云南省保山市、文山州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省保山市、文山州2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題，共60分）注意事項：1．答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號、準考證號在答題卡上填寫清楚2．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．在試題卷上作答無效.一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，集合，，則()A. B.C. D.【答案】A【解析】，則

故選：A2.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（

）A. B.C. D.【答案】D【解析】，則.故選：D.3.已知非零向量滿足，且，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得，設(shè)又，所以，由于，所以與的夾角為.故選：C.4.國家速滑館又稱“冰絲帶”，是北京2022年冬奧會的標志性場館，擁有亞洲最大的全冰面設(shè)計，但整個系統(tǒng)的碳排放接近于零，做到了真正的智慧場館、綠色場館，并且為了倡導(dǎo)綠色可循環(huán)的理念，場館還配備了先進的污水、雨水過濾系統(tǒng)，已知過濾過程中廢水的污染物數(shù)量（mg/L）與時間的關(guān)系為（為最初污染物數(shù)量）.如果前2個小時消除了20%的污染物，那么前6個小時消除了污染物的（）A.51.2% B.48.8% C.52% D.48%【答案】B【解析】依題意有，可得，當時，因此，前6個小時消除了污染物的48.8%.故選∶B．5.已知等比數(shù)列滿足：首項，公比為q，前n項和為，則“對任意的恒成立”是“”的（）A.充分必要條件 B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，且公比，則，所以對于任意，成立，故必要性成立；若，且，則所以由對于任意的，，推不出，故充分性不成立；則“對任意的恒成立”是“”的必要不充分條件，故選:C．6.已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與的交點，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】易知拋物線的焦點為F1,0，準線方程為，設(shè)點、，因為，即，可得，解得，即點，由拋物線的焦半徑公式可得.故選：A.7.已知圓錐的軸截面是邊長為2的等邊三角形，現(xiàn)往圓錐內(nèi)放入一個體積最大的球，則球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比是（）A B. C. D.【答案】B【解析】圓錐內(nèi)放入一個體積最大的球，其半徑為圓錐的軸截面等邊三角形的內(nèi)切圓半徑，故該球的半徑為，故球的表面積為，圓錐的側(cè)面積為，則球的表面積與圓錐的側(cè)面積之比是.故選：B.8.已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，，當時，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為是偶函數(shù)，所以，將換為，得①(即對稱軸x=-2)，又因為，所以，將換為得②(即對稱中心（-1,0））.由①②得，令,則,所以,將換得③,將換為為得④.由③④得，將換為得⑤所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)（由對稱中心和對稱軸也可直接得到周期為4），當時，，則，，由③得，由④得，根據(jù)周期性⑤得：，，，，所以，又因為，故.故選：D.二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項是符合題目要求的．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.若等比數(shù)列的公比為，則其前項和為B.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若（其中、、、），則C.若數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則D.若數(shù)列的首項為，其前項和為，且，則【答案】BD【解析】對于A選項，當時，；當時，.即，A錯；對于B選項，因為數(shù)列為等差數(shù)列，若（其中、、、），則，B對；對于C選項，因為，所以，，C錯；對于D選項，對任意的，，當時，則有，當時，由可得，上述兩個等式作差可得，則，也滿足，故對任意的，，D對.故選：BD.10.關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論，其中結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù)B.在區(qū)間單調(diào)遞增C.在有3個零點D.的最大值為2【答案】ACD【解析】對于A：，又函數(shù)的定義域為，A正確；對于B：當時，，其在單調(diào)遞減，B錯誤；對于C：令，即，畫出函數(shù)在上的圖象如下圖：為實線圖象，為虛線圖象，觀察圖象可得，兩個函數(shù)圖象在上有3個交點，橫坐標分別為，故在有3個零點，C正確；對于D：對于，明顯其最大值可以取到，對于，明顯其最大值也可以取到，當時，和可同時取到最大值，所以的最大值為2，D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長為2的正方體中，為線段的中點，為線段上的動點（含端點），則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的體積為B.直線與下底面所成角的正弦值為C.為線段的中點時，過三點的平面截正方體所得截面的周長為D.三棱錐的外接球體積的最大值為【答案】ABD【解析】對于A：為線段上的動點，又平面，所以，正確；對于B：連接，因為面，所以為直線與下底面所成角，所以，正確；對于C：連接，明顯有，所以過三點的平面截正方體所得截面為四邊形，四邊形的周長為，錯誤；對于D：因為兩兩垂直，所以三棱錐的外接球半徑為，故當最大時，三棱錐的外接球半徑最大，此時，，此時體積為，正確.故選：ABD.12.某學(xué)校數(shù)學(xué)課外興趣小組研究發(fā)現(xiàn)：橢圓的兩條互相垂直的切線交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓,稱為該橢圓的“蒙日圓”.利用此結(jié)論解決下列問題:已知橢圓的離心率為，，為C的左?右焦點且，A為C上一動點，直線.說法中正確的有（）A.橢圓C的“蒙日圓”的面積為B.對直線l上任意點P，都有C.橢圓C的標準方程為D.橢圓C的“蒙日圓”的兩條弦都與橢圓C相切，則面積的最大值為6【答案】AC【解析】因為，又，所以，故橢圓的方程為，所以選項C正確；對于選項A，設(shè)蒙日圓的半徑為，所以蒙日圓的方程為，如圖1，過橢圓右頂點和上頂點分別作橢圓的切線，相交于點,易知點的坐標為，且點在蒙日圓上，所以，故“蒙日圓”的面積為，所以選項A正確；對于選項B，因為直線的方程為，橢圓方程，聯(lián)立，消得，則，所以直線與橢圓相切，由橢圓定義知，切點到兩焦點的距離和為，所以選項B錯誤；對于選項D，由蒙日圓的定義可知，，則為蒙日圓的直徑，如圖2，連接，設(shè)，則，，設(shè)，所以，又(當且僅當時取等號)，所以，即，所以，故選項D錯誤；故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）注意事項：第Ⅱ卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無效．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，則_________．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由已知，得，所以，所以.故答案為：.14.一組數(shù)據(jù)按從小到大排列為、、、、、、，若該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是_________．【答案】【解析】數(shù)據(jù)、、、、、、共個數(shù)，該組數(shù)據(jù)眾數(shù)為，因為，所以，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，因為該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是眾數(shù)的倍，則.所以，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為.故答案為：.15.若直線l沿x軸向左平移3個單位長度，再沿y軸向上平移1個單位長度后，回到原來位置，請寫出一條與l垂直的直線方程________．【答案】（答案不唯一）【解析】設(shè)直線方程為：，變換后：，即，故.一條與l垂直的直線方程為：，即.故答案為：.16.已知點在圓上，點、，則點到直線的距離的最大值為____________；當最大時，____________.【答案】;【解析】由題意可得AB的直線方程為，即，圓的圓心坐標為(5,5)，半徑為4，圓心(5,5)到直線AB的距離為，所以點P到直線AB的距離的最大值為，如圖：當最大或最小時，直線PB與圓相切，上圖的P點位置滿足最大的情況，，，所以，故答案為：；.四、解答題（共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.在中,角、、所對的邊分別為、、,且滿足.（1）求角；（2）若，求面積的最大值．解：（1）因為，由正弦定理可得，因為、，則，可得，所以，，故.（2）由余弦定理可得，當且僅當時，等號成立，故，因此，面積的最大值為.18.現(xiàn)有形狀、大小完全相同的20個標記了數(shù)字1的紅球、40個標記了數(shù)字2的紅球、10個標記了數(shù)字1的白球、20個標記了數(shù)字2的白球，運用分層抽樣方法從中抽取9個球后，放入一個不透明的布袋中.（1）求不透明的布袋中4種球的個數(shù)；（2）從布袋中不放回地隨機取2個小球，每次取1個，記事件第一次取到是紅球，事件第一次取到了標記數(shù)字1的球，事件第一次取到了標記數(shù)字2的球，事件第二次取到了標記數(shù)字1的球，①求證：；②判斷：與是否相互獨立？請說明理由.解：（1）由題意得，共有個球，因為分層抽樣方法從中抽取9個球后，放入一個不透明的布袋中，其中標記數(shù)字1的紅球有個，標記數(shù)字2的紅球有個，標記數(shù)字1的白球有個，標記數(shù)字2的白球有個，所以標記數(shù)字1的紅球有個，標記數(shù)字2的紅球有個，標記數(shù)字1的白球有個，標記數(shù)字2的白球有個.（2）從布袋中不放回地隨機取2個小球，每次取1個，事件第一次取到是紅球，事件第一次取到了標記數(shù)字1的球，事件第一次取到了標記數(shù)字2的球，事件第二次取到了標記數(shù)字1的球，①由相互獨立事件的概率乘法公式，可得，，所以；②由相互獨立事件的概率乘法公式，可得，事件可分為兩種情況：第一次取到標記數(shù)字2的球，第二取到了標記數(shù)字1的球和第一次取到標記數(shù)字1的球，第二取到了標記數(shù)字1的球，且兩種取法為互斥事件，所以，事件可分為：第一次取到了標記數(shù)字1的紅球，第二次取到了標記數(shù)字1的球和第一次取到了標記數(shù)字2的紅球，第二次取到標記數(shù)字的球，且兩種取法為互斥事件，所以，因為，事件與事件相互獨立.19.如圖，在長方體中，，，、、分別是、、的中點．（1）證明：平面；（2）設(shè)為邊上的一點，當直線與平面所成角的正切值為時，求二面角的余弦值．解：（1）連接、，如圖，因為、分別是、的中點，所以且，在長方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，且，又因為是的中點，所以，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）連接，由平面可得即為直線與平面所成角，又，因為平面，平面，則，所以，，所以，以點為坐標原點，分別以、、所在直線作為軸、軸、軸建立如圖所示空間直角坐標系，則、、，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，令，則，易得平面的一個法向量，所以，由圖可知，二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.20.我國南宋時期的數(shù)學(xué)家楊輝，在他1261年所著的《詳析九章算法》一書中，用如圖的三角形解釋二項和的乘方規(guī)律．此圖稱為“楊輝三角”，也稱為“賈憲三角”．在此圖中，從第三行開始，首尾兩數(shù)為，其他各數(shù)均為它肩上兩數(shù)之和．（1）把“楊輝三角”中第三斜列各數(shù)取出按原來的順序排列得一數(shù)列：，，，，，…，寫出與的遞推關(guān)系，并求出數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，證明：.解：（1）由“楊輝三角”的定義可知：，時，所以有，故,該式對a1=1也成立.所以（）（2）由題得，所以，設(shè)，所以，（1）所以，（2）（1）（2）得，所以，所以所以所以故.21.已知雙曲線實軸端點分別為、，右焦點為，離心率為，過點的直線與雙曲線交于另一點，已知的面積為．（1）求雙曲線的方程；（2）若過點的直線與雙曲線交于、兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由．解：（1）因為雙曲線的離心率為，可得，則，則，可得，則，，因此，雙曲線的方程為.（2）若直線與軸重合，則點、為雙曲線實軸的端點，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)點Mx1,聯(lián)立可得，則，可得，由韋達定理可得，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，解得.因此，點在定直線上.22.函數(shù)的定義域為D，若存在正實數(shù)k，對任意的，總有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．（1）判斷下列函數(shù)是否具有性質(zhì)，并說明理由；①；②；（2）已知為二次函數(shù)，若存在正實數(shù)k，使得函數(shù)具有性質(zhì)