2023-2024學(xué)年山東省濟寧市高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省濟寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，焦點在軸上，故焦點坐標(biāo)為.故選：C2.已知直線與直線平行，則與之間的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】在直線上取點，則與之間的距離即為點到直線的距離，即為.故選：A.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】由等差數(shù)列的下角標(biāo)性質(zhì)可知，得，，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.故選：D.4.圓與圓的公共弦的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓心距離為，故兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線方程為，即，所以公共弦的長度為.故選：D.5.在三棱柱中，，，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，又，，，故.故選：B.6.若圓上恰有3個點到直線的距離為1，則r＝（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】圓心到直線距離，因為圓上恰有3個點到直線的距離為1，與直線的距離為的平行直線有兩條，如圖中虛線，當(dāng)圓與這兩條平行線中的一條有2個交點，一條相切時，可滿足題意，此時.故選：C.7.若橢圓：的左、右焦點分別為，，為C上的任意一點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知橢圓的參數(shù)方程為(是參數(shù))，，故，，，故設(shè)，由兩點間距離公式得，，故，而，，故，即，故B正確故選：B8.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第n層有個球，則數(shù)列的前20項和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)已知條件有，當(dāng)時，，，，，，以上各式累加得：，又，所以，經(jīng)檢驗符合上式，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知直線l：，則下列說法中正確的是（）A.直線l恒過點 B.若直線l的傾斜角為，則C.原點到直線l距離的最大值為 D.若直線l不經(jīng)過第四象限，則【答案】AC【解析】對于A項，直線，則直線l恒過點，故A項正確；對于B項，直線l的傾斜角為，則直線l的斜率為，得，故B項錯誤；對于C項，由A項知，直線l恒過點，則原點到直線l距離的最大值即為原點到點的距離，即，故C項正確；對于D項，當(dāng)時，直線不經(jīng)過第四象限，故D項錯誤.故選：AC10.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法中正確的是（）A.若A與B互斥，則 B.若，則C.若A與B相互獨立，則 D.若，則A與B相互獨立【答案】ACD【解析】對于A，已知A與B互斥，則，故A正確，對于B，已知，則，故，故B錯誤，對于C，若A與B相互獨立，則，故C正確，對于D，易知，，故，則A與B相互獨立，故D正確.故選：ACD11.已知等差數(shù)列的前n項和為,且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.時，n的最大值為13C.數(shù)列中的最大項為 D.時，n的最大值為27【答案】BC【解析】由已知，，，所以等差數(shù)列的前13項大于0，從第14項開始小于0，B正確；則，所以是遞減數(shù)列，A錯誤；且為等差數(shù)列的前n項和的最大值，C正確；，D錯誤.故選：BC.12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，點E是棱的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.點到平面的距離為B.異面直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的外接球的表面積為11πD.若點M在底面ABCD內(nèi)運動，且點M到直線的距離為，則點M的軌跡為一個橢圓的一部分【答案】ACD【解析】對于A：以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，設(shè)面的法向量，點到平面的距離為，則，，令，解得，，故，由點到平面距離公式得，故A正確，對于B：易知，，故，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故B錯誤，對于C:設(shè)三棱錐的外接球的方程為，將代入球的方程，可得，利用加減消元法可得，解得，代入方程中可得，解得，，故表面積為，故C正確，對于D：因為到直線的距離為，故的軌跡是以為對稱軸的圓柱，而又底面上，底面與對稱軸不垂直，故在底面與圓柱的截面上，此截面必為橢圓的一部分，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題．13.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則______．【答案】121【解析】設(shè)公比為，故，解得，所以，故.故答案為：12114.若事件A，B發(fā)生的概率分別為，，且A與B相互獨立，則______．【答案】【解析】因為A與B相互獨立，，所以.故答案為：15.如圖，二面角的大小為，其棱l上有兩個點，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若則兩點間的距離為______．【答案】【解析】因為二面角的大小為，，.,即兩點間的距離為.故答案為：16.已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與圓相切于點，與的右支交于點，若，則的離心率為______．【答案】【解析】設(shè)雙曲線右焦點為，則，則，所以，又，所以，整理得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓M過點，，．（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過原點的直線l交圓M于E，F(xiàn)兩點，且，求直線l的方程．解：（1）因為AB的中點為，AB的斜率為1，所以AB的垂直平分線為，即．又BC的垂直平分線為y＝0，聯(lián)立，得，所以圓心M的坐標(biāo)為．所以圓的半徑為，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）顯然直線l的斜率存在，設(shè)其方程為．設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則，解得，所以直線l的方程為，即．18.一個不透明的箱子中有4個紅球、2個藍球(球除顏色外，沒有其它差異)．（1）若從箱子中不放回的隨機抽取兩球，求兩球顏色相同的概率；（2）若從箱子中有放回的抽取兩球，求兩球顏色相同的概率．解：（1）把4個紅球標(biāo)記為,，,2個藍球標(biāo)記為,從箱子中隨機抽取兩球的樣本空間為:，共有15個樣本點，設(shè)事件“從箱子中隨機抽取兩球且顏色相同”，則事件，包含7個樣本點，∴．（2）設(shè)事件“從箱子中有放回地抽取兩球且顏色相同”，事件“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為紅球”，事件“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為藍球”，則，且與互斥．所以，，則．19.已知拋物線C：上一點M到其焦點的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2．（1）求拋物線C的方程；（2）若不過原點O的直線l：與拋物線C交于A，B兩點，且，求實數(shù)m的值．解：（1）由題意知，點M到準(zhǔn)線的距離為3，所以，解得．故C的方程為；（2）設(shè)，，由得，所以，，，．因為，所以，即，解得或0．又直線l不過原點O，所以．又滿足要求，所以．20.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．解：（1）因為，①當(dāng)時，，所以．當(dāng)時，，②由①－②得，即，所以，又，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以，故．（2）因為，所以，解得，所以．所以，，兩式相減得．．所以．21.如圖，在多面體ABCDEF中，平面平面ABCD，是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是菱形，且，，．（1）求證：平面ACF；（2）在線段AE上是否存在點M，使平面MAD與平面MBC夾角的余弦值為．若存在，請說明點M的位置；若不存在，請說明理由．解：（1）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又四邊形是菱形，且，所以，故以為原點，為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，易知，則，，，，，所以，，得到，故，，得到，所以，又，平面ACF，平面ACF，，∴平面ACF．（2）假設(shè)存在點，使平面與平面夾角的余弦值為，設(shè)，，則，所以，，．即，所以，，設(shè)平面的法向量為，則即，所以，令，得，所以，又平面的一個法向量為，所以，解得或(舍去)，所以，存在點，使平面與平面夾角的余弦值為，點為線段的中點．22.已知橢圓的離心率為，左、右焦點分別為、，上頂點為，且．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）不過原點的直線與交于不同的兩點、，在的延長線上取一點使得，連接交于點（點在線段上且不與端點重合），若，試求直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形面積的最小值．解：（1）由題意可得，又因為橢圓的離心率為，所以，又，聯(lián)立解得，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）設(shè)點、，聯(lián)立可得，則，①由韋達定理可得，，所以，因為點為中點，所以，由，可得，即，所以，點為中點，所以點的坐標(biāo)為，將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得，化簡得，又，，代入上式可得，，即．把，，代入，可得，且滿足①式．在直線的方程中，令，可得，即直線交軸于點，則直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時取等號．所以直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形面積的最小值為．山東省濟寧市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.拋物線的焦點坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，焦點在軸上，故焦點坐標(biāo)為.故選：C2.已知直線與直線平行，則與之間的距離為（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】在直線上取點，則與之間的距離即為點到直線的距離，即為.故選：A.3.已知數(shù)列為等差數(shù)列，且，，則（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】D【解析】由等差數(shù)列的下角標(biāo)性質(zhì)可知，得，，得，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.故選：D.4.圓與圓的公共弦的長度為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，則圓心距離為，故兩圓相交，則兩圓的公共弦所在直線方程為，即，所以公共弦的長度為.故選：D.5.在三棱柱中，，，，，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，又，，，故.故選：B.6.若圓上恰有3個點到直線的距離為1，則r＝（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】圓心到直線距離，因為圓上恰有3個點到直線的距離為1，與直線的距離為的平行直線有兩條，如圖中虛線，當(dāng)圓與這兩條平行線中的一條有2個交點，一條相切時，可滿足題意，此時.故選：C.7.若橢圓：的左、右焦點分別為，，為C上的任意一點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】易知橢圓的參數(shù)方程為(是參數(shù))，，故，，，故設(shè)，由兩點間距離公式得，，故，而，，故，即，故B正確故選：B8.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……第n層有個球，則數(shù)列的前20項和為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)已知條件有，當(dāng)時，，，，，，以上各式累加得：，又，所以，經(jīng)檢驗符合上式，所以，所以，設(shè)數(shù)列的前項和為，則，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.已知直線l：，則下列說法中正確的是（）A.直線l恒過點 B.若直線l的傾斜角為，則C.原點到直線l距離的最大值為 D.若直線l不經(jīng)過第四象限，則【答案】AC【解析】對于A項，直線，則直線l恒過點，故A項正確；對于B項，直線l的傾斜角為，則直線l的斜率為，得，故B項錯誤；對于C項，由A項知，直線l恒過點，則原點到直線l距離的最大值即為原點到點的距離，即，故C項正確；對于D項，當(dāng)時，直線不經(jīng)過第四象限，故D項錯誤.故選：AC10.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則下列說法中正確的是（）A.若A與B互斥，則 B.若，則C.若A與B相互獨立，則 D.若，則A與B相互獨立【答案】ACD【解析】對于A，已知A與B互斥，則，故A正確，對于B，已知，則，故，故B錯誤，對于C，若A與B相互獨立，則，故C正確，對于D，易知，，故，則A與B相互獨立，故D正確.故選：ACD11.已知等差數(shù)列的前n項和為,且，則下列結(jié)論中正確的是（）A.是遞增數(shù)列 B.時，n的最大值為13C.數(shù)列中的最大項為 D.時，n的最大值為27【答案】BC【解析】由已知，，，所以等差數(shù)列的前13項大于0，從第14項開始小于0，B正確；則，所以是遞減數(shù)列，A錯誤；且為等差數(shù)列的前n項和的最大值，C正確；，D錯誤.故選：BC.12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，點E是棱的中點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.點到平面的距離為B.異面直線與所成角的余弦值為C.三棱錐的外接球的表面積為11πD.若點M在底面ABCD內(nèi)運動，且點M到直線的距離為，則點M的軌跡為一個橢圓的一部分【答案】ACD【解析】對于A：以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，故，，，設(shè)面的法向量，點到平面的距離為，則，，令，解得，，故，由點到平面距離公式得，故A正確，對于B：易知，，故，，設(shè)異面直線與所成角為，則，故B錯誤，對于C:設(shè)三棱錐的外接球的方程為，將代入球的方程，可得，利用加減消元法可得，解得，代入方程中可得，解得，，故表面積為，故C正確，對于D：因為到直線的距離為，故的軌跡是以為對稱軸的圓柱，而又底面上，底面與對稱軸不垂直，故在底面與圓柱的截面上，此截面必為橢圓的一部分，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共4小題．13.已知等比數(shù)列的前n項和為，且，，則______．【答案】121【解析】設(shè)公比為，故，解得，所以，故.故答案為：12114.若事件A，B發(fā)生的概率分別為，，且A與B相互獨立，則______．【答案】【解析】因為A與B相互獨立，，所以.故答案為：15.如圖，二面角的大小為，其棱l上有兩個點，線段與分別在這個二面角的兩個面內(nèi)，并且都垂直于棱l．若則兩點間的距離為______．【答案】【解析】因為二面角的大小為，，.,即兩點間的距離為.故答案為：16.已知雙曲線的左焦點為，過點的直線與圓相切于點，與的右支交于點，若，則的離心率為______．【答案】【解析】設(shè)雙曲線右焦點為，則，則，所以，又，所以，整理得，所以.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知圓M過點，，．（1）求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過原點的直線l交圓M于E，F(xiàn)兩點，且，求直線l的方程．解：（1）因為AB的中點為，AB的斜率為1，所以AB的垂直平分線為，即．又BC的垂直平分線為y＝0，聯(lián)立，得，所以圓心M的坐標(biāo)為．所以圓的半徑為，所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）顯然直線l的斜率存在，設(shè)其方程為．設(shè)圓心到直線l的距離為d，則，則，解得，所以直線l的方程為，即．18.一個不透明的箱子中有4個紅球、2個藍球(球除顏色外，沒有其它差異)．（1）若從箱子中不放回的隨機抽取兩球，求兩球顏色相同的概率；（2）若從箱子中有放回的抽取兩球，求兩球顏色相同的概率．解：（1）把4個紅球標(biāo)記為,，,2個藍球標(biāo)記為,從箱子中隨機抽取兩球的樣本空間為:，共有15個樣本點，設(shè)事件“從箱子中隨機抽取兩球且顏色相同”，則事件，包含7個樣本點，∴．（2）設(shè)事件“從箱子中有放回地抽取兩球且顏色相同”，事件“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為紅球”，事件“從箱子中有放回地抽取兩球且兩球都為藍球”，則，且與互斥．所以，，則．19.已知拋物線C：上一點M到其焦點的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2．（1）求拋物線C的方程；（2）若不過原點O的直線l：與拋物線C交于A，B兩點，且，求實數(shù)m的值．解：（1）由題意知，點M到準(zhǔn)線的距離為3，所以，解得．故C的方程為；（2）設(shè)，，由得，所以，，，．因為，所以，即，解得或0．又直線l不過原點O，所以．又滿足要求，所以．20.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和．解：（1）因為，①當(dāng)時，，所以．當(dāng)時，，②由①－②得，即，所以，又，所以數(shù)列是首項為1，公比