浙江省南太湖聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省”南太湖“聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線的一個(gè)方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的一個(gè)方向向量為，又因?yàn)榕c共線，所以一個(gè)方向向量可以是，故選：A.2.已知點(diǎn)，，，若A，B，C三點(diǎn)共線，則a，b的值分別是（）A.，3 B.，2 C.1，3 D.，2【答案】D【解析】因?yàn)?，，，所以，，因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，解得.故選：D3.過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別,為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的外接圓方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意知，，，四邊形有一組對角都等于，四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，此圓的直徑是，的中點(diǎn)為，，四邊形的外接圓方程為，外接圓的方程為.故選：A4.中，，，，則頂點(diǎn)的軌跡方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得頂點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓(扣除左右頂點(diǎn))，設(shè)其方程為所求軌跡方程為：，故選B.5.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F作斜率為1的直線交拋物線C于P,Q兩點(diǎn)，則的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），過點(diǎn)F作斜率為1的直線l：y=x﹣1，可得，消去y可得：x2﹣6x+1=0，可得xP+xQ=6，xPxQ=1，|PF|=xP+1，|QF|=xQ+1，|PF||QF|=xQ+xP+xPxQ+1=6+1+1=8，則故答案為：C6.已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與C的左支交于A，B兩點(diǎn)，且，，則C的漸近線為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖．設(shè)，，則，，在中由勾股定理：，解得：，在中，由勾股定理：解得：，所以，所以漸近線方程為：.故選：A．7.已知點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，且，為的內(nèi)心，若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)辄c(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，所以，可得，解得，又因?yàn)?，可得，整理得，即，解得或（舍去?故選：D.8.如圖所示，四面體的體積為V，點(diǎn)M為棱的靠近B的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F分別為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段的中點(diǎn)，過點(diǎn)N的平面與棱，，分別交于O，P，Q，設(shè)四面體的體積為，則的最小值為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖所示，連接，可得，；令，則，所以，因?yàn)镹，O，P，Q四點(diǎn)共面，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則點(diǎn)到平面的距離為，又因?yàn)?，，所以，即的最小值?故選：A.二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線，下列說法正確的是（）A.若，則直線的傾斜角為 B.若直線的在兩坐標(biāo)軸的截距相等，則C.直線與直線垂直，則 D.若直線不過第二象限，則【答案】AC【解析】對于選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，直線l可化為，故直線的斜率為，所以傾斜角為，故選項(xiàng)A正確；對于選項(xiàng)B，由題意，令，得，令，得，若截距相等，則有，解得或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C，由直線垂直的充要條件得，解得，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D，直線l可化為，因?yàn)椴贿^第二象限，所以，解得，所以，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知橢圓的左，右兩焦點(diǎn)分別是，，其中.直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn).則下列說法中正確的有（）A.當(dāng)時(shí)，的周長為4aB.當(dāng)時(shí)，若AB的中點(diǎn)為M，則C.若，則橢圓的離心率的取值范圍是D.若AB的最小值為3c，則橢圓的離心率【答案】AC【解析】對于A，由橢圓定義得：的周長，A正確；對于B，由消去y并整理得：，則弦AB中點(diǎn)，而，則，即，B不正確；對于C，設(shè)，則，，而，于是得，由得，解得，C正確；對于D，由橢圓的性質(zhì)知，橢圓的通徑是過焦點(diǎn)的橢圓的最短弦，當(dāng)時(shí)，即，即，解得，因直線l不垂直于x軸，則弦AB不能取到，即，D不正確.故選：AC11.正方體的棱長為2，點(diǎn)M為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含邊界），點(diǎn)P、Q分別是線段、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.存在點(diǎn)M，使得二面角大小為B.最大值為6C.直線與面所成角為時(shí)，則點(diǎn)M的軌跡長度為D.當(dāng)時(shí)，則三棱錐的體積為定值.【答案】BCD【解析】在正方體中，可得平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以二面角的平面角為，其中，A錯(cuò)誤；如圖建系，設(shè)，，存在時(shí)，取最大值為6，B正確；

設(shè)面法向量為n=0,1,0，直線與面所成角為時(shí)，可得，所以，則點(diǎn)M的軌跡是以E0,0,1為球心，2點(diǎn)M為側(cè)面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)M的軌跡在側(cè)面內(nèi)是以E0,0,1為圓心，2為半徑的劣弧，如圖所示，分別交，于，，如圖所示，，則，則，劣弧的長為，C正確當(dāng)時(shí)，，所以，所以，可得為，則三棱錐的體積為，所以當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，則_____.【答案】【解析】易知在中，，焦點(diǎn)為，故橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故，解得.故答案為：13.設(shè)半徑為3的圓被直線截得的弦的中點(diǎn)為,且弦長，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程__________.【答案】或.【解析】由題意設(shè)所求的圓的方程為：.圓心到直線的距離為，圓被直線：截得的弦的中點(diǎn)為，，解得或，即所求的圓的方程為：或.故答案為：或.14.已知橢圓和雙曲線有相同的焦點(diǎn)和，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)橢圓的長半軸長為，雙曲線的實(shí)半軸長為，它們的半焦距為c，于是得，，由橢圓及雙曲線的對稱性知，不妨令焦點(diǎn)和在x軸上，點(diǎn)P在y軸右側(cè)，由橢圓及雙曲線定義得：，解得，，因，即，而O是線段的中點(diǎn)，因此有，則有，即，整理得：，從而有，即有，又，則有，即，解得，所以的取值范圍是.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知圓.（1）若直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與圓C相切，求直線l的方程；（2）若圓與圓C相切，求實(shí)數(shù)m的值.解：（1）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，與圓C相切，符合題意.若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，則，解得，所以直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.（2）圓的方程可化為.若圓與圓C外切，則，解得.若圓與圓C內(nèi)切，則，解得.綜上，或.16.如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，E是PD的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）當(dāng)點(diǎn)為棱中點(diǎn)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．解：（1）取中點(diǎn)，連接，．為中點(diǎn)，且，，，且，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，所以平面.（2）取中點(diǎn)，連接，．正三角形，，面面，面面，面，又，，所以為正方形，所以．如圖以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，所以，，，設(shè)面的一個(gè)法向量為，則，不妨取，設(shè)與平面所成角，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知曲線經(jīng)過點(diǎn)．（1）若經(jīng)過點(diǎn)，求的離心率；（2）若表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，，代入得，所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為，，，，所以的離心率．（2）的方程可化為，因?yàn)楸硎窘裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，即，因?yàn)椋?，解得，所以的取值范圍是?8.已知曲線M是平面內(nèi)到和的距離之和為4的點(diǎn)的軌跡．（1）求曲線M的方程；（2）過點(diǎn)作斜率不為0的直線l交曲線M于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為Q，直線AQ交x軸于C點(diǎn)，直線BQ交x軸于D點(diǎn)，求線段CD中點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）設(shè),由題意，可得,由橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是橢圓，故可設(shè)曲線M的方程為：，則，，故，，曲線M的方程為：；（2）方法一：直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立，整理得，則，設(shè)，則，，直線l交直線于點(diǎn)，則，則直線的方程為：，，令，解得，則，直線的方程為：，，令，解得，則，，所以線段CD中點(diǎn)的坐標(biāo)為；方法二：直線l的斜率存在且不為0，設(shè)直線l方程為，聯(lián)立，整理得，，設(shè)，則，，直線l交直線于，則，則直線AQ的方程為：，，令，解得，則，同理可得，，所以線段CD中點(diǎn)的坐標(biāo)為.19.已知兩個(gè)非零向量，在空間任取一點(diǎn)，作，，則叫做向量與的夾角，記作．定義與的“向量積”為：是一個(gè)向量，它與向量,都垂直,它的模．如圖,在正四棱錐中，，且．（1）求正四棱錐的體積；（2）若為側(cè)棱上的點(diǎn)，且平面，求平面與平面夾角的余弦值；（3）若點(diǎn)是側(cè)棱（包含端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線與平面所成角最大時(shí)，求的值．解：（1）設(shè)和相交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)椋实膴A角即為的夾角，故，所以，所以，所以正四棱錐的體積．（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，