2023屆高考數(shù)學(xué)特訓(xùn)營(yíng)專攻(四)-極值點(diǎn)偏移問(wèn)題

第三單元高考專攻(四)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題2023屆1《高考特訓(xùn)營(yíng)》·數(shù)學(xué)

01考法102考法203考法3典例1已知函數(shù)f(x)＝xe－x(x∈R)．(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，求證：x1＋x2>2.[思維引導(dǎo)]考法1對(duì)稱變換(基本解法之對(duì)稱化構(gòu)造)解：(1)f′(x)＝(1－x)e－x，令f′(x)＝0，則x＝1.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：∴f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)，在(1，＋∞)上是減函數(shù)x(－∞，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－f(x)

極大值

(2)證明：當(dāng)x1，x2都在(－∞，1)或都在(1，＋∞)時(shí)，由于f(x)是單調(diào)函數(shù)，所以x1＝x2，這與已知矛盾，所以x1，x2一個(gè)在(－∞，1)內(nèi)，另一個(gè)在(1，＋∞)內(nèi)．不妨設(shè)x1>1，x2<1，由(1)知當(dāng)x1>1時(shí)，f(x1)>f(2－x1)，又f(x1)＝f(x2)，∴f(x2)>f(2－x1)．∵x1>1，∴2－x1<1，∴x2，2－x1∈(－∞，1)．∵f(x)在(－∞，1)上是增函數(shù)，∴x2>2－x1，∴x1＋x2>2.對(duì)稱變換，主要用來(lái)解決與兩個(gè)極值點(diǎn)之和、積相關(guān)的不等式的證明問(wèn)題．典例2

(2022·雅禮高三月考)已知函數(shù)f(x)＝lnx－ax，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，求證：x1?x2>e2.[思維引導(dǎo)]考法2消參減元(含參函數(shù)問(wèn)題可考慮先消去參數(shù))解：∵函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2，∴l(xiāng)nx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，∴l(xiāng)nx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，欲證明x1x2>e2，即證lnx1＋lnx2>2，∵lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，

消參減元的主要目的就是減元，進(jìn)而建立與所求解問(wèn)題相關(guān)的函數(shù)．(1)當(dāng)m＝－2時(shí)，求函數(shù)f(x)的所有零點(diǎn)；(2)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，且x1＜x2，求證：x1x2＞e2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．[思維引導(dǎo)]考法3比(差)值換元解：(1)當(dāng)m＝－2時(shí)，f(x)＝xlnx＋x2－x＝x(lnx＋x－1)，x>0.又g(1)＝0，∴g(x)有唯一零點(diǎn)x＝1.從而函數(shù)f(x)有唯一零點(diǎn)x＝1.(2)證明：欲證x1x2>e2，需證lnx1＋lnx2>2.∵f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，即函數(shù)f′(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．又f′(x)＝lnx－mx，∴x1，x2是方程f′(x)＝0的兩個(gè)不同實(shí)根．

比(差)值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用