2024-2025學(xué)年北京市北京匯文中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024—2025學(xué)年北京市北京匯文中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(★★)1.已知集合，，則（）

A．B．C．D．或二、多選題(★★★)2.下列函數(shù)中，在定義域上為奇函數(shù)，且在上遞減的是（）

A．B．C．D．三、單選題(★★)3.二項式的展開式中的常數(shù)項為（）

A．60B．C．64D．(★★★)4.若，給出下列不等式：①；②；③，其中正確的個數(shù)是（）

A．0B．1C．2D．3(★★)5.如圖，圓柱的母線長為分別為該圓柱的上底面和下底面直徑，且，三棱錐的體積為，則圓柱的表面積為（）

A．B．C．D．四、多選題(★★★)6.近日，數(shù)字化構(gòu)建社區(qū)服務(wù)新模式成為一種時尚.某社區(qū)為優(yōu)化數(shù)字化社區(qū)服務(wù)，問卷調(diào)查調(diào)研數(shù)字化社區(qū)服務(wù)的滿意度，滿意度采用計分制（滿分100分），統(tǒng)計滿意度繪制成如下頻率分布直方圖，圖中，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A．B．滿意度計分的眾數(shù)為75分C．滿意度計分的75%分位數(shù)是85分D．滿意度計分的平均分是76五、單選題(★★★)7.已知，是平面內(nèi)兩個非零向量，那么“”是“存在，使得”的（）

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件(★★★)8.某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量（單位：與時間（單位：h）之間的關(guān)系式為，其中為初始污染物含量，均為正的常數(shù)，已知過濾前后廢氣的體積相等，且在前4h過濾掉了的污染物．如果廢氣中污染物的含量不超過時達到排放標(biāo)準(zhǔn)，那么該工廠產(chǎn)生的廢氣要達到排放標(biāo)準(zhǔn)，至少需要過濾的時間為（）

A．4hB．6hC．8hD．12h(★★)9.直線與圓相交所形成的長度為整數(shù)的弦的條數(shù)為（）

A．3B．4C．5D．6(★★★★)10.數(shù)列滿足，，給出下列四個結(jié)論：①不存在，使得，，成等差數(shù)列；②存在，使得，，成等比數(shù)列；③存在常數(shù)，使得對任意，都有，，成等差數(shù)列；④存在正整數(shù)，且，使得.其中所有正確結(jié)論的是（）

A．①②B．①④C．③④D．②③六、填空題(★)11.拋物線的焦點坐標(biāo)為_____________.(★★)12.函數(shù)在一個周期內(nèi)的部分取值如下表：

1則的最小正周期為____________；______________.(★★★)13.已知函數(shù)在處取得極小值，且，若的定義域為，值域為，則的取值范圍是______________.(★★★)14.北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板（稱為天心石），環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板（不含天心石）______塊．(★★★)15.設(shè)函數(shù)，（1）若，函數(shù)的最小值為____________；（2）若函數(shù)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是___________.七、解答題(★★★)16.已知函數(shù)，且滿足_____________.（在下列三個條件中任選一個填入，并解答問題）.①函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為；②函數(shù)的圖象相鄰兩個最大值之間的距離為；③已知，，且的最小值為.(1)求函數(shù)的對稱中心坐標(biāo)；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞減區(qū)間.(★★★)17.如圖，在四棱錐中，平面，為等邊三角形，，，，分別為棱，的中點.(1)求證：平面；(2)求平面與直線所成角的正弦值.(★★★)18.為調(diào)查A，B兩種同類藥物在臨床應(yīng)用中的療效，藥品監(jiān)管部門收集了只服用藥物A和只服用藥物B的患者的康復(fù)時間，經(jīng)整理得到如下數(shù)據(jù)：

康復(fù)時間只服用藥物A只服用藥物B7天內(nèi)康復(fù)360人160人8至14天康復(fù)228人200人14天內(nèi)未康復(fù)12人40人假設(shè)用頻率估計概率，且只服用藥物A和只服用藥物B的患者是否康復(fù)相互獨立．(1)若一名患者只服用藥物A治療，估計此人能在14天內(nèi)康復(fù)的概率；(2)從樣本中只服用藥物A和只服用藥物B的患者中各隨機抽取1人，以X表示這2人中能在7天內(nèi)康復(fù)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望：(3)從只服用藥物A的患者中隨機抽取100人，用“”表示這100人中恰有k人在14天內(nèi)未康復(fù)的概率，其中．當(dāng)最大時，寫出k的值．（只需寫出結(jié)論）(★★★★)19.已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求的極值；(3)若恒成立，求的取值范圍．(★★★)20.已知橢圓的左焦點為，點，三等分橢圓的短軸，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點作與軸不垂直的直線與橢圓交于點，，橢圓上是否存在點，使得恒有？若存在，求出點坐標(biāo)；若不存在，