黃金卷02備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（浙江專用）含答案及解析

試卷第=page22頁，共=sectionpages2222頁【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（浙江專用）黃金卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知復數(shù)滿足，且是復數(shù)的共軛復數(shù)，則的值是（

）A． B．3 C．5 D．93．已知和的夾角為，且，則（

）A． B． C．3 D．94．設雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（

）A． B． C． D．5．在中，角的對邊分別為，已知，則的面積為（

）A． B． C． D．6．蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側面積為（

）

A． B． C． D．7．《測圓海鏡》是金元之際李冶所著中國古代數(shù)學著作，這是中國古代論述容圓的一部專著，也是論述天元術的代表作.天元術與現(xiàn)代數(shù)學中列方程的方法基本一致，先立“天元一”為…，相當于“設為…”，再根據(jù)問題的已知條件列出兩個相等的多項式，最后通過合并同類項得到方程.設，若，則（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)的定義域均為，是奇函數(shù)，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù) C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，，則下列結論正確的是（

）A．與的圖象有相同的對稱軸B．與的值域相同C．與有相同的零點D．與的最小正周期相同10．已知函數(shù)y=fx的導函數(shù)為y=gx，且，則（

A．點是曲線y=gx的對稱中心 B．函數(shù)有三個零點C．函數(shù)只有一個極值點 D．當時，11．如圖所示的曲線被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應用非常廣泛，其代數(shù)形式可表示為坐標中（為坐標原點）動點到點的距離滿足：，則（

）

A．OP的最大值是B．若是曲線上一點，且在第一象限，則C．與有1個交點D．面積的最大值是第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中項的系數(shù)為84，則實數(shù)．13．直線與曲線相切，則．14．如圖，在四棱錐中，平面，，，四邊形為直角梯形，，，給出下列結論：①平面；②三棱錐的外接球的表面積為；③異面直線與所成角的余弦值為；④直線與平面所成角的正弦值為.則所有正確結論的序號是.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知函數(shù)(1)若曲線在點處的切線方程為，求a和b的值；(2)討論的單調(diào)性.16．（15分）若一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差值組成的新數(shù)列是一個等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等差數(shù)列”，已知數(shù)列是一個二階等差數(shù)列，其中．(1)求及的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，M為的中點.

(1)證明：；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.18．（17分）已知橢圓的右焦點為，分別為橢圓的左、右頂點，分別為橢圓的上、下頂點，四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點，直線與的交點為．①若直線的傾斜角為，求線段的長度；②試問是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果沒有，說明理由．19．（17分）記數(shù)列an中前項的最大值為，數(shù)列bn稱為an的“數(shù)列”，由所有的值組成的集合為．(1)若，且中有3個元素，求的取值范圍；(2)若數(shù)列an，bn都只有4項，bn為an的“數(shù)列”，滿足且存在，使得，求符合條件的數(shù)列bn(3)若，an的“數(shù)列”bn的前n項和為，從，，，…，中任取3個，記其中能被2整除且不能被4整除的個數(shù)為，求．

【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（浙江專用）黃金卷02·參考答案（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。12345678ACCBACDD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．。91011ADACDACD第II卷（非選擇題）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．13.14.②③四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）【詳解】（1），則．1分曲線在點處的切線方程為，則，解得，3分由，解得，5分（2），函數(shù)定義域為，則，令，解得或，8分若，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，9分若，則當時，，單調(diào)遞減，當和時，，單調(diào)遞增，10分若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，若，則當時，，單調(diào)遞減，當和時，，單調(diào)遞增，11分綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．13分（15分）【詳解】（1）由，得，，由數(shù)列an是一個二階等差數(shù)列，得是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，2分因此，，當時，，6分滿足上式，則，所以an的通項公式是7分（2）由（1）知，..12分所以．15分17．（15分）【詳解】（1）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面3分因為平面，所以，又是的中點，所以，因為平面，且，所以平面，又因為，所以7分（2）因為，由（1）知四邊形為矩形，則，又平面，所以平面，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，9分

則，取平面的法向量為，12分設平面的法向量為，則，即，令，則，所以，，14分設平面與平面所成二面角為，則，所以，所以平面與平面所成二面角的正弦值為15分18．（17分）【詳解】（1）由題知，解得，所以橢圓的方程為5分（2）設，①當直線的傾斜角為時，直線的方程為，由，消得到，所以，8分所以10分②由（1）知，易知，設直線，由，消得到，所以，12分設直線的斜率分別為，且，所以，14分得到，又，15分當且僅當，即時，的最大值為，又，所以的最大值為17分19．（17分）【詳解】（1）因為中有3個元素，故an不是單調(diào)數(shù)列，因為，所以，2分當時，，當時，故當時an為增函數(shù)，時an為減數(shù)列，因為中有3個元素，所以，，即，，所以，解得，所以的取值范圍是．4分（2）若，則，bn有1個，①若且，則，有3種可能，bn有3個，5分②若且，，則，若則，若，，的值可能是4或6，若，則，的值可能是2或4或6，符合條件的bn有6個．③若，，均不為8，則，，，，的值可能分別為：2，2，2；對應的，，的值可為；，，的值可能分別為2，2，4；對應的，，的值可為；，，的值可能分別為2，2，6；對應的，，的值可為，，，的值可能分別為2，4，4；對應的，，的值可為，，，的值可能分別為2，4，6；對應的，，的值可為，，，的值可能分別為2，6，6；對應的，，的值可為，，，的值可能分別為4，4，4；對應的，，的值可為，，，的值可能分別為4，4，6；對應的，，的值可為，，，的值可能分別為4，6，6；對應的，，的值可為，，，的值可能分別為6，6，6；對應的，，的值可為，故此時符合條件的bn綜上，符合條件的bn共有，綜上得符合條件的bn有20個．（3）由題意得11分所以，，，所以，能被4整除，，不能被2整除，，能被2整除，不能被4整除，，不能被2整除，所以，，…，中能被2整除，但不能被4整除的有n個，，，，，15分．17分【贏在高考·黃金8卷】備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學模擬卷（浙江專用）黃金卷02（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的。1．已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對數(shù)型函數(shù)的定義域和二次函數(shù)值域即可得到，再根據(jù)交集含義計算即可.【詳解】集合中，所以或，集合中，所以，故選：A.2．已知復數(shù)滿足，且是復數(shù)的共軛復數(shù)，則的值是（

）A． B．3 C．5 D．9【答案】C【分析】先化簡復數(shù)，再求出，最后得解.【詳解】，，.故選：C3．已知和的夾角為，且，則（

）A． B． C．3 D．9【答案】C【分析】根據(jù)向量數(shù)量積運算求得正確答案.【詳解】故選：C4．設雙曲線，橢圓的離心率分別為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得橢圓的離心率，進而可求得雙曲線的離心率，可求的值.【詳解】由橢圓，可得，所以，所以橢圓的離心率，又，所以雙曲線的離心率為，又雙曲線，所以，所以，解得.故選：B.5．在中，角的對邊分別為，已知，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理，求得，再由，求得，結合三角形的面積公式，即可求解.【詳解】在中，因為，可得，且，由正弦定理得，又因為，可得，所以的面積為.故選：A.6．蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為，底面半徑為是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側面與以為球心，半徑為的球相切，則圓錐的側面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意結合圓柱、圓錐以及球的結構特征解得圓錐母線長，進而可求圓錐的側面積.【詳解】設為圓錐高，為圓錐母線長

以為球心，半徑為4的球與圓錐側面相切，則，在中，，可得，且，則，解得，所以圓錐的側面積為.故選：C.7．《測圓海鏡》是金元之際李冶所著中國古代數(shù)學著作，這是中國古代論述容圓的一部專著，也是論述天元術的代表作.天元術與現(xiàn)代數(shù)學中列方程的方法基本一致，先立“天元一”為…，相當于“設為…”，再根據(jù)問題的已知條件列出兩個相等的多項式，最后通過合并同類項得到方程.設，若，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】令，結合得到，又，將問題轉化為等差數(shù)列求和，從而得解.【詳解】令，當時，，兩式相減可得

①，當時，，滿足①式，所以，故選：D.8．已知函數(shù)的定義域均為，是奇函數(shù)，且，則（

）A．為奇函數(shù) B．為奇函數(shù) C． D．【答案】D【分析】A選項，根據(jù)已知條件推出是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù)，f?x=fx，故A錯誤；C選項，推出f1=0，f3=0，f2+f4=0，從而求出；B選項，由f1【詳解】A選項，因為，所以，又，則有，因為是奇函數(shù)，所以，可得，即有fx+2=?fx與即，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù).因為且fx+2=?fx.所以所以為偶函數(shù).故A錯誤，C選項，由是奇函數(shù)，則f1=0因為fx+2=?fx又，是周期為4的周期函數(shù)，故，所以，所以C錯誤；B選項，由f1=0得，故不是奇函數(shù)，所以B錯誤；D選項，因為，所以，.所以，所以，所以D選項正確故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．已知函數(shù)，，則下列結論正確的是（

）A．與的圖象有相同的對稱軸B．與的值域相同C．與有相同的零點D．與的最小正周期相同【答案】AD【分析】根據(jù)題意分別畫出兩函數(shù)圖象，可求得它們的對稱軸、值域、零點、最小正周期等，即可得出結論.【詳解】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：

易知的對稱軸為，值域為0,1，零點為，最小正周期為；易知，其圖象如下圖所示：

易知的對稱軸為，即，值域為，零點為，最小正周期為；因此可得與的圖象有相同的對稱軸，它們的最小正周期相同.故選：AD10．已知函數(shù)y=fx的導函數(shù)為y=gx，且，則（

A．點是曲線y=gx的對稱中心 B．函數(shù)有三個零點C．函數(shù)只有一個極值點 D．當時，【答案】ACD【分析】選項A根據(jù)是奇函數(shù)，圖象關于點對稱可判斷；選項B根據(jù)導數(shù)求得單調(diào)性和極值可判斷；選項C根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進而可得；選項D先構造函數(shù)利用單調(diào)性判斷，進而利用的單調(diào)性可得.【詳解】選項A：因為是奇函數(shù)，圖象關于點對稱，所以的圖象關于點對稱，A正確；選項B：因為，由解得或，解得，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，?1,1單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，，，所以有兩個零點，B錯誤；選項C：因為，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，即只有一個極值點，C正確；設，，由?'x>0解得，?'所以?x在區(qū)間單調(diào)遞減，0,+∞，所以，因為在區(qū)間單調(diào)遞增，所以由，得，D正確，故選：ACD．11．如圖所示的曲線被稱為雙紐線，該種曲線在生活中應用非常廣泛，其代數(shù)形式可表示為坐標中（為坐標原點）動點到點的距離滿足：，則（

）

A．OP的最大值是B．若是曲線上一點，且在第一象限，則C．與有1個交點D．面積的最大值是【答案】ACD【分析】根據(jù)對稱性可知運動到軸上時，此時OP最大，即可求解A，根據(jù)特殊位置法即可求解B，利用與的交點，即可結合，求解C，利用判別式可得，即可求解D.【詳解】由雙紐線的對稱性可知：當運動到軸上時，此時OP最大，不妨設此時在軸的正半軸上，設此時，由，得，解得，故OP的最大值是，A正確，設Px,y，則，令，則，解得，而此時，不滿足，故B錯誤，聯(lián)立與，則，解得，故直線與曲線只有一個交點，而，，由A易知雙紐線中，根據(jù)對稱性，只需研究上與的交點情況，顯然只有原點這1個交點，C正確，對于D，由可得，令，則，該方程有實數(shù)根，故，解得，故，，故D正確，故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)與的交點，結合，，可判斷與的交點，由二次型方程的根，利用判別式可求解最大的縱坐標.第II卷（非選擇題）填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．的展開式中項的系數(shù)為84，則實數(shù)．【答案】【分析】寫出通項，根據(jù)題意列方程即可得解.【詳解】展開式的通項為，因為項的系數(shù)為84，所以，解得.故答案為：13．直線與曲線相切，則．【答案】【分析】設切點坐標為，由導數(shù)的幾何意義求解即可.【詳解】設切點坐標為，由于，所以切線的斜率為：，所以曲線在處的切線方程為：，即，所以，，故答案為：.14．如圖，在四棱錐中，平面，，，四邊形為直角梯形，，，給出下列結論：①平面；②三棱錐的外接球的表面積為；③異面直線與所成角的余弦值為；④直線與平面所成角的正弦值為.則所有正確結論的序號是.【答案】②③【分析】建立空間直角坐標系，用向量法驗證與的垂直關系，可判斷①；根據(jù)題意，找到球心的位置，計算球的表面積，可判斷②；利用向量法求異面直線與所成角的余弦值，可判斷③；利用向量法求直線與平面所成角的正弦值，可判斷④.【詳解】對于①：由題意知AB，AD，AP兩兩垂直，故以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，A0,0,0，B1,0,0，，P0,0,1，，，，若平面，則平面，得，而，所以與不垂直，故①錯誤.對于②；取的中點O，連接，可得，因為，所以，則為直角三角形，且，所以，則，所以O為三棱錐的外接球的球心，于是外接球半徑，故三棱錐的外接球的表面積為，故②正確.對于③：設異面直線與所成的角為，則由①的解法一可知，，因為異面直線所成角的范圍是，所以，故③正確；對于④：由①的解法一知，，，設平面的法向量為n=x,y,z，則，取，則，設直線PB與平面PCD所成的角為，則，故④錯誤.故答案為：②③.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟。15．（13分）已知函數(shù)(1)若曲線在點處的切線方程為，求a和b的值；(2)討論的單調(diào)性.【答案】(1)，(2)答案見解析【分析】（1）先對函數(shù)求導，結合導數(shù)的幾何意義與斜率關系即可求解；（2）結合導數(shù)與單調(diào)性關系對的范圍進行分類討論即可求解．【詳解】（1），則．曲線在點處的切線方程為，則，解得，由，解得，（2），函數(shù)定義域為，則，令，解得或，若，則當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，若，則當時，，單調(diào)遞減，當和時，，單調(diào)遞增，若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，若，則當時，，單調(diào)遞減，當和時，，單調(diào)遞增，綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為．16．（15分）若一個數(shù)列從第二項起，每一項與前一項的差值組成的新數(shù)列是一個等差數(shù)列，則稱這個數(shù)列是一個“二階等差數(shù)列”，已知數(shù)列是一個二階等差數(shù)列，其中．(1)求及的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出遞推公式，求出，再利用累加法求出通項公式.（2）由（1）的結論求出，利用分組求和及裂項相消法求和即得.【詳解】（1）由，得，，由數(shù)列an是一個二階等差數(shù)列，得是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，因此，，當時，，滿足上式，則，所以an的通項公式是.（2）由（1）知，，所以．17．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，為等邊三角形，，M為的中點.

(1)證明：；(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）取的中點，連接，先證明平面，再證平面，最后證明平面，得證；（2）建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求解.【詳解】（1）取的中點，連接，因為為等邊三角形，所以，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又平面，所以平面.因為平面，所以，又是的中點，所以，因為平面，且，所以平面，又因為，所以.（2）因為，由（1）知四邊形為矩形，則，又平面，所以平面，以為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，

則，取平面的法向量為，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以，，設平面與平面所成二面角為，則，所以，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.18．（17分）已知橢圓的右焦點為，分別為橢圓的左、右頂點，分別為橢圓的上、下頂點，四邊形的面積為．(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點，直線與的交點為．①若直線的傾斜角為，求線段的長度；②試問是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果沒有，說明理由．【答案】(1)(2)①；②有，【分析】（1）根據(jù)條件，建立方程組，即可求解；（2）①由題知直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消得到，再利用弦長公式，即可求解；②設直線，聯(lián)立橢圓方程，消得到，設直線的斜率分別為，進而可得，又，即可求解.【詳解】（1）由題知，解得，所以橢圓的方程為.（2）設，①當直線的傾斜角為時，直線的方程為，由，消得到，所以，所以.②由（1）知，易知，設直線，由，消得到，所以，設直線的斜率分別為，且，所以，得到，又，當且僅當，即時，的最大值為，又，所以的最大值為.【點睛】關鍵點點晴，本題的關鍵在于第（2）問中的②，設直線，聯(lián)立橢圓方程，消得到，由韋達定理知，設直線的斜率分別為，從而得出，又，即可求解.19．（17分）記數(shù)列an中前項的