在

Rt△ACD

中，由勾股定理得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴

CD＝9.

∴BC＝BD＋CD＝25．∴

△ABC

的周長(zhǎng)為

25＋20＋15＝60．例8

在

△ABC

中，AB＝20，AC＝15，AD

為

BC

邊上的高，且

AD＝12，求

△ABC

的周長(zhǎng)．分類討論