2022北京海淀高一(下)期末數(shù)學(xué)(教師版)

1/12022北京海淀高一（下）期末數(shù)學(xué)一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，高為3，則它的體積為A．2 B．4 C．6 D．122．向量，，則A． B． C．4 D．133．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則的最小值是A． B． C． D．4．A． B． C． D．5．已知直線(xiàn)和平面，，則下列四個(gè)命題中正確的是A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則6．函數(shù)的最小正周期與其圖象的對(duì)稱(chēng)中心分別是A． B． C． D．7．已知向量，是兩個(gè)單位向量，則“，為銳角”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則的取值范圍是A． B． C．，， D．9．底與腰（或腰與底）之比為黃金分割比的等腰三角形稱(chēng)為黃金三角形，其中頂角為的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形．據(jù)此可得的值是A． B． C． D．10．在中，，則的形狀是A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．已知圓柱的底面半徑為1，高為2，則其側(cè)面積為．12．向量，，，則實(shí)數(shù)．13．在正方形中，是的中點(diǎn)，則．14．函數(shù)，的值域是．15．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①三棱錐的體積為定值；②存在點(diǎn)，使得平面；③對(duì)每一個(gè)點(diǎn)，在棱上總存在一點(diǎn)，使得平面；④是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的截面垂直于，則截面的面積的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16．（9分）如圖，在四棱錐中，平面，，，，，分別是棱，，，的中點(diǎn)，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）判斷直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．17．（10分）在中，，，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求的面積．18．（11分）如圖，在直棱柱中，底面是菱形，，，，，分別是棱，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：平面；（Ⅲ）是否存在正數(shù)，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．19．（10分）若點(diǎn)，在函數(shù)的圖象上，且滿(mǎn)足，則稱(chēng)是的點(diǎn)．函數(shù)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱(chēng)為的集．（Ⅰ）判斷是否是函數(shù)的點(diǎn)，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）若函數(shù)的集為，求的最大值；（Ⅲ）若定義域?yàn)榈倪B續(xù)函數(shù)的集滿(mǎn)足，求證：．選做題：（本題滿(mǎn)分0分。所得分?jǐn)?shù)可計(jì)人總分，但整份試卷得分不超過(guò)100分）20．正弦信號(hào)是頻率成分最為單一的信號(hào)，復(fù)雜的信號(hào)，例如電信號(hào)，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號(hào)的疊加．正弦信號(hào)的波形可以用數(shù)學(xué)上的正弦型函數(shù)來(lái)描述：，其中表示正弦信號(hào)的瞬時(shí)大小電壓（單位：是關(guān)于時(shí)間（單位：的函數(shù)，而表示正弦信號(hào)的幅度，是正弦信號(hào)的頻率，相應(yīng)的為正弦信號(hào)的周期，為正弦信號(hào)的初相．由于正弦信號(hào)是一種最簡(jiǎn)單的信號(hào)，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，科學(xué)家和工程師們經(jīng)常以正弦信號(hào)作為信號(hào)源（輸入信號(hào)）去研究整個(gè)電路的工作機(jī)理．如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標(biāo)是一個(gè)運(yùn)算放大器，電路中有四個(gè)電阻，電阻值分別為，，，（單位：和是兩個(gè)輸入信號(hào)，表示的是輸出信號(hào)，根據(jù)加法器的工作原理，與和的關(guān)系為：．例如當(dāng)，輸入信號(hào)，時(shí)，輸出信號(hào)：．（Ⅰ）若，輸入信號(hào)，，則的最大值為；（Ⅱ）已知，，，輸入信號(hào)，．若（其中則；（Ⅲ）已知，，，且，．若的最大值為，則滿(mǎn)足條件的一組電阻值，分別是．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。1．【分析】正四棱錐中，，，利用體積公式求出該正四棱錐的體積．【解答】解：如圖，正四棱錐中，，，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正四棱錐的體積的求法，考查數(shù)據(jù)處理能力、運(yùn)算求解能力以及應(yīng)用意識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合思想等，是中檔題．2．【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出的坐標(biāo)，再由模的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可．【解答】解：因?yàn)橄蛄浚?，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及模的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．3．【分析】由函數(shù)的平移變換及誘導(dǎo)公式即可求解．【解答】解：將將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)，所以，，即，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)圖象的變換，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4．【分析】直接利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式的變換求出三角函數(shù)的值．【解答】解：．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．5．【分析】由直線(xiàn)與平面，平面與平面的位置關(guān)系判斷即可．【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)，若，，則可能與平行，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則，可能平行或者相交，則錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則可能與平行或者在平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由面面平行以及線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知，正確；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考査了直線(xiàn)與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6．【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，然后根據(jù)周期公式即可求出周期，再利用余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性整體代換即可求解．【解答】解：因?yàn)?，所以函?shù)的最小正周期為，令，，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的周期性和對(duì)稱(chēng)性，考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．7．【分析】根據(jù)充分與必要條件的概念，平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)即可判斷．【解答】解：向量，是兩個(gè)單位向量，由，為銳角可得，，反過(guò)來(lái)，由兩邊平方可得，，，，，不一定為銳角，故“，為銳角”是“”的充分不必要條件，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查充分與必要條件的概念，平面向量數(shù)量積的定義與性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．8．【分析】先根據(jù)的范圍求出的范圍，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，可得到，即，然后對(duì)分大于0和小于0兩種情況討論最值可確定答案．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，由題意知，即，當(dāng)時(shí)，，由題意知，即，綜上知，的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性和最值問(wèn)題．考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，三角函數(shù)是高考的一個(gè)重要考點(diǎn)一定要強(qiáng)化復(fù)習(xí)．9．【分析】利用已知條件求出的值，然后利用二倍角公式，誘導(dǎo)公式求解即可．【解答】解：由題意可知：把頂角為的等腰三角形稱(chēng)為黃金三角形，它的底和腰之比為黃金分割比，該三角形被認(rèn)為是最美的三角形．如圖，則可得：，可得，即，所以，所以，所以．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式，誘導(dǎo)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．10．【分析】直接利用正弦定理整理得，進(jìn)一步利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【解答】解：利用正弦定理：轉(zhuǎn)換為，整理得，故或；所以或；故三角形為等腰三角形或直角三角形．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式變換，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．二、填空題共5小題，每小題4分，共20分。11．【分析】利用圓柱側(cè)面積公式直接求解．【解答】解：圓柱的底面半徑為1，高為2，則其側(cè)面積為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓柱的結(jié)構(gòu)特征、圓柱的側(cè)面積等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．12．【分析】可求出，然后根據(jù)可得出的值．【解答】解：，，，解得．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量坐標(biāo)的減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運(yùn)算，向量垂直的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可求得向量的數(shù)量積．【解答】解：如圖，因?yàn)?，所以；故答案為?．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．14．【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換，把函數(shù)的關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步利用函數(shù)的定義域求出函數(shù)的值域．【解答】解：；由于，所以，故．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．15．【分析】對(duì)于①，由，得平面，從而點(diǎn)到平面的距離為，再由，由此能求出三棱錐的體積為定值；對(duì)于②，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)為，連接，推導(dǎo)出，由正方體性質(zhì)得不成立，從而不存在點(diǎn)，使得平面，故；對(duì)于③，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，無(wú)論點(diǎn)在何位置，直線(xiàn)與平面相交；對(duì)于④，推導(dǎo)出，由余弦定理、截面面積能求出結(jié)果．【解答】解：對(duì)于①，如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，，平面，平面，平面，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)到平面的距離為，，三棱錐的體積，故①正確；對(duì)于②，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時(shí)，取的中點(diǎn)為，連接，如圖，則，又，，，平面，又平面，，由正方體性質(zhì)得是矩形，不是正方體，不成立，又，不存在點(diǎn)，使得平面，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，無(wú)論點(diǎn)在何位置，直線(xiàn)與平面相交，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，根據(jù)題意，作圖如下，正方體中，平面，，設(shè)，則，，則△中，，，則該截面面積，，，當(dāng)時(shí)，，故④正確．故答案為：①④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．三、解答題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。16．【分析】利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可，證明，且，即可證明直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系．【解答】證明：因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以．證明：直線(xiàn)與直線(xiàn)相交．理由如下：連接，，，，如圖所示，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以是的中位線(xiàn)，所以，且，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以是的中位線(xiàn)，所以，且，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，所以四邊形是梯形，所以直線(xiàn)與直線(xiàn)相交．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面平行，考查學(xué)生的推理能力，屬于中檔題．17．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理，兩角和的正弦，即可解出；（Ⅱ）由正弦定理以及三角形面積公式，即可解出．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，，，，，，；（Ⅱ），，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解三角形，正余弦定理，面積公式，學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．【分析】根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理及性質(zhì)定理證明；根據(jù)線(xiàn)面平行的判定定理證明；假設(shè)存在正數(shù)，使得平面平面，根據(jù)面面垂直的判定定理得，在直角三角形中，由，得與已知為正數(shù)矛盾，進(jìn)而得證．【解答】證明：如圖，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑危?，直棱柱中，平面，所以，且，所以平面，所以；證明：取的中點(diǎn)，連接、，則為三角形的中位線(xiàn)，所以且，又因?yàn)榍遥智?，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面；解：不存在正?shù)，使得平面平面，證明如下：因?yàn)槠矫妫?，在直角△中，，所以，假設(shè)存在正數(shù)，使得平面平面，如圖，過(guò)作且與交于點(diǎn)，連接，平面平面，所以平面，所以，在直角△中，，同理，因?yàn)榈酌媸橇庑?，，，所以，在直角三角形中，，得，化?jiǎn)得與已知為正數(shù)矛盾，所以不存在正數(shù)，使得平面平面．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線(xiàn)面垂直，考查學(xué)生的分析能力，屬于中檔題．19．【分析】直接求出，再判斷出，即可得到，即可得到結(jié)論；先說(shuō)明，若，則，由題設(shè)得到，推出矛盾，再說(shuō)明的值可以等于，令，利用三角函數(shù)的值域加以證明即可；由題設(shè)知，必存在，使得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說(shuō)明函數(shù)必存在零點(diǎn)，即可證明．【解答】解：不是函數(shù)的點(diǎn)，理由如下：設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以，所以不是函?shù)的點(diǎn)；先證明，若，則函數(shù)的最小正周期，因?yàn)楹瘮?shù)的集為，所以對(duì)，是的零點(diǎn)，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?，所以?dāng)，時(shí)，必有，即對(duì)于，恒成立，所以，即的最小正周期，與矛盾；再證明的值可以等于，令，對(duì)，當(dāng)，時(shí)，，，；當(dāng)，時(shí)，，，，所以是的點(diǎn)，即函數(shù)的集為，綜上所述，的最大值是；因?yàn)楹瘮?shù)的集滿(mǎn)足，所以存在，使得且，即，因?yàn)槿簦瑒t，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，不妨設(shè)，由零點(diǎn)存在定理知，必存在，使得，所以存在零點(diǎn)，即．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于難題．選做題：（本題滿(mǎn)分0分。所得分?jǐn)?shù)可計(jì)