2023-2024學(xué)年廣西壯族自治區(qū)百色市高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣西壯族自治區(qū)百色市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槿?，集合，所以，又因?yàn)榧?，所?故選：D.2.已知命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題的否定形式是，.故選：B.3.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴，解得，且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.4.設(shè)扇形周長(zhǎng)為，圓心角的弧度數(shù)是3，則扇形的面積為（）A.12 B.16 C.18 D.24【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，則弧長(zhǎng)為，因?yàn)樯刃蔚闹荛L(zhǎng)為，所以，解得，則，故扇形的面積為.故選：D.5.“方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可得，解得，觀察選項(xiàng)可得“方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”的一個(gè)充分不必要條件是.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，則，故.故選：A.7.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依題意，，又，，所以a，b，c的大小關(guān)系是.故選：D.8.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，且.則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，且，所以的大致圖象如圖所示．由可得，，由于在分母位置，所以，當(dāng)時(shí)，只需，由圖象可知；當(dāng)時(shí)，只需，由圖象可知；綜上，不等式的解集為．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則，即，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論，不正確的是（）A.函數(shù)是周期為的偶函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象與的圖象重合【答案】AC【解析】對(duì)于A，由于，，即，則不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)的圖象，所以所得圖象與的圖象重合，D正確.故選：AC.11.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用兩數(shù)的圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式琢磨函數(shù)圖象的特征，如函數(shù)（且）的圖像的大致形狀可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞增，，當(dāng)時(shí)，在上遞減，，A不滿(mǎn)足，D符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，，C不滿(mǎn)足，B符合題意.故選：BD.12.已知函數(shù)且，則下列說(shuō)法正確的有（）A.在區(qū)間和上單調(diào)遞減B.直線與的圖象總有3個(gè)不同的公共點(diǎn)C.D.【答案】ACD【解析】畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，A選項(xiàng)，由圖可知在區(qū)間和上單調(diào)遞減，所以A正確；B選項(xiàng)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，令，可得直線與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，，，由圖可知，，由基本不等式得，，所以，因?yàn)?，所以，所以C，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)為奇函數(shù).則____________.【答案】【解析】依題意，，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)奇函數(shù)，符合題意，所以.14.函數(shù)，則_________.【答案】1【解析】根據(jù)題意，，則.15.若，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】9【解析】由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9.16.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)______.【答案】7【解析】令，得或.作出的簡(jiǎn)圖，，由圖象得當(dāng)或時(shí)，分別有3個(gè)和4個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.全集，若集合，.（1）求，；（2）若集合，，求的取值范圍.解：（1）由集合，，所以，.（2）因?yàn)椋傻?，又因?yàn)?，且，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.18.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.19.已知，且為第三象限角.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知得，且為第三象限角，所以（2）.20.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)：（2）先把的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可得：，可得，所以，因?yàn)?，所以，可得，所以，由可得，因?yàn)椋?，，所?令可得，所以對(duì)稱(chēng)中心為.（2）由題意可得：，當(dāng)時(shí)，，，，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則有實(shí)根，所以，可得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.受新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)廠為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入90萬(wàn)元安裝了一臺(tái)新設(shè)備，并立即進(jìn)行生產(chǎn)，預(yù)計(jì)使用該設(shè)備前n年的材料費(fèi)、維修費(fèi)、人工工資等共為萬(wàn)元，每年的銷(xiāo)售收入為55萬(wàn)元，設(shè)使用該設(shè)備前n年的總盈利額為萬(wàn)元．（1）寫(xiě)出關(guān)于n的函數(shù)關(guān)系式，并估計(jì)該設(shè)備從第幾年開(kāi)始盈利；（2）使用若干年后，對(duì)該設(shè)備處理的方案有兩種：方案一：當(dāng)總盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以10萬(wàn)元的價(jià)格處理；方案二：當(dāng)年平均盈利額達(dá)到最大值時(shí)，該設(shè)備以50萬(wàn)元的價(jià)格處理．請(qǐng)問(wèn)：使用哪種方案能在更短的時(shí)間內(nèi)達(dá)到相應(yīng)的最值目標(biāo)？并比較分別使用兩種方案處理設(shè)備后的總利潤(rùn)大?。猓海?）由題意得：．由，得，即，解得．由于，故設(shè)備企業(yè)從第3年開(kāi)始盈利.（2）方案一：總盈利額，當(dāng)時(shí)．故方案一總利潤(rùn)，此時(shí)；方案二：每年平均利潤(rùn)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．故方案二總利潤(rùn)，此時(shí)．比較兩種方案，獲利都是170萬(wàn)元，但由于第一種方案需要10年，而第二種方案需要6年，故選擇第二種方案更合適．22.已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；（3）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）是R上的奇函數(shù)，，對(duì)任意，即，即，對(duì)任意恒成立，，即.（2）為R上的增函數(shù)，證明如下：任取，，且，，，，，即，所以函數(shù)為R上的增函數(shù).（3）不等式在R上恒成立，，又為R上的增函數(shù)，在R上恒成立，即，令，，上式等價(jià)于對(duì)恒成立，即，令，只需即可，又，開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為，，，.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.廣西壯族自治區(qū)百色市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)槿?，所以，又因?yàn)榧希?故選：D.2.已知命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】命題的否定形式是，.故選：B.3.函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】∵，∴，解得，且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D.4.設(shè)扇形周長(zhǎng)為，圓心角的弧度數(shù)是3，則扇形的面積為（）A.12 B.16 C.18 D.24【答案】D【解析】設(shè)扇形的半徑為，則弧長(zhǎng)為，因?yàn)樯刃蔚闹荛L(zhǎng)為，所以，解得，則，故扇形的面積為.故選：D.5.“方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根可得，解得，觀察選項(xiàng)可得“方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根”的一個(gè)充分不必要條件是.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】令，則，則，故.故選：A.7.設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】依題意，，又，，所以a，b，c的大小關(guān)系是.故選：D.8.函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，在上單調(diào)遞增，且.則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由于是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，又在上單調(diào)遞增，且，所以的大致圖象如圖所示．由可得，，由于在分母位置，所以，當(dāng)時(shí)，只需，由圖象可知；當(dāng)時(shí)，只需，由圖象可知；綜上，不等式的解集為．故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則，即，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以，故C正確；對(duì)于D，若，則，即，故D正確.故選：BCD.10.已知函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論，不正確的是（）A.函數(shù)是周期為的偶函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為D.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得圖象與的圖象重合【答案】AC【解析】對(duì)于A，由于，，即，則不是偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得函數(shù)的圖象，所以所得圖象與的圖象重合，D正確.故選：AC.11.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，常用兩數(shù)的圖像來(lái)研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式琢磨函數(shù)圖象的特征，如函數(shù)（且）的圖像的大致形狀可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上遞增，，當(dāng)時(shí)，在上遞減，，A不滿(mǎn)足，D符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上遞減，，當(dāng)時(shí)，在上遞增，，C不滿(mǎn)足，B符合題意.故選：BD.12.已知函數(shù)且，則下列說(shuō)法正確的有（）A.在區(qū)間和上單調(diào)遞減B.直線與的圖象總有3個(gè)不同的公共點(diǎn)C.D.【答案】ACD【解析】畫(huà)出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，A選項(xiàng)，由圖可知在區(qū)間和上單調(diào)遞減，所以A正確；B選項(xiàng)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有2個(gè)不同的公共點(diǎn)，所以B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，令，可得直線與的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，，，，由圖可知，，由基本不等式得，，所以，因?yàn)?，所以，所以C，D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知冪函數(shù)為奇函數(shù).則____________.【答案】【解析】依題意，，解得或，當(dāng)時(shí)，函數(shù)是偶函數(shù)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)奇函數(shù)，符合題意，所以.14.函數(shù)，則_________.【答案】1【解析】根據(jù)題意，，則.15.若，則的最小值為_(kāi)__________.【答案】9【解析】由，得，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為9.16.設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)______.【答案】7【解析】令，得或.作出的簡(jiǎn)圖，，由圖象得當(dāng)或時(shí)，分別有3個(gè)和4個(gè)交點(diǎn)，故關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.全集，若集合，.（1）求，；（2）若集合，，求的取值范圍.解：（1）由集合，，所以，.（2）因?yàn)?，可得，又因?yàn)?，且，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍是.18.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）.解：（1）原式.（2）原式.19.已知，且為第三象限角.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）已知得，且為第三象限角，所以（2）.20.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）求的解析式及對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)：（2）先把的圖象向左平移個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意可得：，可得，所以，因?yàn)椋?，可得，所以，由可得，因?yàn)椋?，，所?令可得，所以對(duì)稱(chēng)中心為.（2）由題意可得：，當(dāng)時(shí)，，，，若關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則有實(shí)根，所以，可得：.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.受新冠肺炎疫情影響，呼吸機(jī)成為緊缺商品，某呼吸機(jī)生產(chǎn)廠為了提高產(chǎn)品的產(chǎn)量，投入90萬(wàn)元安裝了一