廣東省東莞市東莞外國語學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期11月月考數(shù)學(xué)試題 附答案

試卷第=page11頁，共=sectionpages44頁試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023-2024莞外高三上學(xué)期第二次月考一、單選題（選對(duì)得5分，選錯(cuò)得0分.）1．設(shè)集合，，則（

）A．B．C． D．2．已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A．B．C． D．3．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，，如圖是下列四個(gè)函數(shù)中某個(gè)函數(shù)的大致圖象，則該函數(shù)是（

）A． B． C． D．5．某企業(yè)不斷自主創(chuàng)新提升技術(shù)水平，積極調(diào)整企業(yè)旗下的甲、乙、丙、丁、戊等種系列產(chǎn)品的結(jié)構(gòu)比例，近年來取得了顯著效果.據(jù)悉該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，其中種系列產(chǎn)品的年收入構(gòu)成比例如圖所示.則下列說法錯(cuò)誤的是（

）

A．年甲系列產(chǎn)品收入比年的多B．年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比年的企業(yè)年總收入還多C．年丁系列產(chǎn)品收入是年丁系列產(chǎn)品收入的D．年戊系列產(chǎn)品收入是年戊系列產(chǎn)品收入的倍6．已知展開式中的系數(shù)為48，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．7．設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且，則A． B． C． D．8．在直三棱柱中，為等腰直角三角形，若三棱柱的體積為32，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．12π B．24π C．48π D．96π二、多選題（選對(duì)得5分，漏選得2分，選錯(cuò)得0分）9．若，，且，則下列不等式恒成立的是（）A．B．C． D．10．已知，為不同的直線，，為不同的平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則11．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．的最小值是，最大值是 B．的周期為C． D．12．如圖，正方體中，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．直線與是異面直線B．三棱錐的體積為C．過點(diǎn)作平面的垂線，與平面交與點(diǎn)，若，則D．點(diǎn)到平面的距離是一個(gè)常數(shù)三、填空題（做對(duì)得5分，做錯(cuò)得0分.）13．為了了解某水庫里大概有多少條魚，先打撈出了1000條魚，在魚身上標(biāo)記一個(gè)不會(huì)掉落的印記后放回水庫，過一段時(shí)間后再次捕撈了200條魚，發(fā)現(xiàn)其中5條魚有印記．則這個(gè)水庫里大概有條魚.14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.15．已知直線l的一個(gè)方向向量為，若點(diǎn)為直線l外一點(diǎn)，為直線l上一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的距離為.16．已知函數(shù)，不等式對(duì)任意的恒成立，則的最大值為．四、解答題17．正三棱柱中，是的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，，．(1)求三棱錐的體積；(2)求證：平面；(3)求直線與平面ABC所成角的正切值18．流行性感冒（簡稱流感）是流感病毒引起的急性呼吸道感染，是一種傳染性強(qiáng)、傳播速度快的疾病.其主要通過空氣中的飛沫、人與人之間的接觸或與被污染物品的接觸傳播.流感每年在世界各地均有傳播，在我國北方通常呈冬春季流行，南方有冬春季和夏季兩個(gè)流行高峰.兒童相對(duì)免疫力低，在幼兒園、學(xué)校等人員密集的地方更容易被傳染.某幼兒園將去年春季該園患流感的小朋友按照年齡與人數(shù)統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：年齡23456患病人數(shù)2120151410(1)求關(guān)于的線性回歸方程；(2)計(jì)算變量的相關(guān)系數(shù)（計(jì)算結(jié)果精確到0.01），并回答是否可以認(rèn)為該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng)?附：回歸方程中，，相關(guān)系數(shù).19．在中，，，分別上的點(diǎn)且，，將沿折起到的位置，使．(1)求證：；(2)是否在射線上存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由．20．已知函數(shù)，其中.(1)若在處取得極值，求a的值；(2)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性．21．某校數(shù)學(xué)組老師為了解學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)整體發(fā)展水平，組織本校8000名學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性檢測（檢測分為初試和復(fù)試），并隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的初試成績，繪制了頻率分布直方圖，如圖所示．

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求樣本平均數(shù)的估計(jì)值和80%分位數(shù);(2)若所有學(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中為樣本平均數(shù)的估計(jì)值，．初試成績不低于90分的學(xué)生才能參加復(fù)試，試估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù);(3)復(fù)試共三道題，規(guī)定：全部答對(duì)獲得一等獎(jiǎng);答對(duì)兩道題獲得二等獎(jiǎng);答對(duì)一道題獲得三等獎(jiǎng);全部答錯(cuò)不獲獎(jiǎng)．已知某學(xué)生進(jìn)入了復(fù)試，他在復(fù)試中前兩道題答對(duì)的概率均為，第三道題答對(duì)的概率為．若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，設(shè)他獲得二等獎(jiǎng)的概率為，求的最小值．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，22．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．答案第=page33頁，共=sectionpages88頁答案第=page22頁，共=sectionpages88頁2023-2024莞外高三上學(xué)期第二次月考參考答案1．B【詳解】由題意可得，即，所以.故選：B2．B【詳解】解：，，，所以故選：B3．A【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，，所以在零點(diǎn)在區(qū)間，故選：A．4．D【詳解】由圖象可得，該圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)于A選項(xiàng)：的定義域?yàn)?，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：的定義域?yàn)?，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；又知當(dāng)時(shí)，，對(duì)于C選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故選D.5．C【詳解】對(duì)于A：年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年甲系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年甲系列產(chǎn)品收入比年的多，故A選項(xiàng)不符題意；對(duì)于B：年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和占了總收入的，該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年乙和丙系列產(chǎn)品收入之和比年的企業(yè)年總收入還多，故B選項(xiàng)不符題意；對(duì)于C：年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年丁系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年丁系列產(chǎn)品收入是年丁系列產(chǎn)品收入的，故C選項(xiàng)符合題意；對(duì)于D：年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的，年戊系列產(chǎn)品收入占了總收入的，而該企業(yè)年種系列產(chǎn)品年總收入是年的倍，故年戊系列產(chǎn)品收入是年戊系列產(chǎn)品收入的倍，故D選項(xiàng)不符題意.6．A【詳解】二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式為：的展開式中，的系數(shù)為，解得．故選：A7．C【詳解】試題分析：設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線對(duì)稱為（），由已知（）在函數(shù)的圖像上，∴，解得，即，∴，解得，故選C．8．C【詳解】設(shè)為等腰直角三角形的直角邊為，三棱柱的高為，則，所以，則，外接圓的半徑為，所以棱柱外接球的半徑為，令，則，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，以當(dāng)時(shí)，，則該三棱柱外接球表面積最小值為.故選：C.9．AB【詳解】，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，A正確；，即，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，B正確，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤．故選：AB10．ABC【詳解】由題意，A項(xiàng),設(shè)所在平面,,只需即滿足題設(shè),故A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，設(shè)且且,此時(shí)，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，當(dāng)，，時(shí)，可能垂直于，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，當(dāng)，，，則，故D正確.故選：ABC.11．ABD【詳解】由于，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由于是定義在上的偶函數(shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以是周期為的周期函數(shù)，B選項(xiàng)正確.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，的開口向上，對(duì)稱軸為，所以，據(jù)的周期性、對(duì)稱性可知的最小值是，最大值是，A選項(xiàng)正確.，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD12．ACD【詳解】選項(xiàng)A.取的中點(diǎn)，連接,則又，所以,所以四點(diǎn)共面.又平面,平面,則平面由,所以平面，又平面所以直線與是異面直線，故A正確選項(xiàng)B.,故B不正確.選項(xiàng)C.在正方體中，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.取的中點(diǎn)，連接,則,設(shè)平面的法向量,則,即取設(shè)平面的法向量,則,即由，可得，即平面平面，設(shè),連接,且平面平面此時(shí)由與相似，由，可得，即此時(shí)點(diǎn)滿足.過點(diǎn)在平面內(nèi)作,則平面由,則與不平行，所以與一定相交，設(shè)為.又平面，則平面.所以過點(diǎn)作平面的垂線，與平面交與點(diǎn)，若，則所以選項(xiàng)C正確.選項(xiàng)D.設(shè)點(diǎn)到平面的距離為.由選項(xiàng)A的解答可知，平面所以點(diǎn)到平面的距離等于直線上任意一點(diǎn)到平面的距離.則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.,即,所以由在正方體中，由題意，為給定三角形，所以，為定值，故點(diǎn)到平面的距離為常數(shù).故D正確.13．40000【詳解】設(shè)水庫里大概有x條魚，則，解之得14．【詳解】由，或，所以該函數(shù)的定義域?yàn)?，二次函?shù)的對(duì)稱軸為，因?yàn)楹瘮?shù)是正實(shí)數(shù)集上的減函數(shù)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為二次函數(shù)的遞減區(qū)間，即為，而，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：15．【詳解】由題意可得l的一個(gè)單位方向向量為，,故點(diǎn)P到直線l的距離.16．1【詳解】因?yàn)?，所以為上的奇函?shù)．又，所以在上單調(diào)遞增．不等式對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立，所以對(duì)任意的恒成立，即對(duì)任意的恒成立．令，所以，所以當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù)．所以，設(shè)，顯然為上的增函數(shù)，因?yàn)?，，所以存在，使得，所以，此時(shí)，所以，即的最大值為1．17．【詳解】（1）正三棱錐中，是的中點(diǎn)，，三棱錐的體積為：………3（2）連接，是矩形，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，平面，平面，平面.……………6（3）取中點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，，平面，平面，即為直線與平面所成角，

，，分別為的中點(diǎn)，，，即.…………………1018．【詳解】（1），，，，，……………4，所以與之間線性回歸方程為.……………6（2），則，…10因?yàn)榍曳浅＝咏?，所以該幼兒園去年春季患流感人數(shù)與年齡負(fù)相關(guān)很強(qiáng).…………1219．【詳解】（1）證明：，平面，平面，∵平面，，又，平面，平面，∵平面，∴；………5（2）由題意，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，，易得，設(shè)，則，………………6當(dāng)時(shí)，兩點(diǎn)重合，平面的法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，且，，故，不妨取，得，則，…………………8設(shè)平面與平面所成角為，則，不合題意，舍去；故，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，且，故，不妨取，解得．………10故化簡可得，解得：或，因?yàn)?，所以?2．…………1220．【詳解】（1），由題意，，解得，…2當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，令，解得，令，解得，故為的極值點(diǎn)，滿足題意，故………………………4（2）定義域?yàn)?，，，…?①時(shí)，，令，解得或，令，解得，函數(shù)在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，令，解得或，令，解得，故在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．綜上：當(dāng)時(shí)，在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在，內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減．……………1221．【詳解】（1）設(shè)樣本平均數(shù)的估計(jì)值為則．解得．所以樣本平均數(shù)的估計(jì)值為62．前三組的頻率和為，前四組的頻率和為，第四組的頻率為，所以分位數(shù)為.………4（2）因?yàn)閷W(xué)生的初試成績近似服從正態(tài)分布，其中．所以．所以．所以估計(jì)能參加復(fù)試的人數(shù)為．……………8（3）由該學(xué)生獲一等獎(jiǎng)的概率為可知：．則．令．．當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)．所以．所以的最小值為．…………1222．【詳解】（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵伊?，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減在上單調(diào)遞減又，，使得當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即